Operación cuántica

Clase de transformaciones que pueden sufrir los sistemas y procesos cuánticos

En mecánica cuántica , una operación cuántica (también conocida como mapa dinámico cuántico o proceso cuántico ) es un formalismo matemático utilizado para describir una amplia clase de transformaciones que puede sufrir un sistema de mecánica cuántica. Esto fue discutido por primera vez como una transformación estocástica general para una matriz de densidad por George Sudarshan . ^[1] El formalismo de operación cuántica describe no sólo la evolución del tiempo unitario o las transformaciones de simetría de sistemas aislados, sino también los efectos de la medición y las interacciones transitorias con un entorno. En el contexto de la computación cuántica , una operación cuántica se denomina canal cuántico .

Tenga en cuenta que algunos autores utilizan el término "operación cuántica" para referirse específicamente a mapas completamente positivos (CP) y que no aumentan en trazas en el espacio de matrices de densidad, y el término " canal cuántico " para referirse al subconjunto de aquellos que son estrictamente preservando rastros. ^[2]

Las operaciones cuánticas se formulan en términos de la descripción del operador de densidad de un sistema mecánico cuántico. Rigurosamente, una operación cuántica es una aplicación lineal y completamente positiva del conjunto de operadores de densidad hacia sí misma. En el contexto de la información cuántica, a menudo se impone la restricción adicional de que una operación cuántica debe ser física , ^[3] es decir, satisfacer para cualquier estado . ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle 0\leq \operatorname {Tr} [{\mathcal {E}}(\rho )]\leq 1}$ ${\displaystyle \rho }$

Algunos procesos cuánticos no pueden capturarse dentro del formalismo de operaciones cuánticas; ^[4] en principio, la matriz de densidad de un sistema cuántico puede sufrir una evolución temporal completamente arbitraria. Las operaciones cuánticas son generalizadas por instrumentos cuánticos , que capturan la información clásica obtenida durante las mediciones, además de la información cuántica .

Fondo

La imagen de Schrödinger proporciona una explicación satisfactoria de la evolución temporal del estado de un sistema mecánico cuántico bajo ciertos supuestos. Estos supuestos incluyen

• El sistema no es relativista.
• El sistema está aislado.

La imagen de Schrödinger sobre la evolución del tiempo tiene varias formulaciones matemáticamente equivalentes. Una de esas formulaciones expresa la tasa de cambio temporal del estado mediante la ecuación de Schrödinger . Una formulación más adecuada para esta exposición se expresa de la siguiente manera:

El efecto del paso de t unidades de tiempo sobre el estado de un sistema aislado S viene dado por un operador unitario U _t sobre el espacio de Hilbert H asociado a S .

Esto significa que si el sistema está en un estado correspondiente a v ∈ H en un instante de tiempo s , entonces el estado después de t unidades de tiempo será Ut _v . Para los sistemas relativistas , no existe un parámetro de tiempo universal, pero aún podemos formular el efecto de ciertas transformaciones reversibles en el sistema mecánico cuántico. Por ejemplo, las transformaciones de estado que relacionan observadores en diferentes marcos de referencia están dadas por transformaciones unitarias. En cualquier caso, estas transformaciones de estado transforman estados puros en estados puros; Esto a menudo se formula diciendo que en este marco idealizado no hay decoherencia .

Para los sistemas interactivos (o abiertos), como los que se están sometiendo a medición, la situación es completamente diferente. Para empezar, los cambios de estado experimentados por tales sistemas no pueden explicarse exclusivamente por una transformación en el conjunto de estados puros (es decir, aquellos asociados a vectores de norma 1 en H ). Después de tal interacción, es posible que un sistema en estado puro φ ya no esté en estado puro φ. En general será en una mezcla estadística de una secuencia de estados puros φ ₁ , ..., φ _k con respectivas probabilidades λ ₁ , ..., λ _k . La transición de un estado puro a un estado mixto se conoce como decoherencia.

Se han establecido numerosos formalismos matemáticos para manejar el caso de un sistema que interactúa. El formalismo de operaciones cuánticas surgió alrededor de 1983 a partir del trabajo de Karl Kraus , quien se basó en el trabajo matemático anterior de Man-Duen Choi. Tiene la ventaja de que expresa operaciones como la medición como un mapeo de estados de densidad a estados de densidad. En particular, el efecto de las operaciones cuánticas permanece dentro del conjunto de estados de densidad.

Definición

Recuerde que un operador de densidad es un operador no negativo en un espacio de Hilbert con traza unitaria.

Matemáticamente, una operación cuántica es un mapa lineal Φ entre espacios de operadores de clase de traza en espacios de Hilbert H y G tal que

• Si S es un operador de densidad, Tr(Φ( S )) ≤ 1.
• Φ es completamente positiva , es decir, para cualquier número natural n y cualquier matriz cuadrada de tamaño n cuyas entradas sean operadores de clase de traza
  $${\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{11}&\cdots &S_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\S_{n1}&\cdots &S_{nn}\end{bmatrix}}}$$
  y cuál no es negativo, entonces
  $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Phi (S_{11})&\cdots &\Phi (S_{1n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\Phi (S_{n1})&\cdots &\Phi (S_{nn})\end{bmatrix}}}$$
  tampoco es negativo. En otras palabras, Φ es completamente positivo si es positivo para todo n , donde denota el mapa de identidad en el álgebra C* de matrices. ${\displaystyle \Phi \otimes I_{n}}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$

Tenga en cuenta que, según la primera condición, es posible que las operaciones cuánticas no preserven la propiedad de normalización de los conjuntos estadísticos. En términos probabilísticos, las operaciones cuánticas pueden ser submarkovianas. Para que una operación cuántica preserve el conjunto de matrices de densidad, necesitamos el supuesto adicional de que conserva trazas.

En el contexto de la información cuántica , las operaciones cuánticas aquí definidas, es decir, mapas completamente positivos que no aumentan la traza, también se denominan canales cuánticos o mapas estocásticos . La formulación aquí se limita a los canales entre estados cuánticos; sin embargo, se puede ampliar para incluir también estados clásicos, permitiendo así manejar simultáneamente información cuántica y clásica.

Operadores Kraus

El teorema de Kraus (que lleva el nombre de Karl Kraus ) caracteriza mapas completamente positivos , que modelan operaciones cuánticas entre estados cuánticos. Informalmente, el teorema garantiza que la acción de cualquier operación cuántica sobre un estado siempre puede escribirse como , para algún conjunto de operadores que satisfagan , donde está el operador identidad. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\textstyle \Phi (\rho )=\sum _{k}B_{k}\rho B_{k}^{*}}$ ${\displaystyle \{B_{k}\}_{k}}$ ${\textstyle \sum _{k}B_{k}^{*}B_{k}\leq \mathbf {1} }$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$

Declaración del teorema

Teorema . ^[5] Sean y espacios de dimensión de Hilbert y respectivamente, y sean una operación cuántica entre y . Entonces, hay matrices ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

$${\displaystyle \{B_{i}\}_{1\leq i\leq nm}}$$

${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \Phi (\rho )=\sum _{i}B_{i}\rho B_{i}^{*}.}$$

${\displaystyle \Phi }$ ${\textstyle \sum _{k}B_{k}^{*}B_{k}\leq \mathbf {1} }$

Las matrices se denominan operadores de Kraus . (A veces se les conoce como operadores de ruido u operadores de error , especialmente en el contexto del procesamiento de información cuántica , donde la operación cuántica representa los efectos ruidosos del entorno que producen errores). El teorema de factorización de Stinespring extiende el resultado anterior a Hilbert arbitrario separable. espacios H y G . Allí, S se reemplaza por un operador de clase de seguimiento y por una secuencia de operadores acotados. ${\displaystyle \{B_{i}\}}$ ${\displaystyle \{B_{i}\}}$

Equivalencia unitaria

Las matrices de Kraus no están determinadas únicamente por la operación cuántica en general. Por ejemplo, diferentes factorizaciones de Cholesky de la matriz de Choi podrían dar diferentes conjuntos de operadores de Kraus. El siguiente teorema establece que todos los sistemas de matrices de Kraus que representan la misma operación cuántica están relacionados por una transformación unitaria: ${\displaystyle \Phi }$

Teorema . Sea una operación cuántica (que no necesariamente preserva la traza) en un espacio de Hilbert de dimensión finita H con dos secuencias representativas de matrices de Kraus y . Entonces existe una matriz de operadores unitarios tal que ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \{B_{i}\}_{i\leq N}}$ ${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\leq N}}$ ${\displaystyle (u_{ij})_{ij}}$

$${\displaystyle C_{i}=\sum _{j}u_{ij}B_{j}.}$$

En el caso de dimensión infinita, esto se generaliza a una relación entre dos representaciones mínimas de Stinespring .

Una consecuencia del teorema de Stinespring es que todas las operaciones cuánticas pueden implementarse mediante evolución unitaria después de acoplar un ancilla adecuado al sistema original.

Observaciones

Estos resultados también se pueden derivar del teorema de Choi sobre mapas completamente positivos , que caracteriza un mapa de dimensión finita completamente positivo mediante un operador de densidad positivo hermitiano único (matriz de Choi) con respecto a la traza. Entre todas las posibles representaciones de Kraus de un canal determinado , existe una forma canónica que se distingue por la relación de ortogonalidad de los operadores de Kraus . Este conjunto canónico de operadores Kraus ortogonales se puede obtener diagonalizando la matriz Choi correspondiente y remodelando sus vectores propios en matrices cuadradas. ${\displaystyle \operatorname {Tr} A_{i}^{\dagger }A_{j}\sim \delta _{ij}}$

También existe una generalización algebraica de dimensión infinita del teorema de Choi, conocida como "teorema de radón-Nikodym de Belavkin para mapas completamente positivos", que define un operador de densidad como una "derivada de radón-Nikodym" de un canal cuántico con respecto a un canal completamente dominante. mapa positivo (canal de referencia). Se utiliza para definir las fidelidades relativas y la información mutua de los canales cuánticos.

Dinámica

Para un sistema de mecánica cuántica no relativista, su evolución temporal se describe mediante un grupo de automorfismos de un parámetro { α _t } _t de Q. Esto se puede reducir a transformaciones unitarias: bajo ciertas condiciones técnicas débiles (ver el artículo sobre lógica cuántica y la referencia de Varadarajan), hay un grupo de un parámetro fuertemente continuo { U _t } _t de transformaciones unitarias del espacio de Hilbert subyacente tal que los elementos E de Q evolucionan según la fórmula

${\displaystyle \alpha _{t}(E)=U_{t}^{*}EU_{t}.}$

La evolución temporal del sistema también puede considerarse dualmente como la evolución temporal del espacio de estados estadístico. La evolución del estado estadístico viene dada por una familia de operadores {β _t } _t tales que

$${\displaystyle \operatorname {Tr} (\beta _{t}(S)E)=\operatorname {Tr} (S\alpha _{-t}(E))=\operatorname {Tr} (SU_{t}EU_{t}^{*})=\operatorname {Tr} (U_{t}^{*}SU_{t}E).}$$

Claramente, para cada valor de t , S → U * _t S U _t es una operación cuántica. Además, esta operación es reversible .

Esto se puede generalizar fácilmente: si G es un grupo de Lie conectado de simetrías de Q que satisfacen las mismas condiciones de continuidad débil, entonces la acción de cualquier elemento g de G viene dada por un operador unitario U :

$${\displaystyle g\cdot E=U_{g}EU_{g}^{*}.}$$

gU _grepresentación proyectivaGSU_g S U _g

Medición cuántica

Las operaciones cuánticas se pueden utilizar para describir el proceso de medición cuántica . La siguiente presentación describe la medición en términos de proyecciones autoadjuntas en un espacio de Hilbert complejo separable H , es decir, en términos de una PVM ( medida valorada en proyección ). En el caso general, las mediciones se pueden realizar utilizando operadores no ortogonales, mediante las nociones de POVM . El caso no ortogonal es interesante, ya que puede mejorar la eficiencia general del instrumento cuántico .

Medidas binarias

Los sistemas cuánticos se pueden medir aplicando una serie de preguntas de sí o no . Se puede entender que este conjunto de preguntas se eligen de una red ortocomplementada Q de proposiciones en lógica cuántica . La celosía es equivalente al espacio de proyecciones autoadjuntas en un espacio de Hilbert complejo separable H.

Considere un sistema en algún estado S , con el objetivo de determinar si tiene alguna propiedad E , donde E es un elemento de la red de preguntas cuánticas de sí o no . Medir, en este contexto, significa someter el sistema a algún procedimiento para determinar si el estado satisface la propiedad. A la referencia al estado del sistema, en esta discusión, se le puede dar un significado operativo considerando un conjunto estadístico de sistemas. Cada medición produce algún valor definido 0 o 1; además, la aplicación del proceso de medición al conjunto da como resultado un cambio predecible del estado estadístico. Esta transformación del estado estadístico viene dada por la operación cuántica

$${\displaystyle S\mapsto ESE+(I-E)S(I-E).}$$

E es un operador de proyección

Caso general

En el caso general, las mediciones se realizan sobre observables que toman más de dos valores.

Cuando un observable A tiene un espectro puntual puro , se puede escribir en términos de una base ortonormal de vectores propios. Es decir, A tiene una descomposición espectral

$${\displaystyle A=\sum _{\lambda }\lambda \operatorname {E} _{A}(\lambda )}$$

_AproyeccionesA

La medición del observable A produce un valor propio de A. Las mediciones repetidas, realizadas en un conjunto estadístico S de sistemas, dan como resultado una distribución de probabilidad sobre el espectro de valores propios de A. Es una distribución de probabilidad discreta y está dada por

$${\displaystyle \operatorname {Pr} (\lambda )=\operatorname {Tr} (S\operatorname {E} _{A}(\lambda )).}$$

La medición del estado estadístico S viene dada por el mapa.

$${\displaystyle S\mapsto \sum _{\lambda }\operatorname {E} _{A}(\lambda )S\operatorname {E} _{A}(\lambda )\ .}$$

Sestado mixto

Mapas no completamente positivos

Shaji y Sudarshan argumentaron en un artículo de Physical Review Letters que, tras un examen detenido, la positividad completa no es un requisito para una buena representación de la evolución cuántica abierta. Sus cálculos muestran que, cuando se parte de algunas correlaciones iniciales fijas entre el sistema observado y el medio ambiente, el mapa restringido al sistema mismo no es necesariamente positivo. Sin embargo, no es positivo sólo para aquellos estados que no satisfacen el supuesto sobre la forma de las correlaciones iniciales. Por lo tanto, muestran que para obtener una comprensión completa de la evolución cuántica, también se deben considerar mapas que no sean completamente positivos. ^{[4] [6] [7]}

Ver también

• Semigrupo dinámico cuántico
• Superoperador

Referencias

1. Sudarshan, ECG; Mateo, PM; Rau, Jayaseetha (1 de febrero de 1961). "Dinámica estocástica de sistemas mecánico-cuánticos". Revisión física . 121 (3). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 920–924. Código bibliográfico : 1961PhRv..121..920S. doi :10.1103/physrev.121.920. ISSN  0031-899X.
2. Weedbrook, cristiano; Pirandola, Stefano; García-Patrón, Raúl; Cerf, Nicolás J.; Ralph, Timothy C.; et al. (01 de mayo de 2012). "Información cuántica gaussiana". Reseñas de Física Moderna . 84 (2): 621–669. arXiv : 1110.3234 . Código Bib : 2012RvMP...84..621W. doi :10.1103/revmodphys.84.621. hdl : 1721.1/71588 . ISSN  0034-6861. S2CID  119250535.
3. Nielsen y Chuang (2010).
4. Pechukas, Philip (22 de agosto de 1994). "La dinámica reducida no tiene por qué ser completamente positiva". Cartas de revisión física . 73 (8). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 1060–1062. Código bibliográfico : 1994PhRvL..73.1060P. doi :10.1103/physrevlett.73.1060. ISSN  0031-9007. PMID  10057614.
5. Este teorema se demuestra en Nielsen & Chuang (2010), Teoremas 8.1 y 8.3.
6. Shaji, Anil; Sudarshan, ECG (2005). "¿Quién teme a los mapas que no son del todo positivos?". Letras de Física A. 341 (1–4). Elsevier BV: 48–54. Código bibliográfico : 2005PhLA..341...48S. doi :10.1016/j.physleta.2005.04.029. ISSN  0375-9601.
7. Cuffaro, Michael E.; Myrvold, Wayne C. (2013). "Sobre el debate sobre la caracterización adecuada de la evolución dinámica cuántica". Filosofía de la Ciencia . 80 (5). Prensa de la Universidad de Chicago: 1125–1136. arXiv : 1206.3794 . doi :10.1086/673733. ISSN  0031-8248. S2CID  31842197.

• Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2010). Computación cuántica e información cuántica (10ª ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9781107002173. OCLC  665137861.
• Choi, Man-Duen (1975). "Mapas lineales completamente positivos sobre matrices complejas". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 10 (3). Elsevier BV: 285–290. doi : 10.1016/0024-3795(75)90075-0 . ISSN  0024-3795.
• Sudarshan, ECG; Mateo, PM; Rau, Jayaseetha (1 de febrero de 1961). "Dinámica estocástica de sistemas mecánico-cuánticos". Revisión física . 121 (3). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 920–924. Código bibliográfico : 1961PhRv..121..920S. doi : 10.1103/physrev.121.920. ISSN  0031-899X.
• Belavkin, vicepresidente; Staszewski, P. (1986). "Un teorema de Radon-Nikodym para mapas completamente positivos". Informes de Física Matemática . 24 (1). Elsevier BV: 49–55. Código Bib : 1986RpMP...24...49B. doi :10.1016/0034-4877(86)90039-x. ISSN  0034-4877.
• K. Kraus, Estados, efectos y operaciones: nociones fundamentales de la teoría cuántica , Springer Verlag 1983
• WF Stinespring, Funciones positivas en álgebras C* , Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense, 211–216, 1955
• V. Varadarajan, La geometría de la mecánica cuántica vols 1 y 2, Springer-Verlag 1985