Espacio separable

Espacio topológico con un subconjunto contable denso

En matemáticas , un espacio topológico se llama separable si contiene un subconjunto denso y contable ; es decir, existe una secuencia de elementos del espacio tal que cada subconjunto abierto no vacío del espacio contiene al menos un elemento de la secuencia. ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$

Al igual que los otros axiomas de contabilidad , la separabilidad es una "limitación de tamaño", no necesariamente en términos de cardinalidad (aunque, en presencia del axioma de Hausdorff , este resulta ser el caso; ver más abajo) sino de una manera más sutil. sentido topológico. En particular, cada función continua en un espacio separable cuya imagen es un subconjunto de un espacio de Hausdorff está determinada por sus valores en el subconjunto denso contable.

Contraste la separabilidad con la noción relacionada de segunda contabilización , que en general es más fuerte pero equivalente en la clase de espacios metrizables .

Primeros ejemplos

Cualquier espacio topológico que sea en sí mismo finito o contablemente infinito es separable, ya que todo el espacio es un subconjunto denso contable de sí mismo. Un ejemplo importante de un espacio separable incontable es la recta real , en la que los números racionales forman un subconjunto denso contable. De manera similar, el conjunto de todos los vectores de longitud de números racionales , es un subconjunto denso contable del conjunto de todos los vectores de longitud de números reales ; entonces , para cada espacio euclidiano de dimensiones es separable. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}=(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {Q} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Un ejemplo simple de un espacio que no es separable es un espacio discreto de cardinalidad incontable.

A continuación se dan más ejemplos.

Separabilidad versus segunda contabilización

Cualquier segundo espacio contable es separable: si es una base contable, elegir cualquiera de los no vacíos da un subconjunto denso contable. Por el contrario, un espacio metrizable es separable si y sólo si es segundo contable, lo cual es el caso si y sólo si es Lindelöf . ${\displaystyle \{U_{n}\}}$ ${\displaystyle x_{n}\in U_{n}}$ ${\displaystyle U_{n}}$

Para comparar más a fondo estas dos propiedades:

• Un subespacio arbitrario de un espacio contable en segundo lugar es contable en segundo lugar; los subespacios de espacios separables no necesitan ser separables (ver más abajo).
• Cualquier imagen continua de un espacio separable es separable (Willard 1970, Th. 16.4a); incluso un cociente de un espacio contable en segundo lugar no necesita ser contable en segundo lugar.
• Un producto de, como máximo, muchos espacios separables es separable (Willard 1970, p. 109, Th 16.4c). Un producto contable de segundos espacios contables es segundo contable, pero un producto incontable de segundos espacios contables ni siquiera necesita ser primero contable.

Podemos construir un ejemplo de un espacio topológico separable que no sea contable en segundo lugar. Considere cualquier conjunto incontable , elija algunos y defina la topología como la colección de todos los conjuntos que contienen (o están vacíos). Entonces, el cierre de es todo el espacio ( es el conjunto cerrado más pequeño que contiene ), pero cada conjunto de la forma es abierto. Por tanto, el espacio es separable pero no puede haber una base contable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}\in X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle {x_{0}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \{x_{0},x\}}$

Cardinalidad

La propiedad de separabilidad no impone en sí misma ninguna limitación a la cardinalidad de un espacio topológico: cualquier conjunto dotado de la topología trivial es separable, así como segundo contable, cuasicompacto y conexo . El "problema" de la topología trivial son sus pobres propiedades de separación: su cociente de Kolmogorov es el espacio de un punto.

Un primer espacio de Hausdorff separable y contable (en particular, un espacio métrico separable) tiene como máximo la cardinalidad continua . En tal espacio, el cierre está determinado por los límites de las secuencias y cualquier secuencia convergente tiene como máximo un límite, por lo que hay un mapa sobreyectivo del conjunto de secuencias convergentes con valores en el subconjunto denso contable hasta los puntos de . ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle X}$

Un espacio de Hausdorff separable tiene cardinalidad como máximo , donde está la cardinalidad del continuo. Porque este cierre se caracteriza en términos de límites de bases de filtro : si y , entonces si y sólo si existe una base de filtro que consta de subconjuntos de que converge a . La cardinalidad del conjunto de dichas bases de filtro es como máximo . Además, en un espacio Hausdorff, existe como máximo un límite para cada base de filtro. Por lo tanto, existe una sobreyección cuando ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle Y\subseteq X}$ ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle z\in {\overline {Y}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S(Y)}$ ${\displaystyle 2^{2^{|Y|}}}$ ${\displaystyle S(Y)\rightarrow X}$ ${\displaystyle {\overline {Y}}=X.}$

Los mismos argumentos establecen un resultado más general: supongamos que un espacio topológico de Hausdorff contiene un subconjunto denso de cardinalidad . Entonces tiene cardinalidad como máximo y cardinalidad como máximo si es primero contable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2^{2^{\kappa }}}$ ${\displaystyle 2^{\kappa }}$

El producto de, como máximo, muchos espacios separables es un espacio separable (Willard 1970, p. 109, Th 16.4c). En particular, el espacio de todas las funciones desde la línea real hasta sí misma, dotado de la topología del producto, es un espacio de cardinalidad separable de Hausdorff . De manera más general, si hay un cardinal infinito, entonces un producto de como máximo espacios con subconjuntos densos de tamaño como máximo tiene en sí mismo un subconjunto denso de tamaño como máximo (teorema de Hewitt-Marczewski-Pondiczery). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle 2^{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Matemáticas constructivas

La separabilidad es especialmente importante en el análisis numérico y las matemáticas constructivas , ya que muchos teoremas que pueden demostrarse para espacios no separables tienen demostraciones constructivas sólo para espacios separables. Estas pruebas constructivas pueden convertirse en algoritmos para su uso en análisis numérico, y son los únicos tipos de pruebas aceptables en el análisis constructivo. Un ejemplo famoso de un teorema de este tipo es el teorema de Hahn-Banach .

Más ejemplos

Espacios separables

• Todo espacio métrico compacto (o espacio metrizable) es separable.
• Cualquier espacio topológico que sea la unión de un número contable de subespacios separables es separable. Juntos, estos dos primeros ejemplos dan una prueba diferente de que el espacio euclidiano de dos dimensiones es separable. ${\displaystyle n}$
• El espacio de todas las funciones continuas desde un subconjunto compacto hasta la recta real es separable. ${\displaystyle C(K)}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Los espacios de Lebesgue , sobre un espacio de medida cuya σ-álgebra se genera contablemente y cuya medida es σ-finita, son separables para cualquiera . ^[1] ${\displaystyle L^{p}\left(X,\mu \right)}$ ${\displaystyle \left\langle X,{\mathcal {M}},\mu \right\rangle }$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$
• El espacio de funciones continuas de valores reales en el intervalo unitario con la métrica de convergencia uniforme es un espacio separable, ya que del teorema de aproximación de Weierstrass se deduce que el conjunto de polinomios en una variable con coeficientes racionales es un subconjunto denso contable de . El teorema de Banach-Mazur afirma que cualquier espacio de Banach separable es isométricamente isomorfo a un subespacio lineal cerrado de . ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} [x]}$ ${\displaystyle C([0,1])}$ ${\displaystyle C([0,1])}$
• Un espacio de Hilbert es separable si y sólo si tiene una base ortonormal contable . De ello se deduce que cualquier espacio de Hilbert separable y de dimensión infinita es isométrico al espacio de secuencias sumables al cuadrado. ${\displaystyle \ell ^{2}}$
• Un ejemplo de un espacio separable que no es contable en segundo lugar es la línea de Sorgenfrey , el conjunto de números reales equipado con la topología de límite inferior . ${\displaystyle \mathbb {S} }$
• Una σ-álgebra separable es una σ-álgebra que es un espacio separable cuando se considera un espacio métrico con métrica para y una medida finita dada (y siendo el operador de diferencia simétrica ). ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \rho (A,B)=\mu (A\triangle B)}$ ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \triangle }$

Espacios no separables

• El primer ordinal incontable , dotado de su topología de orden natural , no es separable. ${\displaystyle \omega _{1}}$
• El espacio de Banach de todas las secuencias reales acotadas, con la norma suprema , no es separable. Lo mismo vale para . ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$
• El espacio de Banach de funciones de variación acotada no es separable; Cabe señalar sin embargo que este espacio tiene aplicaciones muy importantes en matemáticas, física e ingeniería.

Propiedades

• Un subespacio de un espacio separable no tiene por qué ser separable (ver el plano de Sorgenfrey y el plano de Moore ), pero todo subespacio abierto de un espacio separable es separable (Willard 1970, Th 16.4b). Además, todo subespacio de un espacio métrico separable es separable.
• De hecho, todo espacio topológico es un subespacio de un espacio separable de la misma cardinalidad . En (Sierpiński 1952, p. 49) se da una construcción que suma como máximo muchos puntos contables; si el espacio era un espacio de Hausdorff, entonces el espacio construido en el que se incrusta también es un espacio de Hausdorff.
• El conjunto de todas las funciones continuas de valor real en un espacio separable tiene una cardinalidad igual a , la cardinalidad del continuo . Esto se debe a que dichas funciones están determinadas por sus valores en subconjuntos densos. ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$
• De la propiedad anterior, se puede deducir lo siguiente: si X es un espacio separable que tiene un subespacio discreto cerrado incontable, entonces X no puede ser normal . Esto demuestra que el avión de Sorgenfrey no es normal.
• Para un espacio compacto de Hausdorff X , lo siguiente es equivalente:
  1. X es el segundo contable.
  2. El espacio de funciones continuas de valor real en X con la norma suprema es separable. ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )}$
  3. X es metrizable.

Incrustar espacios métricos separables

• Todo espacio métrico separable es homeomorfo a un subconjunto del cubo de Hilbert . Esto se establece en la demostración del teorema de metrización de Urysohn .
• Cada espacio métrico separable es isométrico a un subconjunto del espacio de Banach (no separable) l ^∞ de todas las secuencias reales acotadas con la norma suprema ; esto se conoce como incrustación de Fréchet. (Heinonen 2003)
• Cada espacio métrico separable es isométrico a un subconjunto de C([0,1]), el espacio de Banach separable de funciones continuas [0,1] →  R , con la norma suprema . Esto se debe a Stefan Banach . (Heinonen 2003)
• Todo espacio métrico separable es isométrico a un subconjunto del espacio universal de Urysohn .

Para espacios no separables :

• Un espacio métrico de densidad igual a un cardinal infinito α es isométrico a un subespacio de C([0,1] ^α , R ) , el espacio de funciones reales continuas sobre el producto de α copias del intervalo unitario. (Kleiber y Pervin 1969)

Referencias

1. Donald L. Cohn (2013). Teoría de la medida. Springer Ciencia + Medios comerciales ., Proposición 3.4.5.
2. Džamonja, Mirna; Kunen, Kenneth (1995). «Propiedades de la clase de medida espacios compactos separables» (PDF) . Fundamenta Mathematicae : 262. arXiv : math/9408201 . Código Bib : 1994 matemáticas ...... 8201D. Si es una medida de Borel , el álgebra de medidas de es el álgebra booleana de todos los conjuntos de Borel módulo -conjuntos nulos. Si es finito, entonces dicho álgebra de medidas es también un espacio métrico, siendo la distancia entre los dos conjuntos la medida de su diferencia simétrica. Entonces decimos que es separable si y sólo si este espacio métrico es separable como espacio topológico. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

• Heinonen, Juha (enero de 2003), Incrustaciones geométricas de espacios métricos (PDF) , consultado el 6 de febrero de 2009.

• Kelley, John L. (1975), Topología general , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90125-1, SEÑOR  0370454
• Kleiber, Martín; Pervin, William J. (1969), "Un teorema generalizado de Banach-Mazur", Bull. Austral. Matemáticas. Soc. , 1 (2): 169–173, doi : 10.1017/S0004972700041411
• Sierpiński, Wacław (1952), Topología general , Exposiciones matemáticas, n.º 7, Toronto, Ontario: University of Toronto Press, MR  0050870
• Steen, Lynn Arturo ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, SEÑOR  0507446
• Willard, Stephen (1970), Topología general , Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-08707-9, SEÑOR  0264581