Teorema de convergencia monótona

Teoremas sobre la convergencia de sucesiones monótonas acotadas

En el campo matemático del análisis real , el teorema de convergencia monótona es cualquiera de varios teoremas relacionados que prueban el buen comportamiento de convergencia de secuencias monótonas , es decir, secuencias que no son crecientes o no decrecientes . En su forma más simple, dice que una secuencia no decreciente acotada por encima de números reales converge a su límite superior más pequeño, su supremo . Del mismo modo, una secuencia no creciente acotada por debajo converge a su límite inferior más grande, su ínfimo . En particular, las sumas infinitas de números no negativos convergen al supremo de las sumas parciales si y solo si las sumas parciales están acotadas. ${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq ...\leq K}$

Para sumas de secuencias crecientes no negativas , se dice que tomar la suma y el supremo se puede intercambiar. ${\displaystyle 0\leq a_{i,1}\leq a_{i,2}\leq \cdots }$

En matemáticas más avanzadas, el teorema de convergencia monótona generalmente se refiere a un resultado fundamental en la teoría de la medida debido a Lebesgue y Beppo Levi que dice que para secuencias de funciones medibles no negativas de crecimiento puntual , tomar la integral y el supremo se puede intercambiar con el resultado finito si cualquiera de los dos es finito. ${\displaystyle 0\leq f_{1}(x)\leq f_{2}(x)\leq \cdots }$

Convergencia de una sucesión monótona de números reales

Toda sucesión monótona no decreciente y acotada de números reales es convergente en los números reales porque el supremo existe y es un número real. La proposición no se aplica a los números racionales porque el supremo de una sucesión de números racionales puede ser irracional.

Proposición

(A) Para una secuencia de números reales no decreciente y acotada

${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq ...\leq K<\infty ,}$

el límite existe y es igual a su supremo : ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\sup _{n}a_{n}\leq K.}$

(B) Para una secuencia de números reales no creciente y acotada inferiormente

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots \geq L>-\infty ,}$

el límite existe y es igual a su ínfimo : ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\inf _{n}a_{n}\geq L}$.

Prueba

Sea el conjunto de valores de . Por suposición, no es vacío y está acotado superiormente por . Por la propiedad de límite superior mínimo de los números reales, existe y . Ahora bien, para cada , existe tal que , ya que de lo contrario es un límite superior estrictamente menor de , contradiciendo la definición del supremo . Entonces, como no es decreciente, y es un límite superior, para cada , tenemos ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle K}$ ${\textstyle c=\sup _{n}\{a_{n}\}}$ ${\displaystyle c\leq K}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle c\geq a_{N}>c-\varepsilon }$ ${\displaystyle c-\varepsilon }$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n>N}$

${\displaystyle |c-a_{n}|=c-a_{n}\leq c-a_{N}=|c-a_{N}|<\varepsilon .}$

Por lo tanto, por definición . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=c=\sup _{n}a_{n}}$

La prueba de la parte (B) es análoga o se sigue de (A) considerando . ${\displaystyle \{-a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

Teorema

Si es una secuencia monótona de números reales , es decir, si para cada o para cada , entonces esta secuencia tiene un límite finito si y sólo si la secuencia está acotada . ^[1] ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle a_{n}\leq a_{n+1}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

Prueba

• Dirección "si": La prueba se sigue directamente de la proposición.
• Dirección "Sólo si": por la definición (ε, δ) del límite , toda secuencia con un límite finito está necesariamente acotada. ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle L}$

Convergencia de una serie monótona

Hay una variante de la proposición anterior donde permitimos secuencias ilimitadas en los números reales extendidos, los números reales con y sumados. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}}$

En los números reales extendidos, cada conjunto tiene un supremo (o ínfimo ) que, por supuesto, puede ser (o ínfimo ) si el conjunto no está acotado. Un uso importante de los números reales extendidos es que cualquier conjunto de números no negativos tiene una suma independiente del orden de suma bien definida. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle a_{i}\geq 0,i\in I}$

${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sup _{J\subset I,\ |J|<\infty }\sum _{j\in J}a_{j}\in {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}$

¿Dónde están los números reales no negativos extendidos superiores? Para una serie de números no negativos ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}=[0,\infty ]\subset {\bar {\mathbb {R} }}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}a_{i}=\sup _{k}\sum _{i=1}^{k}a_{i}=\sup _{J\subset \mathbb {N} ,|J|<\infty }\sum _{j\in J}a_{j}=\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i},}$

Por lo tanto, esta suma coincide con la suma de una serie si ambas están definidas. En particular, la suma de una serie de números no negativos no depende del orden de suma.

Convergencia monótona de sumas no negativas

Sea una sucesión de números reales no negativos indexados por números naturales y . Supóngase que para todo . Entonces ^{[2] : 168} ${\displaystyle a_{i,k}\geq 0}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a_{i,k}\leq a_{i,k+1}}$ ${\displaystyle i,k}$

${\displaystyle \sup _{k}\sum _{i}a_{i,k}=\sum _{i}\sup _{k}a_{i,k}\in {\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}.}$

Prueba

Ya que tenemos tanto . ${\displaystyle a_{i,k}\leq \sup _{k}a_{i,k}}$ ${\displaystyle \sum _{i}a_{i,k}\leq \sum _{i}\sup _{k}a_{i,k}}$ ${\displaystyle \sup _{k}\sum _{i}a_{i,k}\leq \sum _{i}\sup _{k}a_{i,k}}$

Por el contrario, podemos intercambiar sup y sum para sumas finitas volviendo a la definición de límite , por lo tanto . ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}\sup _{k}a_{i,k}=\sup _{k}\sum _{i=1}^{N}a_{i,k}\leq \sup _{k}\sum _{i=1}^{\infty }a_{i,k}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\sup _{k}a_{i,k}\leq \sup _{k}\sum _{i=1}^{\infty }a_{i,k}}$

Ejemplos

Matrices

El teorema establece que si tienes una matriz infinita de números reales no negativos tales que las filas son débilmente crecientes y cada una está acotada donde los límites son sumables , entonces, para cada columna, las sumas de las columnas no decrecientes están acotadas y, por lo tanto, son convergentes, y el límite de las sumas de las columnas es igual a la suma de la "columna límite", cuyo elemento es el supremo sobre la fila. ${\displaystyle a_{i,k}\geq 0}$ ${\displaystyle a_{i,k}\leq K_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i}K_{i}<\infty }$ ${\displaystyle \sum _{i}a_{i,k}\leq \sum K_{i}}$ ${\displaystyle \sup _{k}a_{i,k}}$

mi

Considere la expansión

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}{\frac {1}{k^{i}}}}$

Ahora listo

${\displaystyle a_{i,k}={\binom {k}{i}}{\frac {1}{k^{i}}}={\frac {1}{i!}}\cdot {\frac {k}{k}}\cdot {\frac {k-1}{k}}\cdot \cdots {\frac {k-i+1}{k}}.}$

para y para , luego con y ${\displaystyle i\leq k}$ ${\displaystyle a_{i,k}=0}$ ${\displaystyle i>k}$ ${\displaystyle 0\leq a_{i,k}\leq a_{i,k+1}}$ ${\displaystyle \sup _{k}a_{i,k}={\frac {1}{i!}}<\infty }$

${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i,k}}$.

El lado derecho es una secuencia no decreciente en , por lo tanto ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}=\sup _{k}\sum _{i=0}^{\infty }a_{i,k}=\sum _{i=0}^{\infty }\sup _{k}a_{i,k}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i!}}=e}$.

El lema de Beppo Levi

El siguiente resultado es una generalización del teorema de convergencia monótona de sumas no negativas mencionado anteriormente al contexto de la teoría de la medida. Es una piedra angular de la teoría de la medida y la integración con muchas aplicaciones y tiene como consecuencia directa el lema de Fatou y el teorema de convergencia dominada . Se debe a Beppo Levi , quien demostró una ligera generalización en 1906 de un resultado anterior de Henri Lebesgue . ^{[3] [4]}

Sea la -álgebra de los conjuntos de Borel en los números reales no negativos extendidos superiores . Por definición, contiene el conjunto y todos los subconjuntos de Borel de ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}}}$ ${\displaystyle \{+\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}.}$

Teorema (teorema de convergencia monótona para funciones mensurables no negativas)

Sea un espacio de medida y un conjunto medible. Sea una secuencia puntual no decreciente de funciones no negativas - medibles , es decir, cada función es -medible y para cada una y cada , ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle X\in \Sigma }$ ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}$ ${\displaystyle f_{k}:X\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}$ ${\displaystyle {k\geq 1}}$ ${\displaystyle {x\in X}}$

${\displaystyle 0\leq \ldots \leq f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\leq \ldots \leq \infty .}$

Entonces el supremo puntual

${\displaystyle \sup _{k}f_{k}:x\mapsto \sup _{k}f_{k}(x)}$

es una función medible y ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}$

${\displaystyle \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}\sup _{k}f_{k}\,d\mu .}$

Observación 1. Las integrales y la suprema pueden ser finitas o infinitas, pero el lado izquierdo es finito si y sólo si el lado derecho lo es.

Observación 2. Bajo los supuestos del teorema,

1. ${\displaystyle \textstyle \lim _{k\to \infty }f_{k}(x)=\sup _{k}f_{k}(x)=\limsup _{k\to \infty }f_{k}(x)=\liminf _{k\to \infty }f_{k}(x)}$
2. ${\displaystyle \textstyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\liminf _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\limsup _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

Nótese que la segunda cadena de igualdades se sigue de la monoticidad de la integral (lema 2 a continuación). Por lo tanto, también podemos escribir la conclusión del teorema como

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}(x)\,d\mu (x)=\int _{X}\lim _{k\to \infty }f_{k}(x)\,d\mu (x)}$

con el entendimiento tácito de que se permite que los límites sean infinitos.

Observación 3. El teorema sigue siendo cierto si sus supuestos se cumplen -casi en todas partes-. En otras palabras, basta con que haya un conjunto nulo tal que la sucesión no decrezca para cada Para ver por qué esto es cierto, comenzamos con una observación de que permitir que la sucesión no decrezca puntualmente casi en todas partes hace que su límite puntual sea indefinido en algún conjunto nulo . En ese conjunto nulo, puede definirse arbitrariamente, por ejemplo, como cero, o de cualquier otra forma que preserve la mensurabilidad. Para ver por qué esto no afectará el resultado del teorema, observe que, dado que tenemos, para cada ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$ ${\displaystyle {x\in X\setminus N}.}$ ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mu (N)=0},}$ ${\displaystyle k,}$

${\displaystyle \int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X\setminus N}f_{k}\,d\mu }$y ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X\setminus N}f\,d\mu ,}$

siempre que sea -medible. ^{[5] : sección 21.38} (Estas igualdades se derivan directamente de la definición de la integral de Lebesgue para una función no negativa). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$

Observación 4. La demostración que sigue no utiliza ninguna propiedad de la integral de Lebesgue excepto las establecidas aquí. Por lo tanto, el teorema se puede utilizar para demostrar otras propiedades básicas, como la linealidad, pertenecientes a la integración de Lebesgue.

Prueba

Esta prueba no se basa en el lema de Fatou ; sin embargo, explicamos cómo se puede utilizar dicho lema. Aquellos que no estén interesados ​​en esta independencia de la prueba pueden omitir los resultados intermedios que aparecen a continuación.

Resultados intermedios

Necesitamos tres lemas básicos. En la prueba que sigue, aplicamos la propiedad monótona de la integral de Lebesgue únicamente a funciones no negativas. En concreto (véase la Observación 4),

Monotonía de la integral de Lebesgue

Lema 1. Sea la función -medible . ${\displaystyle f,g:X\to [0,+\infty ]}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}$

• Si en todas partes entonces ${\displaystyle f\leq g}$ ${\displaystyle X,}$

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .}$

• Si y entonces ${\displaystyle X_{1},X_{2}\in \Sigma }$ ${\displaystyle X_{1}\subseteq X_{2},}$

${\displaystyle \int _{X_{1}}f\,d\mu \leq \int _{X_{2}}f\,d\mu .}$

Demostración. Denote por el conjunto de funciones simples -medibles tales que en todas partes ${\displaystyle \operatorname {SF} (h)}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle s:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle 0\leq s\leq h}$ ${\displaystyle X.}$

1. Ya que tenemos por lo tanto ${\displaystyle f\leq g,}$ ${\displaystyle \operatorname {SF} (f)\subseteq \operatorname {SF} (g),}$

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in {\rm {SF}}(f)}\int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{s\in {\rm {SF}}(g)}\int _{X}s\,d\mu =\int _{X}g\,d\mu .}$

2. Las funciones donde es la función indicadora de , se ven fácilmente como medibles y . Ahora aplique 1 . ${\displaystyle f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}},f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{2}},}$ ${\displaystyle {\mathbf {1} }_{X_{i}}}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{1}}\leq f\cdot {\mathbf {1} }_{X_{2}}}$

Integral de Lebesgue como medida

Lema 2. Sea un espacio medible. Considérese una función no negativa medible simple . Para un subconjunto medible , defina ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle s:\Omega \to {\mathbb {R} _{\geq 0}}}$ ${\displaystyle S\in \Sigma }$

${\displaystyle \nu _{s}(S)=\int _{S}s\,d\mu .}$

Entonces es una medida en . ${\displaystyle \nu _{s}}$ ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$

prueba (lema 2)

Escribe con y conjuntos medibles . Entonces ${\displaystyle s=\sum _{k=1}^{n}c_{k}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{k}},}$ ${\displaystyle c_{k}\in {\mathbb {R} }_{\geq 0}}$ ${\displaystyle A_{k}\in \Sigma }$

${\displaystyle \nu _{s}(S)=\sum _{k=1}^{n}c_{k}\mu (S\cap A_{k}).}$

Dado que las combinaciones lineales positivas finitas de funciones de conjunto contablemente aditivas son contablemente aditivas, para demostrar la aditividad contable de basta con demostrar que la función de conjunto definida por es contablemente aditiva para todo . Pero esto se sigue directamente de la aditividad contable de . ${\displaystyle \nu _{s}}$ ${\displaystyle \nu _{A}(S)=\mu (A\cap S)}$ ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ${\displaystyle \mu }$

Continuidad desde abajo

Lema 3. Sea una medida, y , donde ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle S=\bigcup _{i=1}^{\infty }S_{i}}$

${\displaystyle S_{1}\subseteq \cdots \subseteq S_{i}\subseteq S_{i+1}\subseteq \cdots \subseteq S}$

es una cadena no decreciente con todos sus conjuntos -medibles. Entonces ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu (S)=\sup _{i}\mu (S_{i}).}$

prueba (lema 3)

Conjunto , entonces lo descomponemos como una unión disjunta contable de conjuntos medibles y asimismo como una unión disjunta finita. Por lo tanto , y por lo tanto . ${\displaystyle S_{0}=\emptyset }$ ${\displaystyle S=\coprod _{1\leq i}S_{i}\setminus S_{i-1}}$ ${\displaystyle S_{k}=\coprod _{1\leq i\leq k}S_{i}\setminus S_{i-1}}$ ${\displaystyle \mu (S_{k})=\sum _{i=1}^{k}\mu (S_{i}\setminus S_{i-1})}$ ${\displaystyle \mu (S)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (S_{i}\setminus S_{i-1})}$ ${\displaystyle \mu (S)=\sup _{k}\mu (S_{k})}$

Prueba del teorema

Conjunto . Denotemos por el conjunto de funciones simples -medibles tales que en . ${\displaystyle f=\sup _{k}f_{k}}$ ${\displaystyle \operatorname {SF} (f)}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle s:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle 0\leq s\leq f}$ ${\displaystyle X}$

Paso 1. La función es medible y la integral está bien definida (aunque posiblemente infinita) ^{[5] : sección 21.3} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{X}f\,d\mu }$

De obtenemos . Por lo tanto, tenemos que demostrar que es -medible. Para ver esto, basta con demostrar que es -medible para todo , porque los intervalos generan el álgebra sigma de Borel en los reales no negativos extendidos al complementar y tomar intersecciones contables, complementos y uniones contables. ${\displaystyle 0\leq f_{k}(x)\leq \infty }$ ${\displaystyle 0\leq f(x)\leq \infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\Sigma ,\operatorname {\mathcal {B}} _{{\bar {\mathbb {R} }}_{\geq 0}})}$ ${\displaystyle f^{-1}([0,t])}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle 0\leq t\leq \infty }$ ${\displaystyle [0,t]}$ ${\displaystyle [0,\infty ]}$

Ahora bien, dado que es una secuencia no decreciente, si y solo si para todo . Como ya sabemos que y concluimos que ${\displaystyle f_{k}(x)}$ ${\displaystyle f(x)=\sup _{k}f_{k}(x)\leq t}$ ${\displaystyle f_{k}(x)\leq t}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle f_{k}\geq 0}$

${\displaystyle f^{-1}([0,t])=\bigcap _{k}f_{k}^{-1}([0,t]).}$

Por lo tanto es un conjunto medible, siendo la intersección contable de los conjuntos mesurables . ${\displaystyle f^{-1}([0,t])}$ ${\displaystyle f_{k}^{-1}([0,t])}$

Dado que la integral está bien definida (pero posiblemente infinita) como ${\displaystyle f\geq 0}$

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup _{s\in SF(f)}\int _{X}s\,d\mu }$.

Paso 2. Tenemos la desigualdad

${\displaystyle \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f\,d\mu }$

Esto es equivalente a " para todo lo cual se sigue directamente de" y "monotonía de la integral" (lema 1). ${\displaystyle \int _{X}f_{k}(x)\,d\mu \leq \int _{X}f(x)\,d\mu }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f_{k}(x)\leq f(x)}$

Paso 3 Tenemos la desigualdad inversa

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu }$.

Por la definición de integral como supremo el paso 3 es equivalente a

${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu }$

para cada . Es tentador probar para suficientemente grande, pero esto no funciona, por ejemplo, si es simple y el . Sin embargo, podemos conseguir un "espacio de maniobra" para evitar este problema. El paso 3 también es equivalente a ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$ ${\displaystyle \int _{X}s\,d\mu \leq \int _{X}f_{k}\,d\mu }$ ${\displaystyle k>K_{s}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{k}<f}$

${\displaystyle (1-\varepsilon )\int _{X}s\,d\mu =\int _{X}(1-\varepsilon )s\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu }$

Para cada función simple y en todos los casos en que se utiliza la igualdad, el lado izquierdo de la desigualdad es una suma finita. Esto lo demostraremos. ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1}$

Dados y , define ${\displaystyle s\in \operatorname {SF} (f)}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1}$

${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }=\{x\in X\mid (1-\varepsilon )s(x)\leq f_{k}(x)\}\subseteq X.}$

Afirmamos que los conjuntos tienen las siguientes propiedades: ${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }}$

1. ${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }}$es -medible. ${\displaystyle \Sigma }$
2. ${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }\subseteq B_{k+1}^{s,\varepsilon }}$
3. ${\displaystyle X=\bigcup _{k}B_{k}^{s,\varepsilon }}$

Suponiendo la afirmación, por la definición de y "monotonía de la integral de Lebesgue" (lema 1) tenemos ${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }}$

${\displaystyle \int _{B_{k}^{s,\varepsilon }}(1-\varepsilon )s\,d\mu \leq \int _{B_{k}^{s,\varepsilon }}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

Por lo tanto, por "integral de Lebesgue de una función simple como medida" (lema 2) y "continuidad desde abajo" (lema 3) obtenemos:

${\displaystyle \sup _{k}\int _{B_{k}^{s,\varepsilon }}(1-\varepsilon )s\,d\mu =\int _{X}(1-\varepsilon )s\,d\mu \leq \sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$

que nos propusimos probar. Por lo tanto, queda por demostrar la afirmación.

Anuncio 1: Escriba , para constantes no negativas y conjuntos mensurables , que podemos suponer que son disjuntos por pares y con unión . Entonces, para tenemos si y solo si es así ${\displaystyle s=\sum _{1\leq i\leq m}c_{i}\cdot {\mathbf {1} }_{A_{i}}}$ ${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle A_{i}\in \Sigma }$ ${\displaystyle \textstyle X=\coprod _{i=1}^{m}A_{i}}$ ${\displaystyle x\in A_{i}}$ ${\displaystyle (1-\varepsilon )s(x)\leq f_{k}(x)}$ ${\displaystyle f_{k}(x)\in [(1-\varepsilon )c_{i},\,\infty ],}$

${\displaystyle B_{k}^{s,\varepsilon }=\coprod _{i=1}^{m}{\Bigl (}f_{k}^{-1}{\Bigl (}[(1-\varepsilon )c_{i},\infty ]{\Bigr )}\cap A_{i}{\Bigr )}}$

lo cual es medible ya que son mensurables. ${\displaystyle f_{k}}$

Anuncio 2: Porque tenemos tanto ${\displaystyle x\in B_{k}^{s,\varepsilon }}$ ${\displaystyle (1-\varepsilon )s(x)\leq f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)}$ ${\displaystyle x\in B_{k+1}^{s,\varepsilon }.}$

Anuncio 3: Fix . Si entonces , por lo tanto . En caso contrario, y así para suficientemente grande, por lo tanto . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s(x)=0}$ ${\displaystyle (1-\varepsilon )s(x)=0\leq f_{1}(x)}$ ${\displaystyle x\in B_{1}^{s,\varepsilon }}$ ${\displaystyle s(x)>0}$ ${\displaystyle (1-\varepsilon )s(x)<s(x)\leq f(x)=\sup _{k}f(x)}$ ${\displaystyle (1-\varepsilon )s(x)<f_{N_{x}}(x)}$ ${\displaystyle N_{x}}$ ${\displaystyle x\in B_{N_{x}}^{s,\varepsilon }}$

La prueba del teorema de convergencia monótona está completa.

Relajar el supuesto de monotonía

Bajo hipótesis similares al teorema de Beppo Levi, es posible relajar la hipótesis de monotonía. ^[6] Como antes, sea un espacio de medida y . Nuevamente, será una secuencia de funciones no negativas - medibles . Sin embargo, no asumimos que sean puntualmente no decrecientes. En cambio, asumimos que converge para casi cada , definimos como el límite puntual de , y asumimos adicionalmente que puntualmente casi en todas partes para todos . Entonces es -medible, y existe, y ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma ,\mu )}$ ${\displaystyle X\in \Sigma }$ ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle (\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\displaystyle f_{k}:X\to [0,+\infty ]}$ ${\textstyle \{f_{k}(x)\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \{f_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle f_{k}\leq f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (\Sigma ,{\mathcal {B}}_{\mathbb {R} _{\geq 0}})}$ ${\textstyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu }$ $${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\int _{X}f\,d\mu .}$$

Demostración basada en el lema de Fatou

La prueba también puede basarse en el lema de Fatou en lugar de una prueba directa como la anterior, porque el lema de Fatou puede demostrarse independientemente del teorema de convergencia monótona. Sin embargo, el teorema de convergencia monótona es en algunos aspectos más primitivo que el lema de Fatou. Se deduce fácilmente del teorema de convergencia monótona y la prueba del lema de Fatou es similar y posiblemente un poco menos natural que la prueba anterior.

Como antes, la mensurabilidad se sigue del hecho de que casi en todas partes. El intercambio de límites e integrales es entonces una consecuencia fácil del lema de Fatou. Se tiene por el lema de Fatou, y luego, como (monotonía), Por lo tanto ${\textstyle f=\sup _{k}f_{k}=\lim _{k\to \infty }f_{k}=\liminf _{k\to \infty }f_{k}}$ $${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}\liminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu }$$ ${\displaystyle \int f_{k}\,d\mu \leq \int f_{k+1}\,d\mu \leq \int fd\mu }$ $${\displaystyle \liminf \int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \limsup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu \leq \int _{X}f\,d\mu .}$$ $${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\liminf _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\limsup _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\lim _{k\to \infty }\int _{X}f_{k}\,d\mu =\sup _{k}\int _{X}f_{k}\,d\mu .}$$

Véase también

• Serie infinita
• Teorema de convergencia dominada

Notas

1. Bibby, John (1974) dio una generalización de este teorema : "Axiomatizaciones de la media y una generalización adicional de secuencias monótonas". Glasgow Mathematical Journal . 15 (1): 63–65. doi : 10.1017/S0017089500002135 .
2. Véase, por ejemplo, Yeh, J. (2006). Análisis real: teoría de la medida y la integración . Hackensack, Nueva Jersey: World Scientific. ISBN. 981-256-653-8.
3. Rudin, Walter (1974). Análisis real y complejo (TMH ed.). Mc Craw-Hill. pág. 22.
4. Schappacher, Norbert ; Schoof, René (1996), "Beppo Levi y la aritmética de las curvas elípticas" (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 18 (1): 60, doi :10.1007/bf03024818, MR  1381581, S2CID  125072148, Zbl  0849.01036
5. Véase, por ejemplo, Schechter, Erik (1997). Handbook of Analysis and Its Foundations . San Diego: Academic Press. ISBN. 0-12-622760-8.
6. coudy (https://mathoverflow.net/users/6129/coudy), ¿Conoces teoremas importantes que siguen siendo desconocidos?, URL (versión: 2018-06-05): https://mathoverflow.net/q/296540