Serie zeta racional

En matemáticas , una serie zeta racional es la representación de un número real arbitrario en términos de una serie que consta de números racionales y la función zeta de Riemann o la función zeta de Hurwitz . Específicamente, dado un número real x , la serie zeta racional para x está dada por

${\displaystyle x=\sum _{n=2}^{\infty }q_{n}\zeta (n,m)}$

donde cada q _n es un número racional, el valor m se mantiene fijo y ζ( s ,  m ) es la función zeta de Hurwitz. No es difícil demostrar que cualquier número real x puede desarrollarse de esta manera.

Serie elemental

Para un entero m>1 , se tiene

${\displaystyle x=\sum _{n=2}^{\infty }q_{n}\left[\zeta (n)-\sum _{k=1}^{m-1}k^{-n}\right]}$

Para m=2 , una serie de números interesantes tienen una expresión simple como serie zeta racional:

${\displaystyle 1=\sum _{n=2}^{\infty }\left[\zeta (n)-1\right]}$

y

${\displaystyle 1-\gamma =\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[\zeta (n)-1\right]}$

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni . La serie

${\displaystyle \log 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[\zeta (2n)-1\right]}$

Se obtiene sumando la distribución de Gauss-Kuzmin . También existen series para π:

${\displaystyle \log \pi =\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {2(3/2)^{n}-3}{n}}\left[\zeta (n)-1\right]}$

y

${\displaystyle {\frac {13}{30}}-{\frac {\pi }{8}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{2n}}}\left[\zeta (2n)-1\right]}$

destacando por su rápida convergencia. Esta última serie se desprende de la identidad general

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}t^{2n}\left[\zeta (2n)-1\right]={\frac {t^{2}}{1+t^{2}}}+{\frac {1-\pi t}{2}}-{\frac {\pi t}{e^{2\pi t}-1}}}$

que a su vez se deduce de la función generadora de los números de Bernoulli

${\displaystyle {\frac {t}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}}$

Adamchik y Srivastava dan una serie similar

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{2n}}{n}}\zeta (2n)=\log \left({\frac {\pi t}{\sin(\pi t)}}\right)}$

Serie relacionada con Polygamma

Se pueden derivar varias relaciones adicionales de la serie de Taylor para la función poligamma en z  = 1, que es

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}}$.

Lo anterior converge para | z | < 1. Un caso especial es

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }t^{n}\left[\zeta (n)-1\right]=-t\left[\gamma +\psi (1-t)-{\frac {t}{1-t}}\right]}$

que se cumple para | t | < 2. Aquí, ψ es la función digamma y ψ ^{( m )} es la función poligamma. Se pueden derivar muchas series que involucran el coeficiente binomial :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{k+\nu +1 \choose k}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\zeta (\nu +2)}$

donde ν es un número complejo. Lo anterior se desprende de la expansión en serie para la zeta de Hurwitz.

${\displaystyle \zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x)}$

tomada en y  = −1. Se pueden obtener series similares mediante álgebra simple:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{k+\nu +1 \choose k+1}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=1}$

y

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k+1}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=2^{-(\nu +1)}}$

y

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k+2}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\nu \left[\zeta (\nu +1)-1\right]-2^{-\nu }}$

y

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \choose k}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\zeta (\nu +2)-1-2^{-(\nu +2)}}$

Para un entero n  ≥ 0, la serie

${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+n \choose k}\left[\zeta (k+n+2)-1\right]}$

puede escribirse como la suma finita

${\displaystyle S_{n}=(-1)^{n}\left[1+\sum _{k=1}^{n}\zeta (k+1)\right]}$

Lo anterior se deduce de la simple relación de recursión S _n  +  S _{n  + 1}  = ζ( n  + 2). A continuación, la serie

${\displaystyle T_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{k+n-1 \choose k}\left[\zeta (k+n+2)-1\right]}$

puede escribirse como

${\displaystyle T_{n}=(-1)^{n+1}\left[n+1-\zeta (2)+\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}(n-k)\zeta (k+1)\right]}$

para entero n  ≥ 1. Lo anterior se deduce de la identidad T _n  +  T _{n  + 1}  =  S _n . Este proceso se puede aplicar de forma recursiva para obtener series finitas para expresiones generales de la forma

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{k+n-m \choose k}\left[\zeta (k+n+2)-1\right]}$

para números enteros positivos m .

Serie de potencias de semienteros

Se pueden obtener series similares explorando la función zeta de Hurwitz en valores semienteros. Así, por ejemplo, se tiene

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\zeta (k+n+2)-1}{2^{k}}}{{n+k+1} \choose {n+1}}=\left(2^{n+2}-1\right)\left(\zeta (n+2)-1\right)-1}$

Expresiones en forma de p-series

Adamchik y Srivastava dan

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }n^{m}\left[\zeta (n)-1\right]=1\,+\sum _{k=1}^{m}k!\;S(m+1,k+1)\zeta (k+1)}$

y

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }(-1)^{n}n^{m}\left[\zeta (n)-1\right]=-1\,+\,{\frac {1-2^{m+1}}{m+1}}B_{m+1}\,-\sum _{k=1}^{m}(-1)^{k}k!\;S(m+1,k+1)\zeta (k+1)}$

¿Dónde están los números de Bernoulli y son los números de Stirling del segundo tipo ? ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle S(m,k)}$

Otras series

Otras constantes que tienen series zeta racionales notables son:

• La constante de Khinchin
• La constante de Apéry

Referencias

• Jonathan M. Borwein, David M. Bradley, Richard E. Crandall (2000). "Estrategias computacionales para la función zeta de Riemann" (PDF) . J. Comput. Appl. Math . 121 (1–2): 247–296. Bibcode :2000JCoAM.121..247B. doi : 10.1016/s0377-0427(00)00336-8 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Victor S. Adamchik y HM Srivastava (1998). «Algunas series de los zeta y funciones afines» (PDF) . Análisis . 18 (2): 131-144. CiteSeerX  10.1.1.127.9800 . doi :10.1524/anly.1998.18.2.131. S2CID  11370668.