Teorema de Choi en mapas completamente positivos.

Clasificación de mapas completamente positivos.

En matemáticas , el teorema de Choi sobre mapas completamente positivos es un resultado que clasifica mapas completamente positivos entre álgebras C* de dimensión finita (matriz) . Una generalización algebraica de dimensión infinita del teorema de Choi se conoce como teorema " Radón-Nikodym " de Belavkin para aplicaciones completamente positivas.

Declaración

El teorema de Choi. Sea un mapa lineal. Los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle \Phi :\mathbb {C} ^{n\times n}\to \mathbb {C} ^{m\times m}}$

(i) Φ es n -positivo (es decir, es positivo siempre que sea positivo). ${\displaystyle \left(\operatorname {id} _{n}\otimes \Phi \right)(A)\in \mathbb {C} ^{n\times n}\otimes \mathbb {C} ^{m\times m}}$ ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}\otimes \mathbb {C} ^{n\times n}}$

(ii) La matriz con entradas de operadores

${\displaystyle C_{\Phi }=\left(\operatorname {id} _{n}\otimes \Phi \right)\left(\sum _{ij}E_{ij}\otimes E_{ij}\right)=\sum _{ij}E_{ij}\otimes \Phi (E_{ij})\in \mathbb {C} ^{nm\times nm}}$

es positivo, donde está la matriz con 1 en la entrada ij -ésima y 0 en el resto. (La matriz C _Φ a veces se denomina matriz Choi de Φ ). ${\displaystyle E_{ij}\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$

(iii) Φ es completamente positivo.

Prueba

(i) implica (ii)

Observamos que si

${\displaystyle E=\sum _{ij}E_{ij}\otimes E_{ij},}$

entonces E = E ^* y E ² = nE , entonces E = n ⁻¹ EE ^* que es positivo. Por lo tanto C _Φ =( I _n ⊗ Φ)( E ) es positivo por la n -positividad de Φ.

(iii) implica (i)

Esto es trivial.

(ii) implica (iii)

Esto implica principalmente buscar diferentes formas de ver C ^{nm × nm} :

${\displaystyle \mathbb {C} ^{nm\times nm}\cong \mathbb {C} ^{nm}\otimes (\mathbb {C} ^{nm})^{*}\cong \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m}\otimes (\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m})^{*}\cong \mathbb {C} ^{n}\otimes (\mathbb {C} ^{n})^{*}\otimes \mathbb {C} ^{m}\otimes (\mathbb {C} ^{m})^{*}\cong \mathbb {C} ^{n\times n}\otimes \mathbb {C} ^{m\times m}.}$

Sea la descomposición del vector propio de C _Φ

${\displaystyle C_{\Phi }=\sum _{i=1}^{nm}\lambda _{i}v_{i}v_{i}^{*},}$

donde los vectores se encuentran en C ^nm . Por suposición, cada valor propio no es negativo, por lo que podemos absorber los valores propios en los vectores propios y redefinirlos de modo que ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$

${\displaystyle \;C_{\Phi }=\sum _{i=1}^{nm}v_{i}v_{i}^{*}.}$

El espacio vectorial C ^nm puede verse como la suma directa compatible con la identificación anterior y la base estándar de C ⁿ . ${\displaystyle \textstyle \oplus _{i=1}^{n}\mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {C} ^{nm}\cong \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m}}$

Si P _k ∈ C ^{m × nm} es una proyección sobre la k -ésima copia de C ^m , entonces P _k ^* ∈ C ^{nm × m} es la inclusión de C ^m como el k -ésimo sumando de la suma directa y

${\displaystyle \;\Phi (E_{kl})=P_{k}\cdot C_{\Phi }\cdot P_{l}^{*}=\sum _{i=1}^{nm}P_{k}v_{i}(P_{l}v_{i})^{*}.}$

Ahora bien, si los operadores V _i ∈ C ^{m × n} se definen en el k -ésimo vector de base estándar e _k de C ⁿ por

${\displaystyle \;V_{i}e_{k}=P_{k}v_{i},}$

entonces

${\displaystyle \Phi (E_{kl})=\sum _{i=1}^{nm}P_{k}v_{i}(P_{l}v_{i})^{*}=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}e_{k}e_{l}^{*}V_{i}^{*}=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}E_{kl}V_{i}^{*}.}$

Extendiendo por linealidad nos da

${\displaystyle \Phi (A)=\sum _{i=1}^{nm}V_{i}AV_{i}^{*}}$

para cualquier A ∈ C ^{n × n} . Cualquier aplicación de esta forma es manifiestamente completamente positiva: la aplicación es completamente positiva y la suma (entre ) de operadores completamente positivos es nuevamente completamente positiva. Por lo tanto , el resultado deseado es completamente positivo. ${\displaystyle A\to V_{i}AV_{i}^{*}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Phi }$

Lo anterior es esencialmente la prueba original de Choi. También se conocen pruebas alternativas.

Consecuencias

Operadores Kraus

En el contexto de la teoría de la información cuántica , los operadores { V _i } se denominan operadores Kraus (en honor a Karl Kraus ) de Φ. Observe que, dado un Φ completamente positivo, sus operadores Kraus no tienen por qué ser únicos. Por ejemplo, cualquier factorización de "raíz cuadrada" de la matriz de Choi C _Φ = B ^∗ B da un conjunto de operadores de Kraus.

Dejar

${\displaystyle B^{*}=[b_{1},\ldots ,b_{nm}],}$

donde b _i * son los vectores fila de B , entonces

${\displaystyle C_{\Phi }=\sum _{i=1}^{nm}b_{i}b_{i}^{*}.}$

Los operadores de Kraus correspondientes se pueden obtener exactamente con el mismo argumento de la prueba.

Cuando los operadores de Kraus se obtienen a partir de la descomposición de vectores propios de la matriz de Choi, debido a que los vectores propios forman un conjunto ortogonal, los operadores de Kraus correspondientes también son ortogonales en el producto interno de Hilbert-Schmidt . Esto no es cierto en general para los operadores de Kraus obtenidos a partir de factorizaciones de raíz cuadrada. (Las matrices semidefinidas positivas generalmente no tienen factorizaciones únicas de raíz cuadrada).

Si dos conjuntos de operadores de Kraus { A _i } ₁ ^nm y { B _i } ₁ ^nm representan el mismo mapa Φ completamente positivo, entonces existe una matriz de operadores unitarios

${\displaystyle \{U_{ij}\}_{ij}\in \mathbb {C} ^{nm^{2}\times nm^{2}}\quad {\text{such that}}\quad A_{i}=\sum _{j=1}U_{ij}B_{j}.}$

Esto puede verse como un caso especial del resultado que relaciona dos representaciones mínimas de Stinespring .

Alternativamente, existe una matriz escalar de isometría { u _ij } _ij ∈ C ^{nm × nm} tal que

${\displaystyle A_{i}=\sum _{j=1}u_{ij}B_{j}.}$

Esto se desprende del hecho de que para dos matrices cuadradas M y N , MM* = NN* si y sólo si M = NU para alguna U unitaria .

Mapas completamente copositivos

Del teorema de Choi se deduce inmediatamente que Φ es completamente copositivo si y sólo si es de la forma

${\displaystyle \Phi (A)=\sum _{i}V_{i}A^{T}V_{i}^{*}.}$

Mapas que conservan el Hermitian

La técnica de Choi se puede utilizar para obtener un resultado similar para una clase más general de mapas. Se dice que Φ preserva hermitiano si A es hermitiano implica que Φ ( A ) también es hermitiano. Se puede demostrar que Φ conserva el estilo hermitiano si y sólo si tiene la forma

${\displaystyle \Phi (A)=\sum _{i=1}^{nm}\lambda _{i}V_{i}AV_{i}^{*}}$

donde λ _i son números reales, los valores propios de C _Φ , y cada V _i corresponde a un vector propio de C _Φ . A diferencia del caso completamente positivo, C _Φ puede no ser positivo. Dado que las matrices hermitianas no admiten factorizaciones de la forma B*B en general, la representación de Kraus ya no es posible para un Φ dado.

Ver también

• Teorema de factorización de Stinespring
• Operación cuántica
• Teorema de Holevo

Referencias

• MARYLAND. Choi, Mapas lineales completamente positivos sobre matrices complejas , Álgebra lineal y sus aplicaciones, 10, 285–290 (1975).
• VP Belavkin, P. Staszewski, Teorema de radón-Nikodym para mapas completamente positivos, Informes sobre física matemática, v.24, n.º 1, 49–55 (1986).
• J. de Pillis, Transformaciones lineales que preservan los operadores hermitianos y semidefinidos positivos , Pacific Journal of Mathematics, 23, 129-137 (1967).