Teoría algebraica de campos cuánticos

Enfoque axiomático de la teoría cuántica de campos.

La teoría algebraica de campos cuánticos ( AQFT ) es una aplicación a la física cuántica local de la teoría del álgebra C* . También conocido como marco axiomático de Haag-Kastler para la teoría cuántica de campos , porque fue introducido por Rudolf Haag y Daniel Kastler  (1964). Los axiomas se expresan en términos de un álgebra dada para cada conjunto abierto en el espacio de Minkowski y asignaciones entre ellos.

Axiomas de Haag-Kastler

Sea el conjunto de todos los subconjuntos abiertos y acotados del espacio de Minkowski. Una teoría algebraica de campos cuánticos se define mediante una red de álgebras de von Neumann en un espacio de Hilbert común que satisface los siguientes axiomas: ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \{{\mathcal {A}}(O)\}_{O\in {\mathcal {O}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(O)}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

• Isotonía : implica . ${\displaystyle O_{1}\subset O_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(O_{1})\subset {\mathcal {A}}(O_{2})}$
• Causalidad : si está separado de forma similar a un espacio , entonces . ${\displaystyle O_{1}}$ ${\displaystyle O_{2}}$ ${\displaystyle [{\mathcal {A}}(O_{1}),{\mathcal {A}}(O_{2})]=0}$
• Covarianza de Poincaré : existe una representación unitaria fuertemente continua del grupo de Poincaré tal que ${\displaystyle U({\mathcal {P}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(gO)=U(g){\mathcal {A}}(O)U(g)^{*},\,\,g\in {\mathcal {P}}.}$
• Condición del espectro : El espectro conjunto del operador de energía-momento (es decir, el generador de traslaciones espacio-temporales) está contenido en el cono de luz frontal cerrado. ${\displaystyle \mathrm {Sp} (P)}$ ${\displaystyle P}$
• Existencia de un vector de vacío : Existe un vector cíclico e invariante de Poincaré . ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {H}}}$

Las álgebras netas se llaman álgebras locales y el álgebra C* se llama álgebra cuasilocal . ${\displaystyle {\mathcal {A}}(O)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}:={\overline {\bigcup _{O\in {\mathcal {O}}}{\mathcal {A}}(O)}}}$

Formulación teórica de categorías

Sea Mink la categoría de subconjuntos abiertos del espacio M de Minkowski con mapas de inclusión como morfismos . Se nos da un funtor covariante de Mink a uC*alg , la categoría de álgebras unitales C*, de modo que cada morfismo en Mink se asigna a un monomorfismo en uC*alg ( isotonía ). ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

El grupo Poincaré actúa continuamente sobre Mink . Existe un retroceso de esta acción , que es continuo en la topología normal de ( covarianza de Poincaré ). ${\displaystyle {\mathcal {A}}(M)}$

El espacio de Minkowski tiene una estructura causal . Si un conjunto abierto V se encuentra en el complemento causal de un conjunto abierto U , entonces la imagen de los mapas

${\displaystyle {\mathcal {A}}(i_{U,U\cup V})}$

y

${\displaystyle {\mathcal {A}}(i_{V,U\cup V})}$

conmutar (conmutatividad espacial). Si es la compleción causal de un conjunto abierto U , entonces es un isomorfismo (causalidad primitiva). ${\displaystyle {\bar {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(i_{U,{\bar {U}}})}$

Un estado con respecto a un álgebra C* es un funcional lineal positivo sobre él con norma unitaria . Si tenemos un estado terminado , podemos tomar la " traza parcial " para obtener estados asociados para cada conjunto abierto a través del monomorfismo neto . Los estados sobre los conjuntos abiertos forman una estructura previa al haz . ${\displaystyle {\mathcal {A}}(M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(U)}$

Según la construcción GNS , para cada estado, podemos asociar una representación espacial de Hilbert de Los estados puros corresponden a representaciones irreducibles y los estados mixtos corresponden a representaciones reducibles . Cada representación irreductible (hasta la equivalencia ) se denomina sector de superselección . Suponemos que existe un estado puro llamado vacío tal que el espacio de Hilbert asociado a él es una representación unitaria del grupo de Poincaré compatible con la covarianza de Poincaré de la red, de modo que si observamos el álgebra de Poincaré , el espectro con respecto a la energía -el impulso (correspondiente a las traslaciones espacio-temporales ) se encuentra en y dentro del cono de luz positivo . Este es el sector del vacío. ${\displaystyle {\mathcal {A}}(M).}$

QFT en el espacio-tiempo curvo

Más recientemente, el enfoque se ha implementado aún más para incluir una versión algebraica de la teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo . De hecho, el punto de vista de la física cuántica local es particularmente adecuado para generalizar el procedimiento de renormalización a la teoría de campos cuánticos desarrollados sobre fondos curvos. Se han obtenido varios resultados rigurosos sobre QFT en presencia de un agujero negro . ^{[ cita necesaria ]}

Referencias

1. Baumgärtel, Hellmut (1995). Métodos operatoralgebraicos en la teoría cuántica de campos . Berlín: Akademie Verlag. ISBN 3-05-501655-6.

Otras lecturas

• Haag, Rudolf ; Kastler, Daniel (1964), "Un enfoque algebraico de la teoría cuántica de campos", Journal of Mathematical Physics , 5 (7): 848–861, Bibcode :1964JMP.....5..848H, doi :10.1063/1.1704187, ISSN  0022-2488, SEÑOR  0165864
• Haag, Rudolf (1996) [1992], Física cuántica local: campos, partículas, álgebras, física teórica y matemática (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-61458 -3, ISBN 978-3-540-61451-7, SEÑOR  1405610
• Brunetti, Romeo; Fredenhagen, Klaus; Verch, Rainer (2003). "El principio de localidad generalmente covariante: un nuevo paradigma para la teoría de campos cuánticos locales". Comunicaciones en Física Matemática . 237 (1–2): 31–68. arXiv : math-ph/0112041 . Código bibliográfico : 2003CMaPh.237...31B. doi :10.1007/s00220-003-0815-7. S2CID  13950246.
• Brunetti, Romeo; Dutsch, Michael; Fredenhagen, Klaus (2009). "Teoría de campos cuánticos algebraicos perturbativos y los grupos de renormalización". Avances en Física Teórica y Matemática . 13 (5): 1541-1599. arXiv : 0901.2038 . doi :10.4310/ATMP.2009.v13.n5.a7. S2CID  15493763.
• Bar, Christian ; Fredenhagen, Klaus , eds. (2009). Teoría cuántica de campos en espacios-tiempo curvos: conceptos y fundamentos matemáticos. Apuntes de conferencias de física. vol. 786. Saltador. doi :10.1007/978-3-642-02780-2. ISBN 978-3-642-02780-2.
• Brunetti, Romeo; Dappiaggi, Claudio; Fredenhagen, Klaus ; Yngvason, Jakob , eds. (2015). Avances en la teoría algebraica de campos cuánticos. Estudios de Física Matemática. Saltador. doi :10.1007/978-3-319-21353-8. ISBN 978-3-319-21353-8.
• Rejzner, Kasia (2016). Teoría de campos cuánticos algebraicos perturbativos: una introducción para matemáticos. Estudios de Física Matemática. Saltador. arXiv : 1208.1428 . Código Bib :2016paqf.book.....R. doi :10.1007/978-3-319-25901-7. ISBN 978-3-319-25901-7.
• Hackear, Thomas-Paul (2016). Aplicaciones cosmológicas de la teoría algebraica de campos cuánticos en espacios-tiempos curvos. SpringerBriefs en Física Matemática. vol. 6. Saltador. arXiv : 1506.01869 . Código bibliográfico : 2016caaq.book.....H. doi :10.1007/978-3-319-21894-6. ISBN 978-3-319-21894-6. S2CID  119657309.
• Dutsch, Michael (2019). De la teoría de campos clásica a la teoría de campos cuánticos perturbativos. Progresos en Física Matemática. vol. 74. Birkhäuser. doi :10.1007/978-3-030-04738-2. ISBN 978-3-030-04738-2. S2CID  126907045.
• Yau, Donald (2019). Teoría de campos cuánticos homotópicos. Científico mundial. arXiv : 1802.08101 . doi :10.1142/11626. ISBN 978-981-121-287-1. S2CID  119168109.
• Dedushenko, Mykola (2023). "Informe técnico de Snowmass: la búsqueda para definir QFT". Revista Internacional de Física Moderna A. 38 (4n05). arXiv : 2203.08053 . doi :10.1142/S0217751X23300028. S2CID  247450696.

enlaces externos

• Local Quantum Physics Crossroads 2.0: una red de científicos que trabajan en física cuántica local
• Artículos: una base de datos de preimpresiones sobre QFT algebraico
• Teoría algebraica de campos cuánticos: recursos AQFT en la Universidad de Hamburgo