instrumento cuántico

Abstracción matemática de la medición cuántica.

En física , un instrumento cuántico es una abstracción matemática de una medición cuántica , que captura tanto las salidas clásicas como las cuánticas . Combina los conceptos de medición y operación cuántica . Puede entenderse de manera equivalente como un canal cuántico que toma como entrada un sistema cuántico y tiene como salida dos sistemas: un sistema clásico que contiene el resultado de la medición y un sistema cuántico que contiene el estado posterior a la medición.

Definición

Sea un conjunto contable que describe los resultados de una medición, y denotemos una colección de mapas completamente positivos que no aumentan la traza , de manera que la suma de todos preserva la traza, es decir, para todos los operadores positivos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{{\mathcal {E}}_{x}\}_{x\in X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}}$ ${\textstyle \operatorname {tr} \left(\sum _{x}{\mathcal {E}}_{x}(\rho )\right)=\operatorname {tr} (\rho )}$ ${\displaystyle \rho }$

Ahora, para describir una medición cuántica mediante un instrumento , los mapas se utilizan para modelar el mapeo desde un estado de entrada al estado de salida de una medición condicionada a un resultado de medición clásico . Por lo tanto, la probabilidad de medir un resultado específico en un estado está dada por ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{x}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle p(x|\rho )=\operatorname {tr} ({\mathcal {E}}_{x}(\rho )).}$$

El estado después de una medición con el resultado específico viene dado por ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \rho _{x}={\frac {{\mathcal {E}}_{x}(\rho )}{\operatorname {tr} ({\mathcal {E}}_{x}(\rho ))}}.}$$

Si los resultados de la medición se registran en un registro clásico, cuyos estados se modelan mediante un conjunto de proyecciones ortonormales , entonces la acción de un instrumento viene dada por un canal cuántico con ${\textstyle |x\rangle \langle x|\in {\mathcal {B}}(\mathbb {C} ^{|X|})}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}:{\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{1})\rightarrow {\mathcal {B}}({\mathcal {H}}_{2})\otimes {\mathcal {B}}(\mathbb {C} ^{|X|})}$

$${\displaystyle {\mathcal {I}}(\rho ):=\sum _{x}{\mathcal {E}}_{x}(\rho )\otimes \vert x\rangle \langle x|.}$$

Aquí y están los espacios de Hilbert correspondientes a los sistemas de entrada y salida del instrumento. ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{2}\otimes \mathbb {C} ^{|X|}}$

Un instrumento cuántico es un ejemplo de operación cuántica en la que un "resultado" que indica qué operador actuó sobre el estado se registra en un registro clásico. En el canal cuántico se da un desarrollo ampliado de los instrumentos cuánticos . ${\displaystyle x}$

Reducciones e inducciones

Así como un mapa completamente positivo (CPTP) siempre puede considerarse la reducción de la evolución unitaria en un sistema con un auxiliar inicialmente desenredado, los instrumentos cuánticos son las reducciones de la medición proyectiva con un unitario condicional, y también se reducen a mapas CPTP y POVM cuando se ignoran. resultados de medición y evolución del estado, respectivamente. En la terminología de John Smolin , este es un ejemplo de "ir a la Iglesia del espacio más grande de Hilbert".

Como reducción de la medida proyectiva y unitaria condicional.

Cualquier instrumento cuántico en un sistema se puede modelar como una medición proyectiva y (conjuntamente) un auxiliar no correlacionado seguido de una condicional unitaria sobre el resultado de la medición. Sea (con y ) el estado inicial normalizado de , sea (con y ) una medida proyectiva de y sea (con ) unitarios . Entonces uno puede comprobar que ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta >0}$ ${\displaystyle \mathrm {Tr} \,\eta =1}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \{\Pi _{i}\}}$ ${\displaystyle \Pi _{i}=\Pi _{i}^{\dagger }=\Pi _{i}^{2}}$ ${\displaystyle \Pi _{i}\Pi _{j}=\delta _{ij}\Pi _{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {SA}}}$ ${\displaystyle \{U_{i}\}}$ ${\displaystyle U_{i}^{\dagger }=U_{i}^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {SA}}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}(\rho ):=\mathrm {Tr} _{\mathcal {A}}\left(U_{i}\Pi _{i}(\rho \otimes \eta )\Pi _{i}U_{i}^{\dagger }\right)}$

define un instrumento cuántico. Además, también se puede comprobar que se puede obtener cualquier elección de instrumento cuántico con esta construcción para alguna elección de y . ${\displaystyle \{{\mathcal {E}}_{i}\}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \{U_{i}\}}$

En este sentido, se puede pensar en un instrumento cuántico como la reducción de una medida proyectiva combinada con una unitaria condicional.

Reducción al mapa CPTP

Cualquier instrumento cuántico induce inmediatamente un mapa de preservación de trazas (CPTP) completamente positivo, es decir, un canal cuántico: ${\displaystyle \{{\mathcal {E}}_{i}\}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\rho ):=\sum _{i}{\mathcal {E}}_{i}(\rho )}$

Esto puede considerarse como el efecto general de la medición en el sistema cuántico si se desecha el resultado de la medición.

Reducción a POVM

Cualquier instrumento cuántico induce inmediatamente una medición positiva valorada por el operador (POVM): ${\displaystyle \{{\mathcal {E}}_{i}\}}$

${\displaystyle M_{i}:=\sum _{a}K_{a}^{(i)\dagger }K_{a}^{(i)}}$

¿Dónde están las opciones de operadores Kraus para , ${\displaystyle K_{a}^{(i)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}(\rho )=\sum _{a}K_{a}^{(i)}\rho K_{a}^{(i)\dagger }.}$

Los operadores Kraus no están determinados únicamente por los mapas CP , pero la definición anterior de los elementos POVM es la misma para cualquier elección. Se puede considerar al POVM como la medición del sistema cuántico si se desecha la información sobre cómo el sistema se ve afectado por la medición. ${\displaystyle K_{a}^{(i)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{i}}$ ${\displaystyle M_{i}}$

Referencias

• E. Davies, J. Lewis. Un enfoque operativo de la probabilidad cuántica, Comm. Matemáticas. Física, vol. 17, págs. 239-260, 1970.
• Destilación de papel de clave secreta.
• Otro artículo que utiliza el concepto.