Teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro

Teorema que relaciona operadores unitarios con grupos de Lie de un parámetro

En matemáticas , el teorema de Stone sobre grupos unitarios de un parámetro es un teorema básico de análisis funcional que establece una correspondencia uno a uno entre operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert y familias de un parámetro. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$

de operadores unitarios que son fuertemente continuos , es decir,

${\displaystyle \forall t_{0}\in \mathbb {R} ,\psi \in {\mathcal {H}}:\qquad \lim _{t\to t_{0}}U_{t}(\psi )=U_{t_{0}}(\psi ),}$

y son homomorfismos, es decir,

${\displaystyle \forall s,t\in \mathbb {R} :\qquad U_{t+s}=U_{t}U_{s}.}$

Estas familias de un solo parámetro normalmente se denominan grupos unitarios de un solo parámetro fuertemente continuos .

El teorema fue demostrado por Marshall Stone  (1930, 1932), y John von Neumann  (1932) demostró que el requisito de que sea fuertemente continuo puede flexibilizarse para decir que es meramente débilmente mensurable , al menos cuando el espacio de Hilbert es separable . ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$

Este es un resultado impresionante, ya que permite definir la derivada del mapeo que solo se supone que es continuo . También está relacionado con la teoría de los grupos de Lie y las álgebras de Lie . ${\displaystyle t\mapsto U_{t},}$

Declaración formal

El enunciado del teorema es el siguiente. ^[1]

Teorema. Sea un grupo unitario de un parámetro fuertemente continuo . Entonces existe un operador único (posiblemente ilimitado) , que es autoadjunto y tal que ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}_{A}\to {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}}$

${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} :\qquad U_{t}=e^{itA}.}$

El dominio de está definido por ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}=\left\{\psi \in {\mathcal {H}}\left|\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-i}{\varepsilon }}\left(U_{\varepsilon }(\psi )-\psi \right){\text{ exists}}\right.\right\}.}$

Por el contrario, sea un operador autoadjunto (posiblemente ilimitado) en Entonces, la familia de operadores unitarios de un parámetro definida por ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}_{A}\to {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{A}\subseteq {\mathcal {H}}.}$ ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$

${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} :\qquad U_{t}:=e^{itA}}$

es un grupo de un solo parámetro fuertemente continuo.

En ambas partes del teorema, la expresión se define mediante el cálculo funcional , que utiliza el teorema espectral para operadores autoadjuntos ilimitados . ${\displaystyle e^{itA}}$

El operador se llama generador infinitesimal de Además, será un operador acotado si y sólo si la aplicación valorada por el operador es continua en norma . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle t\mapsto U_{t}}$

El generador infinitesimal de un grupo unitario fuertemente continuo se puede calcular como ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$

${\displaystyle A\psi =-i\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {U_{\varepsilon }\psi -\psi }{\varepsilon }},}$

con el dominio de estar formado por aquellos vectores para los cuales existe el límite en la topología normal. Es decir, es igual a veces la derivada de con respecto a at . Parte del enunciado del teorema es que esta derivada existe, es decir, que es un operador autoadjunto densamente definido. El resultado no es obvio ni siquiera en el caso de dimensión finita, ya que sólo se supone (de antemano) que es continuo y no diferenciable. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle -i}$ ${\displaystyle U_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U_{t}}$

Ejemplo

La familia de operadores de traducción

${\displaystyle \left[T_{t}(\psi )\right](x)=\psi (x+t)}$

es un grupo unitario de operadores unitarios de un parámetro; el generador infinitesimal de esta familia es una extensión del operador diferencial

${\displaystyle -i{\frac {d}{dx}}}$

definido en el espacio de funciones de valores complejos continuamente diferenciables con soporte compacto en Así ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

${\displaystyle T_{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}.}$

En otras palabras, el movimiento en la línea lo genera el operador de momento .

Aplicaciones

El teorema de Stone tiene numerosas aplicaciones en la mecánica cuántica . Por ejemplo, dado un sistema mecánico cuántico aislado, con espacio de estados de Hilbert H , la evolución temporal es un grupo unitario de un parámetro fuertemente continuo en . El generador infinitesimal de este grupo es el sistema hamiltoniano . ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Usando la transformada de Fourier

El teorema de Stone se puede reformular utilizando el lenguaje de la transformada de Fourier . La línea real es un grupo abeliano localmente compacto. Las representaciones * no degeneradas del álgebra del grupo C* están en correspondencia uno a uno con representaciones unitarias fuertemente continuas de, es decir, grupos unitarios de un parámetro fuertemente continuos. Por otro lado, la transformada de Fourier es un -isomorfismo del -álgebra de funciones continuas de valores complejos en la recta real que desaparecen en el infinito. Por lo tanto, existe una correspondencia uno a uno entre grupos unitarios de un parámetro fuertemente continuos y representaciones * de Como cada representación * de corresponde únicamente a un operador autoadjunto, se cumple el teorema de Stone. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$

Por tanto, el procedimiento para obtener el generador infinitesimal de un grupo unitario monoparamétrico fuertemente continuo es el siguiente:

• Sea una representación unitaria fuertemente continua de en un espacio de Hilbert . ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
• Integre esta representación unitaria para producir una representación * no degenerada de on definiendo primero ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
  $${\displaystyle \forall f\in C_{c}(\mathbb {R} ):\quad \rho (f):=\int _{\mathbb {R} }f(t)~U_{t}dt,}$$
  y luego extendiéndose a todos por continuidad. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$
• Utilice la transformada de Fourier para obtener una representación * no degenerada de on . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
• Por el teorema de Riesz-Markov , da lugar a una medida valorada en proyección que es la resolución de la identidad de un operador autoadjunto único , que puede ser ilimitado. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A}$
• Entonces es el generador infinitesimal de ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (U_{t})_{t\in \mathbb {R} }.}$

La definición precisa de es la siguiente. Considere el álgebra *, las funciones continuas de valores complejos con soporte compacto, donde la multiplicación está dada por convolución . La compleción de esta *-álgebra con respecto a la -norma es un *-álgebra de Banach, denotada por Then se define como el -álgebra envolvente de , es decir, su compleción con respecto a la -norma más grande posible. No es un hecho trivial que, a través de la transformada de Fourier, es isomorfa a. Un resultado en esta dirección es el lema de Riemann-Lebesgue , que dice que la transformada de Fourier se asigna a ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C_{c}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle (L^{1}(\mathbb {R} ),\star ).}$ ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle (L^{1}(\mathbb {R} ),\star )}$ ${\displaystyle C^{*}}$ ${\displaystyle C^{*}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ).}$

Generalizaciones

El teorema de Stone-von Neumann generaliza el teorema de Stone a un par de operadores autoadjuntos, que satisfacen la relación de conmutación canónica , y muestra que todos ellos son unitariamente equivalentes al operador de posición y al operador de momento en ${\displaystyle (P,Q)}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ).}$

El teorema de Hille-Yosida generaliza el teorema de Stone a semigrupos de contracciones de un parámetro fuertemente continuos en espacios de Banach .

Referencias

1. Teorema 10.15 de Hall 2013

Bibliografía

• Hall, BC (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, Bibcode : 2013qtm..libro.....H, ISBN 978-1461471158
• von Neumann, John (1932), "Über einen Satz von Herrn MH Stone", Annals of Mathematics , segunda serie (en alemán), 33 (3), Annals of Mathematics: 567–573, doi :10.2307/1968535, ISSN  0003 -486X, JSTOR  1968535
• Stone, MH (1930), "Transformaciones lineales en el espacio de Hilbert. III. Métodos operativos y teoría de grupos", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 16 (2), Academia Nacional de Ciencias: 172–175 , Bibcode :1930PNAS...16..172S, doi : 10.1073/pnas.16.2.172 , ISSN  0027-8424, JSTOR  85485, PMC  1075964 , PMID  16587545
• Stone, MH (1932), "Sobre grupos unitarios de un parámetro en el espacio de Hilbert", Annals of Mathematics , 33 (3): 643–648, doi :10.2307/1968538, JSTOR  1968538
• K. Yosida, Análisis funcional , Springer-Verlag, (1968)