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Función de Debye

En matemáticas , la familia de funciones de Debye se define por

Las funciones reciben su nombre en honor a Peter Debye , quien encontró esta función (con n = 3) en 1912 cuando calculó analíticamente la capacidad calorífica de lo que ahora se llama el modelo de Debye .

Propiedades matemáticas

Relación con otras funciones

Las funciones de Debye están estrechamente relacionadas con el polilogaritmo .

Expansión de la serie

Tienen la expansión en serie [1] donde es el n - ésimo número de Bernoulli .

Valores limitantes

Si es la función gamma y es la función zeta de Riemann , entonces, para , [2]

Derivado

La derivada obedece a la relación donde es la función de Bernoulli.

Aplicaciones en física del estado sólido

El modelo Debye

El modelo de Debye tiene una densidad de estados vibracionales con la frecuencia de Debye ω D .

Energía interna y capacidad calorífica

Insertando g en la energía interna con la distribución de Bose-Einstein se obtiene La capacidad calorífica es la derivada de la misma.

Desplazamiento cuadrático medio

La intensidad de la difracción de rayos X o de la difracción de neutrones en el número de onda q viene dada por el factor de Debye-Waller o el factor de Lamb-Mössbauer . Para sistemas isótropos toma la forma En esta expresión, el desplazamiento cuadrático medio se refiere a solo un componente cartesiano u x del vector u que describe el desplazamiento de los átomos desde sus posiciones de equilibrio. Suponiendo la armonicidad y desarrollándose en modos normales, [3] se obtiene Insertando la densidad de estados del modelo de Debye, se obtiene De la anterior expansión en serie de potencias de se deduce que el desplazamiento cuadrático medio a altas temperaturas es lineal en temperatura La ausencia de indica que este es un resultado clásico . Debido a que tiende a cero para se deduce que para ( movimiento de punto cero ).

Referencias

  1. ^ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 27". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. pág. 998. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
  2. ^ Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. "3.411.". En Zwillinger, Daniel; Moll, Víctor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. págs. 355 y siguientes. ISBN 978-0-12-384933-5. Número de serie LCCN  2014010276.
  3. ^ Ashcroft y Mermin 1976, aplicación. L,

Lectura adicional

Implementaciones