Extensiones de operadores simétricos

Operación sobre operadores autoadjuntos

En el análisis funcional , nos interesan las extensiones de operadores simétricos que actúan en un espacio de Hilbert . De particular importancia es la existencia, y a veces construcciones explícitas, de extensiones autoadjuntas . Este problema surge, por ejemplo, cuando se necesita especificar dominios de autoadjunción para expresiones formales de observables en mecánica cuántica . Se pueden ver otras aplicaciones de soluciones a este problema en varios problemas de momento .

En este artículo se analizan algunos problemas relacionados de este tipo. El tema unificador es que cada problema tiene una caracterización teórica de operadores que da una parametrización correspondiente de las soluciones. Más específicamente, encontrar extensiones autoadjuntas, con diversos requisitos, de operadores simétricos es equivalente a encontrar extensiones unitarias de isometrías parciales adecuadas .

Operadores simétricos

Sea un espacio de Hilbert. Un operador lineal que actúa sobre un dominio denso es simétrico si ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (A)}$

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\quad \forall x,y\in \operatorname {dom} (A).}$

Si , el teorema de Hellinger-Toeplitz dice que es un operador acotado , en cuyo caso es autoadjunto y el problema de extensión es trivial. En general, un operador simétrico es autoadjunto si el dominio de su adjunto, , se encuentra en . ${\displaystyle \operatorname {dom} (A)=H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (A^{*})}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (A)}$

Cuando se trabaja con operadores no acotados , a menudo es deseable poder asumir que el operador en cuestión es cerrado . En el presente contexto, es un hecho conveniente que cada operador simétrico es cerrable . Es decir, tiene la extensión cerrada más pequeña, llamada el cierre de . Esto se puede demostrar invocando el supuesto simétrico y el teorema de representación de Riesz . Dado que y su cierre tienen las mismas extensiones cerradas, siempre se puede suponer que el operador simétrico de interés es cerrado. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

En la siguiente sección, se asumirá que un operador simétrico está densamente definido y cerrado.

Extensiones autoadjuntas de operadores simétricos

Si un operador en el espacio de Hilbert es simétrico, ¿cuándo tiene extensiones autoadjuntas? Se dice que un operador que tiene una única extensión autoadjunta es esencialmente autoadjunto ; equivalentemente, un operador es esencialmente autoadjunto si su clausura (el operador cuyo gráfico es la clausura del gráfico de ) es autoadjunto. En general, un operador simétrico podría tener muchas extensiones autoadjuntas o ninguna. Por lo tanto, nos gustaría una clasificación de sus extensiones autoadjuntas. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$

El primer criterio básico de autoadjunción esencial es el siguiente: ^[1]

Teorema  —  Si es un operador simétrico en , entonces es esencialmente autoadjunto si y solo si el rango de los operadores y son densos en . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A-i}$ ${\displaystyle A+i}$ ${\displaystyle H}$

De manera equivalente, es esencialmente autoadjunto si y solo si los operadores tienen núcleos triviales . ^[2] Es decir, no es autoadjunto si y solo si tiene un vector propio con valores propios complejos . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}\pm i}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle \pm i}$

Otra forma de ver la cuestión la proporciona la transformada de Cayley de un operador autoadjunto y los índices de deficiencia. ^[3]

Teorema  :  Supongamos que es un operador simétrico. Entonces existe un único operador lineal densamente definido tal que ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle W(A):\operatorname {ran} (A+i)\to \operatorname {ran} (A-i)}$$ $${\displaystyle W(A)(Ax+ix)=Ax-ix,\quad x\in \operatorname {dom} (A).}$$

${\displaystyle W(A)}$es isométrica en su dominio. Además, es densa en . ${\displaystyle \operatorname {ran} (1-W(A))}$ ${\displaystyle A}$

Por el contrario, dado cualquier operador densamente definido que sea isométrico en su dominio (no necesariamente cerrado) y que sea denso, entonces existe un operador simétrico densamente definido (único) ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 1-U}$

${\displaystyle S(U):\operatorname {ran} (1-U)\to \operatorname {ran} (1+U)}$

de tal manera que

${\displaystyle S(U)(x-Ux)=i(x+Ux),\quad x\in \operatorname {dom} (U).}$

Las aplicaciones y son inversas entre sí, es decir, . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S(W(A))=A}$

La aplicación se denomina transformada de Cayley . Asocia una isometría parcialmente definida a cualquier operador simétrico densamente definido. Nótese que las aplicaciones y son monótonas : Esto significa que si es un operador simétrico que extiende al operador simétrico densamente definido , entonces extiende a , y de manera similar para . ${\displaystyle A\mapsto W(A)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W(B)}$ ${\displaystyle W(A)}$ ${\displaystyle S}$

Teorema  —  Una condición necesaria y suficiente para que una función sea autoadjunta es que su transformada de Cayley sea unitaria en . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W(A)}$ ${\displaystyle H}$

Esto nos da inmediatamente una condición necesaria y suficiente para tener una extensión autoadjunta, como sigue: ${\displaystyle A}$

Teorema  —  Una condición necesaria y suficiente para tener una extensión autoadjunta es que tenga una extensión unitaria a . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W(A)}$ ${\displaystyle H}$

Un operador isométrico parcialmente definido en un espacio de Hilbert tiene una extensión isométrica única al cierre normativo de . Un operador isométrico parcialmente definido con dominio cerrado se denomina isometría parcial . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (V)}$

Definir los subespacios de deficiencia de A mediante

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{+}&=\operatorname {ran} (A+i)^{\perp }\\K_{-}&=\operatorname {ran} (A-i)^{\perp }\end{aligned}}}$

En este lenguaje, la descripción del problema de extensión autoadjunta dada por el teorema puede reformularse de la siguiente manera: un operador simétrico tiene extensiones autoadjuntas si y sólo si los subespacios de deficiencia y tienen la misma dimensión. ^[4] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K_{+}}$ ${\displaystyle K_{-}}$

Los índices de deficiencia de una isometría parcial se definen como la dimensión de los complementos ortogonales del dominio y el rango: ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{+}(V)&=\dim \operatorname {dom} (V)^{\perp }\\n_{-}(V)&=\dim \operatorname {ran} (V)^{\perp }\end{aligned}}}$

Teorema  :  Una isometría parcial tiene una extensión unitaria si y solo si los índices de deficiencia son idénticos. Además, tiene una extensión unitaria única si y solo si los índices de deficiencia son ambos cero. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Vemos que existe una biyección entre extensiones simétricas de un operador y extensiones isométricas de su transformada de Cayley. La extensión simétrica es autoadjunta si y solo si la extensión isométrica correspondiente es unitaria.

Un operador simétrico tiene una extensión autoadjunta única si y solo si ambos índices de deficiencia son cero. Se dice que un operador de este tipo es esencialmente autoadjunto . Los operadores simétricos que no son esencialmente autoadjuntos pueden tener una extensión autoadjunta canónica . Tal es el caso de los operadores simétricos no negativos (o más generalmente, los operadores que están acotados inferiormente). Estos operadores siempre tienen una extensión de Friedrichs definida canónicamente y para estos operadores podemos definir un cálculo funcional canónico. Muchos operadores que aparecen en el análisis están acotados inferiormente (como el negativo del operador laplaciano ), por lo que la cuestión de la adjunción esencial para estos operadores es menos crítica.

Supongamos que es simétrico y está definido densamente. Entonces, cualquier extensión simétrica de es una restricción de . En efecto, y simétrico produce al aplicar la definición de . Esta noción conduce a las fórmulas de von Neumann : ^[5] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B\subseteq A^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (A^{*})}$

Teorema  —  Supongamos que es un operador simétrico densamente definido, con dominio . Sea cualquier par de sus subespacios de deficiencia. Entonces y donde la descomposición es ortogonal con respecto al producto interno del grafo de : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (A)}$ $${\displaystyle N_{\pm }=\operatorname {ran} (A\pm i)^{\perp },}$$ $${\displaystyle N_{\pm }=\operatorname {ker} (A^{*}\mp i),}$$ $${\displaystyle \operatorname {dom} \left(A^{*}\right)=\operatorname {dom} \left({\overline {A}}\right)\oplus N_{+}\oplus N_{-},}$$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (A^{*})}$ $${\displaystyle \langle \xi \mid \eta \rangle _{\text{graph}}=\langle \xi \mid \eta \rangle +\left\langle A^{*}\xi \mid A^{*}\eta \right\rangle .}$$

Ejemplo

Consideremos el espacio de Hilbert . En el subespacio de una función absolutamente continua que se anula en el límite, definamos el operador mediante ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle Af=i{\frac {d}{dx}}f.}$

La integración por partes muestra que es simétrica. Su adjunto es el mismo operador con siendo las funciones absolutamente continuas sin condición de contorno. Veremos que extender A equivale a modificar las condiciones de contorno, con lo que se amplía y reduce , hasta que ambas coinciden. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (A^{*})}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (A)}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (A^{*})}$

El cálculo directo muestra que y son subespacios unidimensionales dados por ${\displaystyle K_{+}}$ ${\displaystyle K_{-}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{+}&=\operatorname {span} \{\phi _{+}=c\cdot e^{x}\}\\K_{-}&=\operatorname {span} \{\phi _{-}=c\cdot e^{-x}\}\end{aligned}}}$

donde es una constante normalizadora. Las extensiones autoadjuntas de están parametrizadas por el grupo de círculos . Para cada transformación unitaria definida por ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {T} =\{\alpha \in \mathbb {C} :|\alpha |=1\}}$ ${\displaystyle U_{\alpha }:K_{-}\to K_{+}}$

${\displaystyle U_{\alpha }(\phi _{-})=\alpha \phi _{+}}$

corresponde una extensión con dominio ${\displaystyle A_{\alpha }}$

${\displaystyle \operatorname {dom} (A_{\alpha })=\{f+\beta (\alpha \phi _{-}-\phi _{+})|f\in \operatorname {dom} (A),\;\beta \in \mathbb {C} \}.}$

Si , entonces es absolutamente continua y ${\displaystyle f\in \operatorname {dom} (A_{\alpha })}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \left|{\frac {f(0)}{f(1)}}\right|=\left|{\frac {e\alpha -1}{\alpha -e}}\right|=1.}$

Por el contrario, si es absolutamente continua y para algún , entonces se encuentra en el dominio anterior. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0)=\gamma f(1)}$ ${\displaystyle \gamma \in \mathbb {T} }$ ${\displaystyle f}$

Los operadores autoadjuntos son instancias del operador de momento en la mecánica cuántica. ${\displaystyle A_{\alpha }}$

Ampliación autoadjunta en un espacio más grande

Toda isometría parcial puede extenderse, en un espacio posiblemente mayor, a un operador unitario. En consecuencia, todo operador simétrico tiene una extensión autoadjunta, en un espacio posiblemente mayor.

Operadores simétricos positivos

Un operador simétrico se llama positivo si ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq 0,\quad \forall x\in \operatorname {dom} (A).}$

Se sabe que para cada uno de estos , se tiene . Por lo tanto, todo operador simétrico positivo tiene extensiones autoadjuntas. La pregunta más interesante en esta dirección es si tiene extensiones autoadjuntas positivas. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {dim} K_{+}=\operatorname {dim} K_{-}}$ ${\displaystyle A}$

Para dos operadores positivos y , ponemos si ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\leq B}$

${\displaystyle (A+1)^{-1}\geq (B+1)^{-1}}$

en el sentido de operadores acotados.

Estructura de contracciones de matrices 2 × 2

Mientras que el problema de extensión para los operadores simétricos generales es esencialmente el de extender isometrías parciales a unitarios, para los operadores simétricos positivos la cuestión se convierte en la de extender contracciones : al "completar" ciertas entradas desconocidas de una contracción autoadjunta de 2 × 2, obtenemos las extensiones autoadjuntas positivas de un operador simétrico positivo.

Antes de indicar el resultado relevante, primero fijaremos algo de terminología. Para una contracción que actúa sobre , definimos sus operadores de defecto por ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&D_{\Gamma }\;=(1-\Gamma ^{*}\Gamma )^{\frac {1}{2}}\\&D_{\Gamma ^{*}}=(1-\Gamma \Gamma ^{*})^{\frac {1}{2}}\end{aligned}}}$

Los espacios defectuosos de son ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\mathcal {D}}_{\Gamma }\;=\operatorname {ran} (D_{\Gamma })\\&{\mathcal {D}}_{\Gamma ^{*}}=\operatorname {ran} (D_{\Gamma ^{*}})\end{aligned}}}$

Los operadores de defecto indican la no unitaridad de , mientras que los espacios de defecto aseguran la unicidad en algunas parametrizaciones. Utilizando esta maquinaria, se puede describir explícitamente la estructura de las contracciones matriciales generales. Solo necesitaremos el caso 2 × 2. Cada contracción 2 × 2 se puede expresar de forma única como ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma ={\begin{bmatrix}\Gamma _{1}&D_{\Gamma _{1}^{*}}\Gamma _{2}\\\Gamma _{3}D_{\Gamma _{1}}&-\Gamma _{3}\Gamma _{1}^{*}\Gamma _{2}+D_{\Gamma _{3}^{*}}\Gamma _{4}D_{\Gamma _{2}}\end{bmatrix}}}$

donde cada uno es una contracción. ${\displaystyle \Gamma _{i}}$

Extensiones de operadores simétricos positivos

La transformada de Cayley para operadores simétricos generales se puede adaptar a este caso especial. Para cada número no negativo , ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \left|{\frac {a-1}{a+1}}\right|\leq 1.}$

Esto sugiere que asignamos a cada operador simétrico positivo una contracción. ${\displaystyle A}$

${\displaystyle C_{A}:\operatorname {ran} (A+1)\rightarrow \operatorname {ran} (A-1)\subset H}$

definido por

${\displaystyle C_{A}(A+1)x=(A-1)x.\quad {\mbox{i.e.}}\quad C_{A}=(A-1)(A+1)^{-1}.\,}$

que tienen representación matricial ^{[ aclaración necesaria ]}

${\displaystyle C_{A}={\begin{bmatrix}\Gamma _{1}\\\Gamma _{3}D_{\Gamma _{1}}\end{bmatrix}}:\operatorname {ran} (A+1)\rightarrow {\begin{matrix}\operatorname {ran} (A+1)\\\oplus \\\operatorname {ran} (A+1)^{\perp }\end{matrix}}.}$

Se verifica fácilmente que la entrada, proyectada sobre , es autoadjunta. El operador se puede escribir como ${\displaystyle \Gamma _{1}}$ ${\displaystyle C_{A}}$ ${\displaystyle \operatorname {ran} (A+1)=\operatorname {dom} (C_{A})}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A=(1+C_{A})(1-C_{A})^{-1}\,}$

con . Si es una contracción que se extiende y su proyección sobre su dominio es autoadjunta, entonces es claro que su transformada inversa de Cayley ${\displaystyle \operatorname {dom} (A)=\operatorname {ran} (C_{A}-1)}$ ${\displaystyle {\tilde {C}}}$ ${\displaystyle C_{A}}$

${\displaystyle {\tilde {A}}=(1+{\tilde {C}})(1-{\tilde {C}})^{-1}}$

definido en es una extensión simétrica positiva de . La propiedad simétrica se sigue de su proyección sobre su propio dominio siendo autoadjunto y la positividad se sigue de la contractividad. Lo inverso también es cierto: dada una extensión simétrica positiva de , su transformada de Cayley es una contracción que satisface la propiedad autoadjunta "parcial" establecida. ${\displaystyle \operatorname {ran} (1-{\tilde {C}})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Teorema  —  Las extensiones simétricas positivas de están en correspondencia biunívoca con las extensiones de su transformada de Cayley donde, si es tal extensión, requerimos que proyectada sobre sea autoadjunta. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \operatorname {dom} (C)}$

El criterio de unitaridad de la transformada de Cayley se reemplaza por autoadjunta para operadores positivos.

Teorema  :  Un operador positivo simétrico es autoadjunto si y solo si su transformada de Cayley es una contracción autoadjunta definida en todos los , es decir, cuando . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {ran} (A+1)=H}$

Por lo tanto, encontrar una extensión autoadjunta para un operador simétrico positivo se convierte en un " problema de compleción de matrices ". En concreto, necesitamos incorporar la contracción de columna en una contracción autoadjunta 2 × 2. Esto siempre se puede hacer y la estructura de dichas contracciones proporciona una parametrización de todas las extensiones posibles. ${\displaystyle C_{A}}$

Por la subsección anterior, todas las extensiones autoadjuntas de toman la forma ${\displaystyle C_{A}}$

${\displaystyle {\tilde {C}}(\Gamma _{4})={\begin{bmatrix}\Gamma _{1}&D_{\Gamma _{1}}\Gamma _{3}^{*}\\\Gamma _{3}D_{\Gamma _{1}}&-\Gamma _{3}\Gamma _{1}\Gamma _{3}^{*}+D_{\Gamma _{3}^{*}}\Gamma _{4}D_{\Gamma _{3}^{*}}\end{bmatrix}}.}$

Por lo tanto, las extensiones positivas autoadjuntas de están en correspondencia biyectiva con las contracciones autoadjuntas en el espacio de defectos de . Las contracciones y dan lugar a extensiones positivas y respectivamente. Estas son las extensiones positivas más pequeñas y más grandes de en el sentido de que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma _{4}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\Gamma _{3}^{*}}}$ ${\displaystyle \Gamma _{3}}$ ${\displaystyle {\tilde {C}}(-1)}$ ${\displaystyle {\tilde {C}}(1)}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A_{0}\leq B\leq A_{\infty }}$

para cualquier extensión autoadjunta positiva de . El operador es la extensión de Friedrichs de y es la extensión de von Neumann-Krein de . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{\infty }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle A}$

Se pueden obtener resultados similares para los operadores acretivos .

Notas

1. Hall 2013 Teorema 9.21
2. Hall 2013 Corolario 9.22
3. Rudin 1991, pag. 356-357 §13.17.
4. Jørgensen, Kornelson y Shuman 2011, pág. 85.
5. Akhiezer 1981, pág. 354.

Referencias

• Akhiezer, Naum Ilʹich (1981). Teoría de operadores lineales en el espacio de Hilbert . Boston: Pitman. ISBN 0-273-08496-8.
• A. Alonso y B. Simon, La teoría de Birman-Krein-Vishik de extensiones autoadjuntas de operadores semiacotados. J. Operator Theory 4 (1980), 251-270.
• Gr. Arsene y A. Gheondea, Completando contracciones matriciales, J. Operator Theory 7 (1982), 179-189.
• N. Dunford y JT Schwartz, Operadores lineales , Parte II, Interscience, 1958.
• Hall, BC (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, Bibcode :2013qtm..book.....H, ISBN 978-1461471158
• Jørgensen, Palle ET; Kornelson, Keri A.; Shuman, Karen L. (2011). Sistemas de funciones iteradas, momentos y transformaciones de matrices infinitas . Providence, RI: American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-5248-4.
• Reed, M.; Simon, B. (1980). Métodos de física matemática moderna: vol. 1: Análisis funcional . Academic Press. ISBN 978-0-12-585050-6.
• Reed, M. ; Simon, B. (1972), Métodos de física matemática: vol. 2: Análisis de Fourier, autoadjunción , Academic Press
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Boston, Mass.: McGraw-Hill Science, Engineering & Mathematics. ISBN 978-0-07-054236-5.