Casco convexo

Conjunto convexo más pequeño que contiene un conjunto dado

La envoltura convexa del conjunto rojo es el conjunto convexo azul y rojo .

En geometría , la envoltura convexa , la envoltura convexa o el cierre convexo ^[1] de una forma es el conjunto convexo más pequeño que la contiene. La envoltura convexa puede definirse como la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen un subconjunto dado de un espacio euclidiano o, equivalentemente, como el conjunto de todas las combinaciones convexas de puntos en el subconjunto. Para un subconjunto acotado del plano, la envoltura convexa puede visualizarse como la forma encerrada por una banda elástica estirada alrededor del subconjunto.

Las envolturas convexas de conjuntos abiertos son abiertas, y las envolturas convexas de conjuntos compactos son compactas. Todo conjunto convexo compacto es la envoltura convexa de sus puntos extremos . El operador de envoltura convexa es un ejemplo de un operador de cierre , y cada antimatroide puede representarse aplicando este operador de cierre a conjuntos finitos de puntos. Los problemas algorítmicos de encontrar la envoltura convexa de un conjunto finito de puntos en el plano u otros espacios euclidianos de baja dimensión, y su problema dual de intersecciones de semiespacios , son problemas fundamentales de la geometría computacional . Pueden resolverse a tiempo para conjuntos de puntos bidimensionales o tridimensionales, y a tiempo coincidiendo con la complejidad de salida del peor caso dada por el teorema del límite superior en dimensiones superiores. ${\displaystyle O(n\log n)}$

Además de para conjuntos de puntos finitos, las envolturas convexas también se han estudiado para polígonos simples , movimiento browniano , curvas espaciales y epígrafes de funciones . Las envolturas convexas tienen amplias aplicaciones en matemáticas, estadística, optimización combinatoria, economía, modelado geométrico y etología. Las estructuras relacionadas incluyen la envoltura convexa ortogonal , las capas convexas , la triangulación de Delaunay y el diagrama de Voronoi , y el cráneo convexo .

Definiciones

Envolvente convexa de un conjunto plano acotado: analogía de la banda elástica

Un conjunto de puntos en un espacio euclidiano se define como convexo si contiene los segmentos de línea que conectan cada par de sus puntos. La envoltura convexa de un conjunto dado puede definirse como ^[2] ${\displaystyle X}$

1. El conjunto convexo mínimo (único) que contiene ${\displaystyle X}$
2. La intersección de todos los conjuntos convexos que contienen ${\displaystyle X}$
3. El conjunto de todas las combinaciones convexas de puntos en ${\displaystyle X}$
4. La unión de todos los simples con vértices en ${\displaystyle X}$

Para conjuntos acotados en el plano euclidiano, no todos en una línea, el límite de la envoltura convexa es la curva cerrada simple con perímetro mínimo que contiene . Uno puede imaginar estirar una banda elástica de modo que rodee todo el conjunto y luego soltarla, permitiendo que se contraiga; cuando se tensa, encierra la envoltura convexa de . ^[3] Esta formulación no se generaliza inmediatamente a dimensiones superiores: para un conjunto finito de puntos en el espacio tridimensional, una vecindad de un árbol de expansión de los puntos los encierra con un área de superficie arbitrariamente pequeña, menor que el área de superficie de la envoltura convexa. ^[4] Sin embargo, en dimensiones superiores, las variantes del problema del obstáculo de encontrar una superficie de energía mínima sobre una forma dada pueden tener la envoltura convexa como su solución. ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Para objetos en tres dimensiones, la primera definición establece que la envoltura convexa es el volumen límite convexo más pequeño posible de los objetos. La definición que utiliza intersecciones de conjuntos convexos puede extenderse a la geometría no euclidiana , y la definición que utiliza combinaciones convexas puede extenderse desde espacios euclidianos a espacios vectoriales reales arbitrarios o espacios afines ; las envolturas convexas también pueden generalizarse de una manera más abstracta, a matroides orientadas . ^[6]

Equivalencia de definiciones

Envolvente convexa 3D de una nube de 120 puntos

No resulta obvio que la primera definición tenga sentido: ¿por qué debería existir un único conjunto convexo mínimo que contenga a , para cada ? Sin embargo, la segunda definición, la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen a , está bien definida. Es un subconjunto de cualquier otro conjunto convexo que contenga a , porque está incluido entre los conjuntos que se intersecan. Por lo tanto, es exactamente el único conjunto convexo mínimo que contiene a . Por lo tanto, las dos primeras definiciones son equivalentes. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Cada conjunto convexo que contiene debe (suponiendo que es convexo) contener todas las combinaciones convexas de puntos en , por lo que el conjunto de todas las combinaciones convexas está contenido en la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen a . Por el contrario, el conjunto de todas las combinaciones convexas es en sí mismo un conjunto convexo que contiene a , por lo que también contiene la intersección de todos los conjuntos convexos que contienen a , y por lo tanto la segunda y la tercera definiciones son equivalentes. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

De hecho, según el teorema de Carathéodory , si es un subconjunto de un espacio euclidiano -dimensional, toda combinación convexa de un número finito de puntos de es también una combinación convexa de como máximo puntos en . El conjunto de combinaciones convexas de una -tupla de puntos es un símplex ; en el plano es un triángulo y en el espacio tridimensional es un tetraedro. Por lo tanto, toda combinación convexa de puntos de pertenece a un símplex cuyos vértices pertenecen a , y las definiciones tercera y cuarta son equivalentes. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d+1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (d+1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Cascos superior e inferior

En dos dimensiones, la envoltura convexa a veces se divide en dos partes, la envoltura superior y la envoltura inferior, que se extienden entre los puntos más a la izquierda y más a la derecha de la envoltura. De manera más general, para envolturas convexas en cualquier dimensión, se puede dividir el límite de la envoltura en puntos orientados hacia arriba (puntos para los cuales un rayo ascendente es disjunto de la envoltura), puntos orientados hacia abajo y puntos extremos. Para envolturas tridimensionales, las partes orientadas hacia arriba y hacia abajo del límite forman discos topológicos. ^[8]

Propiedades topológicas

Cascos cerrados y abiertos

La envoltura convexa cerrada de un conjunto es el cierre de la envoltura convexa, y la envoltura convexa abierta es el interior (o en algunas fuentes el interior relativo ) de la envoltura convexa. ^[9]

La envoltura convexa cerrada de es la intersección de todos los semiespacios cerrados que contienen . Si la envoltura convexa de ya es un conjunto cerrado en sí misma (como sucede, por ejemplo, si es un conjunto finito o, más generalmente, un conjunto compacto ), entonces es igual a la envoltura convexa cerrada. Sin embargo, una intersección de semiespacios cerrados es en sí misma cerrada, por lo que cuando una envoltura convexa no es cerrada no se puede representar de esta manera. ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Si la envoltura convexa abierta de un conjunto es -dimensional, entonces cada punto de la envoltura pertenece a una envoltura convexa abierta de como máximo puntos de . Los conjuntos de vértices de un cuadrado, octaedro regular o politopo cruzado de dimensiones superiores proporcionan ejemplos en los que se necesitan exactamente puntos. ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 2d}$

Preservación de propiedades topológicas

La bruja de Agnesi . Los puntos que se encuentran sobre la curva roja o por encima de ella constituyen un ejemplo de un conjunto cerrado cuya envoltura convexa está abierta (el semiplano superior abierto ).

Topológicamente, la envoltura convexa de un conjunto abierto siempre es abierta en sí misma, y ​​la envoltura convexa de un conjunto compacto siempre es compacta en sí misma. Sin embargo, existen conjuntos cerrados para los cuales la envoltura convexa no es cerrada. ^[12] Por ejemplo, el conjunto cerrado

${\displaystyle \left\{(x,y)\mathop {\bigg |} y\geq {\frac {1}{1+x^{2}}}\right\}}$

(el conjunto de puntos que se encuentran sobre o por encima de la bruja de Agnesi ) tiene el semiplano superior abierto como su envoltura convexa. ^[13]

La compacidad de las envolturas convexas de conjuntos compactos, en espacios euclidianos de dimensión finita, se generaliza mediante el teorema de Kerin-Smulian , según el cual la envoltura convexa cerrada de un subconjunto débilmente compacto de un espacio de Banach (un subconjunto que es compacto bajo la topología débil ) es débilmente compacto. ^[14]

Puntos extremos

Un punto extremo de un conjunto convexo es un punto en el conjunto que no se encuentra en ningún segmento de línea abierto entre otros dos puntos del mismo conjunto. Para una envoltura convexa, cada punto extremo debe ser parte del conjunto dado, porque de lo contrario no puede formarse como una combinación convexa de puntos dados. Según el teorema de Kerin-Milman , cada conjunto convexo compacto en un espacio euclidiano (o más generalmente en un espacio vectorial topológico localmente convexo ) es la envoltura convexa de sus puntos extremos. ^[15] Sin embargo, esto puede no ser cierto para conjuntos convexos que no son compactos; por ejemplo, todo el plano euclidiano y la bola unitaria abierta son ambos convexos, pero ninguno tiene puntos extremos. La teoría de Choquet extiende esta teoría desde combinaciones convexas finitas de puntos extremos a combinaciones infinitas (integrales) en espacios más generales. ^[16]

Propiedades geométricas y algebraicas

Operador de cierre

El operador de envoltura convexa tiene las propiedades características de un operador de cierre : ^[17]

• Es extenso , lo que significa que la envoltura convexa de cada conjunto es un superconjunto de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• No es decreciente , lo que significa que, para cada dos conjuntos y con , la envoltura convexa de es un subconjunto de la envoltura convexa de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\subseteq Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• Es idempotente , lo que significa que para cada , la envoltura convexa de la envoltura convexa de es la misma que la envoltura convexa de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Cuando se aplica a un conjunto finito de puntos, este es el operador de clausura de un antimatroide , el antimatroide de envoltura del conjunto de puntos. Todo antimatroide puede representarse de esta manera mediante envolturas convexas de puntos en un espacio euclidiano de dimensión suficientemente alta. ^[18]

Suma de Minkowski

Las operaciones de construcción de la envoltura convexa y de obtención de la suma de Minkowski conmutan entre sí, en el sentido de que la suma de Minkowski de las envolturas convexas de conjuntos da el mismo resultado que la envoltura convexa de la suma de Minkowski de los mismos conjuntos. Esto supone un paso hacia el teorema de Shapley-Folkman que limita la distancia de una suma de Minkowski a su envoltura convexa. ^[19]

Dualidad proyectiva

La operación dual proyectiva para construir la envoltura convexa de un conjunto de puntos es construir la intersección de una familia de semiespacios cerrados que contienen todos el origen (o cualquier otro punto designado). ^[20]

Casos especiales

Conjuntos de puntos finitos

Envolvente convexa de puntos en el plano

La envoltura convexa de un conjunto de puntos finitos forma un polígono convexo cuando , o más generalmente un politopo convexo en . Cada punto extremo de la envoltura se llama vértice , y (por el teorema de Kerin-Milman) cada politopo convexo es la envoltura convexa de sus vértices. Es el único politopo convexo cuyos vértices pertenecen a y que encierra todos los . ^[3] Para conjuntos de puntos en posición general , la envoltura convexa es un politopo simplicial . ^[21] ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Según el teorema del límite superior , el número de caras de la envoltura convexa de puntos en el espacio euclidiano -dimensional es . ^[22] En particular, en dos y tres dimensiones el número de caras es como máximo lineal en . ^[23] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle O(n^{\lfloor d/2\rfloor })}$ ${\displaystyle n}$

Polígonos simples

Envolvente convexa (en azul y amarillo) de un polígono simple (en azul)

La envoltura convexa de un polígono simple encierra el polígono dado y está dividida por él en regiones, una de las cuales es el propio polígono. Las otras regiones, delimitadas por una cadena poligonal del polígono y un único borde de la envoltura convexa, se denominan bolsillos . Calcular la misma descomposición de forma recursiva para cada bolsillo forma una descripción jerárquica de un polígono dado llamada árbol de diferencias convexas . ^[24] Reflejar un bolsillo a lo largo de su borde de envoltura convexa expande el polígono simple dado en un polígono con el mismo perímetro y un área mayor, y el teorema de Erdős–Nagy establece que este proceso de expansión finalmente termina. ^[25]

Movimiento browniano

La curva generada por el movimiento browniano en el plano, en cualquier tiempo fijo, tiene una probabilidad 1 de tener una envoltura convexa cuyo límite forma una curva continuamente diferenciable . Sin embargo, para cualquier ángulo en el rango , habrá momentos durante el movimiento browniano donde la partícula en movimiento toca el límite de la envoltura convexa en un punto del ángulo . La dimensión de Hausdorff de este conjunto de momentos excepcionales es (con alta probabilidad) . ^[26] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \pi /2<\theta <\pi }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 1-\pi /2\theta }$

Curvas espaciales

Un oloide , la envoltura convexa de dos círculos en el espacio 3D

Para la envoltura convexa de una curva espacial o un conjunto finito de curvas espaciales en posición general en el espacio tridimensional, las partes del límite alejadas de las curvas son superficies desarrollables y regladas . ^[27] Los ejemplos incluyen el oloide , la envoltura convexa de dos círculos en planos perpendiculares, cada uno pasando por el centro del otro, ^[28] el esfericón , la envoltura convexa de dos semicírculos en planos perpendiculares con un centro común, y las formas D, las formas convexas obtenidas del teorema de unicidad de Alexandrov para una superficie formada al pegar juntos dos conjuntos convexos planos de igual perímetro. ^[29]

Funciones

La envoltura convexa o envolvente convexa inferior de una función en un espacio vectorial real es la función cuyo epígrafe es la envoltura convexa inferior del epígrafe de . Es la única función convexa máxima mayorizada por . ^[30] La definición se puede extender a la envoltura convexa de un conjunto de funciones (obtenida a partir de la envoltura convexa de la unión de sus epígrafes, o equivalentemente a partir de su mínimo puntual ) y, en esta forma, es dual a la operación convexa conjugada . ^[31] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Cálculo

En geometría computacional , se conocen varios algoritmos para calcular la envoltura convexa para un conjunto finito de puntos y para otros objetos geométricos. Calcular la envoltura convexa significa construir una representación inequívoca y eficiente de la forma convexa requerida. Las representaciones de salida que se han considerado para envolturas convexas de conjuntos de puntos incluyen una lista de desigualdades lineales que describen las facetas de la envoltura, un gráfico no dirigido de facetas y sus adyacencias, o la red de caras completa de la envoltura. ^[32] En dos dimensiones, puede ser suficiente simplemente enumerar los puntos que son vértices, en su orden cíclico alrededor de la envoltura. ^[3]

Para las envolturas convexas en dos o tres dimensiones, la complejidad de los algoritmos correspondientes se estima generalmente en términos de , el número de puntos de entrada, y , el número de puntos en la envoltura convexa, que puede ser significativamente menor que . Para envolturas de dimensiones superiores, el número de caras de otras dimensiones también puede entrar en el análisis. El escaneo de Graham puede calcular la envoltura convexa de puntos en el plano en tiempo . Para puntos en dos y tres dimensiones, se conocen algoritmos más complicados sensibles a la salida que calculan la envoltura convexa en tiempo . Estos incluyen el algoritmo de Chan y el algoritmo de Kirkpatrick-Seidel . ^[33] Para dimensiones , el tiempo para calcular la envoltura convexa es , que coincide con la complejidad de salida del problema en el peor de los casos. ^[34] La envoltura convexa de un polígono simple en el plano se puede construir en tiempo lineal . ^[35] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle O(n\log n)}$ ${\displaystyle O(n\log h)}$ ${\displaystyle d>3}$ ${\displaystyle O(n^{\lfloor d/2\rfloor })}$

Las estructuras de datos de envoltura convexa dinámica se pueden utilizar para realizar un seguimiento de la envoltura convexa de un conjunto de puntos que experimentan inserciones y eliminaciones de puntos, ^[36] y las estructuras de envoltura convexa cinética pueden realizar un seguimiento de la envoltura convexa de puntos que se mueven continuamente. ^[37] La ​​construcción de envolturas convexas también sirve como una herramienta, un bloque de construcción para una serie de otros algoritmos geométricos computacionales como el método de calibradores rotatorios para calcular el ancho y el diámetro de un conjunto de puntos. ^[38]

Estructuras relacionadas

Se pueden definir otras formas a partir de un conjunto de puntos de manera similar a la envoltura convexa, como el superconjunto mínimo con alguna propiedad, la intersección de todas las formas que contienen los puntos de una familia de formas dada o la unión de todas las combinaciones de puntos para un cierto tipo de combinación. Por ejemplo:

• La envoltura afín es el subespacio afín más pequeño de un espacio euclidiano que contiene un conjunto dado, o la unión de todas las combinaciones afines de puntos en el conjunto. ^[39]
• La envoltura lineal es el subespacio lineal más pequeño de un espacio vectorial que contiene un conjunto dado, o la unión de todas las combinaciones lineales de puntos en el conjunto. ^[39]
• La envoltura cónica o envoltura positiva de un subconjunto de un espacio vectorial es el conjunto de todas las combinaciones positivas de puntos en el subconjunto. ^[39]
• La envoltura visual de un objeto tridimensional, con respecto a un conjunto de puntos de vista, consiste en los puntos en los que cada rayo que pasa desde un punto de vista intersecta el objeto. De manera equivalente, es la intersección de los conos (no convexos) generados por el contorno del objeto con respecto a cada punto de vista. Se utiliza en la reconstrucción 3D como la forma más grande que podría tener los mismos contornos desde los puntos de vista dados. ^[40] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$
• La envoltura circular o envoltura alfa de un subconjunto del plano es la intersección de todos los discos con un radio dado que contienen el subconjunto. ^[41] ${\displaystyle 1/\alpha }$
• La envoltura convexa relativa de un subconjunto de un polígono simple bidimensional es la intersección de todos los superconjuntos relativamente convexos, donde un conjunto dentro del mismo polígono es relativamente convexo si contiene la geodésica entre dos de sus puntos. ^[42]
• La envoltura convexa ortogonal o envoltura convexa rectilínea es la intersección de todos los superconjuntos ortogonalmente convexos y conexos, donde un conjunto es ortogonalmente convexo si contiene todos los segmentos paralelos al eje entre pares de sus puntos. ^[43]
• La envoltura convexa ortogonal es un caso especial de una construcción mucho más general, la envoltura hiperconvexa , que puede considerarse como el espacio métrico inyectivo más pequeño que contiene los puntos de un espacio métrico dado . ^[44]
• La envoltura holomórficamente convexa es una generalización de conceptos similares a las variedades analíticas complejas , obtenida como una intersección de conjuntos de subniveles de funciones holomórficas que contienen un conjunto dado. ^[45]

La triangulación de Delaunay de un conjunto de puntos y su dual , el diagrama de Voronoi , están matemáticamente relacionados con las envolturas convexas: la triangulación de Delaunay de un conjunto de puntos en puede verse como la proyección de una envoltura convexa en ^[46] Las formas alfa de un conjunto de puntos finito dan una familia anidada de objetos geométricos (no convexos) que describen la forma de un conjunto de puntos en diferentes niveles de detalle. Cada una de las formas alfa es la unión de algunas de las características de la triangulación de Delaunay, seleccionadas comparando su radio circunscrito con el parámetro alfa. El propio conjunto de puntos forma un punto final de esta familia de formas, y su envoltura convexa forma el otro punto final. ^[41] Las capas convexas de un conjunto de puntos son una familia anidada de polígonos convexos, el más externo de los cuales es la envoltura convexa, y las capas internas se construyen recursivamente a partir de los puntos que no son vértices de la envoltura convexa. ^[47] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}.}$

El cráneo convexo de un polígono es el polígono convexo más grande que contiene. Se puede encontrar en tiempo polinomial , pero el exponente del algoritmo es alto. ^[48]

Aplicaciones

Las envolturas convexas tienen amplias aplicaciones en muchos campos. Dentro de las matemáticas, las envolturas convexas se utilizan para estudiar polinomios , valores propios de matrices y elementos unitarios , y varios teoremas en geometría discreta involucran envolturas convexas. Se utilizan en estadística robusta como el contorno más externo de la profundidad de Tukey , son parte de la visualización bagplot de datos bidimensionales y definen conjuntos de riesgo de reglas de decisión aleatorias . Las envolturas convexas de vectores indicadores de soluciones a problemas combinatorios son fundamentales para la optimización combinatoria y la combinatoria poliédrica . En economía, las envolturas convexas se pueden utilizar para aplicar métodos de convexidad en economía a mercados no convexos. En el modelado geométrico, la propiedad de envoltura convexa de las curvas de Bézier ayuda a encontrar sus cruces, y las envolturas convexas son parte de la medición de los cascos de los barcos. Y en el estudio del comportamiento animal, las envolturas convexas se utilizan en una definición estándar del área de distribución del hogar .

Matemáticas

Partición de siete puntos en tres subconjuntos con envolturas convexas que se intersecan, cuya existencia se garantiza para cualesquiera siete puntos en el plano según el teorema de Tverberg

Los polígonos de Newton de polinomios univariados y los politopos de Newton de polinomios multivariados son envolturas convexas de puntos derivados de los exponentes de los términos del polinomio, y pueden usarse para analizar el comportamiento asintótico del polinomio y las valoraciones de sus raíces. ^[49] Las envolturas convexas y los polinomios también se unen en el teorema de Gauss-Lucas , según el cual las raíces de la derivada de un polinomio se encuentran todas dentro de la envoltura convexa de las raíces del polinomio. ^[50]

En el análisis espectral , el rango numérico de una matriz normal es la envoltura convexa de sus valores propios . ^[51] El teorema de Russo-Dye describe las envolturas convexas de elementos unitarios en un C*-álgebra . ^[52] En geometría discreta , tanto el teorema de Radon como el teorema de Tverberg se refieren a la existencia de particiones de conjuntos de puntos en subconjuntos con envolturas convexas que se intersecan. ^[53]

Las definiciones de un conjunto convexo como el que contiene segmentos de línea entre sus puntos, y de una envoltura convexa como la intersección de todos los superconjuntos convexos, se aplican tanto a los espacios hiperbólicos como a los espacios euclidianos. Sin embargo, en el espacio hiperbólico, también es posible considerar las envolturas convexas de conjuntos de puntos ideales , puntos que no pertenecen al espacio hiperbólico en sí, sino que se encuentran en el límite de un modelo de ese espacio. Los límites de las envolturas convexas de los puntos ideales del espacio hiperbólico tridimensional son análogos a las superficies regladas en el espacio euclidiano, y sus propiedades métricas juegan un papel importante en la conjetura de geometrización en la topología de baja dimensión . ^[54] Las envolturas convexas hiperbólicas también se han utilizado como parte del cálculo de triangulaciones canónicas de variedades hiperbólicas , y se han aplicado para determinar la equivalencia de nudos . ^[55]

Véase también la sección sobre el movimiento browniano para la aplicación de las envolturas convexas a este tema, y ​​la sección sobre curvas espaciales para su aplicación a la teoría de superficies desarrollables .

Estadística

Un diagrama de bolsa . La región sombreada exterior es la envoltura convexa y la región sombreada interior es el contorno de profundidad de Tukey del 50 %.

En las estadísticas robustas , la envoltura convexa proporciona uno de los componentes clave de un gráfico de bolsas , un método para visualizar la dispersión de puntos de muestra bidimensionales. Los contornos de la profundidad de Tukey forman una familia anidada de conjuntos convexos, con la envoltura convexa más externa, y el gráfico de bolsas también muestra otro polígono de esta familia anidada, el contorno del 50% de profundidad. ^[56]

En la teoría de decisiones estadísticas , el conjunto de riesgos de una regla de decisión aleatoria es la envoltura convexa de los puntos de riesgo de sus reglas de decisión deterministas subyacentes. ^[57]

Optimización combinatoria

En la optimización combinatoria y la combinatoria poliédrica , los objetos centrales de estudio son las envolturas convexas de los vectores indicadores de soluciones a un problema combinatorio. Si se pueden encontrar las facetas de estos politopos, describiendo los politopos como intersecciones de semiespacios, entonces se pueden utilizar algoritmos basados ​​en programación lineal para encontrar soluciones óptimas. ^[58] En la optimización multiobjetivo , también se utiliza un tipo diferente de envoltura convexa, la envoltura convexa de los vectores de peso de las soluciones. Se puede maximizar cualquier combinación cuasiconvexa de pesos encontrando y comprobando cada vértice de la envoltura convexa, a menudo de forma más eficiente que comprobando todas las soluciones posibles. ^[59]

Ciencias económicas

En el modelo de equilibrio económico general de Arrow-Debreu , se supone que los agentes tienen conjuntos presupuestarios convexos y preferencias convexas . Estos supuestos de convexidad en economía se pueden utilizar para demostrar la existencia de un equilibrio. Cuando los datos económicos reales no son convexos , se los puede convertir en convexos tomando envolventes convexas. El teorema de Shapley-Folkman se puede utilizar para demostrar que, para mercados grandes, esta aproximación es precisa y conduce a un "cuasiequilibrio" para el mercado no convexo original. ^[60]

Modelado geométrico

En el modelado geométrico , una de las propiedades clave de una curva de Bézier es que se encuentra dentro de la envoltura convexa de sus puntos de control. Esta denominada "propiedad de envoltura convexa" se puede utilizar, por ejemplo, para detectar rápidamente las intersecciones de estas curvas. ^[61]

En la geometría del diseño de barcos y buques, la circunferencia de la cadena es una medida del tamaño de un buque de vela, definida a partir del casco convexo de una sección transversal del casco del buque. Se diferencia de la circunferencia del casco , el perímetro de la sección transversal en sí, excepto en los barcos y buques que tienen un casco convexo. ^[62]

Etología

La envoltura convexa se conoce comúnmente como el polígono convexo mínimo en etología , el estudio del comportamiento animal, donde es un enfoque clásico, aunque quizás simplista, para estimar el área de distribución de un animal en función de los puntos en los que se ha observado al animal. ^[63] Los valores atípicos pueden hacer que el polígono convexo mínimo sea excesivamente grande, lo que ha motivado enfoques relajados que contienen solo un subconjunto de las observaciones, por ejemplo, eligiendo una de las capas convexas que esté cerca de un porcentaje objetivo de las muestras, ^[64] o en el método de envoltura convexa local combinando envolturas convexas de vecindarios de puntos. ^[65]

Física cuántica

En física cuántica , el espacio de estados de cualquier sistema cuántico (el conjunto de todas las formas en que se puede preparar el sistema) es una envoltura convexa cuyos puntos extremos son operadores positivos semidefinidos conocidos como estados puros y cuyos puntos interiores se denominan estados mixtos. ^[66] El teorema de Schrödinger-HJW demuestra que cualquier estado mixto puede, de hecho, escribirse como una combinación convexa de estados puros de múltiples maneras. ^[67]

Termodinámica

Cáscara convexa de compuestos de magnesio y carbono . ^[68] Se espera que el Mg2C3 _sea inestable _ya que se encuentra por encima de la cáscara inferior.

Josiah Willard Gibbs (1873) identificó una envoltura convexa en termodinámica , ^[69] aunque el artículo se publicó antes de que la envoltura convexa fuera denominada así. En un conjunto de energías de varias estequiometrías de un material, solo las mediciones en la envoltura convexa inferior serán estables. Al eliminar un punto de la envoltura y luego calcular su distancia a la envoltura, su distancia a la nueva envoltura representa el grado de estabilidad de la fase. ^[70]

Historia

La envoltura convexa inferior de puntos en el plano aparece, en forma de polígono de Newton, en una carta de Isaac Newton a Henry Oldenburg en 1676. ^[71] El término "envoltura convexa" en sí aparece ya en el trabajo de Garrett Birkhoff  (1935), y el término correspondiente en alemán aparece antes, por ejemplo en la reseña de Hans Rademacher de Kőnig  (1922). Otros términos, como "envoltura convexa", también se usaban en este período de tiempo. ^[72] En 1938, según Lloyd Dines , el término "envoltura convexa" se había vuelto estándar; Dines agrega que encuentra el término desafortunado, porque el significado coloquial de la palabra "envoltura" sugeriría que se refiere a la superficie de una forma, mientras que la envoltura convexa incluye el interior y no solo la superficie. ^[73]

Notas

1. La terminología cierre convexo se refiere al hecho de que la envoltura convexa define un operador de cierre . Sin embargo, este término también se utiliza con frecuencia para referirse a la envoltura convexa cerrada , con la que no debe confundirse (véase, por ejemplo, Fan (1959), p. 48).
2. Rockafellar (1970), pág. 12.
3. de Berg y col. (2008), pág. 3.
4. Williams y Rossignac (2005). Véase también Douglas Zare, respuesta a "el perímetro de un conjunto no convexo", MathOverflow , 16 de mayo de 2014.
5. Oberman (2007).
6. Knuth (1992).
7. Rockafellar (1970), pág. 12; Lay (1982), pág. 17.
8. de Berg et al. (2008), pág. 6. La idea de dividir el casco en dos cadenas proviene de una variante eficiente del escaneo de Graham de Andrew (1979).
9. Sontag (1982).
10. Rokafellar (1970), pág. 99.
11. Steinitz (1914); Agustín (1947); Bárány, Katchalski y Pach (1982)
12. Grünbaum (2003), pág. 16; Lay (1982), pág. 21; Sakuma (1977).
13. Este ejemplo lo da Talman (1977), Observación 2.6.
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15. Kerin y Milman (1940); Lay (1982), pág. 43.
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20. de Berg y otros. (2008), pág. 254.
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