canal cuántico

Objeto fundamental en la teoría de la comunicación cuántica.

En la teoría de la información cuántica , un canal cuántico es un canal de comunicación que puede transmitir información cuántica , así como información clásica. Un ejemplo de información cuántica es el estado de un qubit . Un ejemplo de información clásica es un documento de texto transmitido a través de Internet .

Más formalmente, los canales cuánticos son mapas completamente positivos (CP) que preservan la traza entre espacios de operadores. En otras palabras, un canal cuántico es simplemente una operación cuántica vista no simplemente como la dinámica reducida de un sistema sino como una tubería destinada a transportar información cuántica. (Algunos autores utilizan el término "operación cuántica" para incluir también mapas de disminución de trazas, reservando el "canal cuántico" para mapas que preservan estrictamente las trazas. ^[1] )

Canal cuántico sin memoria

Supondremos por el momento que todos los espacios de estados de los sistemas considerados, clásicos o cuánticos, son de dimensión finita.

Lo sin memoria en el título de la sección tiene el mismo significado que en la teoría de la información clásica : la salida de un canal en un momento dado depende sólo de la entrada correspondiente y no de las anteriores.

Imagen de Schrödinger

Consideremos los canales cuánticos que transmiten sólo información cuántica. Se trata precisamente de una operación cuántica , cuyas propiedades resumimos ahora.

Sean y los espacios de estados ( espacios de Hilbert de dimensión finita ) de los extremos emisor y receptor, respectivamente, de un canal. denotará la familia de operadores en En la imagen de Schrödinger , un canal puramente cuántico es un mapa entre matrices de densidad que actúan sobre y con las siguientes propiedades: ${\displaystyle H_{A}}$ ${\displaystyle H_{B}}$ ${\displaystyle L(H_{A})}$ ${\displaystyle H_{A}.}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle H_{A}}$ ${\displaystyle H_{B}}$

1. Como exigen los postulados de la mecánica cuántica, debe ser lineal. ${\displaystyle \Phi }$
2. Dado que las matrices de densidad son positivas, se debe preservar el cono de elementos positivos. En otras palabras, es un mapa positivo . ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$
3. Si una ancilla de dimensión finita arbitraria n está acoplada al sistema, entonces el mapa inducido donde In _es el mapa de identidad en la ancilla también debe ser positivo. Por lo tanto, se requiere que sea positivo para todo n . Estos mapas se denominan completamente positivos . ${\displaystyle I_{n}\otimes \Phi ,}$ ${\displaystyle I_{n}\otimes \Phi }$
4. Se especifica que las matrices de densidad tienen traza 1, por lo que se debe preservar la traza. ${\displaystyle \Phi }$

Los adjetivos completamente positivo y preservación de rastros utilizados para describir un mapa a veces se abrevian CPTP . En la literatura, a veces la cuarta propiedad se debilita, por lo que sólo se requiere que no aumente la traza. En este artículo, se asumirá que todos los canales son CPTP. ${\displaystyle \Phi }$

imagen de heisenberg

Las matrices de densidad que actúan sobre H _A sólo constituyen un subconjunto adecuado de los operadores en H _A y lo mismo puede decirse del sistema B. Sin embargo, una vez que se especifica un mapa lineal entre las matrices de densidad, un argumento de linealidad estándar, junto con el supuesto de dimensión finita, nos permiten extendernos de forma única al espacio completo de operadores. Esto lleva al mapa adjunto , que describe la acción de en el cuadro de Heisenberg : ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{*}}$ ${\displaystyle \Phi }$

Los espacios de los operadores L ( H _A ) y L ( H _B ) son espacios de Hilbert con el producto interno de Hilbert-Schmidt . Por lo tanto, viendo como un mapa entre espacios de Hilbert, obtenemos su adjunto ^* dado por ${\displaystyle \Phi :L(H_{A})\rightarrow L(H_{B})}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \langle A,\Phi (\rho )\rangle =\langle \Phi ^{*}(A),\rho \rangle .}$

Mientras que lleva los estados de A a los de B , asigna los observables del sistema B a los observables de A. Esta relación es la misma que existe entre las descripciones de la dinámica de Schrödinger y Heisenberg. Las estadísticas de medición permanecen sin cambios ya sea que los observables se consideren fijos mientras los estados están en operación o viceversa. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{*}}$

Se puede comprobar directamente que si se supone que conserva el rastro, es unitario , es decir . Físicamente hablando, esto significa que, en la imagen de Heisenberg, lo observable trivial sigue siendo trivial después de aplicar el canal. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{*}}$ ${\displaystyle \Phi ^{*}(I)=I}$

Información clásica

Hasta ahora sólo hemos definido un canal cuántico que transmite únicamente información cuántica. Como se indicó en la introducción, la entrada y salida de un canal también pueden incluir información clásica. Para describir esto, es necesario generalizar un poco la formulación dada hasta ahora. Un canal puramente cuántico, en la imagen de Heisenberg, es un mapa lineal Ψ entre espacios de operadores:

${\displaystyle \Psi :L(H_{B})\rightarrow L(H_{A})}$

que es unitario y completamente positivo ( CP ). Los espacios de operadores pueden verse como álgebras C* de dimensión finita . Por lo tanto, podemos decir que un canal es un mapa CP unitario entre álgebras C*:

${\displaystyle \Psi :{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {A}}.}$

Luego se puede incluir información clásica en esta formulación. Se puede suponer que los observables de un sistema clásico son un álgebra C* conmutativa, es decir, el espacio de funciones continuas en algún conjunto . Suponemos que es finito, por lo que puede identificarse con el espacio euclidiano de n dimensiones con multiplicación por entradas. ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Por lo tanto, en la imagen de Heisenberg, si la información clásica es parte de, digamos, la entrada, definiríamos incluir los observables clásicos relevantes. Un ejemplo de esto sería un canal. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

${\displaystyle \Psi :L(H_{B})\otimes C(X)\rightarrow L(H_{A}).}$

El aviso sigue siendo un álgebra C*. Un elemento de un álgebra C* se llama positivo si para algunos . La positividad de un mapa se define en consecuencia. Esta caracterización no es universalmente aceptada; El instrumento cuántico a veces se presenta como el marco matemático generalizado para transmitir información tanto cuántica como clásica. En las axiomatizaciones de la mecánica cuántica, la información clásica se lleva en un álgebra de Frobenius o categoría de Frobenius . ${\displaystyle L(H_{B})\otimes C(X)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle a=x^{*}x}$ ${\displaystyle x}$

Ejemplos

Evolución del tiempo

Para un sistema puramente cuántico, la evolución temporal, en un momento determinado t , viene dada por

${\displaystyle \rho \rightarrow U\rho \;U^{*},}$

donde y H es el hamiltoniano y t es el tiempo. Claramente esto da un mapa CPTP en la imagen de Schrödinger y por lo tanto es un canal. El mapa dual en la imagen de Heisenberg es ${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$

${\displaystyle A\rightarrow U^{*}AU.}$

Restricción

Considere un sistema cuántico compuesto con espacio de estados para un estado ${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}.}$

${\displaystyle \rho \in H_{A}\otimes H_{B},}$

el estado reducido de ρ en el sistema A , ρ ^A , se obtiene tomando la traza parcial de ρ con respecto al sistema B :

${\displaystyle \rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\;\rho .}$

La operación de seguimiento parcial es un mapa CPTP y, por tanto, un canal cuántico en la imagen de Schrödinger. En la imagen de Heisenberg, el mapa dual de este canal es

${\displaystyle A\rightarrow A\otimes I_{B},}$

donde A es un observable del sistema A.

Observable

Un observable asocia un valor numérico a un efecto de la mecánica cuántica . Se supone que los operadores positivos actúan en el espacio de estados apropiado y . (Esta colección se llama POVM ). En la imagen de Heisenberg, el mapa observable correspondiente mapea un observable clásico. ${\displaystyle f_{i}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\textstyle \sum _{i}F_{i}=I}$ ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle f={\begin{bmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{bmatrix}}\in C(X)}$

a la mecanica cuantica

${\displaystyle \;\Psi (f)=\sum _{i}f_{i}F_{i}.}$

En otras palabras, se integra f contra el POVM para obtener el observable de la mecánica cuántica. Se puede comprobar fácilmente que es CP y unital. ${\displaystyle \Psi }$

El correspondiente mapa de Schrödinger lleva las matrices de densidad a estados clásicos: ${\displaystyle \Psi ^{*}}$

${\displaystyle \Psi (\rho )={\begin{bmatrix}\langle F_{1},\rho \rangle \\\vdots \\\langle F_{n},\rho \rangle \end{bmatrix}},}$

donde el producto interno es el producto interno de Hilbert-Schmidt. Además, viendo los estados como funcionales normalizados e invocando el teorema de representación de Riesz , podemos poner

${\displaystyle \Psi (\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}.}$

Instrumento

El mapa observable, en la imagen de Schrödinger, tiene un álgebra de salida puramente clásica y, por lo tanto, solo describe estadísticas de medición. Para tener en cuenta también el cambio de estado, definimos lo que se llama instrumento cuántico . Sean los efectos (POVM) asociados a un observable. En la imagen de Schrödinger, un instrumento es un mapa con entrada cuántica pura y con salida espacial : ${\displaystyle \{F_{1},\dots ,F_{n}\}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \rho \in L(H)}$ ${\displaystyle C(X)\otimes L(H)}$

${\displaystyle \Phi (\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\cdot F_{1}\\\vdots \\\rho (F_{n})\cdot F_{n}\end{bmatrix}}.}$

Dejar

${\displaystyle f={\begin{bmatrix}f_{1}\\\vdots \\f_{n}\end{bmatrix}}\in C(X).}$

El mapa dual en la imagen de Heisenberg es

${\displaystyle \Psi (f\otimes A)={\begin{bmatrix}f_{1}\Psi _{1}(A)\\\vdots \\f_{n}\Psi _{n}(A)\end{bmatrix}}}$

donde se define de la siguiente manera: Factor (esto siempre se puede hacer ya que los elementos de un POVM son positivos) entonces . Vemos que es CP y unital. ${\displaystyle \Psi _{i}}$ ${\displaystyle F_{i}=M_{i}^{2}}$ ${\displaystyle \;\Psi _{i}(A)=M_{i}AM_{i}}$ ${\displaystyle \Psi }$

Observe que da precisamente el mapa observable. El mapa ${\displaystyle \Psi (f\otimes I)}$

${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(A)=\sum _{i}\Psi _{i}(A)=\sum _{i}M_{i}AM_{i}}$

describe el cambio de estado general.

Canal de medir y preparar

Supongamos que dos partes, A y B, desean comunicarse de la siguiente manera: A realiza la medición de un observable y comunica el resultado de la medición a B de manera clásica. Según el mensaje que recibe, B prepara su sistema (cuántico) en un estado específico. En la imagen de Schrödinger, la primera parte del canal ₁ consiste simplemente en que A realiza una medición, es decir, es el mapa observable: ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \;\Phi _{1}(\rho )={\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}.}$

Si, en el caso del resultado de medición i -ésimo, B prepara su sistema en el estado _Ri , la segunda parte del canal ₂ lleva el estado clásico anterior a la matriz de densidad. ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi _{2}\left({\begin{bmatrix}\rho (F_{1})\\\vdots \\\rho (F_{n})\end{bmatrix}}\right)=\sum _{i}\rho (F_{i})R_{i}.}$

La operación total es la composición.

${\displaystyle \Phi (\rho )=\Phi _{2}\circ \Phi _{1}(\rho )=\sum _{i}\rho (F_{i})R_{i}.}$

Los canales de esta forma se denominan medir y preparar o en forma Holevo .

En la imagen de Heisenberg, el mapa dual está definido por ${\displaystyle \Phi ^{*}=\Phi _{1}^{*}\circ \Phi _{2}^{*}}$

${\displaystyle \;\Phi ^{*}(A)=\sum _{i}R_{i}(A)F_{i}.}$

Un canal de medir y preparar no puede ser el mapa de identidad. Esta es precisamente la afirmación del teorema de la no teletransportación , que dice que la teletransportación clásica (que no debe confundirse con la teletransportación asistida por entrelazamiento ) es imposible. En otras palabras, un estado cuántico no se puede medir de forma fiable.

En la dualidad canal-estado , un canal se mide y prepara si y sólo si el estado correspondiente es separable . En realidad, todos los estados que resultan de la acción parcial de un canal de medir y preparar son separables, y por esta razón los canales de medir y preparar también se conocen como canales de ruptura de enredos.

canal puro

Consideremos el caso de un canal puramente cuántico en el cuadro de Heisenberg. Con el supuesto de que todo es de dimensión finita, es un mapa CP unitario entre espacios de matrices. ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \Psi :\mathbb {C} ^{n\times n}\rightarrow \mathbb {C} ^{m\times m}.}$

Según el teorema de Choi, en aplicaciones completamente positivas , debe tomar la forma ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \Psi (A)=\sum _{i=1}^{N}K_{i}AK_{i}^{*}}$

donde N ≤ nm . Las matrices Ki _se denominan operadores de Kraus (en honor al físico alemán Karl Kraus , quien los introdujo). El número mínimo de operadores Kraus se denomina rango Kraus de . Un canal con rango Kraus 1 se llama puro . La evolución temporal es un ejemplo de canal puro. Esta terminología proviene nuevamente de la dualidad canal-estado. Un canal es puro si y sólo si su estado dual es puro. ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi }$

Teletransportación

En la teletransportación cuántica , un emisor desea transmitir un estado cuántico arbitrario de una partícula a un receptor posiblemente distante. En consecuencia, el proceso de teletransportación es un canal cuántico. El aparato para el proceso en sí requiere un canal cuántico para la transmisión de una partícula en estado entrelazado al receptor. La teletransportación se produce mediante una medición conjunta de la partícula enviada y la partícula restante enredada. Esta medición da como resultado información clásica que debe enviarse al receptor para completar la teletransportación. Es importante destacar que la información clásica se puede enviar después de que el canal cuántico haya dejado de existir.

En el entorno experimental

Experimentalmente, una implementación simple de un canal cuántico es la transmisión de fotones individuales por fibra óptica (o en espacio libre) . Los fotones individuales se pueden transmitir hasta 100 km en fibra óptica estándar antes de que dominen las pérdidas. El tiempo de llegada del fotón ( entrelazamiento del intervalo de tiempo ) o la polarización se utilizan como base para codificar información cuántica para fines como la criptografía cuántica . El canal es capaz de transmitir no sólo estados básicos (por ejemplo , ), sino también superposiciones de ellos (por ejemplo, ). La coherencia del estado se mantiene durante la transmisión a través del canal. Compare esto con la transmisión de impulsos eléctricos a través de cables (un canal clásico), donde sólo se puede enviar información clásica (por ejemplo, 0 y 1). ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |0\rangle +|1\rangle }$

Capacidad del canal

La norma cb de un canal.

Antes de dar la definición de capacidad del canal, es necesario discutir la noción preliminar de la norma de acotación completa , o norma cb de un canal. Al considerar la capacidad de un canal , debemos compararlo con un "canal ideal" . Por ejemplo, cuando las álgebras de entrada y salida son idénticas, podemos elegir ser el mapa de identidad. Esta comparación requiere una métrica entre canales. Dado que un canal puede verse como un operador lineal, resulta tentador utilizar la norma del operador natural . En otras palabras, la cercanía del canal ideal se puede definir mediante ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle \|\Phi -\Lambda \|=\sup\{\|(\Phi -\Lambda )(A)\|\;|\;\|A\|\leq 1\}.}$

Sin embargo, la norma del operador puede aumentar cuando tensamos con el mapa de identidad en alguna ancilla. ${\displaystyle \Phi }$

Para hacer que la norma del operador sea un candidato aún más indeseable, la cantidad

${\displaystyle \|\Phi \otimes I_{n}\|}$

puede aumentar sin límite como La solución es introducir, para cualquier aplicación lineal entre álgebras C*, la norma cb ${\displaystyle n\rightarrow \infty .}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \|\Phi \|_{cb}=\sup _{n}\|\Phi \otimes I_{n}\|.}$

Definición de capacidad del canal

El modelo matemático de un canal utilizado aquí es el mismo que el clásico .

Seamos un canal en el cuadro de Heisenberg y seamos un canal ideal elegido. Para que la comparación sea posible, es necesario codificar y decodificar Φ mediante dispositivos apropiados, es decir, consideramos la composición ${\displaystyle \Psi :{\mathcal {B}}_{1}\rightarrow {\mathcal {A}}_{1}}$ ${\displaystyle \Psi _{id}:{\mathcal {B}}_{2}\rightarrow {\mathcal {A}}_{2}}$

${\displaystyle {\hat {\Psi }}=D\circ \Phi \circ E:{\mathcal {B}}_{2}\rightarrow {\mathcal {A}}_{2}}$

donde E es un codificador y D es un decodificador. En este contexto, E y D son mapas CP unitarios con dominios apropiados. La cantidad de interés es el mejor de los casos :

${\displaystyle \Delta ({\hat {\Psi }},\Psi _{id})=\inf _{E,D}\|{\hat {\Psi }}-\Psi _{id}\|_{cb}}$

asumiendo el mínimo todos los codificadores y decodificadores posibles.

Para transmitir palabras de longitud n , el canal ideal es aplicarlo n veces, por lo que consideramos la potencia tensorial

${\displaystyle \Psi _{id}^{\otimes n}=\Psi _{id}\otimes \cdots \otimes \Psi _{id}.}$

La operación describe n entradas que se someten a la operación de forma independiente y es la contraparte mecánica cuántica de la concatenación . Del mismo modo, m invocaciones del canal corresponden a . ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \Psi _{id}}$ ${\displaystyle {\hat {\Psi }}^{\otimes m}}$

La cantidad

${\displaystyle \Delta ({\hat {\Psi }}^{\otimes m},\Psi _{id}^{\otimes n})}$

es, por tanto, una medida de la capacidad del canal para transmitir fielmente palabras de longitud n al ser invocadas m veces.

Esto lleva a la siguiente definición:

Un número real no negativo r es una tasa alcanzable con respecto a ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi _{id}}$ si

Para todas las secuencias donde y , tenemos ${\displaystyle \{n_{\alpha }\},\{m_{\alpha }\}\subset \mathbb {N} }$ ${\displaystyle m_{\alpha }\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \lim \sup _{\alpha }(n_{\alpha }/m_{\alpha })<r}$

${\displaystyle \lim _{\alpha }\Delta ({\hat {\Psi }}^{\otimes m_{\alpha }},\Psi _{id}^{\otimes n_{\alpha }})=0.}$

Se puede considerar que una secuencia representa un mensaje que consta de un número posiblemente infinito de palabras. La condición límite suprema en la definición dice que, en el límite, se puede lograr una transmisión fiel invocando el canal no más de r veces la longitud de una palabra. También se puede decir que r es el número de letras por invocación del canal que se pueden enviar sin error. ${\displaystyle \{n_{\alpha }\}}$

La capacidad del canal con respecto a ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi _{id}}$ , denotada por es el supremo de todas las tasas alcanzables. ${\displaystyle \;C(\Psi ,\Psi _{id})}$

Según la definición, es vagamente cierto que 0 es una tasa alcanzable para cualquier canal.

Ejemplos importantes

Como se indicó anteriormente, para un sistema con álgebra observable , el canal ideal es por definición el mapa de identidad . Por lo tanto, para un sistema cuántico puramente de n dimensiones, el canal ideal es el mapa de identidad en el espacio de n  ×  n matrices . Como un ligero abuso de notación, este canal cuántico ideal también se denotará por . De manera similar, un sistema clásico con álgebra de salida tendrá un canal ideal indicado por el mismo símbolo. Ahora podemos enunciar algunas capacidades fundamentales del canal. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Psi _{id}}$ ${\displaystyle I_{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$

La capacidad del canal ideal clásico con respecto a un canal ideal cuántico es ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$

${\displaystyle C(\mathbb {C} ^{m},\mathbb {C} ^{n\times n})=0.}$

Esto equivale al teorema de la no teletransportación: es imposible transmitir información cuántica a través de un canal clásico.

Además, se cumplen las siguientes igualdades:

${\displaystyle C(\mathbb {C} ^{m},\mathbb {C} ^{n})=C(\mathbb {C} ^{m\times m},\mathbb {C} ^{n\times n})=C(\mathbb {C} ^{m\times m},\mathbb {C} ^{n})={\frac {\log n}{\log m}}.}$

Lo anterior dice, por ejemplo, que un canal cuántico ideal no es más eficiente para transmitir información clásica que un canal clásico ideal. Cuando n = m , lo mejor que se puede lograr es un bit por qubit .

Es relevante señalar aquí que ambos límites de capacidades anteriores se pueden romper con la ayuda del entrelazamiento . El esquema de teletransportación asistida por entrelazamiento permite transmitir información cuántica utilizando un canal clásico. Codificación superdensa . logra dos bits por qubit . Estos resultados indican el importante papel que desempeña el entrelazamiento en la comunicación cuántica.

Capacidades de canales clásicos y cuánticos.

Usando la misma notación que en la subsección anterior, la capacidad clásica de un canal Ψ es

${\displaystyle C(\Psi ,\mathbb {C} ^{2}),}$

es decir, es la capacidad de Ψ con respecto al canal ideal en el sistema clásico de un bit . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

De manera similar, la capacidad cuántica de Ψ es

${\displaystyle C(\Psi ,\mathbb {C} ^{2\times 2}),}$

donde el sistema de referencia es ahora el sistema de un qubit . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2\times 2}}$

fidelidad del canal

Otra medida de qué tan bien un canal cuántico conserva la información se llama fidelidad del canal y surge de la fidelidad de los estados cuánticos .

Canal cuántico bistocástico

Un canal cuántico bistocástico es un canal cuántico que es unital , ^[2] es decir . ${\displaystyle \Phi (\rho )}$ ${\displaystyle \Phi (I)=I}$

Ver también

• Teorema de no comunicación
• Canal de amortiguación de amplitud
• Canal despolarizante cuántico

Referencias

1. Weedbrook, cristiano; Pirandola, Stefano; García-Patrón, Raúl; Cerf, Nicolás J.; Ralph, Timothy C.; Shapiro, Jeffrey H.; Lloyd, Seth (2012). "Información cuántica gaussiana". Reseñas de Física Moderna . 84 (2): 621–669. arXiv : 1110.3234 . Código Bib : 2012RvMP...84..621W. doi : 10.1103/RevModPhys.84.621. S2CID  119250535.
2. John A. Holbrook, David W. Kribs y Raymond Laflamme. "Subsistemas silenciosos y la estructura del mutante en la corrección de errores cuánticos". Procesamiento de información cuántica . Volumen 2, Número 5, pág. 381-419. Octubre de 2003.

• M. Keyl y RF Werner, Cómo corregir pequeños errores cuánticos , Lecture Notes in Physics Volume 611, Springer, 2002.
• Wilde, Mark M. (2017), Teoría de la información cuántica , Cambridge University Press, arXiv : 1106.1445 , Bibcode : 2011arXiv1106.1445W, doi : 10.1017/9781316809976.001, S2CID  2515538.