Formulación matemática de la mecánica cuántica.

Estructuras matemáticas que permiten explicar la mecánica cuántica

Las formulaciones matemáticas de la mecánica cuántica son aquellos formalismos matemáticos que permiten una descripción rigurosa de la mecánica cuántica . Este formalismo matemático utiliza principalmente una parte del análisis funcional , especialmente los espacios de Hilbert , que son una especie de espacio lineal . Estos se distinguen de los formalismos matemáticos de las teorías físicas desarrolladas antes de principios del siglo XX por el uso de estructuras matemáticas abstractas, como los espacios de Hilbert de dimensión infinita ( espacio L 2 principalmente) y operadores en estos espacios. En resumen, los valores de observables físicos como la energía y el momento ya no se consideraban valores de funciones en el espacio de fases , sino valores propios ; más precisamente como valores espectrales de operadores lineales en el espacio de Hilbert. ^[1]

Estas formulaciones de la mecánica cuántica se siguen utilizando en la actualidad. En el centro de la descripción se encuentran las ideas de estado cuántico y observables cuánticos , que son radicalmente diferentes de las utilizadas en modelos anteriores de la realidad física. Si bien las matemáticas permiten el cálculo de muchas cantidades que pueden medirse experimentalmente, existe un límite teórico definido para los valores que pueden medirse simultáneamente. Esta limitación fue aclarada por primera vez por Heisenberg a través de un experimento mental , y está representada matemáticamente en el nuevo formalismo por la no conmutatividad de los operadores que representan observables cuánticos.

Antes del desarrollo de la mecánica cuántica como teoría separada , las matemáticas utilizadas en física consistían principalmente en análisis matemático formal , comenzando con el cálculo y aumentando en complejidad hasta la geometría diferencial y las ecuaciones diferenciales parciales . La teoría de la probabilidad se utilizó en la mecánica estadística . La intuición geométrica jugó un papel importante en los dos primeros y, en consecuencia, las teorías de la relatividad se formularon enteramente en términos de conceptos geométricos diferenciales. La fenomenología de la física cuántica surgió aproximadamente entre 1895 y 1915, y durante los 10 a 15 años anteriores al desarrollo de la mecánica cuántica (alrededor de 1925) los físicos continuaron pensando en la teoría cuántica dentro de los confines de lo que ahora se llama física clásica , y en particular. dentro de las mismas estructuras matemáticas. El ejemplo más sofisticado de esto es la regla de cuantificación de Sommerfeld-Wilson-Ishiwara , que se formuló íntegramente en el espacio de fase clásico .

Historia del formalismo

La "vieja teoría cuántica" y la necesidad de nuevas matemáticas

En la década de 1890, Planck pudo derivar el espectro del cuerpo negro , que más tarde se utilizó para evitar la clásica catástrofe ultravioleta al hacer la suposición poco ortodoxa de que, en la interacción de la radiación electromagnética con la materia , la energía sólo podía intercambiarse en unidades discretas a las que llamó. cuantos . Planck postuló una proporcionalidad directa entre la frecuencia de la radiación y el cuanto de energía a esa frecuencia. La constante de proporcionalidad, h , ahora se llama constante de Planck en su honor.

En 1905, Einstein explicó ciertas características del efecto fotoeléctrico suponiendo que los cuantos de energía de Planck eran partículas reales, que más tarde fueron denominadas fotones .

luz en la frecuencia correcta

Todos estos desarrollos fueron fenomenológicos y desafiaron la física teórica de la época. Bohr y Sommerfeld modificaron la mecánica clásica en un intento de deducir el modelo de Bohr a partir de los primeros principios. Propusieron que, de todas las órbitas clásicas cerradas trazadas por un sistema mecánico en su espacio de fase, sólo aquellas que encerraban un área que era un múltiplo de la constante de Planck estaban realmente permitidas. La versión más sofisticada de este formalismo fue la llamada cuantización de Sommerfeld-Wilson-Ishiwara . Aunque el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno podría explicarse de esta manera, el espectro del átomo de helio (clásicamente un problema de tres cuerpos irresoluble ) no podía predecirse. El estatus matemático de la teoría cuántica permaneció incierto durante algún tiempo.

En 1923, de Broglie propuso que la dualidad onda-partícula se aplicaba no sólo a los fotones sino también a los electrones y a cualquier otro sistema físico.

La situación cambió rápidamente en los años 1925-1930, cuando se encontraron fundamentos matemáticos funcionales a través del trabajo innovador de Erwin Schrödinger , Werner Heisenberg , Max Born , Pascual Jordan y el trabajo fundacional de John von Neumann , Hermann Weyl y Paul Dirac , y Fue posible unificar varios enfoques diferentes en términos de un nuevo conjunto de ideas. La interpretación física de la teoría también se aclaró en estos años después de que Werner Heisenberg descubriera las relaciones de incertidumbre y Niels Bohr introdujera la idea de complementariedad .

La "nueva teoría cuántica"

La mecánica matricial de Werner Heisenberg fue el primer intento exitoso de replicar la cuantificación observada de los espectros atómicos . Más tarde, ese mismo año, Schrödinger creó su mecánica ondulatoria . El formalismo de Schrödinger se consideraba más fácil de entender, visualizar y calcular, ya que conducía a ecuaciones diferenciales , cuya resolución los físicos ya estaban familiarizados. Al cabo de un año, se demostró que las dos teorías eran equivalentes.

El propio Schrödinger inicialmente no entendió la naturaleza probabilística fundamental de la mecánica cuántica, ya que pensaba que el cuadrado absoluto de la función de onda de un electrón debería interpretarse como la densidad de carga de un objeto extendido sobre un volumen de espacio extenso, posiblemente infinito. . Fue Max Born quien introdujo la interpretación del cuadrado absoluto de la función de onda como distribución de probabilidad de la posición de un objeto puntual . La idea de Born pronto fue adoptada por Niels Bohr en Copenhague, quien luego se convirtió en el "padre" de la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica. Se puede considerar que la función de onda de Schrödinger está estrechamente relacionada con la ecuación clásica de Hamilton-Jacobi . La correspondencia con la mecánica clásica fue aún más explícita, aunque algo más formal, en la mecánica matricial de Heisenberg. En su proyecto de tesis doctoral, Paul Dirac ^[2] descubrió que la ecuación para los operadores en la representación de Heisenberg , como se la llama ahora, se traduce estrechamente a las ecuaciones clásicas para la dinámica de ciertas cantidades en el formalismo hamiltoniano de la mecánica clásica, cuando uno los expresa mediante corchetes de Poisson , procedimiento conocido ahora como cuantización canónica .

Para ser más precisos, ya antes de Schrödinger, el joven becario postdoctoral Werner Heisenberg inventó su mecánica matricial , que fue la primera mecánica cuántica correcta: el avance esencial. La formulación de la mecánica matricial de Heisenberg se basó en álgebras de matrices infinitas, una formulación muy radical a la luz de las matemáticas de la física clásica, aunque partió de la terminología indexada de los experimentalistas de esa época, sin siquiera ser consciente de que sus "esquemas indexados" Eran matrices, como pronto le señaló Born. De hecho, en estos primeros años, el álgebra lineal no era popular entre los físicos en su forma actual.

Aunque el propio Schrödinger demostró después de un año la equivalencia de su mecánica ondulatoria y la mecánica matricial de Heisenberg, la reconciliación de los dos enfoques y su abstracción moderna como movimientos en el espacio de Hilbert se atribuye generalmente a Paul Dirac, quien escribió un lúcido relato en su clásico de 1930. Los principios de la mecánica cuántica . Es el tercer pilar, y posiblemente el más importante, de ese campo (pronto fue el único que descubrió una generalización relativista de la teoría). En su relato antes mencionado, introdujo la notación bracket , junto con una formulación abstracta en términos del espacio de Hilbert utilizado en el análisis funcional; demostró que los enfoques de Schrödinger y Heisenberg eran dos representaciones diferentes de la misma teoría y encontró una tercera, más general, que representaba la dinámica del sistema. Su trabajo fue particularmente fructífero en muchos tipos de generalizaciones del campo.

La primera formulación matemática completa de este enfoque, conocida como axiomas de Dirac-von Neumann , generalmente se atribuye al libro de John von Neumann de 1932 Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica , aunque Hermann Weyl ya se había referido a los espacios de Hilbert (a los que llamó espacios unitarios). ) en su artículo y libro clásicos de 1927. Se desarrolló en paralelo con un nuevo enfoque de la teoría matemática espectral basado en operadores lineales en lugar de las formas cuadráticas que fueron el enfoque de David Hilbert una generación antes. Aunque las teorías de la mecánica cuántica continúan evolucionando hasta el día de hoy, existe un marco básico para la formulación matemática de la mecánica cuántica que subyace a la mayoría de los enfoques y que se remonta al trabajo matemático de John von Neumann. En otras palabras, las discusiones sobre la interpretación de la teoría y sus extensiones ahora se llevan a cabo principalmente sobre la base de supuestos compartidos sobre los fundamentos matemáticos.

Desarrollos posteriores

La aplicación de la nueva teoría cuántica al electromagnetismo dio como resultado la teoría cuántica de campos , que se desarrolló alrededor de 1930. La teoría cuántica de campos ha impulsado el desarrollo de formulaciones más sofisticadas de la mecánica cuántica, de las cuales las que se presentan aquí son simples casos especiales.

• Formulación integral de camino
• Formulación en el espacio de fases de la mecánica cuántica y la cuantificación geométrica.
• Teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo.
• Teoría cuántica de campos axiomática , algebraica y constructiva.
• C * -formalismo de álgebra
• Modelo estadístico generalizado de la mecánica cuántica.

Un tema relacionado es la relación con la mecánica clásica. Se supone que cualquier nueva teoría física se reduce, en cierta medida, a teorías antiguas exitosas. Para la mecánica cuántica, esto se traduce en la necesidad de estudiar el llamado límite clásico de la mecánica cuántica . Además, como destacó Bohr, las capacidades cognitivas y el lenguaje humanos están indisolublemente ligados al ámbito clásico, por lo que las descripciones clásicas son intuitivamente más accesibles que las cuánticas. En particular, la cuantificación , es decir, la construcción de una teoría cuántica cuyo límite clásico es una teoría clásica dada y conocida, se convierte en sí misma en un área importante de la física cuántica.

Finalmente, algunos de los creadores de la teoría cuántica (en particular Einstein y Schrödinger) no estaban contentos con lo que pensaban que eran las implicaciones filosóficas de la mecánica cuántica. En particular, Einstein adoptó la postura de que la mecánica cuántica debía ser incompleta, lo que motivó la investigación de las llamadas teorías de variables ocultas . La cuestión de las variables ocultas se ha convertido en parte en una cuestión experimental con la ayuda de la óptica cuántica .

Postulados de la mecánica cuántica.

Un sistema físico generalmente se describe mediante tres ingredientes básicos: estados ; observables ; y la dinámica (o ley de la evolución del tiempo ) o, más generalmente, un grupo de simetrías físicas . Se puede dar una descripción clásica de una manera bastante directa mediante un modelo de mecánica de espacio de fases: los estados son puntos en un espacio de fases formulado por una variedad simpléctica , los observables son funciones de valor real en ella, la evolución temporal está dada por un grupo de un solo parámetro. de transformaciones simplécticas del espacio de fase, y las simetrías físicas se realizan mediante transformaciones simplécticas. Una descripción cuántica normalmente consiste en un espacio de estados de Hilbert , los observables son operadores autoadjuntos en el espacio de estados, la evolución temporal está dada por un grupo de transformaciones unitarias de un parámetro en el espacio de estados de Hilbert y las simetrías físicas se realizan mediante transformaciones unitarias . (Es posible mapear esta imagen del espacio de Hilbert a una formulación de espacio de fase , de manera invertible. Ver más abajo).

El siguiente resumen del marco matemático de la mecánica cuántica se remonta en parte a los axiomas de Dirac-von Neumann . ^[3]

Descripción del estado de un sistema.

Cada sistema físico aislado está asociado con un espacio de Hilbert complejo H (topológicamente) separable con producto interno ⟨ φ | ψ⟩ .​

Postulado I

El estado de un sistema físico aislado está representado, en un tiempo fijo , por un vector de estados perteneciente a un espacio de Hilbert llamado espacio de estados . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

La separabilidad es una hipótesis matemáticamente conveniente, con la interpretación física de que el estado está determinado de forma única por un número contable de observaciones. Los estados cuánticos se pueden identificar con clases de equivalencia en H , donde dos vectores (de longitud 1) representan el mismo estado si difieren solo en un factor de fase . ^[4] Como tal, los estados cuánticos forman un rayo en el espacio proyectivo de Hilbert , no un vector . Muchos libros de texto no logran hacer esta distinción, lo que podría deberse en parte al hecho de que la propia ecuación de Schrödinger involucra "vectores" del espacio de Hilbert, con el resultado de que es muy difícil evitar el uso impreciso de "vector de estado" en lugar de rayo . . ^[5]

El Postulado I que lo acompaña es el postulado del sistema compuesto: ^[6]

Postulado del sistema compuesto

El espacio de Hilbert de un sistema compuesto es el producto tensorial del espacio de Hilbert de los espacios de estados asociados con los sistemas componentes. Para un sistema no relativista que consta de un número finito de partículas distinguibles, los sistemas componentes son las partículas individuales.

En presencia de entrelazamiento cuántico , el estado cuántico del sistema compuesto no puede factorizarse como un producto tensorial de los estados de sus constituyentes locales; En cambio, se expresa como una suma o superposición de productos tensoriales de estados de subsistemas componentes. Un subsistema en un sistema compuesto entrelazado generalmente no puede describirse mediante un vector de estado (o un rayo), sino que se describe mediante un operador de densidad ; Este estado cuántico se conoce como estado mixto . El operador de densidad de un estado mixto es una clase de traza , operador autoadjunto no negativo ( semidefinido positivo ) ρ normalizado para ser de traza 1. A su vez, cualquier operador de densidad de un estado mixto puede representarse como un subsistema de un estado mixto más grande. sistema compuesto en estado puro (ver teorema de purificación ).

En ausencia de entrelazamiento cuántico, el estado cuántico del sistema compuesto se denomina estado separable . La matriz de densidad de un sistema bipartito en un estado separable se puede expresar como , donde . Si solo hay un elemento distinto de cero , entonces el estado se puede expresar de la misma manera y se llama estado simplemente separable o producto. ${\displaystyle \rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}}$ ${\displaystyle \;\sum _{k}p_{k}=1}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\textstyle \rho =\rho _{1}\otimes \rho _{2},}$

Medición en un sistema

Descripción de cantidades físicas.

Los observables físicos están representados por matrices hermitianas en H. Dado que estos operadores son hermitianos, sus valores propios son siempre reales y representan los posibles resultados de la medición del observable correspondiente. Si el espectro de lo observable es discreto , entonces los posibles resultados se cuantifican .

Postulado II.a

Cada cantidad física mensurable es descrita por un operador hermitiano que actúa en el espacio de estados . Este operador es observable, lo que significa que sus vectores propios forman una base para . El resultado de medir una cantidad física debe ser uno de los valores propios del observable correspondiente . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A}$

Resultados de la medición

Por teoría espectral, podemos asociar una medida de probabilidad a los valores de A en cualquier estado ψ . También podemos demostrar que los posibles valores del observable A en cualquier estado deben pertenecer al espectro de A. El valor esperado (en el sentido de la teoría de la probabilidad) del observable A para el sistema en estado representado por el vector unitario ψ ∈ H es . Si representamos el estado ψ en la base formada por los vectores propios de A , entonces el cuadrado del módulo del componente adjunto a un vector propio dado es la probabilidad de observar su correspondiente valor propio. ${\displaystyle \langle \psi |A|\psi \rangle }$

Postulado II.b

Cuando la cantidad física se mide en un sistema en un estado normalizado , la probabilidad de obtener un valor propio (denotado para espectros discretos y para espectros continuos) del observable correspondiente está dada por la amplitud al cuadrado de la función de onda apropiada (proyección sobre el vector propio correspondiente ). ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (a_{n})&=|\langle a_{n}|\psi \rangle |^{2}&{\text{(Discrete, nondegenerate spectrum)}}\\\mathbb {P} (a_{n})&=\sum _{i}^{g_{n}}|\langle a_{n}^{i}|\psi \rangle |^{2}&{\text{(Discrete, degenerate spectrum)}}\\d\mathbb {P} (\alpha )&=|\langle \alpha |\psi \rangle |^{2}d\alpha &{\text{(Continuous, nondegenerate spectrum)}}\end{aligned}}}$

Para un estado mixto ρ , el valor esperado de A en el estado ρ es , y la probabilidad de obtener un valor propio en un espectro discreto y no degenerado del observable correspondiente está dada por . ${\displaystyle \operatorname {tr} (A\rho )}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (|a_{n}\rangle \langle a_{n}|\rho )=\langle a_{n}|\rho |a_{n}\rangle }$

Si el valor propio tiene vectores propios ortonormales y degenerados , entonces el operador de proyección en el subespacio propio se puede definir como el operador de identidad en el subespacio propio: ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}}$

$${\displaystyle P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|,}$$

${\displaystyle \mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (P_{n}\rho )}$

Los postulados II.a y II.b se conocen colectivamente como la regla de Born de la mecánica cuántica.

Efecto de la medición sobre el estado.

Cuando se realiza una medición sólo se obtiene un resultado (según algunas interpretaciones de la mecánica cuántica ). Esto se modela matemáticamente como el procesamiento de información adicional de la medición, limitando las probabilidades de una segunda medición inmediata del mismo observable. En el caso de un espectro discreto, no degenerado, dos mediciones secuenciales del mismo observable siempre darán el mismo valor suponiendo que la segunda sigue inmediatamente a la primera. Por lo tanto, el vector de estado debe cambiar como resultado de la medición y colapsar en el subespacio propio asociado con el valor propio medido.

Postulado II.c

Si la medición de la cantidad física en el sistema en el estado da el resultado , entonces el estado del sistema inmediatamente después de la medición es la proyección normalizada de sobre el subespacio propio asociado con ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle |\psi \rangle \quad {\overset {a_{n}}{\Longrightarrow }}\quad {\frac {P_{n}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |P_{n}|\psi \rangle }}}}$

Para un estado mixto ρ , después de obtener un valor propio en un espectro discreto y no degenerado del observable correspondiente , el estado actualizado viene dado por . Si el valor propio tiene vectores propios ortonormales y degenerados , entonces el operador de proyección en el subespacio propio es . ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\textstyle \rho '={\frac {P_{n}\rho P_{n}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (P_{n}\rho P_{n}^{\dagger })}}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}}$ ${\displaystyle P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|}$

Los postulados II.c a veces se denominan "regla de actualización del estado" o "regla de colapso"; Junto con la regla de Born (Postulados II.a y II.b), forman una representación completa de las medidas y, a veces, se denominan colectivamente postulados de medida.

Tenga en cuenta que las medidas valoradas en proyección (PVM) descritas en los postulados de medición se pueden generalizar a medidas positivas valoradas por el operador (POVM), que es el tipo de medición más general en mecánica cuántica. Un POVM puede entenderse como el efecto sobre un subsistema componente cuando se realiza un PVM en un sistema compuesto más grande (consulte el teorema de dilatación de Naimark ).

Evolución temporal de un sistema.

Aunque es posible derivar la ecuación de Schrödinger, que describe cómo evoluciona un vector de estado en el tiempo, la mayoría de los textos afirman la ecuación como un postulado. Las derivaciones comunes incluyen el uso de la hipótesis de De Broglie o integrales de ruta .

Postulado III

La evolución temporal del vector de estado se rige por la ecuación de Schrödinger, donde es el observable asociado a la energía total del sistema (llamado hamiltoniano ) ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ ${\displaystyle H(t)}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle =H(t)|\psi (t)\rangle }$

De manera equivalente, el postulado de la evolución temporal se puede expresar como:

Postulado III

La evolución temporal de un sistema cerrado se describe mediante una transformación unitaria del estado inicial.

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t;t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$

Para un sistema cerrado en estado mixto ρ , la evolución temporal es . ${\displaystyle \rho (t)=U(t;t_{0})\rho (t_{0})U^{\dagger }(t;t_{0})}$

La evolución de un sistema cuántico abierto puede describirse mediante operaciones cuánticas (en un formalismo de suma de operadores ) e instrumentos cuánticos , y generalmente no tiene por qué ser unitario.

Otras implicaciones de los postulados

• Las simetrías físicas actúan en el espacio de Hilbert de estados cuánticos de forma unitaria o antiunitaria debido al teorema de Wigner ( la supersimetría es un asunto completamente diferente).
• Los operadores de densidad son aquellos que se encuentran en el cierre de la carcasa convexa de los proyectores ortogonales unidimensionales. Por el contrario, los proyectores ortogonales unidimensionales son puntos extremos del conjunto de operadores de densidad. Los físicos también llaman a los proyectores ortogonales unidimensionales estados puros y a otros operadores de densidad estados mixtos .
• En este formalismo se puede enunciar el principio de incertidumbre de Heisenberg y demostrarlo como un teorema, aunque la secuencia histórica exacta de los acontecimientos, sobre quién derivó qué y bajo qué marco, es objeto de investigaciones históricas fuera del alcance de este artículo.
• Investigaciones recientes han demostrado ^[7] que el postulado del sistema compuesto (postulado del producto tensorial) puede derivarse del postulado del estado (Postulado I) y de los postulados de medición (Postulados II); Además, también se ha demostrado ^[8] que los postulados de medición (Postulados II) pueden derivarse de la "mecánica cuántica unitaria", que incluye sólo el postulado del estado (Postulado I), el postulado del sistema compuesto (postulado del producto tensorial) y el postulado del sistema compuesto (postulado del producto tensor). postulado de la evolución unitaria (Postulado III).

Además, a los postulados de la mecánica cuántica también se deben agregar declaraciones básicas sobre las propiedades del espín y el principio de exclusión de Pauli , ver más abajo.

Girar

Además de sus otras propiedades, todas las partículas poseen una cantidad llamada espín , un momento angular intrínseco . A pesar del nombre, las partículas no giran literalmente alrededor de un eje, y el giro de la mecánica cuántica no tiene correspondencia en la física clásica. En la representación de posición, una función de onda sin espín tiene la posición r y el tiempo t como variables continuas, ψ = ψ ( r , t ) . Para funciones de onda de espín, el espín es una variable discreta adicional: ψ = ψ ( r , t , σ ) , donde σ toma los valores;

$${\displaystyle \sigma =-S\hbar ,-(S-1)\hbar ,\dots ,0,\dots ,+(S-1)\hbar ,+S\hbar \,.}$$

Es decir, el estado de una sola partícula con espín S está representado por un espinor componente (2 S + 1) de funciones de onda de valores complejos.

Dos clases de partículas con comportamiento muy diferente son los bosones que tienen espín entero ( S = 0, 1, 2, ... ) y los fermiones que poseen espín semientero ( S = 1 ⁄ 2 , 3 ⁄ 2 , 5 ⁄ 2 , ... ).

Postulado de simetrización

En mecánica cuántica se pueden distinguir dos partículas entre sí mediante dos métodos. Al realizar una medición de las propiedades intrínsecas de cada partícula, se pueden distinguir partículas de diferentes tipos. De lo contrario, si las partículas son idénticas, se pueden rastrear sus trayectorias, lo que distingue las partículas según la localidad de cada partícula. Si bien el segundo método está permitido en la mecánica clásica (es decir, todas las partículas clásicas se tratan con distinguibilidad), no se puede decir lo mismo de las partículas de la mecánica cuántica, ya que el proceso no es factible debido a los principios de incertidumbre fundamentales que gobiernan las escalas pequeñas. Por lo tanto, el postulado de simetrización presenta el requisito de indistinguibilidad de las partículas cuánticas. El postulado es aplicable a un sistema de bosones o fermiones, por ejemplo, al predecir los espectros del átomo de helio . El postulado, explicado en los siguientes apartados, se puede enunciar de la siguiente manera:

Postulado de simetrización ^[9]

La función de onda de un sistema de N partículas idénticas (en 3D) es totalmente simétrica (bosones) o totalmente antisimétrica (fermiones) bajo intercambio de cualquier par de partículas.

Pueden ocurrir excepciones cuando las partículas están limitadas a dos dimensiones espaciales donde es posible la existencia de partículas conocidas como anyones que se dice que tienen un continuo de propiedades estadísticas que abarca el rango entre fermiones y bosones. ^[9] La conexión entre el comportamiento de partículas idénticas y su espín viene dada por el teorema de la estadística de espín .

Se puede demostrar que dos partículas localizadas en diferentes regiones del espacio aún pueden representarse utilizando una función de onda simetrizada/antisimetrizada y que el tratamiento independiente de estas funciones de onda da el mismo resultado. ^[10] Por lo tanto, el postulado de simetrización es aplicable en el caso general de un sistema de partículas idénticas.

Degeneración cambiaria

En un sistema de partículas idénticas, conozcamos a P como operador de intercambio que actúa sobre la función de onda como:

${\displaystyle P{\bigg (}\cdots |\psi \rangle |\phi \rangle \cdots {\bigg )}\equiv \cdots |\phi \rangle |\psi \rangle \cdots }$

Si se da un sistema físico de partículas idénticas, la función de onda de todas las partículas se puede conocer bien a partir de la observación, pero no se pueden etiquetar para cada partícula. Por tanto, la función de onda intercambiada anteriormente representa el mismo estado físico que el estado original, lo que implica que la función de onda no es única. Esto se conoce como degeneración cambiaria. ^[11]

De manera más general, considere una combinación lineal de tales estados . Para obtener la mejor representación del sistema físico, esperamos que sea un vector propio de P , ya que no se exceptúa que el operador de intercambio proporcione vectores completamente diferentes en el espacio proyectivo de Hilbert. Dado que , los posibles valores propios de P son +1 y −1. Los estados para sistemas de partículas idénticos se representan como simétricos para +1 valor propio o antisimétricos para -1 valor propio de la siguiente manera: ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle P^{2}=1}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

${\displaystyle P|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;S\rangle =+|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;S\rangle }$

${\displaystyle P|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;A\rangle =-|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;A\rangle }$

La forma simétrica/antisimétrica explícita de se construye utilizando un operador simetrizador o antisimetrizador . Las partículas que forman estados simétricos se denominan bosones y las que forman estados antisimétricos se denominan fermiones. La relación del espín con esta clasificación proviene del teorema de la estadística de espín que muestra que las partículas de espín entero son bosones y las partículas de espín medio entero son fermiones. ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

principio de exclusión de Pauli

La propiedad del espín se relaciona con otra propiedad básica relativa a los sistemas de N partículas idénticas: el principio de exclusión de Pauli , que es una consecuencia del siguiente comportamiento de permutación de una función de onda de N -partículas; nuevamente en la representación de la posición se debe postular que para la transposición de dos cualesquiera de las N partículas siempre se debe tener

principio de pauli

${\displaystyle \psi (\dots ,\,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\,\dots ,\,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\,\dots )=(-1)^{2S}\cdot \psi (\dots ,\,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\,\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\,\dots )}$

es decir, al transponer los argumentos de dos partículas cualesquiera, la función de onda debería reproducirse , aparte de un prefactor (−1) ^{2 S} que es +1 para bosones, pero ( −1 ) para fermiones . Los electrones son fermiones con S = 1/2 ; los cuantos de luz son bosones con S = 1 .

Debido a la forma de la función de onda antisimetrizada:

${\displaystyle \Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},\ldots ,x_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{n_{1}}(x_{1})&\psi _{n_{1}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{1}}(x_{N})\\\psi _{n_{2}}(x_{1})&\psi _{n_{2}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{2}}(x_{N})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{n_{N}}(x_{1})&\psi _{n_{N}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{N}}(x_{N})\\\end{matrix}}\right|}$

Si la función de onda de cada partícula está completamente determinada por un conjunto de números cuánticos, entonces dos fermiones no pueden compartir el mismo conjunto de números cuánticos ya que la función resultante no puede ser antisimetrizada (es decir, la fórmula anterior da cero). No se puede decir lo mismo de los bosones ya que su función de onda es:

${\displaystyle |x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S\rangle ={\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!}}\sum _{p}\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle }$

donde es el número de partículas con la misma función de onda. ${\displaystyle n_{j}}$

Excepciones al postulado de simetrización

En la mecánica cuántica no relativista todas las partículas son bosones o fermiones ; En las teorías cuánticas relativistas también existen teorías "supersimétricas" , donde una partícula es una combinación lineal de una parte bosónica y una parte fermiónica. Sólo en la dimensión d = 2 se pueden construir entidades donde (−1) ^{2 S} se reemplaza por un número complejo arbitrario con magnitud 1, llamado anyons . En la mecánica cuántica relativista, el teorema de la estadística de espín puede demostrar que, bajo cierto conjunto de supuestos, las partículas de espín entero se clasifican como bosones y las partículas de medio espín se clasifican como fermiones . Se dice que cualquiera que no forme estados simétricos ni antisimétricos tiene espín fraccional.

Aunque el espín y el principio de Pauli sólo pueden derivarse de generalizaciones relativistas de la mecánica cuántica, las propiedades mencionadas en los dos últimos párrafos pertenecen a los postulados básicos que ya se encuentran en el límite no relativista. Especialmente muchas propiedades importantes en las ciencias naturales, por ejemplo el sistema periódico de la química, son consecuencias de ambas propiedades.

Estructura matemática de la mecánica cuántica.

Imágenes de dinámica.

• En el llamado cuadro de Schrödinger de la mecánica cuántica, la dinámica queda dada de la siguiente manera:

  La evolución temporal del estado viene dada por una función diferenciable de los números reales R , que representan instantes de tiempo, al espacio de Hilbert de estados del sistema. Este mapa se caracteriza por una ecuación diferencial como sigue: Si | ψ ( t )⟩ denota el estado del sistema en cualquier momento t , se cumple la siguiente ecuación de Schrödinger:

  Ecuación de Schrödinger (general)

  ${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\left|\psi (t)\right\rangle =H\left|\psi (t)\right\rangle }$

  donde H es un operador autoadjunto densamente definido, llamado sistema hamiltoniano , i es la unidad imaginaria y ħ es la constante de Planck reducida . Como observable, H corresponde a la energía total del sistema.

  Alternativamente, según el teorema de Stone , se puede afirmar que existe un mapa unitario de un parámetro fuertemente continuo U ( t ) : H → H tal que

  $${\displaystyle \left|\psi (t+s)\right\rangle =U(t)\left|\psi (s)\right\rangle }$$
  para todos los tiempos s , t . La existencia de un hamiltoniano H autoadjunto tal que
  $${\displaystyle U(t)=e^{-(i/\hbar )tH}}$$
  es una consecuencia del teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro. Se supone que H no depende del tiempo y que la perturbación comienza en t ₀ = 0 ; de lo contrario, se debe utilizar la serie Dyson , escrita formalmente como
  $${\displaystyle U(t)={\mathcal {T}}\left[\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'\,H(t')\right)\right],}$$
  ¿ Dónde está el símbolo de ordenamiento temporal de Dyson ? ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

  (Este símbolo permuta un producto de operadores no conmutantes de la forma

  $${\displaystyle B_{1}(t_{1})\cdot B_{2}(t_{2})\cdot \dots \cdot B_{n}(t_{n})}$$
  en la expresión reordenada determinada de forma única
  $${\displaystyle B_{i_{1}}(t_{i_{1}})\cdot B_{i_{2}}(t_{i_{2}})\cdot \dots \cdot B_{i_{n}}(t_{i_{n}})}$$
  con El resultado es una cadena causal, la causa primaria en el pasado en el extremo derecho y, finalmente, el efecto presente en el extremo izquierdo.) ${\displaystyle t_{i_{1}}\geq t_{i_{2}}\geq \dots \geq t_{i_{n}}\,.}$
• La visión de Heisenberg de la mecánica cuántica se centra en los observables y, en lugar de considerar los estados como variables en el tiempo, considera que los estados son fijos y los observables como cambiantes. Para pasar de la imagen de Schrödinger a la de Heisenberg es necesario definir estados independientes del tiempo y operadores dependientes del tiempo de la siguiente manera:
  $${\displaystyle \left|\psi \right\rangle =\left|\psi (0)\right\rangle }$$
  $${\displaystyle A(t)=U(-t)AU(t).}$$
  Luego se comprueba fácilmente que los valores esperados de todos los observables son los mismos en ambas imágenes.
  $${\displaystyle \langle \psi \mid A(t)\mid \psi \rangle =\langle \psi (t)\mid A\mid \psi (t)\rangle }$$
  y que los operadores de Heisenberg dependientes del tiempo satisfacen
  Cuadro de Heisenberg (general)

  ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)]+{\frac {\partial A(t)}{\partial t}},}$

  lo cual es cierto para A = A ( t ) dependiente del tiempo . Observe que la expresión del conmutador es puramente formal cuando uno de los operadores no está acotado . Se especificaría una representación para que la expresión tenga sentido.
• La llamada imagen de Dirac o imagen de interacción tiene estados y observables dependientes del tiempo , que evolucionan con respecto a diferentes hamiltonianos. Esta imagen es más útil cuando la evolución de los observables se puede resolver exactamente, limitando cualquier complicación a la evolución de los estados. Por esta razón, el hamiltoniano de los observables se denomina "hamiltoniano libre" y el hamiltoniano de los estados se denomina "hamiltoniano de interacción". En símbolos:
  imagen de dirac

  ${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\left|\psi (t)\right\rangle ={H}_{\rm {int}}(t)\left|\psi (t)\right\rangle }$

  ${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}A(t)=[A(t),H_{0}].}$

  Sin embargo, la imagen de interacción no siempre existe. En las teorías de campos cuánticos de interacción, el teorema de Haag establece que la imagen de interacción no existe. Esto se debe a que el hamiltoniano no se puede dividir en una parte libre y otra que interactúa dentro de un sector de superselección . Además, incluso si en el cuadro de Schrödinger el hamiltoniano no depende del tiempo, por ejemplo H = H ₀ + V , en el cuadro de interacción sí lo hace, al menos, si V no conmuta con H ₀ , ya que

  $${\displaystyle H_{\rm {int}}(t)\equiv e^{{(i/\hbar })tH_{0}}\,V\,e^{{(-i/\hbar })tH_{0}}.}$$

  Por lo tanto, la serie Dyson antes mencionada debe usarse de todos modos.

  La imagen de Heisenberg es la más cercana a la mecánica hamiltoniana clásica (por ejemplo, los conmutadores que aparecen en las ecuaciones anteriores se traducen directamente a los corchetes de Poisson clásicos ); pero esto ya es bastante "altruista", y la mayoría de la gente considera que la imagen de Schrödinger es la más fácil de visualizar y comprender, a juzgar por las explicaciones pedagógicas de la mecánica cuántica. El cuadro de Dirac es el utilizado en la teoría de la perturbación , y está especialmente asociado a la teoría cuántica de campos y a la física de muchos cuerpos .

  Se pueden escribir ecuaciones similares para cualquier grupo unitario de simetrías de un parámetro del sistema físico. El tiempo sería reemplazado por una coordenada adecuada que parametriza el grupo unitario (por ejemplo, un ángulo de rotación o una distancia de traslación) y el hamiltoniano sería reemplazado por la cantidad conservada asociada con la simetría (por ejemplo, momento angular o lineal).

Resumen :

Representaciones

La forma original de la ecuación de Schrödinger depende de elegir una representación particular de las relaciones de conmutación canónicas de Heisenberg . El teorema de Stone-von Neumann dicta que todas las representaciones irreducibles de las relaciones de conmutación de Heisenberg de dimensión finita son unitariamente equivalentes. Una comprensión sistemática de sus consecuencias ha llevado a la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica, que trabaja en el espacio de fases completo en lugar del espacio de Hilbert , por lo que tiene una conexión más intuitiva con su límite clásico . Esta imagen también simplifica las consideraciones sobre la cuantificación , la extensión de la deformación de la mecánica clásica a la cuántica.

El oscilador armónico cuántico es un sistema exactamente solucionable donde las diferentes representaciones se comparan fácilmente. Allí, además de las representaciones de Heisenberg, Schrödinger (posición o momento), o del espacio de fases, también se encuentran la representación de Fock (número) y la representación de Segal-Bargmann (espacio de Fock o estado coherente) (llamada así en honor a Irving Segal y Valentín Bargmann ). Los cuatro son unitariamente equivalentes.

El tiempo como operador

El marco presentado hasta ahora señala al tiempo como el parámetro del que depende todo. Es posible formular la mecánica de tal manera que el tiempo se convierta en un observable asociado con un operador autoadjunto. En el nivel clásico, es posible parametrizar arbitrariamente las trayectorias de las partículas en términos de un parámetro no físico s , y en ese caso el tiempo t se convierte en una coordenada generalizada adicional del sistema físico. A nivel cuántico, las traslaciones en s serían generadas por un H − E "hamiltoniano" , donde E es el operador de energía y H es el hamiltoniano "ordinario". Sin embargo, dado que s es un parámetro no físico, los estados físicos deben dejarse invariantes mediante la " evolución s ", por lo que el espacio de estados físicos es el núcleo de H − E (esto requiere el uso de un espacio de Hilbert amañado y una renormalización del norma).

Esto está relacionado con la cuantificación de sistemas restringidos y la cuantificación de teorías de calibre . También es posible formular una teoría cuántica de "eventos" en la que el tiempo se convierta en algo observable. ^[12]

El problema de la medición.

La imagen dada en los párrafos anteriores es suficiente para describir un sistema completamente aislado. Sin embargo, no tiene en cuenta una de las principales diferencias entre la mecánica cuántica y la mecánica clásica, es decir, los efectos de la medición . ^[13] La descripción de von Neumann de la medición cuántica de un observable A , cuando el sistema se prepara en estado puro ψ es la siguiente (tenga en cuenta, sin embargo, que la descripción de von Neumann se remonta a la década de 1930 y se basa en experimentos realizados durante aquella época (más específicamente el experimento Compton-Simon ; no es aplicable a la mayoría de las mediciones actuales dentro del dominio cuántico):

• Sea A una resolución espectral
  $${\displaystyle A=\int \lambda \,d\operatorname {E} _{A}(\lambda ),}$$
  donde E _A es la resolución de la identidad (también llamada medida valorada en proyección ) asociada con A. Entonces la probabilidad de que el resultado de la medición se encuentre en un intervalo B de R es |E _A ( B ) ψ | ² . En otras palabras, la probabilidad se obtiene integrando la función característica de B contra la medida contablemente aditiva
  $${\displaystyle \langle \psi \mid \operatorname {E} _{A}\psi \rangle .}$$
• Si el valor medido está contenido en B , inmediatamente después de la medición el sistema se encontrará en el estado (generalmente no normalizado) E _A ( B ) ψ . Si el valor medido no se encuentra en B , reemplace B por su complemento para el estado anterior.

Por ejemplo, supongamos que el espacio de estados es el espacio de Hilbert complejo de n dimensiones C ⁿ y A es una matriz hermitiana con valores propios λ _i , con sus correspondientes vectores propios ψ _i . La medida valorada en proyección asociada con A , E _A , es entonces

$${\displaystyle \operatorname {E} _{A}(B)=|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|,}$$

donde B es un conjunto de Borel que contiene solo el valor propio único λ _i . Si el sistema está preparado en estado

$${\displaystyle |\psi \rangle }$$

Entonces, la probabilidad de que una medición devuelva el valor λ _i se puede calcular integrando la medida espectral

$${\displaystyle \langle \psi \mid \operatorname {E} _{A}\psi \rangle }$$

sobre B _i . Esto da trivialmente

$${\displaystyle \langle \psi |\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}\mid \psi \rangle =|\langle \psi \mid \psi _{i}\rangle |^{2}.}$$

La propiedad característica del esquema de medición de von Neumann es que repetir la misma medición dará los mismos resultados. Esto también se llama postulado de proyección .

Una formulación más general reemplaza la medida valorada en proyección con una medida valorada por operador positivo (POVM). Para ilustrar, tomemos nuevamente el caso de dimensión finita. Aquí reemplazaríamos las proyecciones de rango 1.

$${\displaystyle |\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$$

$${\displaystyle F_{i}F_{i}^{*}}$$

{ λ ₁ ... λ _n }λ _i

$${\displaystyle |\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\psi \rangle }$$

$${\displaystyle F_{i}|\psi \rangle .}$$

Dado que los operadores F _i F _i * no necesitan ser proyecciones mutuamente ortogonales, el postulado de proyección de von Neumann ya no es válido.

La misma formulación se aplica a los estados mixtos generales .

En el enfoque de von Neumann, la transformación de estado debida a la medición es distinta de la debida a la evolución del tiempo en varios aspectos. Por ejemplo, la evolución del tiempo es determinista y unitaria, mientras que la medición no es determinista ni unitaria. Sin embargo, dado que ambos tipos de transformación de estado llevan un estado cuántico a otro, muchos consideraron que esta diferencia era insatisfactoria. El formalismo POVM considera la medición como una entre muchas otras operaciones cuánticas , que se describen mediante mapas completamente positivos que no aumentan la traza.

En cualquier caso, parece que los problemas antes mencionados sólo pueden resolverse si la evolución temporal incluyera no sólo el sistema cuántico, sino también, y esencialmente, el aparato de medición clásico (ver arriba).

Lista de herramientas matemáticas

Parte del folklore del tema se refiere al libro de texto de física matemática Métodos de física matemática elaborado por Richard Courant de los cursos de la Universidad de Göttingen de David Hilbert . Los matemáticos cuentan la historia de que los físicos habían descartado el material por no ser interesante en las áreas de investigación actuales, hasta la aparición de la ecuación de Schrödinger. En ese momento se comprendió que en él ya estaban expuestas las matemáticas de la nueva mecánica cuántica. También se dice que Heisenberg había consultado a Hilbert sobre su mecánica matricial, y Hilbert observó que su propia experiencia con matrices de dimensión infinita se había derivado de ecuaciones diferenciales, consejo que Heisenberg ignoró, perdiendo la oportunidad de unificar la teoría como lo hicieron Weyl y Dirac. unos años después. Cualquiera que sea la base de las anécdotas, las matemáticas de la teoría eran convencionales en ese momento, mientras que la física era radicalmente nueva.

Las principales herramientas incluyen:

• álgebra lineal : números complejos, vectores propios , valores propios
• análisis funcional : espacios de Hilbert , operadores lineales , teoría espectral
• ecuaciones diferenciales : ecuaciones diferenciales parciales , separación de variables , ecuaciones diferenciales ordinarias , teoría de Sturm-Liouville , funciones propias
• análisis armónico : transformadas de Fourier

Ver también

• Lista de temas matemáticos en la teoría cuántica.
• Simetría en mecánica cuántica

Notas

1. Byron y Fuller 1992, pág. 277.
2. Dirac 1925.
3. Cohen-Tannoudji, Diu y Laloë 2020.
4. Bäuerle y de Kerf 1990, pág. 330.
5. Solem y Biedenharn 1993.
6. Jauch, Wigner y Yanase 1997.
7. Carcassi, Maccone y Aidala 2021.
8. Masanes, Galley & Müller 2019.
9. Sakurai y Napolitano 2021, p. 443.
10. Sakurai y Napolitano 2021, pag. 434-437.
11. Cohen-Tannoudji, Diu y Laloë 2020, p. 1375-1377.
12. Edwards 1979.
13. Greenstein y Zajonc 2006, pág. 215.

Referencias

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