Mientras trabajaba en la física matemática de una teoría de campos cuánticos relativista e interactuante , Rudolf Haag desarrolló un argumento [1] contra la existencia de la imagen de interacción , un resultado ahora conocido comúnmente como el teorema de Haag . La prueba original de Haag se basó en la forma específica de las teorías de campos entonces comunes, pero posteriormente generalizadas por varios autores, en particular Dick Hall y Arthur Wightman , quienes concluyeron que ninguna representación única y universal del espacio de Hilbert puede describir tanto campos libres como interactuantes. [2] Una generalización debida a Michael C. Reed y Barry Simon muestra que se aplica a campos escalares neutros libres de diferentes masas, [3] lo que implica que la imagen de interacción siempre es inconsistente, incluso en el caso de un campo libre.
Tradicionalmente, para describir una teoría cuántica de campos es necesario describir un conjunto de operadores que satisfacen las relaciones de (anti)conmutación canónicas y un espacio de Hilbert en el que actúan dichos operadores. De manera equivalente, se debería dar una representación del álgebra libre de dichos operadores, módulo las relaciones de conmutación canónicas (el álgebra CCR/CAR ); en esta última perspectiva, el álgebra subyacente de operadores es la misma, pero las diferentes teorías de campos corresponden a representaciones diferentes (es decir, unitariamente inequivalentes ).
Filosóficamente, la acción del álgebra CCR debería ser irreducible , ya que de lo contrario la teoría puede escribirse como los efectos combinados de dos campos separados. Ese principio implica la existencia de un estado de vacío cíclico . Es importante destacar que el vacío determina de manera única la representación del álgebra, porque es cíclico.
Se utilizan dos especificaciones diferentes del vacío: el vector propio de energía mínima del hamiltoniano de campo o el estado aniquilado por el operador numérico a † a . Cuando estas especificaciones describen vectores diferentes, se dice que el vacío se polariza , según la interpretación física en el caso de la electrodinámica cuántica . [4]
El resultado de Haag explica que la misma teoría cuántica de campos debe tratar el vacío de manera muy diferente cuando interactúa y cuando está libre. [4] [5]
En su forma moderna, el teorema de Haag tiene dos partes: [5] [6]
Este estado de cosas contrasta marcadamente con la mecánica cuántica no relativista ordinaria , donde siempre hay una equivalencia unitaria entre las representaciones libres e interactuantes. Ese hecho se utiliza para construir la imagen de interacción , donde los operadores evolucionan utilizando una representación de campo libre, mientras que los estados evolucionan utilizando la representación de campo interactuante. Dentro del formalismo de la teoría cuántica de campos (QFT), tal imagen generalmente no existe, porque estas dos representaciones son unitariamente inequivalentes. Por lo tanto, el teórico cuántico de campos se enfrenta al llamado problema de elección : uno debe elegir la representación "correcta" entre un conjunto incontablemente infinito de representaciones que no son equivalentes.
Como ya lo había notado Haag en su trabajo original, la polarización del vacío se encuentra en el núcleo del teorema de Haag. Cualquier campo cuántico interactuante (o campos no interactuantes de diferentes masas) polariza el vacío y, como consecuencia, el estado de vacío se encuentra dentro de un espacio de Hilbert renormalizado que difiere del espacio de Hilbert del campo libre. Aunque siempre se podría encontrar un isomorfismo que mapeara un espacio de Hilbert en el otro, el teorema de Haag implica que ninguna de esas aplicaciones podría proporcionar representaciones unitariamente equivalentes de las relaciones de conmutación canónicas correspondientes , es decir, resultados físicos inequívocos.
Entre los supuestos que conducen al teorema de Haag se encuentra la invariancia de la traslación del sistema. En consecuencia, los sistemas que pueden configurarse dentro de una caja con condiciones de contorno periódicas o que interactúan con potenciales externos adecuados escapan a las conclusiones del teorema. [7]
Haag (1958) [8] y David Ruelle (1962) [9] han presentado la teoría de dispersión de Haag-Ruelle , que trata con estados libres asintóticos y, por lo tanto, sirve para formalizar algunas de las suposiciones necesarias para la fórmula de reducción LSZ . [10] Sin embargo, estas técnicas no se pueden aplicar a partículas sin masa y tienen problemas sin resolver con los estados ligados.
Aunque algunos físicos y filósofos de la física han enfatizado repetidamente cuán seriamente el teorema de Haag socava los fundamentos de la teoría cuántica de campos , la mayoría de los teóricos de campos cuánticos en ejercicio simplemente desestiman el tema. La mayoría de los textos de teoría cuántica de campos orientados a la apreciación práctica del Modelo Estándar de interacciones de partículas elementales ni siquiera lo mencionan, asumiendo implícitamente que se puede encontrar algún conjunto riguroso de definiciones y procedimientos para confirmar los poderosos y bien confirmados resultados heurísticos que informan.
Por ejemplo, la estructura asintótica (cf. jets QCD ) es un cálculo específico que concuerda fuertemente con el experimento, pero que, sin embargo, debería fallar debido al teorema de Haag. La sensación general es que no se trata de un cálculo con el que se tropezó, sino que más bien encarna una verdad física. Los cálculos y herramientas prácticas están motivados y justificados por una apelación a un gran formalismo matemático llamado QFT . El teorema de Haag sugiere que el formalismo no está bien fundado, pero los cálculos prácticos están lo suficientemente alejados del formalismo abstracto como para que cualquier debilidad allí no afecte (o invalide) los resultados prácticos.
Como señaló Teller (1997): [11]
Todo el mundo debe estar de acuerdo en que, como pieza de matemáticas, el teorema de Haag es un resultado válido que al menos parece poner en tela de juicio el fundamento matemático de la teoría cuántica de campos interactuantes, y estar de acuerdo en que, al mismo tiempo, la teoría ha demostrado ser sorprendentemente exitosa en su aplicación a resultados experimentales. [11]
Tracy Lupher (2005) [12] sugirió que la amplia gama de reacciones conflictivas al teorema de Haag puede ser causada en parte por el hecho de que el mismo existe en diferentes formulaciones, que a su vez fueron probadas dentro de diferentes formulaciones de QFT como el enfoque axiomático de Wightman o la fórmula LSZ . [12] Según Lupher,
Los pocos que lo mencionan tienden a considerarlo como algo importante que alguien (más) debería investigar a fondo. [12]
Lawrence Sklar (2000) [13] señaló además:
Puede haber dentro de una teoría una serie de problemas conceptuales que parecen ser el resultado de artefactos matemáticos. Para el teórico, estos no son problemas fundamentales arraigados en algún error físico profundo de la teoría, sino, más bien, la consecuencia de alguna desgracia en la forma en que se ha expresado la teoría. El teorema de Haag es, tal vez, una dificultad de este tipo. [13]
David Wallace (2011) [14] ha comparado los méritos de la QFT convencional con los de la teoría cuántica de campos algebraica (AQFT) y ha observado que
... la teoría cuántica de campos algebraica tiene representaciones unitariamente desiguales incluso en regiones espacialmente finitas, pero esta falta de equivalencia unitaria sólo se manifiesta con respecto a valores esperados en regiones arbitrarias de espacio-tiempo pequeñas , y estos son exactamente esos valores esperados que no transmiten información real sobre el mundo. [14]
Justifica esta última afirmación con los conocimientos adquiridos a partir de la moderna teoría de grupos de renormalización, a saber, el hecho de que
...podemos absorber toda nuestra ignorancia sobre cómo se implementa el punto de corte [es decir, el punto de corte de corto alcance requerido para llevar a cabo el procedimiento de renormalización], en los valores de un número finito de coeficientes que se pueden medir empíricamente. [14]
En cuanto a las consecuencias del teorema de Haag, la observación de Wallace [14] implica que, dado que la teoría cuántica de campos no intenta predecir parámetros fundamentales, como las masas de las partículas o las constantes de acoplamiento, los efectos potencialmente nocivos que surgen de representaciones unitariamente no equivalentes quedan absorbidos dentro de los valores empíricos que surgen de las mediciones de estos parámetros (a una escala de longitud dada) y que se importan fácilmente a la teoría cuántica de campos. Por lo tanto, en la práctica, permanecen invisibles para los teóricos cuánticos de campos.
