Operador disipativo

En matemáticas , un operador disipativo es un operador lineal A definido en un subespacio lineal D ( A ) del espacio de Banach X , que toma valores en X tales que para todo λ > 0 y todo x ∈ D ( A )

${\displaystyle \|(\lambda I-A)x\|\geq \lambda \|x\|.}$

A continuación se ofrecen un par de definiciones equivalentes. Un operador disipativo se denomina máximamente disipativo si es disipativo y para todo λ > 0 el operador λI − A es sobreyectivo, lo que significa que el rango cuando se aplica al dominio D es la totalidad del espacio X .

Un operador que obedece una condición similar pero con un signo más en lugar de un signo menos (es decir, la negación de un operador disipativo) se llama operador acretivo . ^[1]

La principal importancia de los operadores disipativos es su aparición en el teorema de Lumer-Phillips, que caracteriza a los operadores máximamente disipativos como generadores de semigrupos de contracción .

Propiedades

Un operador disipativo tiene las siguientes propiedades: ^[2]

• De la desigualdad dada arriba, vemos que para cualquier x en el dominio de A , si ‖ x ‖ ≠ 0 entonces el núcleo de λI − A es simplemente el vector cero y λI − A es por lo tanto inyectivo y tiene una inversa para todo λ > 0. (Si tenemos la desigualdad estricta para todo x no nulo en el dominio, entonces, por la desigualdad triangular , lo que implica que A en sí mismo tiene una inversa). Podemos entonces afirmar que ${\displaystyle \|(\lambda I-A)x\|\neq 0,}$ ${\displaystyle \|(\lambda I-A)x\|>\lambda \|x\|}$ ${\displaystyle \|\lambda x\|+\|Ax\|\geq \|(\lambda I-A)x\|>\lambda \|x\|,}$

${\displaystyle \|(\lambda I-A)^{-1}z\|\leq {\frac {1}{\lambda }}\|z\|}$

para todo z en el rango de λI − A . Esta es la misma desigualdad que la dada al principio de este artículo, con (También podríamos escribirlas como que debe cumplirse para cualquier κ positivo). ${\displaystyle z=(\lambda I-A)x.}$ ${\displaystyle \|(I-\kappa A)^{-1}z\|\leq \|z\|{\text{ or }}\|(I-\kappa A)x\|\geq \|x\|}$

• λI − A es sobreyectiva para algún λ > 0 si y sólo si es sobreyectiva para todo λ > 0. (Este es el caso disipativo máximo mencionado anteriormente). En ese caso se tiene (0, ∞) ⊂ ρ ( A ) (el conjunto resolutivo de A ).
• A es un operador cerrado si y solo si el rango de λI - A es cerrado para algún (equivalentemente: para todos) λ > 0.

Caracterizaciones equivalentes

Defina el conjunto de dualidad de x ∈ X , un subconjunto del espacio dual X' de X , mediante

${\displaystyle J(x):=\left\{x'\in X':\|x'\|_{X'}^{2}=\|x\|_{X}^{2}=\langle x',x\rangle \right\}.}$

Por el teorema de Hahn-Banach, este conjunto no es vacío. ^[3] En el caso del espacio de Hilbert (usando la dualidad canónica entre un espacio de Hilbert y su dual), consiste en el único elemento x . ^[4] De manera más general, si X es un espacio de Banach con un dual estrictamente convexo, entonces J ( x ) consiste en un único elemento. ^[5] Usando esta notación, A es disipativo si y solo si ^[6] para todo x ∈ D ( A ) existe un x ' ∈ J ( x ) tal que

${\displaystyle {\rm {Re}}\langle Ax,x'\rangle \leq 0.}$

En el caso de los espacios de Hilbert, esto se convierte en para todo x en D ( A ). Como esto no es positivo, tenemos ${\displaystyle {\rm {Re}}\langle Ax,x\rangle \leq 0}$

${\displaystyle \|x-Ax\|^{2}=\|x\|^{2}+\|Ax\|^{2}-2{\rm {Re}}\langle Ax,x\rangle \geq \|x\|^{2}+\|Ax\|^{2}+2{\rm {Re}}\langle Ax,x\rangle =\|x+Ax\|^{2}}$

${\displaystyle \therefore \|x-Ax\|\geq \|x+Ax\|}$

Como I−A tiene una inversa, esto implica que es una contracción y, de manera más general, es una contracción para cualquier λ positivo. La utilidad de esta formulación es que si este operador es una contracción para algún λ positivo, entonces A es disipativo. No es necesario demostrar que es una contracción para todos los λ positivos (aunque esto es cierto), en contraste con (λI−A) ⁻¹ , que debe demostrarse que es una contracción para todos los valores positivos de λ. ${\displaystyle (I+A)(I-A)^{-1}}$ ${\displaystyle (\lambda I+A)(\lambda I-A)^{-1}}$

Ejemplos

• Para un ejemplo simple de dimensión finita, considere el espacio euclidiano n -dimensional R ⁿ con su producto escalar habitual . Si A denota el negativo del operador identidad , definido en todos los R ⁿ , entonces

${\displaystyle x\cdot Ax=x\cdot (-x)=-\|x\|^{2}\leq 0,}$

Entonces A es un operador disipativo.

• Mientras el dominio de un operador A (una matriz) sea todo el espacio euclidiano, entonces es disipativo si y solo si A + A ^* (la suma de A y su adjunto ) no tiene ningún valor propio positivo y (en consecuencia) todos esos operadores son disipativos al máximo. Este criterio se deduce del hecho de que la parte real de la cual debe ser no positiva para cualquier x , es Los valores propios de esta forma cuadrática deben ser, por lo tanto, no positivos. (El hecho de que la parte real de debe ser no positiva implica que las partes reales de los valores propios de A deben ser no positivas, pero esto no es suficiente. Por ejemplo, si entonces sus valores propios son negativos, pero los valores propios de A + A ^* son −5 y 1, entonces A no es disipativo.) Una condición equivalente es que para algún (y por lo tanto cualquier) positivo tiene una inversa y el operador es una contracción (es decir, disminuye o deja sin cambios la norma de su operando). Si la derivada temporal de un punto x en el espacio está dada por Ax , entonces la evolución temporal está gobernada por un semigrupo de contracción que disminuye constantemente la norma (o al menos no permite que aumente). (Sin embargo, tenga en cuenta que si el dominio de A es un subespacio propio, entonces A no puede ser disipativo al máximo porque el rango no tendrá una dimensionalidad lo suficientemente alta.) ${\displaystyle x^{*}Ax,}$ ${\displaystyle x^{*}{\frac {A+A^{*}}{2}}x.}$ ${\displaystyle x^{*}Ax,}$ ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-1&3\\0&-1\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \lambda ,\lambda -A}$ ${\displaystyle (\lambda +A)(\lambda -A)^{-1}}$
• Consideremos H = L 2 ([0, 1]; R ) con su producto interno habitual, y sea Au = u ′ (en este caso una derivada débil ) con dominio D ( A ) igual a aquellas funciones u en el espacio de Sobolev con u (1) = 0. D ( A ) es denso en L ² ([0, 1]; R ). Además, para cada u en D ( A ), utilizando la integración por partes , ${\displaystyle H^{1}([0,\;1];\;\mathbf {R} )}$

${\displaystyle \langle u,Au\rangle =\int _{0}^{1}u(x)u'(x)\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2}}u(0)^{2}\leq 0.}$

Por lo tanto, A es un operador disipativo. Además, dado que existe una solución ( casi en todas partes ) en D para cualquier f en H , el operador A es disipativo al máximo. Nótese que en un caso de dimensionalidad infinita como este, el rango puede ser todo el espacio de Banach aunque el dominio sea solo un subespacio propio del mismo. ${\displaystyle u-\lambda u'=f}$

• Consideremos H = H ₀ ² (Ω; R ) (ver espacio de Sobolev ) para un dominio abierto y conexo Ω ⊆ R ⁿ y sea A = Δ, el operador de Laplace , definido en el subespacio denso de funciones suaves con soporte compacto en Ω. Luego, utilizando la integración por partes,

${\displaystyle \langle u,\Delta u\rangle =\int _{\Omega }u(x)\Delta u(x)\,\mathrm {d} x=-\int _{\Omega }{\big |}\nabla u(x){\big |}^{2}\,\mathrm {d} x=-\|\nabla u\|_{L^{2}(\Omega ;\mathbf {R} )}^{2}\leq 0,}$

Por lo tanto, el laplaciano es un operador disipativo.

Notas

1. "Operador disipativo". Enciclopedia de Matemáticas .
2. Proposición II.3.14 de Engel y Nagel
3. El teorema implica que para una x dada existe una funcional lineal continua φ con la propiedad de que φ( x )=‖ x ‖, con la norma de φ igual a 1. Identificamos ‖ x ‖φ con x'.
4. Ejercicio II.3.25i de Engel y Nagel
5. Engel y Nagel Ejemplo II.3.26
6. Proposición II.3.23 de Engel y Nagel

Referencias

• Engel, Klaus-Jochen; Nagel, Rainer (2000). Semigrupos de un parámetro para ecuaciones de evolución lineal . Springer.
• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos de Matemáticas Aplicadas 13 (segunda edición). Nueva York: Springer-Verlag. pág. 356. ISBN. 0-387-00444-0.(Definición 12.25)