soporte de dirac

Método de cuantificación para sistemas hamiltonianos restringidos con restricciones de segunda clase

El corchete de Dirac es una generalización del corchete de Poisson desarrollado por Paul Dirac ^[1] para tratar sistemas clásicos con restricciones de segunda clase en la mecánica hamiltoniana , y así permitirles someterse a una cuantificación canónica . Es una parte importante del desarrollo de la mecánica hamiltoniana por parte de Dirac manejar con elegancia los lagrangianos más generales ; específicamente, cuando existen restricciones, de modo que el número de variables aparentes excede al de las dinámicas. ^[2] De manera más abstracta, la forma doble implícita en el corchete de Dirac es la restricción de la forma simpléctica a la superficie de restricción en el espacio de fase . ^[3]

Este artículo asume familiaridad con los formalismos estándar lagrangiano y hamiltoniano , y su conexión con la cuantificación canónica . También se resumen los detalles del formalismo hamiltoniano modificado de Dirac para poner el corchete de Dirac en contexto.

Inadecuación del procedimiento hamiltoniano estándar

El desarrollo estándar de la mecánica hamiltoniana es inadecuado en varias situaciones específicas:

1. Cuando el lagrangiano es como máximo lineal en la velocidad de al menos una coordenada; en cuyo caso, la definición del momento canónico conduce a una restricción . Este es el motivo más frecuente para recurrir a los brackets de Dirac. Por ejemplo, el lagrangiano (densidad) de cualquier fermión tiene esta forma.
2. Cuando hay grados de libertad calibre (u otros grados no físicos) que deben fijarse.
3. Cuando hay otras restricciones que se desean imponer en el espacio de fase.

Ejemplo de un lineal lagrangiano en velocidad

Un ejemplo en mecánica clásica es una partícula con carga q y masa m confinada al plano x - y con un fuerte campo magnético perpendicular homogéneo y constante, por lo que apunta en la dirección z con fuerza B. ^[4]

El lagrangiano para este sistema con una elección adecuada de parámetros es

${\displaystyle L={\tfrac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}+{\frac {q}{c}}{\vec {A}}\cdot {\vec {v}}-V({\vec {r}}),}$

dónde→A es el potencial vectorial del campo magnético,→B; c es la velocidad de la luz en el vacío; y V(→r) es un potencial escalar externo arbitrario; fácilmente se podría considerar cuadrático en x e y , sin pérdida de generalidad. Usamos

${\displaystyle {\vec {A}}={\frac {B}{2}}(x{\hat {y}}-y{\hat {x}})}$

como nuestro vector potencial; esto corresponde a un campo magnético B uniforme y constante en la dirección z . Aquí, los sombreros indican vectores unitarios. Sin embargo, más adelante en el artículo se utilizan para distinguir los operadores de la mecánica cuántica de sus análogos clásicos. El uso debe quedar claro por el contexto.

Explícitamente, el lagrangiano equivale a sólo

${\displaystyle L={\frac {m}{2}}({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})+{\frac {qB}{2c}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})-V(x,y)~,}$

lo que conduce a las ecuaciones de movimiento.

${\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}+{\frac {qB}{c}}{\dot {y}}}$

${\displaystyle m{\ddot {y}}=-{\frac {\partial V}{\partial y}}-{\frac {qB}{c}}{\dot {x}}.}$

Para un potencial armónico, el gradiente de V equivale solo a las coordenadas, −( x , y ) .

Ahora bien, en el límite de un campo magnético muy grande, qB / mc ≫ 1 . Entonces se puede eliminar el término cinético para producir un lagrangiano aproximado simple,

${\displaystyle L={\frac {qB}{2c}}(x{\dot {y}}-y{\dot {x}})-V(x,y)~,}$

con ecuaciones de movimiento de primer orden

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial x}}}$

${\displaystyle {\dot {x}}=-{\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial y}}~.}$

Tenga en cuenta que este lagrangiano aproximado es lineal en las velocidades , que es una de las condiciones bajo las cuales el procedimiento hamiltoniano estándar falla. Si bien este ejemplo ha sido motivado como una aproximación, el lagrangiano bajo consideración es legítimo y conduce a ecuaciones de movimiento consistentes en el formalismo lagrangiano.

Sin embargo, siguiendo el procedimiento hamiltoniano, los momentos canónicos asociados con las coordenadas ahora son

${\displaystyle p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=-{\frac {qB}{2c}}y}$

${\displaystyle p_{y}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}={\frac {qB}{2c}}x~,}$

que son inusuales porque no son invertibles a las velocidades; en cambio, están obligados a ser funciones de las coordenadas: las cuatro variables del espacio de fase son linealmente dependientes, por lo que la base variable está sobrecompleta .

Una transformación de Legendre produce entonces el hamiltoniano.

${\displaystyle H(x,y,p_{x},p_{y})={\dot {x}}p_{x}+{\dot {y}}p_{y}-L=V(x,y).}$

Tenga en cuenta que este hamiltoniano "ingenuo" no depende de los momentos , lo que significa que las ecuaciones de movimiento (ecuaciones de Hamilton) son inconsistentes.

El procedimiento hamiltoniano ha fracasado. Se podría intentar solucionar el problema eliminando dos de los componentes del espacio de fase de 4 dimensiones, digamos y y p _y , hasta un espacio de fase reducido de 2 dimensiones, que a veces expresa las coordenadas como momentos y otras como coordenadas. Sin embargo, ésta no es una solución general ni rigurosa. Esto llega al meollo de la cuestión: que la definición de los momentos canónicos implica una restricción en el espacio de fase (entre momentos y coordenadas) que nunca se tuvo en cuenta.

Procedimiento hamiltoniano generalizado

En la mecánica lagrangiana, si el sistema tiene restricciones holonómicas , generalmente se agregan multiplicadores de Lagrange al lagrangiano para tenerlas en cuenta. Los términos adicionales desaparecen cuando se satisfacen las restricciones, lo que obliga a que la trayectoria de la acción estacionaria esté en la superficie de la restricción. En este caso, recurrir al formalismo hamiltoniano introduce una restricción en el espacio de fases en la mecánica hamiltoniana, pero la solución es similar.

Antes de continuar, es útil comprender las nociones de igualdad débil e igualdad fuerte . Dos funciones en el espacio de fases, f y g , son débilmente iguales si son iguales cuando se satisfacen las restricciones, pero no en todo el espacio de fases , denotado f ≈ g . Si f y g son iguales independientemente de que se cumplan las restricciones, se denominan fuertemente iguales, escrito f = g . Es importante señalar que, para obtener la respuesta correcta, no se pueden utilizar ecuaciones débiles antes de evaluar derivadas o corchetes de Poisson .

El nuevo procedimiento funciona de la siguiente manera, comienza con un lagrangiano y define los momentos canónicos de la forma habitual. Es posible que algunas de esas definiciones no sean invertibles y, en cambio, proporcionen una restricción en el espacio de fase (como se indicó anteriormente). Las restricciones derivadas de esta manera o impuestas desde el comienzo del problema se denominan restricciones primarias . Las restricciones, denominadas φ _j , deben desaparecer débilmente, φ _j ( p,q ) ≈ 0 .

A continuación, se encuentra el ingenuo hamiltoniano , H , de la forma habitual mediante una transformación de Legendre, exactamente como en el ejemplo anterior. Tenga en cuenta que el hamiltoniano siempre se puede escribir como una función de q s y p s únicamente, incluso si las velocidades no se pueden invertir en funciones de los momentos.

Generalizando el hamiltoniano

Dirac sostiene que deberíamos generalizar el hamiltoniano (de manera algo análoga al método de los multiplicadores de Lagrange) a

${\displaystyle H^{*}=H+\sum _{j}c_{j}\phi _{j}\approx H,}$

donde los c _j no son constantes sino funciones de las coordenadas y momentos. Dado que este nuevo hamiltoniano es la función más general de coordenadas y momentos débilmente igual al ingenuo hamiltoniano, H ^* es la generalización más amplia posible del hamiltoniano de modo que δH * ≈ δH cuando δφ _j ≈ 0 .

Para iluminar aún más el c _j , considere cómo se obtienen las ecuaciones de movimiento del ingenuo hamiltoniano en el procedimiento estándar. Se expande la variación del hamiltoniano de dos maneras y las iguala (usando una notación algo abreviada con índices y sumas suprimidos):

${\displaystyle \delta H={\frac {\partial H}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial H}{\partial p}}\delta p\approx {\dot {q}}\delta p-{\dot {p}}\delta q~,}$

donde la segunda igualdad se cumple después de simplificar con las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange y la definición de momento canónico. De esta igualdad, se deducen las ecuaciones de movimiento en el formalismo hamiltoniano de

${\displaystyle \left({\frac {\partial H}{\partial q}}+{\dot {p}}\right)\delta q+\left({\frac {\partial H}{\partial p}}-{\dot {q}}\right)\delta p=0~,}$

donde el símbolo de igualdad débil ya no se muestra explícitamente, ya que, por definición, las ecuaciones de movimiento solo se cumplen débilmente. En el contexto actual, uno no puede simplemente establecer los coeficientes de δq y δp por separado en cero, ya que las variaciones están algo restringidas por las restricciones. En particular, las variaciones deben ser tangentes a la superficie de restricción.

Se puede demostrar que la solución a

${\displaystyle \sum _{n}A_{n}\delta q_{n}+\sum _{n}B_{n}\delta p_{n}=0,}$

para las variaciones δq _n y δp _n restringidas por las restricciones Φ _j ≈ 0 (asumiendo que las restricciones satisfacen algunas condiciones de regularidad ) es generalmente ^[5]

${\displaystyle A_{n}=\sum _{m}u_{m}{\frac {\partial \phi _{m}}{\partial q_{n}}}}$

${\displaystyle B_{n}=\sum _{m}u_{m}{\frac {\partial \phi _{m}}{\partial p_{n}}},}$

donde los u _m son funciones arbitrarias.

Usando este resultado, las ecuaciones de movimiento se convierten en

${\displaystyle {\dot {p}}_{j}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}-\sum _{k}u_{k}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial q_{j}}}}$

${\displaystyle {\dot {q}}_{j}={\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}+\sum _{k}u_{k}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial p_{j}}}}$

${\displaystyle \phi _{j}(q,p)=0,}$

donde u _k son funciones de coordenadas y velocidades que pueden determinarse, en principio, a partir de la segunda ecuación de movimiento anterior.

La transformada de Legendre entre el formalismo lagrangiano y el formalismo hamiltoniano se ha salvado a costa de añadir nuevas variables.

Condiciones de consistencia

Las ecuaciones de movimiento se vuelven más compactas cuando se usa el corchete de Poisson, ya que si f es alguna función de las coordenadas y los momentos, entonces

${\displaystyle {\dot {f}}\approx \{f,H^{*}\}_{PB}\approx \{f,H\}_{PB}+\sum _{k}u_{k}\{f,\phi _{k}\}_{PB},}$

si se supone que existe el corchete de Poisson con las u _k (funciones de la velocidad); Esto no causa ningún problema ya que la contribución desaparece débilmente. Ahora bien, hay algunas condiciones de coherencia que deben cumplirse para que este formalismo tenga sentido. Si se van a satisfacer las restricciones, entonces sus ecuaciones de movimiento deben desaparecer débilmente, es decir, requerimos

${\displaystyle {\dot {\phi _{j}}}\approx \{\phi _{j},H\}_{PB}+\sum _{k}u_{k}\{\phi _{j},\phi _{k}\}_{PB}\approx 0.}$

Hay cuatro tipos diferentes de condiciones que pueden resultar de lo anterior:

1. Una ecuación que es inherentemente falsa, como 1=0 .
2. Una ecuación que es idénticamente cierta, posiblemente después de usar una de nuestras restricciones principales.
3. Una ecuación que impone nuevas restricciones a nuestras coordenadas y momentos, pero que es independiente de u _k .
4. Una ecuación que sirve para especificar el u _k .

El primer caso indica que el lagrangiano inicial da ecuaciones de movimiento inconsistentes, como L = q . El segundo caso no aporta nada nuevo.

El tercer caso da nuevas restricciones en el espacio de fases. Una restricción derivada de esta manera se denomina restricción secundaria . Al encontrar la restricción secundaria, se debe agregarla al hamiltoniano extendido y verificar las nuevas condiciones de consistencia, lo que puede resultar en aún más restricciones. Repita este proceso hasta que no haya más restricciones. La distinción entre restricciones primarias y secundarias es en gran medida artificial (es decir, una restricción para el mismo sistema puede ser primaria o secundaria dependiendo del lagrangiano), por lo que este artículo no distingue entre ellas de ahora en adelante. Suponiendo que la condición de coherencia se haya iterado hasta que se hayan encontrado todas las restricciones, entonces φ _j las indexará todas. Tenga en cuenta que este artículo utiliza restricción secundaria para referirse a cualquier restricción que no estaba inicialmente en el problema o no se derivó de la definición de momentos canónicos; algunos autores distinguen entre restricciones secundarias, restricciones terciarias, etcétera.

Finalmente, el último caso ayuda a arreglar el Reino _Unido . Si, al final de este proceso, los _límites no están completamente determinados, entonces eso significa que hay grados de libertad no físicos (gauge) en el sistema. Una vez que se agregan todas las restricciones (primarias y secundarias) al hamiltoniano ingenuo y se conectan las soluciones a las condiciones de consistencia para el Reino _Unido , el resultado se denomina hamiltoniano total .

Determinación del reino unido

El u _k debe resolver un conjunto de ecuaciones lineales no homogéneas de la forma

${\displaystyle \{\phi _{j},H\}_{PB}+\sum _{k}u_{k}\{\phi _{j},\phi _{k}\}_{PB}\approx 0.}$

La ecuación anterior debe poseer al menos una solución, ya que de lo contrario el lagrangiano inicial es inconsistente; sin embargo, en sistemas con grados de libertad de calibre, la solución no será única. La solución más general es de la forma

${\displaystyle u_{k}=U_{k}+V_{k},}$

donde U _k es una solución particular y V _k es la solución más general de la ecuación homogénea

${\displaystyle \sum _{k}V_{k}\{\phi _{j},\phi _{k}\}_{PB}\approx 0.}$

La solución más general será una combinación lineal de soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea anterior. El número de soluciones linealmente independientes es igual al número de u _k (que es el mismo que el número de restricciones) menos el número de condiciones de consistencia del cuarto tipo (en la subsección anterior). Este es el número de grados de libertad no físicos del sistema. Al etiquetar las soluciones lineales independientes V _k ^a donde el índice a va desde 1 hasta el número de grados de libertad no físicos, la solución general a las condiciones de consistencia es de la forma

${\displaystyle u_{k}\approx U_{k}+\sum _{a}v_{a}V_{k}^{a},}$

donde los v _a son funciones completamente arbitrarias del tiempo. Una elección diferente de v _a corresponde a una transformación de calibre y debería dejar sin cambios el estado físico del sistema. ^[6]

El hamiltoniano total

En este punto, es natural introducir el hamiltoniano total

${\displaystyle H_{T}=H+\sum _{k}U_{k}\phi _{k}+\sum _{a,k}v_{a}V_{k}^{a}\phi _{k}}$

y lo que se denota

${\displaystyle H'=H+\sum _{k}U_{k}\phi _{k}.}$

La evolución temporal de una función en el espacio de fases, f, está gobernada por

${\displaystyle {\dot {f}}\approx \{f,H_{T}\}_{PB}.}$

Posteriormente se introduce el hamiltoniano extendido. Para cantidades invariantes de calibre (cantidades físicamente mensurables), todos los hamiltonianos deberían dar la misma evolución temporal, ya que todos son débilmente equivalentes. Sólo para cantidades no invariantes de calibre la distinción adquiere importancia.

El soporte de Dirac

Arriba está todo lo necesario para encontrar las ecuaciones de movimiento en el procedimiento hamiltoniano modificado de Dirac. Sin embargo, tener las ecuaciones de movimiento no es el punto final de las consideraciones teóricas. Si uno quiere cuantificar canónicamente un sistema general, entonces necesita los corchetes de Dirac. Antes de definir los corchetes de Dirac, es necesario introducir restricciones de primera y segunda clase .

Llamamos a una función f(q, p) de coordenadas y momentos de primera clase si su corchete de Poisson con todas las restricciones desaparece débilmente, es decir,

${\displaystyle \{f,\phi _{j}\}_{PB}\approx 0,}$

para todos j . Tenga en cuenta que las únicas cantidades que desaparecen débilmente son las restricciones φ _j y, por lo tanto, cualquier cosa que desaparezca débilmente debe ser fuertemente igual a una combinación lineal de las restricciones. Se puede demostrar que el grupo de Poisson de dos cantidades de primera clase también debe ser de primera clase. Las restricciones de primera clase están íntimamente relacionadas con los grados de libertad no físicos mencionados anteriormente. Es decir, el número de restricciones independientes de primera clase es igual al número de grados de libertad no físicos y, además, las restricciones primarias de primera clase generan transformaciones de calibre. Dirac postuló además que todas las restricciones secundarias de primera clase son generadoras de transformaciones de calibre, lo que resulta ser falso; sin embargo, normalmente se opera bajo el supuesto de que todas las restricciones de primera clase generan transformaciones de calibre cuando se utiliza este tratamiento. ^[7]

Cuando las restricciones secundarias de primera clase se agregan al hamiltoniano con v _a arbitrario a medida que se agregan las restricciones primarias de primera clase para llegar al hamiltoniano total, se obtiene el hamiltoniano extendido . El hamiltoniano extendido proporciona la evolución temporal más general posible para cualquier cantidad dependiente de calibre y, de hecho, puede generalizar las ecuaciones de movimiento a partir de las del formalismo lagrangiano.

A los efectos de introducir el soporte de Dirac, las restricciones de segunda clase son de interés más inmediato . Las restricciones de segunda clase son restricciones que tienen un corchete de Poisson que no desaparece con al menos otra restricción.

Por ejemplo, considere las restricciones de segunda clase φ ₁ y φ ₂ cuyo soporte de Poisson es simplemente una constante, c ,

${\displaystyle \{\phi _{1},\phi _{2}\}_{PB}=c~.}$

Ahora, supongamos que uno desea emplear la cuantificación canónica, entonces las coordenadas del espacio de fase se convierten en operadores cuyos conmutadores se convierten en iħ veces su soporte de Poisson clásico. Suponiendo que no hay problemas de orden que den lugar a nuevas correcciones cuánticas, esto implica que

${\displaystyle [{\hat {\phi }}_{1},{\hat {\phi }}_{2}]=i\hbar ~c,}$

donde los sombreros enfatizan el hecho de que las limitaciones recaen sobre los operadores.

Por un lado, la cuantificación canónica da la relación de conmutación anterior, pero por otro lado φ ₁ y φ ₂ son restricciones que deben desaparecer en los estados físicos, mientras que el lado derecho no puede desaparecer. Este ejemplo ilustra la necesidad de cierta generalización del soporte de Poisson que respete las restricciones del sistema y que conduzca a un procedimiento de cuantificación consistente. Este nuevo corchete debe ser bilineal, antisimétrico, satisfacer la identidad de Jacobi al igual que el corchete de Poisson, reducirse al corchete de Poisson para sistemas no restringidos y, además, el corchete de cualquier restricción de segunda clase con cualquier otra cantidad debe desaparecer .

En este punto, se etiquetarán las restricciones de segunda clase . Definir una matriz con entradas. ${\displaystyle {\tilde {\phi }}_{a}}$

${\displaystyle M_{ab}=\{{\tilde {\phi }}_{a},{\tilde {\phi }}_{b}\}_{PB}.}$

En este caso, el corchete de Dirac de dos funciones en el espacio de fases, f y g , se define como

${\displaystyle \{f,g\}_{DB}=\{f,g\}_{PB}-\sum _{a,b}\{f,{\tilde {\phi }}_{a}\}_{PB}M_{ab}^{-1}\{{\tilde {\phi }}_{b},g\}_{PB}~,}$

donde M ⁻¹ _ab denota la entrada ab de la matriz inversa de M. Dirac demostró que M siempre será invertible .

Es sencillo comprobar que la definición anterior del corchete de Dirac satisface todas las propiedades deseadas, y especialmente la última, de desaparecer para un argumento que es una restricción de segunda clase.

Cuando se aplica la cuantificación canónica en un sistema hamiltoniano restringido, el conmutador de los operadores se reemplaza por iħ veces su paréntesis de Dirac clásico . Dado que el corchete de Dirac respeta las restricciones, no es necesario tener cuidado al evaluar todos los corchetes antes de utilizar ecuaciones débiles, como es el caso con el corchete de Poisson.

Tenga en cuenta que, si bien el grupo de Poisson de variables bosónicas (incluso de Grassmann) consigo mismo debe desaparecer, el grupo de Poisson de fermiones representados como variables de Grassmann consigo mismo no tiene por qué desaparecer. Esto significa que en el caso fermiónico es posible que haya un número impar de restricciones de segunda clase.

Ilustración sobre el ejemplo proporcionado.

Volviendo al ejemplo anterior, el hamiltoniano ingenuo y las dos restricciones principales son

${\displaystyle H=V(x,y)}$

${\displaystyle \phi _{1}=p_{x}+{\tfrac {qB}{2c}}y,\qquad \phi _{2}=p_{y}-{\tfrac {qB}{2c}}x.}$

Por lo tanto, el hamiltoniano extendido se puede escribir

${\displaystyle H^{*}=V(x,y)+u_{1}\left(p_{x}+{\tfrac {qB}{2c}}y\right)+u_{2}\left(p_{y}-{\tfrac {qB}{2c}}x\right).}$

El siguiente paso es aplicar las condiciones de consistencia { Φ _j , H ^* } _PB ≈ 0 , que en este caso se convierten en

${\displaystyle \{\phi _{1},H\}_{PB}+\sum _{j}u_{j}\{\phi _{1},\phi _{j}\}_{PB}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}+u_{2}{\frac {qB}{c}}\approx 0}$

${\displaystyle \{\phi _{2},H\}_{PB}+\sum _{j}u_{j}\{\phi _{2},\phi _{j}\}_{PB}=-{\frac {\partial V}{\partial y}}-u_{1}{\frac {qB}{c}}\approx 0.}$

Éstas no son restricciones secundarias, sino condiciones que fijan u ₁ y u ₂ . Por lo tanto, no hay restricciones secundarias y los coeficientes arbitrarios están completamente determinados, lo que indica que no existen grados de libertad no físicos.

Si uno se conecta con los valores de u ₁ y u ₂ , entonces se puede ver que las ecuaciones de movimiento son

${\displaystyle {\dot {x}}=\{x,H\}_{PB}+u_{1}\{x,\phi _{1}\}_{PB}+u_{2}\{x,\phi _{2}\}=-{\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial y}}}$

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {c}{qB}}{\frac {\partial V}{\partial x}}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{x}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial V}{\partial x}}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{y}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial V}{\partial y}},}$

que son autoconsistentes y coinciden con las ecuaciones de movimiento lagrangianas.

Un cálculo simple confirma que φ ₁ y φ ₂ son restricciones de segunda clase ya que

${\displaystyle \{\phi _{1},\phi _{2}\}_{PB}=-\{\phi _{2},\phi _{1}\}_{PB}={\frac {qB}{c}},}$

por lo tanto la matriz se ve así

${\displaystyle M={\frac {qB}{c}}\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\right),}$

que se invierte fácilmente a

${\displaystyle M^{-1}={\frac {c}{qB}}\left({\begin{matrix}0&-1\\1&0\end{matrix}}\right)\quad \Rightarrow \quad M_{ab}^{-1}=-{\frac {c}{qB_{0}}}\varepsilon _{ab},}$

donde ε _ab es el símbolo de Levi-Civita . Por lo tanto, los corchetes de Dirac se definen como

${\displaystyle \{f,g\}_{DB}=\{f,g\}_{PB}+{\frac {c\varepsilon _{ab}}{qB}}\{f,\phi _{a}\}_{PB}\{\phi _{b},g\}_{PB}.}$

Si siempre se usa el corchete de Dirac en lugar del corchete de Poisson, entonces no hay problema sobre el orden de aplicación de restricciones y evaluación de expresiones, ya que el corchete de Dirac de cualquier cosa débilmente cero es fuertemente igual a cero. Esto significa que, en su lugar, se puede utilizar el ingenuo hamiltoniano con corchetes de Dirac para obtener las ecuaciones de movimiento correctas, que se pueden confirmar fácilmente con las anteriores.

Para cuantificar el sistema, se necesitan los corchetes de Dirac entre todas las variables del espacio de fase. Los soportes Dirac que no desaparecen para este sistema son

${\displaystyle \{x,y\}_{DB}=-{\frac {c}{qB}}}$

${\displaystyle \{x,p_{x}\}_{DB}=\{y,p_{y}\}_{DB}={\tfrac {1}{2}}}$

mientras que los términos cruzados desaparecen, y

${\displaystyle \{p_{x},p_{y}\}_{DB}=-{\frac {qB}{4c}}.}$

Por lo tanto, la correcta implementación de la cuantificación canónica dicta las relaciones de conmutación,

${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {y}}]=-i{\frac {\hbar c}{qB}}}$

${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}_{x}]=[{\hat {y}},{\hat {p}}_{y}]=i{\frac {\hbar }{2}}}$

con los términos cruzados desapareciendo, y

${\displaystyle [{\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y}]=-i{\frac {\hbar qB}{4c}}~.}$

Este ejemplo tiene un conmutador que no desaparece entre ∧Xy ∧y, lo que significa que esta estructura especifica una geometría no conmutativa . (Dado que las dos coordenadas no conmutan, habrá un principio de incertidumbre para las posiciones xey ).

Más ilustraciones para una hiperesfera

De manera similar, para el movimiento libre en una hiperesfera S ⁿ , las coordenadas n + 1 están restringidas, x _i x ⁱ = 1 . Desde un lagrangiano cinético simple, es evidente que sus momentos son perpendiculares a ellos, x _i p ⁱ = 0 . Por lo tanto, los corchetes de Dirac correspondientes también son sencillos de calcular, ^[8]

${\displaystyle \{x_{i},x_{j}\}_{DB}=0,}$

${\displaystyle \{x_{i},p_{j}\}_{DB}=\delta _{ij}-x_{i}x_{j},}$

${\displaystyle \{p_{i},p_{j}\}_{DB}=x_{j}p_{i}-x_{i}p_{j}~.}$

Las ( 2 n + 1 ) variables de espacio de fase restringidas ( x _i , p _i ) obedecen a corchetes de Dirac mucho más simples que las 2 n variables no restringidas, si se hubiera eliminado una de las x s y una de las p s a través de las dos restricciones ab initio, que obedecería a simples corchetes de Poisson. Los corchetes de Dirac añaden simplicidad y elegancia, a costa de variables de espacio de fase excesivas (restringidas).

Por ejemplo, para movimiento libre en un círculo, n = 1 , para x ₁ ≡ z y eliminando x ₂ de la restricción del círculo se obtiene el movimiento libre

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}{\frac {{\dot {z}}^{2}}{1-z^{2}}}~,}$

con ecuaciones de movimiento

${\displaystyle {\ddot {z}}=-z{\frac {{\dot {z}}^{2}}{1-z^{2}}}=-z2E~,}$

una oscilación; mientras que el sistema restringido equivalente con H = p ² /2 = E produce

${\displaystyle {\dot {x}}^{i}=\{x^{i},H\}_{DB}=p^{i}~,}$

${\displaystyle {\dot {p}}^{i}=\{p^{i},H\}_{DB}=x^{i}~p^{2}~,}$

de donde, instantáneamente, virtualmente por inspección, oscilación para ambas variables,

${\displaystyle {\ddot {x}}^{i}=-x^{i}2E~.}$

Ver también

• Cuantización canónica
• Mecánica hamiltoniana
• soporte de veneno
• soporte moyal
• restricción de primera clase
• Restricciones de segunda clase
• lagrangiano
• estructura simpléctica
• Sobrecompletitud

Referencias

1. Dirac, PAM (1950). "Dinámica hamiltoniana generalizada". Revista Canadiense de Matemáticas . 2 : 129-014. doi : 10.4153/CJM-1950-012-1 . S2CID  119748805.
2. Dirac, Paul AM (1964). Conferencias sobre mecánica cuántica. Serie de monografías de la Escuela de Graduados en Ciencias de Belfer. vol. 2. Escuela de Graduados en Ciencias Belfer, Nueva York. ISBN 9780486417134. SEÑOR  2220894.; Dover, ISBN 0486417131 . 
3. Consulte las páginas 48-58 del cap. 2 en Henneaux, Marc y Teitelboim, Claudio, Cuantización de sistemas de calibre . Prensa de la Universidad de Princeton, 1992. ISBN 0-691-08775-X 
4. Dunne, G.; Jackiw, R .; Pi, SY ; Trugenberger, C. (1991). "Solitones autoduales de Chern-Simons y ecuaciones no lineales bidimensionales". Revisión física D. 43 (4): 1332-1345. Código bibliográfico : 1991PhRvD..43.1332D. doi : 10.1103/PhysRevD.43.1332. PMID  10013503.
5. Consulte la página 8 en Henneaux y Teitelboim en las referencias.
6. Weinberg, Steven, La teoría cuántica de campos , volumen 1. Cambridge University Press, 1995. ISBN 0-521-55001-7 
7. Véase Henneaux y Teitelboim, páginas 18-19.
8. Corrigan, E.; Zachos, CK (1979). "Cargos no locales para el modelo σ supersimétrico". Letras de Física B. 88 (3–4): 273. Código bibliográfico : 1979PhLB...88..273C. doi :10.1016/0370-2693(79)90465-9.