Operador antiunitario

Mapa antilineal biyectivo entre dos espacios complejos de Hilbert

En matemáticas , una transformación antiunitaria es un mapa antilineal biyectivo

${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}\,}$

entre dos espacios de Hilbert complejos tales que

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}}$

para todos y en , donde la barra horizontal representa el conjugado complejo . Si además se tiene se le llama operador antiunitario . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{1}=H_{2}}$ ${\displaystyle U}$

Los operadores antiunitarios son importantes en la mecánica cuántica porque se utilizan para representar ciertas simetrías , como la inversión del tiempo . ^[1] Su importancia fundamental en la física cuántica queda demostrada además por el teorema de Wigner .

Transformaciones de invariancia

En mecánica cuántica , las transformaciones de invariancia del espacio de Hilbert complejo dejan invariante el valor absoluto del producto escalar: ${\displaystyle H}$

${\displaystyle |\langle Tx,Ty\rangle |=|\langle x,y\rangle |}$

para todos y en . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H}$

Debido al teorema de Wigner, estas transformaciones pueden ser unitarias o antiunitarias.

Interpretación geométrica

Las congruencias del plano forman dos clases distintas. El primero conserva la orientación y se genera por traslaciones y rotaciones. La segunda no conserva la orientación y se obtiene de la primera clase aplicando una reflexión. En el plano complejo estas dos clases corresponden (hasta la traducción) a unitarios y antiunitarios, respectivamente.

Propiedades

• ${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}=\langle y,x\rangle }$es válido para todos los elementos del espacio de Hilbert y un antiunitario . ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle U}$
• Cuando es antiunitario entonces es unitario. Esto se desprende de ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{2}}$
  $${\displaystyle \left\langle U^{2}x,U^{2}y\right\rangle ={\overline {\langle Ux,Uy\rangle }}=\langle x,y\rangle .}$$
• Para el operador unitario, el operador , donde es una conjugación compleja (con respecto a alguna base ortogonal), es antiunitario. Lo contrario también es cierto: para antiunitario el operador es unitario. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle VK}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle UK}$
• Para antiunitario, la definición del operador adjunto se cambia para compensar la conjugación compleja, convirtiéndose en ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U^{*}}$
  $${\displaystyle \langle Ux,y\rangle ={\overline {\left\langle x,U^{*}y\right\rangle }}.}$$
• El adjunto de un antiunitario también es antiunitario y ${\displaystyle U}$
  $${\displaystyle UU^{*}=U^{*}U=1.}$$
  (Esto no debe confundirse con la definición de operadores unitarios , ya que el operador antiunitario no es lineal complejo ). ${\displaystyle U}$

Ejemplos

• El operador de conjugación complejo es un operador antiunitario en el plano complejo. ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle Kz={\overline {z}},}$
• El operador
  $${\displaystyle U=i\sigma _{y}K={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}K,}$$
  donde es la segunda matriz de Pauli y es el operador de conjugación complejo, es antiunitario. Satisface . ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U^{2}=-1}$

Descomposición de un operador antiunitario en una suma directa de antiunitarios elementales de Wigner

Un operador antiunitario en un espacio de dimensión finita puede descomponerse como una suma directa de antiunitarios elementales de Wigner ,. El operador es simplemente una conjugación compleja simple en ${\displaystyle W_{\theta }}$ ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$ ${\displaystyle W_{0}:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle W_{0}(z)={\overline {z}}}$

Para , el operador actúa en un espacio de Hilbert complejo bidimensional. Se define por ${\displaystyle 0<\theta \leq \pi }$ ${\displaystyle W_{\theta }}$

${\displaystyle W_{\theta }\left(\left(z_{1},z_{2}\right)\right)=\left(e^{{\frac {i}{2}}\theta }{\overline {z_{2}}},\;e^{-{\frac {i}{2}}\theta }{\overline {z_{1}}}\right).}$

Tenga en cuenta que para ${\displaystyle 0<\theta \leq \pi }$

${\displaystyle W_{\theta }\left(W_{\theta }\left(\left(z_{1},z_{2}\right)\right)\right)=\left(e^{i\theta }z_{1},e^{-i\theta }z_{2}\right),}$

por lo que no se puede descomponer más en 's, que cuadran con el mapa de identidad. ${\displaystyle W_{\theta }}$ ${\displaystyle W_{0}}$

Tenga en cuenta que la descomposición anterior de operadores antiunitarios contrasta con la descomposición espectral de operadores unitarios. En particular, un operador unitario en un espacio de Hilbert complejo puede descomponerse en una suma directa de operadores unitarios que actúan en espacios complejos unidimensionales (espacios propios), pero un operador antiunitario sólo puede descomponerse en una suma directa de operadores elementales en 1- y Espacios complejos bidimensionales.

Referencias

1. Peskin, Michael Edward (2019). Una introducción a la teoría cuántica de campos. Daniel V. Schroeder. Boca Ratón. ISBN 978-0-201-50397-5. OCLC  1101381398.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )

• Wigner, E. "Forma normal de operadores antiunitarios", Journal of Mathematical Physics Vol 1, no 5, 1960, págs. 409–412
• Wigner, E. "Distinción fenomenológica entre operadores de simetría unitarios y antiunitarios", Journal of Mathematical Physics Vol 1, no 5, 1960, págs.414–416

Ver también

• Operador unitario
• Teorema de Wigner
• Física de partículas y teoría de la representación.