Canal despolarizante cuántico

Modelo de ruido cuántico en sistemas cuánticos

Un canal despolarizante cuántico es un modelo de ruido cuántico en sistemas cuánticos. El canal despolarizante de dimensión α puede verse como un mapa de conservación de trazas completamente positivo , que depende de un parámetro , que asigna un estado a una combinación lineal de sí mismo y el estado de mezcla máxima . ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \Delta _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \Delta _{\lambda }(\rho )=(1-\lambda )\rho +{\frac {\lambda }{d}}I.}$

La condición de positividad completa requiere satisfacer los límites ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle 0\leq \lambda \leq 1+{\frac {1}{d^{2}-1}}.}$

Canal de qubit

El canal despolarizante de un solo qubit tiene una representación de suma de operadores ^[1] en una matriz de densidad dada por ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \Delta _{\lambda }(\rho )=\sum _{i=0}^{3}K_{i}\rho K_{i}^{\dagger },}$

¿Dónde están los operadores de Kraus dados por? ${\displaystyle K_{i}}$

${\displaystyle K_{0}={\sqrt {1-{\frac {3\lambda }{4}}}}I,K_{1}={\sqrt {\frac {\lambda }{4}}}X,K_{2}={\sqrt {\frac {\lambda }{4}}}Y,K_{3}={\sqrt {\frac {\lambda }{4}}}Z}$

y son las matrices de Pauli . La condición de conservación de trazas se satisface por el hecho de que ${\displaystyle \{I,X,Y,Z\}}$ ${\displaystyle \sum _{i}K_{i}^{\dagger }K_{i}=I.}$

Geométricamente, el canal despolarizante puede interpretarse como una contracción uniforme de la esfera de Bloch , parametrizada por . En el caso en que el canal retorna al estado de máxima mezcla para cualquier estado de entrada , que corresponde a la contracción completa de la esfera de Bloch hasta el punto único dado por el origen. ${\displaystyle \Delta _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda =1}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\frac {I}{2}}}$

Capacidad clásica

El teorema HSW establece que la capacidad clásica de un canal cuántico se puede caracterizar como su información Holevo regularizada : ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\chi (\Psi ^{\otimes n}).}$

Esta cantidad es difícil de calcular y refleja nuestra ignorancia sobre los canales cuánticos. Sin embargo, si la información de Holevo es aditiva para un canal , es decir, ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle \chi (\Psi \otimes \Psi )=\chi (\Psi )+\chi (\Psi ).}$

Luego podemos obtener su capacidad clásica calculando la información Holevo del canal.

La aditividad de la información de Holevo para todos los canales fue una famosa conjetura abierta en la teoría de la información cuántica, pero ahora se sabe que esta conjetura no se cumple en general. Esto se demostró al demostrar que la aditividad de la entropía de salida mínima para todos los canales no se cumple, ^[2] que es una conjetura equivalente.

No obstante, se demuestra que la aditividad de la información de Holevo es válida para el canal despolarizante cuántico ^[3] y a continuación se ofrece un resumen de la prueba. En consecuencia, el entrelazamiento entre múltiples usos del canal no puede aumentar la capacidad clásica. En este sentido, el canal se comporta como un canal clásico. Para lograr la tasa óptima de comunicación, basta con elegir una base ortonormal para codificar el mensaje y realizar mediciones que se proyecten sobre la misma base en el extremo receptor.

Esquema de la prueba de la aditividad de la información de Holevo

^{La aditividad de la información de Holevo para el canal despolarizante fue demostrada por Christopher King [3]} . Él demostró que la norma "p" de salida máxima del canal despolarizante es multiplicativa, lo que implica la aditividad de la entropía de salida mínima, que es equivalente a la aditividad de la información de Holevo.

Se muestra una versión más fuerte de la aditividad de la información de Holevo para el canal despolarizante . Para cualquier canal ${\displaystyle \Delta _{\lambda }}$ ${\displaystyle \Psi ,}$

${\displaystyle \chi (\Delta _{\lambda }\otimes \Psi )=\chi (\Delta _{\lambda })+\chi (\Psi ).}$

Esto está implícito en la siguiente multiplicidad de la p -norma de salida máxima (denotada como ): ${\displaystyle v_{p}}$

${\displaystyle v_{p}(\Delta _{\lambda }\otimes \Psi )=v_{p}(\Delta _{\lambda })v_{p}(\Psi ).}$

La dirección mayor o igual a de lo anterior es trivial, basta con tomar el producto tensorial de los estados que alcanzan la p -norma máxima para y respectivamente, e ingresar el estado producto en el canal de producto para obtener la p -norma de salida . La prueba para la otra dirección es más compleja. ${\displaystyle \Delta _{\lambda }}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle v_{p}(\Delta _{\lambda })v_{p}(\Psi )}$

La idea principal de la prueba es reescribir el canal despolarizante como una combinación convexa de canales más simples y utilizar las propiedades de esos canales más simples para obtener la multiplicidad de la p -norma de salida máxima para el canal despolarizante.

Resulta que podemos escribir el canal despolarizante de la siguiente manera:

${\displaystyle \Delta _{\lambda }(\rho )=\sum _{n=1}^{2d^{2}(d+1)}c_{n}U_{n}^{*}\Phi _{\lambda }^{(n)}(\rho )Un}$

donde 's son números positivos, 's son matrices unitarias, 's son algunos canales de desfase y es un estado de entrada arbitrario. ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }^{(n)}}$ ${\displaystyle \rho }$

Por lo tanto, el canal del producto se puede escribir como

${\displaystyle \left(\Delta _{\lambda }\otimes \Psi \right)(\rho )=\sum _{n=1}^{2d^{2}(d+1)}c_{n}(U_{n}^{*}\otimes I)\left(\Phi _{\lambda }^{(n)}\otimes \Psi \right)(\rho )\left(U_{n}\otimes I\right).}$

Por la convexidad y la invariancia unitaria de la p -norma, basta mostrar el límite más simple

${\displaystyle \left\|\left(\Phi _{\lambda }^{(n)}\otimes \Psi \right)(\rho )\right\|_{p}\leq v_{p}(\Delta _{\lambda })v_{p}(\Psi ).}$

Una herramienta matemática importante utilizada en la prueba de este límite es la desigualdad de Lieb-Thirring , que proporciona un límite para la norma p de un producto de matrices positivas. Se omiten los detalles y los cálculos de la prueba; los lectores interesados ​​pueden consultar el artículo de C. King mencionado anteriormente.

Discusión

La técnica principal utilizada en esta prueba, es decir, reescribir el canal de interés como una combinación convexa de otros canales más simples, es una generalización del método utilizado anteriormente para demostrar resultados similares para canales de qubit unitarios. ^[4]

El hecho de que la capacidad clásica del canal despolarizante sea igual a la información de Holevo del canal significa que no podemos utilizar efectos cuánticos como el entrelazamiento para mejorar la velocidad de transmisión de la información clásica. En este sentido, el canal despolarizante puede tratarse como un canal clásico.

Sin embargo, el hecho de que la aditividad de la información Holevo no se mantenga en general propone algunas áreas de trabajo futuro, a saber, encontrar canales que violen la aditividad, en otras palabras, canales que puedan explotar los efectos cuánticos para mejorar la capacidad clásica más allá de su información Holevo.

Notas

1. Michael A. Nielsen e Isaac L. Chuang (2000). Computación cuántica e información cuántica . Cambridge University Press.
2. Hastings 2009.
3. Rey 2003.
4. C. King, Aditividad para canales unitarios de qubit

Referencias

• King, C. (14 de enero de 2003), "La capacidad del canal despolarizante cuántico", IEEE Transactions on Information Theory , 49 (1): 221–229, arXiv : quant-ph/0204172v2 , doi :10.1109/TIT.2002.806153
• Hastings, MB (15 de marzo de 2009), "Superaditividad de la capacidad de comunicación utilizando entradas enredadas", Nature Physics , 5 (4): 255–257, arXiv : 0809.3972v4 , Bibcode :2009NatPh...5..255H, doi :10.1038/nphys1224
• Wilde, Mark M. (2017), Teoría de la información cuántica , Cambridge University Press, arXiv : 1106.1445 , Bibcode :2011arXiv1106.1445W, doi :10.1017/9781316809976.001