En este artículo se utiliza la notación matemática técnica para los logaritmos. Todas las instancias de log( x ) sin una base de subíndice deben interpretarse como un logaritmo natural , también escrito comúnmente como ln( x ) o log e ( x ) .
La constante apareció por primera vez en un artículo de 1734 del matemático suizo Leonhard Euler , titulado De Progressionibus harmonicis observationes (Eneström Index 43), donde la describió como "digna de seria consideración". [2] [3] Euler calculó inicialmente el valor de la constante con 6 decimales. En 1781, lo calculó con 16 decimales. Euler utilizó las notaciones C y O para la constante. El matemático italiano Lorenzo Mascheroni intentó calcular la constante con 32 decimales, pero cometió errores en los decimales 20.º, 22.º y 31.º, 32.º; comenzando desde el dígito 20, calculó ... 181 12090082 39 cuando el valor correcto es ... 065 12090082 40 . En 1790, utilizó las notaciones A y a para la constante. Johann von Soldner realizó otros cálculos en 1809, utilizando la notación H. La notación γ no aparece en ningún lugar de los escritos de Euler o Mascheroni, y fue elegida en un momento posterior, tal vez debido a la conexión de la constante con la función gamma . [3] Por ejemplo, el matemático alemán Carl Anton Bretschneider utilizó la notación γ en 1835, [4] y Augustus De Morgan la utilizó en un libro de texto publicado en partes entre 1836 y 1842. [5] La constante de Euler también fue estudiada por el matemático indio Srinivasa Ramanujan , quien publicó un artículo sobre ella en 1917. [6] David Hilbert mencionó la irracionalidad de γ como un problema sin resolver que parece "inabordable" y, supuestamente, el matemático inglés Godfrey Hardy ofreció ceder su cátedra Savilian en Oxford a cualquiera que pudiera demostrarlo. [2]
Apariciones
La constante de Euler aparece, entre otros lugares, en los siguientes ( donde '*' significa que esta entrada contiene una ecuación explícita ):
Análisis
La fórmula del producto de Weierstrass para la función gamma . [7]
La expansión asintótica de la función gamma para argumentos pequeños.
En la ecuación BCS sobre la temperatura crítica en la teoría de superconductividad de Bardeen-Cooper-Schrieffer ( teoría BCS )*
Modelo de Fisher-Orr para la genética de la adaptación en biología evolutiva [13]
Propiedades
Irracionalidad y trascendencia
No se ha demostrado que el número γ sea algebraico o trascendental . De hecho, ni siquiera se sabe si γ es irracional . La ubicuidad de γ revelada por la gran cantidad de ecuaciones que se presentan a continuación y el hecho de que γ haya sido considerada la tercera constante matemática más importante después de π y e [14] [15] hace que la irracionalidad de γ sea una cuestión abierta de gran importancia en matemáticas. [2] [16] [17] [11]
Problema sin resolver en matemáticas :
¿Es irracional la constante de Euler? Si es así, ¿es trascendental?
Sin embargo, se han logrado algunos avances. En 1959, Andrei Shidlovsky demostró que al menos una de las constantes de Euler γ y la constante de Gompertz δ es irracional; [18] [9] Tanguy Rivoal demostró en 2012 que al menos una de ellas es trascendental. [19] Kurt Mahler demostró en 1968 que el número es trascendental ( siendo y funciones de Bessel ). [20] [3] Se sabe que el grado de trascendencia del cuerpo es al menos dos. [3] En 2010, M. Ram Murty y N. Saradha demostraron que, como máximo, una de las constantes de Euler-Lehmer, ai, los números de la forma
es algebraica, dado que q ≥ 2 y 1 ≤ a < q ; esta familia incluye el caso especial γ (2,4) = gamma/4 . [3] [21] En 2013, M. Ram Murty y A. Zaytseva encontraron una familia diferente que contiene γ , que se basa en sumas de recíprocos de números enteros no divisibles por una lista fija de primos, con la misma propiedad. [3] [22]
Utilizando un análisis de fracciones continuas , Papanikolaou demostró en 1997 que si γ es racional , su denominador debe ser mayor que 10 244663. [23] [24] Si e γ es un número racional, entonces su denominador debe ser mayor que 10 15000. [3 ]
Se conjetura que la constante de Euler no es un período algebraico , [3] pero los valores de sus primeros 10 9 dígitos decimales parecen indicar que podría ser un número normal . [25]
Fracción continua
La expansión fraccionaria continua simple de la constante de Euler está dada por: [26]
que no tiene un patrón aparente . Se sabe que tiene al menos 16.695.000.000 términos, [26] y tiene infinitos términos si y solo si γ es irracional.
La evidencia numérica sugiere que tanto la constante de Euler γ como la constante e γ se encuentran entre los números para los cuales la media geométrica de sus términos de fracción continua simple converge a la constante de Khinchin . De manera similar, cuando son los convergentes de sus respectivas fracciones continuas, el límite parece converger a la constante de Lévy en ambos casos. [27] Sin embargo, ninguno de estos límites ha sido probado. [28]
También existe una fracción continua generalizada para la constante de Euler. [29]
γ está relacionada con la función digamma Ψ , y por lo tanto con la derivada de la función gamma Γ , cuando ambas funciones se evalúan en 1. Por lo tanto:
La constante también puede expresarse en términos de la suma de los recíprocos de ceros no triviales de la función zeta: [32]
Otras series relacionadas con la función zeta incluyen:
El término de error en la última ecuación es una función de n que disminuye rápidamente . Como resultado, la fórmula es adecuada para el cálculo eficiente de la constante con alta precisión.
Otros límites interesantes que son iguales a la constante de Euler son el límite antisimétrico: [33]
donde ⌈ ⌉ son los soportes del techo . Esta fórmula indica que al tomar cualquier entero positivo n y dividirlo por cada entero positivo k menor que n , la fracción promedio por la cual el cociente n / k se queda corto respecto del siguiente entero tiende a γ (en lugar de 0,5) a medida que n tiende a infinito.
La expresión de la serie zeta racional está estrechamente relacionada con esto . Al tomar por separado los primeros términos de la serie anterior, se obtiene una estimación del límite de la serie clásica:
donde ζ ( s , k ) es la función zeta de Hurwitz . La suma en esta ecuación involucra los números armónicos , H n . Desarrollando algunos de los términos en la función zeta de Hurwitz se obtiene:
γ también se puede expresar de la siguiente manera, lo que se puede demostrar expresando la función zeta como una serie de Laurent :
Relación con los números triangulares
Se han derivado numerosas formulaciones que expresan en términos de sumas y logaritmos de números triangulares . [34] [35] [36] [37] Una de las primeras de ellas es una fórmula [38] [39] para el ésimo número armónico atribuido a Srinivasa Ramanujan donde se relaciona con en una serie que considera las potencias de (una prueba anterior, menos generalizable [40] [41] de Ernesto Cesàro da los dos primeros términos de la serie, con un término de error):
La serie de números triangulares inversos también aparece en el estudio del problema de Basilea [43] [44] planteado por Pietro Mengoli . Mengoli demostró que , un resultado que Jacob Bernoulli utilizó más tarde para estimar el valor de , ubicándolo entre y . Esta identidad aparece en una fórmula utilizada por Bernhard Riemann para calcular raíces de la función zeta , [45] donde se expresa en términos de la suma de raíces más la diferencia entre la expansión de Boya y la serie de fracciones unitarias exactas :
Integrales
γ es igual al valor de un número de integrales definidas :
Una comparación interesante de Sondow [48] es la serie doble integral y alternada
Se muestra que el registro4/π puede considerarse como una "constante de Euler alterna".
Las dos constantes también están relacionadas por el par de series [49]
donde N 1 ( n ) y N 0 ( n ) son el número de 1 y 0, respectivamente, en la expansión de base 2 de n .
Expansiones de la serie
En general,
para cualquier α > − n . Sin embargo, la tasa de convergencia de esta expansión depende significativamente de α . En particular, γ n (1/2) exhibe una convergencia mucho más rápida que la expansión convencional γ n (0) . [50] [51] Esto se debe a que
mientras
Aun así, existen otras expansiones en serie que convergen más rápidamente que ésta; algunas de ellas se analizan a continuación.
Euler demostró que la siguiente serie infinita tiende a γ :
La serie para γ es equivalente a una serie que Nielsen encontró en 1897: [31] [52]
En 1910, Vacca encontró la serie estrechamente relacionada [53] [54] [55] [56] [57] [31] [58]
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