En física matemática , la teoría constructiva de campos cuánticos es el campo dedicado a mostrar que la teoría cuántica de campos puede definirse en términos de estructuras matemáticas precisas. Esta demostración requiere nuevas matemáticas , en un sentido análogo al análisis real clásico , que coloque al cálculo sobre una base matemáticamente rigurosa . Se cree que las fuerzas débiles , fuertes y electromagnéticas de la naturaleza tienen su descripción natural en términos de campos cuánticos .
Los intentos de poner la teoría cuántica de campos sobre una base de conceptos completamente definidos han involucrado a la mayoría de las ramas de las matemáticas, incluido el análisis funcional , las ecuaciones diferenciales , la teoría de la probabilidad , la teoría de la representación , la geometría y la topología . Se sabe que un campo cuántico es intrínsecamente difícil de manejar utilizando técnicas matemáticas convencionales como las estimaciones explícitas. Esto se debe a que un campo cuántico tiene la naturaleza general de una distribución valorada por el operador , un tipo de objeto procedente del análisis matemático . Se puede esperar que los teoremas de existencia de los campos cuánticos sean muy difíciles de encontrar, si es que son posibles.
Un descubrimiento de la teoría que puede relacionarse en términos no técnicos es que la dimensión d del espacio-tiempo involucrado es crucial. Un trabajo notable en el campo de James Glimm y Arthur Jaffe demostró que con d < 4 se pueden encontrar muchos ejemplos. Junto con el trabajo de sus estudiantes, compañeros de trabajo y otros, la teoría de campo constructiva dio como resultado una base matemática y una interpretación exacta de lo que anteriormente era solo un conjunto de recetas , también en el caso d < 4.
Los físicos teóricos habían dado a estas reglas el nombre de " renormalización ", pero la mayoría de los físicos se habían mostrado escépticos sobre si podrían convertirse en una teoría matemática . Hoy en día uno de los problemas abiertos más importantes, tanto en física teórica como en matemáticas, es establecer resultados similares para la teoría de calibre en el caso realista d = 4.
La base tradicional de la teoría cuántica de campos constructiva es el conjunto de axiomas de Wightman . Osterwalder y Schrader demostraron que existe un problema equivalente en la teoría de la probabilidad matemática. Los ejemplos con d < 4 satisfacen tanto los axiomas de Wightman como los axiomas de Osterwalder-Schrader. También entran en el marco relacionado introducido por Haag y Kastler , llamado teoría algebraica de campos cuánticos . Existe una firme creencia en la comunidad física de que la teoría de calibre de Yang y Mills (la teoría de Yang-Mills ) puede conducir a una teoría manejable, pero se necesitarán nuevas ideas y nuevos métodos para establecer esto, y esto podría llevar muchos años. años.