El límite de la figura de 24 celdas está compuesto por 24 celdas octaédricas , seis de las cuales se encuentran en cada vértice y tres en cada arista. Juntas tienen 96 caras triangulares, 96 aristas y 24 vértices. La figura del vértice es un cubo . La figura de 24 celdas es autodual . [a] La figura de 24 celdas y el teseracto son los únicos 4-politopos regulares convexos en los que la longitud de la arista es igual al radio. [b]
El poliedro de 24 celdas no tiene un análogo regular en tres dimensiones ni en ningún otro número de dimensiones, ni por debajo ni por encima. [4] Es el único de los seis politopos de 4 celdas regulares convexos que no es análogo de uno de los cinco sólidos platónicos. Sin embargo, puede verse como el análogo de un par de sólidos irregulares: el cuboctaedro y su dual, el dodecaedro rómbico . [5]
Las copias traducidas del modelo de 24 celdas pueden teselar el espacio de cuatro dimensiones cara a cara, formando el panal de abejas de 24 celdas . Como politopo que puede teselarse por traslación, el modelo de 24 celdas es un ejemplo de paralelepípedo , el más simple que no es también un zonotopo . [6]
Geometría
El politopo de 24 celdas incorpora las geometrías de todos los politopos regulares convexos en las primeras cuatro dimensiones, excepto el politopo de 5 celdas, aquellos con un 5 en su símbolo de Schlöfli, [c] y los polígonos regulares con 7 o más lados. En otras palabras, el politopo de 24 celdas contiene todos los politopos regulares formados por triángulos y cuadrados que existen en cuatro dimensiones excepto el politopo regular de 5 celdas, pero ninguno de los politopos pentagonales. Las relaciones geométricas entre todos estos politopos regulares se pueden observar en un solo politopo de 24 celdas o en el panal de abejas de 24 celdas .
El teseracto de 24 celdas es el cuarto en la secuencia de seis politopos convexos regulares de 4 celdas (en orden de tamaño y complejidad). [d] Puede deconstruirse en 3 instancias superpuestas de su predecesor, el teseracto (de 8 celdas), al igual que el de 8 celdas puede deconstruirse en 2 instancias superpuestas de su predecesor, el de 16 celdas . [9] El procedimiento inverso para construir cada uno de estos a partir de una instancia de su predecesor conserva el radio del predecesor, pero generalmente produce un sucesor con una longitud de arista más pequeña. [e]
Coordenadas
La celda de 24 tiene dos sistemas naturales de coordenadas cartesianas, que revelan una estructura distinta.
Esas coordenadas [10] se pueden construir como, rectificando las 16 celdascon 8 permutaciones de vértices de (±2,0,0,0). La figura de vértices de un sistema de 16 celdas es el octaedro ; por lo tanto, cortar los vértices del sistema de 16 celdas en el punto medio de sus aristas incidentes produce 8 celdas octaédricas. Este proceso [11] también rectifica las celdas tetraédricas del sistema de 16 celdas que se convierten en 16 octaedros, dando como resultado 24 celdas octaédricas.
En este marco de referencia, la celda de 24 tiene aristas de longitud √ 2 y está inscrita en una esfera de 3 lados de radio √ 2. Sorprendentemente, la longitud de la arista es igual al radio circunscrito, como en el hexágono o el cuboctaedro . Dichos politopos son radialmente equiláteros . [b]
Los 24 vértices forman 18 grandes cuadrados [f] (3 conjuntos de 6 cuadrados centrales ortogonales [g] ), 3 de los cuales se intersecan en cada vértice. Al observar solo un cuadrado en cada vértice, las 24 celdas pueden verse como los vértices de 3 pares de grandes cuadrados completamente ortogonales que no se intersecan [i] en ningún vértice. [j]
Hexágonos
La celda de 24 es autodual , tiene el mismo número de vértices (24) que celdas y el mismo número de aristas (96) que caras.
Si se toma el dual de la celda de 24 elementos anterior con una longitud de arista de √ 2 moviéndolo en sentido inverso alrededor de su esfera inscrita , se encuentra otra celda de 24 elementos que tiene una longitud de arista y un radio circunscrito de 1, y sus coordenadas revelan una estructura más compleja. En este marco de referencia, la celda de 24 elementos se encuentra con el vértice hacia arriba, y sus vértices se pueden dar de la siguiente manera:
8 vértices obtenidos permutando las coordenadas enteras :
y 16 vértices con coordenadas semienteras de la forma:
todos ellos 24 se encuentran a una distancia de 1 del origen.
En este sistema de coordenadas , la celda de 24 celdas tiene un radio unitario y una longitud de arista unitaria [b] . Nos referimos al sistema como coordenadas de radio unitario para distinguirlo de otros, como las coordenadas de radio √ 2 utilizadas anteriormente. [l]
Los 24 vértices y 96 aristas forman 16 grandes hexágonos no ortogonales, [o] cuatro de los cuales se intersecan [i] en cada vértice. [q] Al observar solo un hexágono en cada vértice, las 24 celdas se pueden ver como los 24 vértices de 4 grandes círculos hexagonales que no se intersecan y que son paralelos entre sí en el método de Clifford. [r]
Los 12 ejes y 16 hexágonos de las 24 celdas constituyen una configuración de Reye , que en el lenguaje de las configuraciones se escribe como 12 4 16 3 para indicar que cada eje pertenece a 4 hexágonos, y cada hexágono contiene 3 ejes. [12]
Triángulos
Los 24 vértices forman 32 triángulos grandes equiláteros, de longitud de arista √ 3 en la celda de radio unitario de 24, [u] inscritos en los 16 grandes hexágonos. [v] Cada triángulo grande es un anillo que une tres cuadrados grandes completamente disjuntos [w] . [aa]
Acordes hipercúbicos
Geometría de vértice del triángulo equilátero radial [b] de 24 celdas, que muestra los 3 polígonos de círculo máximo y las 4 longitudes de cuerda de vértice a vértice.
Los 24 vértices de las 24 celdas se distribuyen [13] en cuatro longitudes de cuerda diferentes entre sí: √ 1 , √ 2 , √ 3 y √ 4 .
Cada vértice está unido a otros 8 [ab] por una arista de longitud 1, que abarca 60° = π/3 de arco. Los siguientes más cercanos son 6 vértices [ac] ubicados a 90° = π/2 de distancia, a lo largo de una cuerda interior de longitud √ 2 . Otros 8 vértices se encuentran a 120° = 2π/3 de distancia, a lo largo de una cuerda interior de longitud √ 3 . [ad] El vértice opuesto está a 180° = π de distancia a lo largo de un diámetro de longitud 2. Finalmente, como la celda de 24 es radialmente equilátera, su centro está a 1 longitud de arista de distancia de todos los vértices.
Para visualizar cómo encajan los politopos interiores del conjunto de 24 celdas (como se describe a continuación), tenga en cuenta que las cuatro longitudes de cuerda ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) son los diámetros largos de los hipercubos de dimensiones 1 a 4: el diámetro largo del cuadrado es √ 2 ; el diámetro largo del cubo es √ 3 ; y el diámetro largo del teseracto es √ 4. [ae] Además, el diámetro largo del octaedro es √ 2 como el cuadrado; y el diámetro largo del propio conjunto de 24 celdas es √ 4 como el teseracto. En el conjunto de 24 celdas, las √ 2 cuerdas son los bordes de los cuadrados centrales, y las √ 4 cuerdas son las diagonales de los cuadrados centrales.
Geodésicas
Proyección estereográfica de los 16 hexágonos centrales de las 24 celdas sobre sus círculos máximos. Cada círculo máximo está dividido en 6 aristas de arco en las intersecciones donde se cruzan 4 círculos máximos.
Las cuerdas de los vértices de las 24 celdas están dispuestas en polígonos de círculo máximo geodésicos . [ag] La distancia geodésica entre dos vértices de 24 celdas a lo largo de una ruta de √ 1 aristas es siempre 1, 2 o 3, y es 3 solo para vértices opuestos. [ah]
Las aristas √ 1 se encuentran en 16 círculos máximos hexagonales (en planos inclinados 60 grados entre sí), 4 de los cuales se cruzan [q] en cada vértice. [p] Las 96 aristas √ 1 distintas dividen la superficie en 96 caras triangulares y 24 celdas octaédricas: una superficie de 24 celdas. Los 16 círculos máximos hexagonales se pueden dividir en 4 conjuntos de 4 geodésicas paralelas de Clifford que no se intersecan , de modo que solo un círculo máximo hexagonal de cada conjunto pase por cada vértice y los 4 hexágonos de cada conjunto alcancen los 24 vértices. [ak]
Las cuerdas √ 2 se encuentran en 18 círculos grandes cuadrados (3 conjuntos de 6 planos ortogonales [x] ), 3 de los cuales se cruzan en cada vértice. [al] Las 72 cuerdas √ 2 distintas no discurren en los mismos planos que los círculos grandes hexagonales; no siguen las aristas de la celda de 24, sino que pasan por los centros de sus celdas octagonales. [am] Las 72 cuerdas √ 2 son los 3 ejes ortogonales de las 24 celdas octaédricas, que unen vértices que están separados por 2 aristas √ 1. Los 18 círculos grandes cuadrados se pueden dividir en 3 conjuntos de 6 geodésicas paralelas de Clifford que no se intersecan, [af] de modo que solo un círculo grande cuadrado de cada conjunto pasa por cada vértice, y los 6 cuadrados de cada conjunto alcanzan los 24 vértices. [aq]
Las cuerdas √ 3 se encuentran en 32 círculos máximos triangulares en 16 planos, 4 de los cuales se cruzan en cada vértice. [ad] Las 96 cuerdas √ 3 distintas [u] corren de vértice a vértice en los mismos planos que los círculos máximos hexagonales. [v] Son las 3 aristas de los 32 triángulos máximos inscritos en los 16 hexágonos máximos, que unen vértices que están separados por 2 aristas √ 1 en un círculo máximo. [t]
Las √ 4 cuerdas se presentan como 12 diámetros de vértice a vértice (3 conjuntos de 4 ejes ortogonales) y los 24 radios alrededor del 25º vértice central.
La suma de las longitudes al cuadrado [ar] de todas estas cuerdas distintas de la celda de 24 es 576 = 24 2 . [as] Estos son todos los polígonos centrales que pasan por los vértices, pero en el espacio de 4 celdas hay geodésicas en la esfera de 3 celdas que no se encuentran en ningún plano central. Hay caminos geodésicos más cortos entre dos vértices de 24 celdas que son helicoidales en lugar de simplemente circulares; corresponden a rotaciones isoclínicas diagonales en lugar de rotaciones simples. [at]
Las aristas √ 1 se encuentran en 48 pares paralelos, separados por √ 3. Las cuerdas √ 2 se encuentran en 36 pares paralelos, separados por √ 2. Las cuerdas √ 3 se encuentran en 48 pares paralelos, separados por √ 1. [au]
Los planos centrales de las 24 celdas se pueden dividir en 4 hiperplanos centrales ortogonales (3-espacios), cada uno de los cuales forma un cuboctaedro . Los grandes hexágonos están separados por 60 grados; los grandes cuadrados están separados por 90 grados o 60 grados; un gran cuadrado y un gran hexágono están separados por 90 grados y 60 grados. [aw] Cada conjunto de polígonos centrales similares (cuadrados o hexágonos) se puede dividir en 4 conjuntos de polígonos paralelos de Clifford que no se intersecan (de 6 cuadrados o 4 hexágonos). [ax] Cada conjunto de grandes círculos paralelos de Clifford es un haz de fibras paralelas que visita los 24 vértices solo una vez.
Cada círculo máximo interseca [i] con los otros círculos máximos a los que no es paralelo de Clifford en un diámetro de √ 4 de la celda de 24. [ay] Los círculos máximos que son completamente ortogonales o, de otro modo, paralelos de Clifford [af] no se intersecan en absoluto: pasan por conjuntos disjuntos de vértices. [az]
Construcciones
Los triángulos y los cuadrados se unen de manera única en las 24 celdas para generar, como características interiores, [ba] todos los politopos convexos regulares con caras triangulares y cuadradas en las primeras cuatro dimensiones (con salvedades para las 5 celdas y las 600 celdas ). [bb] En consecuencia, existen numerosas formas de construir o deconstruir las 24 celdas.
Construcciones recíprocas de 8 y 16 celdas
Los 8 vértices enteros (±1, 0, 0, 0) son los vértices de un sistema regular de 16 celdas , y los 16 vértices semienteros (± 1/2 , ± 1/2 , ± 1/2 , ± 1/2) son los vértices de su dual, el teseracto (de 8 celdas). [22] El teseracto da la construcción de Gosset [23] de las 24 celdas, equivalente a cortar un teseracto en 8 pirámides cúbicas y luego unirlas a las facetas de un segundo teseracto. La construcción análoga en el espacio tridimensional da el dodecaedro rómbico que, sin embargo, no es regular. [bc] Las 16 celdas dan la construcción recíproca de las 24 celdas, la construcción de Cesaro, [24] equivalente a rectificar una 16 celdas (truncando sus esquinas en los bordes medios, como se describió anteriormente). La construcción análoga en el espacio tridimensional da el cuboctaedro (dual del dodecaedro rómbico) que, sin embargo, no es regular. El teseracto y el de 16 celdas son los únicos 4-politopos regulares en el de 24 celdas. [25]
Podemos dividir los 16 vértices semienteros en dos grupos: aquellos cuyas coordenadas contienen un número par de signos menos (−) y aquellos con un número impar. Cada uno de estos grupos de 8 vértices también define un conjunto regular de 16 celdas. Esto demuestra que los vértices del conjunto de 24 celdas se pueden agrupar en tres conjuntos disjuntos de ocho, definiendo cada conjunto un conjunto regular de 16 celdas y definiendo el complemento el teseracto dual. [26] Esto también demuestra que las simetrías del conjunto de 16 celdas forman un subgrupo de índice 3 del grupo de simetría del conjunto de 24 celdas. [z]
Disminuciones
Podemos realizar facetas en el sistema de 24 celdas cortando [bd] a través de celdas interiores limitadas por cuerdas de vértices para eliminar vértices, exponiendo las facetas de los 4-politopos interiores inscritos en el sistema de 24 celdas. Se puede cortar un sistema de 24 celdas a través de cualquier hexágono plano de 6 vértices, cualquier rectángulo plano de 4 vértices o cualquier triángulo de 3 vértices. Los planos centrales del círculo máximo (arriba) son solo algunos de esos planos. Aquí expondremos algunos de los otros: los planos de las caras [be] de los politopos interiores. [bf]
8 celdas
Partiendo de un conjunto completo de 24 celdas, se eliminan 8 vértices ortogonales (4 pares opuestos en 4 ejes perpendiculares) y las 8 aristas que irradian desde cada una, cortando a través de 8 celdas cúbicas limitadas por √ 1 aristas para eliminar 8 pirámides cúbicas cuyos vértices son los vértices que se eliminarán. Esto elimina 4 aristas de cada círculo máximo hexagonal (conservando solo un par opuesto de aristas), por lo que no quedan círculos máximos hexagonales continuos. Ahora, 3 aristas perpendiculares se encuentran y forman la esquina de un cubo en cada uno de los 16 vértices restantes, [bg] y las 32 aristas restantes dividen la superficie en 24 caras cuadradas y 8 celdas cúbicas: un teseracto . Hay tres formas de hacer esto (elige un conjunto de 8 vértices ortogonales de 24), por lo que hay tres teseractos de este tipo inscritos en el conjunto de 24 celdas. [t] Se superponen entre sí, pero la mayoría de sus conjuntos de elementos son disjuntos: comparten cierto número de vértices, pero no la longitud de las aristas, el área de la cara o el volumen de la celda. [bh] Comparten 4-contenido, su núcleo común. [bi]
16 celdas
Partiendo de un teseracto completo de 24 celdas, elimine los 16 vértices de un teseracto (conservando los 8 vértices que eliminó anteriormente), cortando 16 celdas tetraédricas limitadas por cuerdas de √ 2 para eliminar 16 pirámides tetraédricas cuyos vértices son los vértices que se eliminarán. Esto elimina 12 grandes cuadrados (conservando solo un conjunto ortogonal) y todas las aristas de √ 1 , exponiendo las cuerdas de √ 2 como las nuevas aristas. Ahora los 6 grandes cuadrados restantes se cruzan perpendicularmente, 3 en cada uno de los 8 vértices restantes, [bj] y sus 24 aristas dividen la superficie en 32 caras triangulares y 16 celdas tetraédricas: un teseracto de 16 celdas . Hay tres formas de hacer esto (eliminar 1 de los 3 conjuntos de vértices del teseracto), por lo que hay tres de esas 16 celdas inscritas en el teseracto de 24 celdas. [y] Se superponen entre sí, pero todos sus conjuntos de elementos son disjuntos: [w] no comparten ningún número de vértices, longitud de arista, [bk] o área de cara, pero sí comparten el volumen de la celda. También comparten el contenido 4, su núcleo común. [bi]
Construcciones tetraédricas
El politopo de 24 celdas se puede construir radialmente a partir de 96 triángulos equiláteros de longitud de arista √ 1 que se encuentran en el centro del politopo, cada uno de los cuales aporta dos radios y una arista. [b] Forman 96 tetraedros de √ 1 (cada uno de los cuales aporta una cara de 24 celdas), todos ellos compartiendo el vértice central número 25. Estos forman 24 pirámides octaédricas (medias de 16 celdas) con sus vértices en el centro.
El triángulo de 24 celdas se puede construir a partir de 96 triángulos equiláteros con una longitud de arista de √ 2 , donde los tres vértices de cada triángulo están ubicados a 90° = π/2 separados entre sí en la esfera de 3 dimensiones. Forman 48 tetraedros de 2 aristas (las celdas de las tres celdas de 16 dimensiones), centrados en los 24 radios de aristas medias de las 24 celdas. [bk]
La celda de 24 no es sólo la celda de 24 octahédricas, es también la celda de 24 cúbicas, aunque los cubos son celdas de las tres celdas de 8, no celdas de la celda de 24, en las que no están volumétricamente disjuntas.
Las 24 celdas se pueden construir a partir de 24 cubos con su propia longitud de arista (tres celdas de 8). [t] Cada uno de los cubos es compartido por 2 celdas de 8, cada una de las caras cuadradas de los cubos es compartida por 4 cubos (en 2 celdas de 8), cada una de las 96 aristas es compartida por 8 caras cuadradas (en 4 cubos en 2 celdas de 8), y cada uno de los 96 vértices es compartido por 16 aristas (en 8 caras cuadradas en 4 cubos en 2 celdas de 8).
Relaciones entre politopos interiores
Los 24 teseractos, tres teseractos y tres teseractos de 16 celdas están profundamente entrelazados alrededor de su centro común y se intersecan en un núcleo común. [bi] Los teseractos y los 16 teseractos están rotados 60° isoclínicamente [m] entre sí. Esto significa que los vértices correspondientes de dos teseractos o dos teseractos de 16 celdas están separados por √ 3 (120°). [t]
Los teseractos están inscritos en el conjunto de 24 celdas [bm] de modo que sus vértices y aristas son elementos exteriores del conjunto de 24 celdas, pero sus caras cuadradas y celdas cúbicas se encuentran dentro del conjunto de 24 celdas (no son elementos del conjunto de 24 celdas). Los conjuntos de 16 celdas están inscritos en el conjunto de 24 celdas [bn] de modo que solo sus vértices son elementos exteriores del conjunto de 24 celdas: sus aristas, caras triangulares y celdas tetraédricas se encuentran dentro del conjunto de 24 celdas. Las aristas interiores [bo] del conjunto de 16 celdas tienen una longitud de √ 2 . [aa]
Dibujo de Kepler de tetraedros en el cubo. [29]
Las 16 celdas también están inscritas en los teseractos: sus √ 2 aristas son las diagonales de las caras del teseracto, y sus 8 vértices ocupan cada uno de los otros vértices del teseracto. Cada teseracto tiene dos celdas de 16 inscritas en él (que ocupan los vértices opuestos y las diagonales de las caras), por lo que cada celda de 16 está inscrita en dos de las tres celdas de 8. [30] [z] Esto recuerda la forma en que, en 3 dimensiones, dos tetraedros regulares opuestos pueden inscribirse en un cubo, como descubrió Kepler. [29] De hecho, es la analogía dimensional exacta (los semihipercubos ), y las 48 celdas tetraédricas están inscritas en las 24 celdas cúbicas de esa misma manera. [31] [bk]
El teseracto de 24 celdas encierra los tres teseractos dentro de su envoltura de facetas octaédricas, dejando espacio de 4 dimensiones en algunos lugares entre su envoltura y la envoltura de cubos de cada teseracto. Cada teseracto encierra dos de las tres celdas de 16, dejando espacio de 4 dimensiones en algunos lugares entre su envoltura y la envoltura de tetraedros de cada una de las 16 celdas. Por lo tanto, hay intersticios de 4 dimensiones [bp] medibles [8 ] entre las envolturas de 24, 8 y 16 celdas. Las formas que llenan estos espacios son 4-pirámides , a las que se hizo referencia anteriormente. [bq]
Celdas limítrofes
A pesar de los intersticios de 4 dimensiones entre las envolturas de 24, 8 y 16 células, sus volúmenes tridimensionales se superponen. Las diferentes envolturas están separadas en algunos lugares y en contacto en otros (donde no hay una pirámide de 4 entre ellas). Donde están en contacto, se fusionan y comparten el volumen celular: son la misma membrana de 3 dimensiones en esos lugares, no dos capas tridimensionales separadas sino adyacentes. [bs] Debido a que hay un total de 7 envolturas, hay lugares donde varias envolturas se unen y fusionan volumen, y también lugares donde las envolturas se interpenetran (se cruzan de adentro hacia afuera una de otra).
Algunas características interiores se encuentran dentro del espacio tridimensional de la envoltura límite (externa) de la propia celda de 24: cada celda octaédrica está bisecada por tres cuadrados perpendiculares (uno de cada uno de los teseractos), y las diagonales de esos cuadrados (que se cruzan perpendicularmente en el centro del octaedro) son aristas de 16 celdas (una de cada 16 celdas). Cada cuadrado biseca un octaedro en dos pirámides cuadradas, y también une dos celdas cúbicas adyacentes de un teseracto como su cara común. [br]
Como vimos arriba, las celdas tetraédricas de 16 celdas √ 2 están inscritas en teseractos de √ 1 celdas cúbicas, compartiendo el mismo volumen. Las celdas octaédricas de 24 celdas √ 1 superponen su volumen con el de las celdas cúbicas √ 1 : están divididas por una cara cuadrada en dos pirámides cuadradas, [33] cuyos vértices también se encuentran en un vértice de un cubo. [bt] Los octaedros comparten volumen no sólo con los cubos, sino también con los tetraedros inscritos en ellos; por lo tanto, los teseractos de 24 celdas y los de 16 celdas comparten algún volumen límite. [bs]
Como configuración
Esta matriz de configuración [34] representa las 24 celdas. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números diagonales indican cuántos elementos de cada tipo se encuentran en las 24 celdas. Los números no diagonales indican cuántos elementos de la columna se encuentran en el elemento de la fila o en su interior.
Dado que la celda de 24 es autodual, su matriz es idéntica a su rotación de 180 grados.
Simetrías, sistemas de raíces y teselaciones
El compuesto de los 24 vértices de las 24 celdas (nodos rojos) y su dual sin escalar (nodos amarillos) representan los 48 vectores raíz del grupo F 4 , como se muestra en esta proyección del plano de Coxeter F 4
Los 24 vectores raíz del sistema raíz D 4 del grupo de Lie simple SO(8) forman los vértices de un sistema de 24 celdas. Los vértices se pueden ver en 3 hiperplanos , [av] con los 6 vértices de una celda octaédrica en cada uno de los hiperplanos externos y 12 vértices de un cuboctaedro en un hiperplano central. Estos vértices, combinados con los 8 vértices del sistema de 16 celdas , representan los 32 vectores raíz de los grupos de Lie simples B 4 y C 4 .
Los 48 vértices (o estrictamente hablando sus radios vectores) de la unión de la celda de 24 y su dual forman el sistema raíz de tipo F 4 . [36] Los 24 vértices de la celda original de 24 forman un sistema raíz de tipo D 4 ; su tamaño tiene la relación √ 2 :1. Esto también es cierto para los 24 vértices de su dual. El grupo de simetría completo de la celda de 24 es el grupo de Weyl de F 4 , que se genera por reflexiones a través de los hiperplanos ortogonales a las raíces de F 4 . Este es un grupo resoluble de orden 1152. El grupo de simetría rotacional de la celda de 24 es de orden 576.
Interpretación cuaterniónica
Los 24 elementos cuaternión [k] del grupo tetraédrico binario coinciden con los vértices de la celda de 24. Vistos en proyección de simetría cuádruple: * 1 orden-1: 1 * 1 orden-2: -1 * 6 orden-4: ±i, ±j, ±k * 8 orden-6: (+1±i±j±k)/2 * 8 orden-3: (-1±i±j±k)/2.
Cuando se interpreta como los cuaterniones , [k] la red de raíces F 4 (que es el espacio integral de los vértices de las 24 celdas) está cerrada bajo multiplicación y, por lo tanto, es un anillo . Este es el anillo de cuaterniones integrales de Hurwitz . Los vértices de las 24 celdas forman el grupo de unidades (es decir, el grupo de elementos invertibles) en el anillo de cuaterniones de Hurwitz (este grupo también se conoce como el grupo tetraédrico binario ). Los vértices de las 24 celdas son precisamente los 24 cuaterniones de Hurwitz con norma al cuadrado 1, y los vértices de las 24 celdas duales son aquellos con norma al cuadrado 2. La red de raíces D 4 es la dual de F 4 y está dada por el subanillo de cuaterniones de Hurwitz con norma par al cuadrado. [38]
Consideradas como los 24 cuaterniones de Hurwitz unitarios , las coordenadas del radio unitario de las 24 celdas representan (en pares antípodas) las 12 rotaciones de un tetraedro regular. [39]
Los vértices de otros 4-politopos regulares convexos también forman grupos multiplicativos de cuaterniones, pero pocos de ellos generan una red de raíces. [40]
Células de Voronoi
Las celdas de Voronoi de la red de raíces D 4 son celdas regulares de 24 celdas. La teselación de Voronoi correspondiente da la teselación del espacio euclidiano de 4 dimensiones por celdas regulares de 24 celdas, el panal de abeja de 24 celdas . Las 24 celdas están centradas en los puntos de la red D 4 (cuaterniones de Hurwitz con norma par al cuadrado) mientras que los vértices están en los puntos de la red F 4 con norma impar al cuadrado. Cada celda de 24 de esta teselación tiene 24 vecinos. Con cada uno de ellos comparte un octaedro. También tiene otros 24 vecinos con los que comparte solo un vértice. Ocho celdas de 24 se encuentran en cualquier vértice dado en esta teselación. El símbolo de Schläfli para esta teselación es {3,4,3,3}. Es una de las tres únicas teselaciones regulares de R 4 .
La teselación dual del panal de 24 celdas {3,4,3,3} es el panal de 16 celdas {3,3,4,3} . La tercera teselación regular del espacio de cuatro dimensiones es el panal teseractico {4,3,3,4} , cuyos vértices pueden describirse mediante coordenadas cartesianas de 4 enteros. [k] Las relaciones congruentes entre estas tres teselaciones pueden ser útiles para visualizar el panal de 24 celdas, en particular la simetría equilátera radial que comparte con el teseracto. [b]
Un panal de abejas de 24 celdas de longitud de arista unitaria puede superponerse a un panal de abejas de teseractos de longitud de arista unitaria de manera que cada vértice de un teseracto (cada coordenada de 4 enteros) sea también el vértice de una celda de 24 (y las aristas de un teseracto sean también aristas de 24 celdas), y cada centro de una celda de 24 sea también el centro de un teseracto. [41] Las 24 celdas son el doble de grandes que los teseractos por contenido de 4 dimensiones (hipervolumen), por lo que en general hay dos teseractos por cada 24 celdas, de los cuales solo la mitad están inscritos en una celda de 24. Si esos teseractos se colorean de negro y sus teseractos adyacentes (con los que comparten una faceta cúbica) se colorean de rojo, resulta un tablero de ajedrez de 4 dimensiones. [42] De los 24 radios de centro a vértice [bu] de cada celda de 24, 16 son también los radios de un teseracto negro inscrito en la celda de 24. Los otros 8 radios se extienden fuera del teseracto negro (a través de los centros de sus facetas cúbicas) hasta los centros de los 8 teseractos rojos adyacentes. Por lo tanto, el panal de 24 celdas y el panal teseractico coinciden de una manera especial: 8 de los 24 vértices de cada celda de 24 no ocurren en un vértice de un teseracto (ocurren en su lugar en el centro de un teseracto). Cada teseracto negro se corta de una celda de 24 truncándolo en estos 8 vértices, cortando 8 pirámides cúbicas (como en la construcción inversa de Gosset, [23] pero en lugar de eliminarlas, las pirámides simplemente se colorean de rojo y se dejan en su lugar). Ocho celdas de 24 elementos se encuentran en el centro de cada teseracto rojo: cada una se encuentra con su opuesto en ese vértice compartido, y las otras seis en una celda octaédrica compartida.
Los teseractos rojos son celdas rellenas (contienen un vértice central y radios); los teseractos negros son celdas vacías. El conjunto de vértices de esta unión de dos panales incluye los vértices de todas las 24 celdas y teseractos, más los centros de los teseractos rojos. Al sumar los centros de las 24 celdas (que también son los centros de los teseractos negros) a este panal, se obtiene un panal de 16 celdas, cuyo conjunto de vértices incluye todos los vértices y centros de todas las 24 celdas y teseractos. Los centros anteriormente vacíos de las 24 celdas adyacentes se convierten en los vértices opuestos de un panal de 16 celdas con una longitud de arista unitaria. 24 medias celdas de 16 elementos (pirámides octaédricas) se unen en cada centro anteriormente vacío para llenar cada celda de 24 elementos, y sus bases octaédricas son las facetas octaédricas de 6 vértices de las 24 celdas (compartidas con una celda de 24 elementos adyacente). [bv]
Obsérvese la ausencia total de pentágonos en cualquier parte de esta unión de tres panales. Al igual que el espacio euclidiano de 24 celdas y 4 dimensiones, está completamente lleno por un complejo de todos los politopos que se pueden construir a partir de triángulos y cuadrados regulares (excepto el de 5 celdas), pero ese complejo no requiere (ni permite) ninguno de los politopos pentagonales. [c]
Rotaciones
Los 4-politopos convexos regulares son una expresión de su simetría subyacente , conocida como SO(4) , el grupo de rotaciones [43] alrededor de un punto fijo en el espacio euclidiano de 4 dimensiones. [por]
Las 3 bases cartesianas del modelo de 24 celdas
Hay tres orientaciones distintas del panal teseractico que podrían hacerse coincidir con el panal de 24 celdas, dependiendo de cuál de los tres conjuntos disjuntos de 8 vértices ortogonales de las 24 celdas (qué conjunto de 4 ejes perpendiculares, o equivalentemente, qué base inscrita de 16 celdas) [n] se eligió para alinearlo, al igual que tres teseractos pueden inscribirse en las 24 celdas, rotados uno con respecto al otro. [t] La distancia de una de estas orientaciones a otra es una rotación isoclínica de 60 grados (una rotación doble de 60 grados en cada par de planos invariantes ortogonales, alrededor de un único punto fijo). [bz] Esta rotación se puede ver más claramente en los planos centrales hexagonales, donde cada hexágono rota para cambiar cuál de sus tres diámetros está alineado con un eje del sistema de coordenadas. [o]
Planos de rotación
Las rotaciones en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones pueden verse como la composición de dos rotaciones bidimensionales en planos completamente ortogonales. [45] Por lo tanto, la rotación general en el espacio de cuatro dimensiones es una rotación doble . [46] Hay dos casos especiales importantes, llamados rotación simple y rotación isoclínica . [ce]
Rotaciones simples
Una proyección 3D de un sistema de 24 celdas que realiza una rotación simple . [bf]
En tres dimensiones, un poliedro giratorio tiene un único plano central de rotación invariante . El plano es un conjunto invariante porque cada punto del plano se mueve en un círculo pero permanece dentro del plano. Solo uno de los planos centrales de un poliedro puede ser invariante durante una rotación particular; la elección del plano central invariante y la distancia angular y la dirección en la que se gira especifican completamente la rotación. Los puntos fuera del plano invariante también se mueven en círculos (a menos que estén en el eje fijo de rotación perpendicular al plano invariante), pero los círculos no se encuentran dentro de un plano central.
Cuando un politopo de 4 celdas está rotando con un solo plano central invariante, está ocurriendo el mismo tipo de rotación simple que ocurre en 3 dimensiones. Una diferencia es que en lugar de un eje fijo de rotación, hay un plano central fijo completo en el que los puntos no se mueven. El plano fijo es el único plano central que es completamente ortogonal al plano invariante de rotación. En el politopo de 24 celdas, hay una rotación simple que llevará cualquier vértice directamente a cualquier otro vértice, moviendo también la mayoría de los otros vértices pero dejando al menos 2 y como máximo 6 vértices fijos (los vértices que el plano central fijo interseca). El vértice se mueve a lo largo de un gran círculo en el plano invariante de rotación entre vértices adyacentes de un gran hexágono, un gran cuadrado o un gran digón , y el plano fijo completamente ortogonal es un digón, un cuadrado o un hexágono, respectivamente. [az]
Rotaciones dobles
Una proyección 3D de 24 celdas realizando una doble rotación .
Los puntos en el plano central completamente ortogonal no están obligados a ser fijos. También es posible que roten en círculos, como un segundo plano invariante, a una velocidad independiente de la rotación del primer plano invariante: una doble rotación en dos planos de rotación perpendiculares no intersecantes [h] a la vez. [cc] En una doble rotación no hay un plano o eje fijo: cada punto se mueve excepto el punto central. La distancia angular rotada puede ser diferente en los dos planos centrales completamente ortogonales, pero siempre son ambos invariantes: sus puntos en movimiento circular permanecen dentro del plano mientras todo el plano se inclina lateralmente en la rotación completamente ortogonal. Una rotación en el espacio 4 siempre tiene (al menos) dos planos de rotación invariantes completamente ortogonales, aunque en una rotación simple el ángulo de rotación en uno de ellos es 0.
Las rotaciones dobles se presentan en dos formas quirales : rotaciones hacia la izquierda y hacia la derecha . [cf] En una rotación doble, cada vértice se mueve en espiral a lo largo de dos círculos máximos ortogonales a la vez. [ca] O bien el camino tiene rosca a la derecha (como la mayoría de los tornillos y pernos), moviéndose a lo largo de los círculos en las "mismas" direcciones, o tiene rosca a la izquierda (como un perno con rosca inversa), moviéndose a lo largo de los círculos en lo que convencionalmente llamamos direcciones "opuestas" (de acuerdo con la regla de la mano derecha por la que convencionalmente decimos qué lado está "arriba" en cada uno de los 4 ejes de coordenadas). [48]
En rotaciones dobles de la celda de 24 que llevan vértices a vértices, un plano invariante de rotación contiene un gran hexágono, un gran cuadrado o sólo un eje (dos vértices, un gran digón). El plano invariante de rotación completamente ortogonal contendrá necesariamente un gran digón, un gran cuadrado o un gran hexágono, respectivamente. La selección de un plano invariante de rotación, una dirección y un ángulo de rotación a través de los cuales rotarlo, y una dirección y un ángulo de rotación a través de los cuales rotar su plano completamente ortogonal, determina completamente la naturaleza del desplazamiento rotacional. En la celda de 24 hay varios tipos notables de rotación doble permitidos por estos parámetros. [49]
Rotaciones isoclínicas
Cuando los ángulos de rotación en los dos planos invariantes son exactamente los mismos, se produce una transformación notablemente simétrica : [50] todos los planos de círculo máximo paralelos de Clifford [af] a los planos invariantes se convierten en planos invariantes de rotación ellos mismos, a través de ese mismo ángulo, y el 4-politopo gira isoclínicamente en muchas direcciones a la vez. [51] Cada vértice se mueve una distancia igual en cuatro direcciones ortogonales al mismo tiempo. [m] En el plano de 24 celdas, cualquier rotación isoclínica a través de 60 grados en un plano hexagonal lleva cada vértice a un vértice a dos longitudes de arista de distancia, gira los 16 hexágonos 60 grados y lleva cada polígono de círculo máximo (cuadrado, [un] hexágono o triángulo) a un polígono de círculo máximo paralelo de Clifford del mismo tipo a 120 grados de distancia. Una rotación isoclínica también se llama desplazamiento de Clifford , en honor a su descubridor . [bz]
La célula de 24 en la animación de doble rotación parece darse vuelta al revés. [ci] Parece que lo hace, porque en realidad lo hace, invirtiendo la quiralidad de todo el politopo de 4, de la misma manera que el espejo de su baño invierte la quiralidad de su imagen mediante un reflejo de 180 grados. Cada rotación isoclínica de 360 grados es como si la superficie de 24 células hubiera sido desprendida como un guante y dada vuelta al revés, convirtiendo un guante de mano derecha en un guante de mano izquierda (o viceversa). [52]
En una rotación simple de la celda de 24 en un plano hexagonal, cada vértice en el plano rota primero a lo largo de un borde hacia un vértice adyacente a 60 grados de distancia. Pero en una rotación isoclínica en dos planos completamente ortogonales, uno de los cuales es un gran hexágono, [az] cada vértice rota primero hacia un vértice a dos longitudes de borde de distancia ( √ 3 y 120° de distancia). Las geodésicas helicoidales de la doble rotación de 60 grados pasan por cada uno de los otros vértices, sin tocar los vértices intermedios. [s] Cada cuerda √ 3 de la geodésica helicoidal [cp] cruza entre dos planos centrales de hexágonos paralelos de Clifford y se encuentra en otro plano central de hexágono que los interseca a ambos. [cu] Las cuerdas √ 3 se encuentran en un ángulo de 60°, pero como se encuentran en planos diferentes, forman una hélice, no un triángulo. Tres cuerdas de √ 3 y una rotación de 360° llevan al vértice a un vértice adyacente, no de regreso a sí mismo. La hélice de cuerdas de √ 3 se cierra en un bucle solo después de seis cuerdas de √ 3 : una rotación de 720° dos veces alrededor de las 24 celdas [cb] en un hexagrama oblicuo con aristas de √ 3. [ct] Aunque los 24 vértices y todos los hexágonos giran a la vez, una rotación isoclínica de 360 grados mueve cada vértice solo la mitad de su circuito. Después de 360 grados, cada hélice se ha alejado de 3 vértices y ha llegado a un cuarto vértice adyacente al vértice original, pero no ha regresado exactamente al vértice del que se apartó. Cada plano central (cada hexágono o cuadrado en las 24 celdas) ha rotado 360 grados y se ha inclinado lateralmente 360 grados hasta su posición original (como una moneda que se lanza dos veces), pero la orientación de las 24 celdas en el espacio de 4 en el que están insertas ahora es diferente. [54] Debido a que las 24 celdas ahora están al revés, si la rotación isoclínica continúa en la misma dirección a través de otros 360 grados, los 24 vértices en movimiento pasarán por la otra mitad de los vértices que se pasaron por alto en la primera revolución (los 12 vértices antípodas de los 12 que se tocaron la primera vez), y cada geodésica isoclínica llegará de regreso al vértice del que partió, formando un bucle helicoidal cerrado de seis cuerdas. Se necesita una rotación isoclínica de 720 grados para que cada geodésica hexagrama2 complete un circuito a través de cada segundo vértice de sus seis vértices enrollandoalrededor de las 24 celdas dos veces, devolviendo las 24 celdas a su orientación quiral original. [dc]
El camino sinuoso hexagonal que toma cada vértice al dar dos vueltas alrededor de las 24 celdas forma una doble hélice doblada en un anillo de Möbius , de modo que las dos hebras de la doble hélice forman una sola hebra continua en un bucle cerrado. [cw] En la primera revolución, el vértice atraviesa una hebra de 3 cuerdas de la doble hélice; en la segunda revolución, atraviesa la segunda hebra de 3 cuerdas, moviéndose en la misma dirección de rotación con la misma lateralidad (doblándose hacia la izquierda o hacia la derecha) en todo momento. Aunque este anillo de Möbius isoclínico es una espiral cerrada, no un círculo bidimensional, al igual que un círculo máximo es una geodésica porque es el camino más corto de vértice a vértice. [at]
Politopos paralelos de Clifford
Dos planos también se llaman isoclínicos si una rotación isoclínica los unirá. [aw] Los planos isoclínicos son precisamente aquellos planos centrales con grandes círculos geodésicos paralelos de Clifford. [56] Los grandes círculos paralelos de Clifford no se intersecan, [af] por lo que los polígonos de gran círculo isoclínicos tienen vértices disjuntos. En las 24 celdas, cada plano central hexagonal es isoclínico con otros tres, y cada plano central cuadrado es isoclínico con otros cinco. Podemos elegir 4 grandes hexágonos mutuamente isoclínicos (paralelos de Clifford) (de cuatro formas diferentes) que cubran los 24 vértices de las 24 celdas solo una vez (una fibración hexagonal). [ak] Podemos elegir 6 grandes cuadrados mutuamente isoclínicos (paralelos de Clifford) [ck] (de tres formas diferentes) que cubran los 24 vértices de las 24 celdas solo una vez (una fibración cuadrada). [aq] Toda rotación isoclínica que lleva vértices a vértices corresponde a una fibración discreta. [dg]
Los polígonos bidimensionales de círculo máximo no son los únicos politopos en el sistema de 24 celdas que son paralelos en el sentido de Clifford. [58] Se puede decir que los politopos congruentes de 2, 3 o 4 dimensiones son paralelos de Clifford en 4 dimensiones si sus vértices correspondientes están todos a la misma distancia. Las tres celdas de 16 inscritas en el sistema de 24 celdas son paralelas de Clifford. Los politopos paralelos de Clifford son politopos completamente disjuntos . [w] Una rotación isoclínica de 60 grados en planos hexagonales lleva cada celda de 16 a una celda de 16 disjunta. Como todas las rotaciones dobles, las rotaciones isoclínicas vienen en dos formas quirales : hay una celda de 16 disjunta a la izquierda de cada celda de 16 y otra a su derecha . [y]
Todos los politopos de 4 paralelos de Clifford están relacionados por una rotación isoclínica, [bz] pero no todos los politopos isoclínicos son paralelos de Clifford (completamente disjuntos). [dh] Las tres celdas de 8 en el politopo de 24 celdas son isoclínicas pero no paralelas de Clifford. Al igual que las de 16 celdas, están rotadas 60 grados isoclínicamente entre sí, pero sus vértices no son todos disjuntos (y por lo tanto no todos equidistantes). Cada vértice se encuentra en dos de las tres celdas de 8 (como cada celda de 16 celdas se encuentra en dos de las tres celdas de 8). [t]
Las rotaciones isoclínicas relacionan los 4-politopos regulares convexos entre sí. Una rotación isoclínica de un único 16-cell generará [di] un 24-cell. Una rotación simple de un único 16-cell no lo hará, porque sus vértices no alcanzarán ninguno de los otros dos 16-cells en el curso de la rotación. Una rotación isoclínica del 24-cell generará el 600-cell, y una rotación isoclínica del 600-cell generará el 120-cell. (O todos ellos pueden ser generados directamente por una rotación isoclínica del 16-cell, generando copias isoclínicas de sí mismo.) Los 4-politopos regulares convexos se anidan uno dentro del otro, y se esconden uno al lado del otro en los espacios paralelos de Clifford que componen la 3-esfera. [59] Para un objeto de más de una dimensión, la única forma de alcanzar estos subespacios paralelos directamente es por rotación isoclínica. [DJ]
Anillos
En el conjunto de 24 celdas hay conjuntos de anillos de seis tipos diferentes, que se describen en detalle por separado en otras secciones de este artículo. En esta sección se describe cómo se entrelazan los diferentes tipos de anillos.
Las 24 celdas contienen cuatro tipos de fibras geodésicas (anillos poligonales que pasan por los vértices): cuadrados de círculo máximo y sus octagramas de hélice isoclínicas , [aq] y hexágonos de círculo máximo y sus hexagramas de hélice isoclínicas. [ak] También contiene dos tipos de anillos de celdas (cadenas de octaedros doblados en un anillo en la cuarta dimensión): cuatro octaedros conectados vértice con vértice y doblados en un cuadrado, y seis octaedros conectados cara con cara y doblados en un hexágono.
Anillos de 4 celdas
Cuatro octaedros de arista unitaria pueden conectarse vértice con vértice a lo largo de un eje común de longitud 4 √ 2 . Luego, el eje puede doblarse hasta formar un cuadrado de arista de longitud √ 2 . Aunque es posible hacer esto en un espacio de solo tres dimensiones, no es así como ocurre en el sistema de 24 celdas. Aunque los ejes √ 2 de los cuatro octaedros ocupan el mismo plano, formando uno de los 18 √ 2 grandes cuadrados del sistema de 24 celdas, cada octaedro ocupa un hiperplano tridimensional diferente, [dk] y se utilizan las cuatro dimensiones. El sistema de 24 celdas puede dividirse en 6 anillos de 4 celdas (de tres formas diferentes), interconectados entre sí como eslabones adyacentes de una cadena (pero todos estos eslabones tienen un centro común). Una rotación isoclínica en el plano del gran cuadrado por un múltiplo de 90° convierte cada octaedro del anillo en un octaedro del anillo.
Anillos de 6 celdas
Un anillo de cuatro dimensiones de 6 octaedros unidos por caras, delimitado por dos conjuntos de tres grandes hexágonos paralelos de Clifford que se cruzan de diferentes colores, cortados y dispuestos de forma plana en un espacio tridimensional. [dl]
Se pueden conectar seis octaedros regulares cara a cara a lo largo de un eje común que pasa por sus centros de volumen, formando una pila o columna con solo caras triangulares. En un espacio de cuatro dimensiones, el eje puede doblarse 60° en la cuarta dimensión en cada uno de los seis centros del octaedro, en un plano ortogonal a los tres planos centrales ortogonales de cada octaedro, de modo que las caras triangulares superior e inferior de la columna coincidan. La columna se convierte en un anillo alrededor de un eje hexagonal. Las 24 celdas se pueden dividir en 4 anillos de este tipo (de cuatro formas diferentes), interconectados entre sí. Debido a que el eje hexagonal une los centros de las celdas (no los vértices), no es un gran hexágono de las 24 celdas. [dn] Sin embargo, se pueden encontrar seis grandes hexágonos en el anillo de seis octaedros, que recorren los bordes de los octaedros. En la columna de seis octaedros (antes de que se doble en un anillo) hay seis trayectorias espirales a lo largo de los bordes que recorren la columna: tres hélices paralelas que giran en espiral en el sentido de las agujas del reloj y tres hélices paralelas que giran en espiral en el sentido contrario a las agujas del reloj. Cada hélice en el sentido de las agujas del reloj interseca a cada hélice en el sentido contrario a las agujas del reloj en dos vértices separados por tres longitudes de arista. Al doblar la columna en un anillo, estas hélices se transforman en hexágonos de círculo máximo. [dl] El anillo tiene dos conjuntos de tres hexágonos grandes, cada uno en tres círculos máximos paralelos de Clifford. [dp] Los hexágonos grandes en cada conjunto paralelo de tres no se intersecan, pero cada uno interseca a los otros tres hexágonos grandes (a los que no es paralelo de Clifford) en dos vértices antípodas.
Una rotación simple en cualquiera de los planos de los grandes hexágonos por un múltiplo de 60° hace rotar únicamente ese hexágono de manera invariable, llevando cada vértice de ese hexágono a un vértice del mismo hexágono. Una rotación isoclínica de 60° en cualquiera de los seis planos de los grandes hexágonos hace rotar los tres grandes hexágonos paralelos de Clifford de manera invariable, y lleva cada octaedro del anillo a un octaedro no adyacente del anillo. [dr]
Cada octaedro desplazado isoclínicamente también se rota a sí mismo. Después de una rotación isoclínica de 360°, cada octaedro vuelve a la misma posición, pero con una orientación diferente. En una rotación isoclínica de 720°, sus vértices vuelven a su orientación original .
Cuatro grandes hexágonos paralelos de Clifford comprenden un haz de fibras discreto que cubre los 24 vértices de una fibración de Hopf . Cuatro anillos de 6 celdas disjuntos entre sí comprenden la misma fibración discreta. El de 24 celdas tiene cuatro de esas fibraciones hexagonales discretas, y cada una es el dominio (contenedor) de un par único de rotaciones isoclínicas izquierda-derecha (haces de fibras de Hopf izquierdo y derecho). Cada gran hexágono pertenece a una sola fibración, [61] pero cada anillo de 6 celdas pertenece a tres fibraciones. El de 24 celdas contiene 16 grandes hexágonos, divididos entre cuatro fibraciones, cada una de las cuales es un conjunto de cuatro anillos de 6 celdas, pero el de 24 celdas tiene solo cuatro anillos de 6 celdas distintos. Cada anillo de 6 celdas contiene 3 de los grandes hexágonos en cada una de las tres fibraciones: solo 3 de los 4 hexágonos paralelos de Clifford de cada una de las tres fibraciones, y solo 18 de los 24 vértices. [español:es]
Hexagramas helicoidales y sus isoclinas
Otro tipo de fibra geodésica, las isoclinas helicoidales del hexagrama, se pueden encontrar dentro de un anillo de 6 celdas de octaedros. Cada una de estas geodésicas pasa por cada segundo vértice de un hexagrama oblicuo 2 , que en el hexagrama de 24 celdas con radio unitario y longitud de arista unitaria tiene seis aristas de √ 3 . El hexagrama no se encuentra en un único plano central, sino que está compuesto por seis cuerdas √ 3 enlazadas de los seis círculos máximos hexagonales diferentes en el anillo de 6 celdas. La fibra geodésica isoclina es la trayectoria de una rotación isoclínica, [en] una trayectoria helicoidal en lugar de simplemente circular alrededor de las 24 celdas que vincula vértices separados por dos longitudes de arista y, en consecuencia, debe rodear dos veces las 24 celdas antes de completar su bucle de seis vértices. [cl] En lugar de un hexágono plano, forma un hexagrama oblicuo a partir de dos semibucles de 360 grados de tres lados: triángulos abiertos unidos por los extremos entre sí en un bucle de Möbius de seis lados. [cw]
Cada anillo de 6 celdas contiene seis isoclinas de hexagrama, tres negras y tres blancas, que conectan vértices pares e impares respectivamente. [do] Cada uno de los tres pares de isoclinas negras y blancas pertenece a una de las tres fibraciones en las que se encuentra el anillo de 6 celdas. La rotación hacia la derecha (o hacia la izquierda) de cada fibración atraviesa dos isoclinas negras y dos isoclinas blancas en paralelo, rotando los 24 vértices. [s]
Partiendo de cualquier vértice en un extremo de la columna de seis octaedros, podemos seguir un camino isoclínico de √ 3 cuerdas de una isoclina de octaedro a octaedro. En el modelo de 24 celdas, las aristas √ 1 son aristas de grandes hexágonos (y aristas de octaedros); en la columna de seis octaedros vemos seis grandes hexágonos que recorren las aristas de los octaedros. Las √ 3 cuerdas son diagonales de grandes hexágonos que unen los vértices de grandes hexágonos separados por dos aristas √ 1. Las encontramos en el anillo de seis octaedros que va de un vértice de un octaedro a un vértice del siguiente octaedro, pasando por la cara compartida por los dos octaedros (pero sin tocar ninguno de los 3 vértices de la cara). Cada cuerda √ 3 es una cuerda de un solo gran hexágono (una arista de un gran triángulo inscrito en ese gran hexágono), pero las cuerdas √ 3 sucesivas pertenecen a diferentes grandes hexágonos. [cu] En cada vértice, el camino isoclínico de las cuerdas √ 3 se dobla 60 grados en dos planos centrales [ds] a la vez: 60 grados alrededor del gran hexágono al que pertenece la cuerda antes del vértice, y 60 grados en el plano de un gran hexágono completamente diferente, al que pertenece la cuerda después del vértice. [dv] Así, el camino sigue un gran hexágono desde cada octaedro al siguiente, pero cambia a otro de los seis grandes hexágonos en el siguiente enlace del camino del hexagrama 2 . Siguiendo la columna de seis octaedros (y "alrededor del final" donde la columna se dobla en un anillo), el camino puede parecer al principio que zigzaguea entre tres planos centrales hexagonales paralelos adyacentes (como un polígono de Petrie ), pero no es así: cualquier camino isoclínico que podamos distinguir siempre zigzaguea entre dos conjuntos de tres planos centrales hexagonales paralelos adyacentes, intersectando solo cada vértice par (o impar) y nunca cambiando su paridad inherente par/impar, mientras visita los seis grandes hexágonos en el anillo de 6 celdas en rotación. [cg] Cuando ha atravesado una cuerda de cada uno de los seis grandes hexágonos, después de 720 grados de rotación isoclínica (ya sea hacia la izquierda o hacia la derecha), cierra su hexagrama oblicuo y comienza a repetirse, dando vueltas nuevamente a través de los vértices y celdas negras (o blancas).
En cada vértice, hay cuatro grandes hexágonos [dx] y cuatro isoclinas de hexagrama (todas negras o todas blancas) que se cruzan en el vértice. [dy] Cuatro isoclinas de hexagrama (dos negras y dos blancas) comprenden un haz de fibras único (izquierdo o derecho) de isoclinas que cubre los 24 vértices en cada rotación isoclínica distinta (izquierda o derecha). Cada fibración tiene una rotación isoclínica izquierda y derecha única, y haces de fibras de isoclinas izquierdo y derecho únicos correspondientes. [dz] Hay 16 isoclinas de hexagrama distintas en las 24 celdas (8 negras y 8 blancas). [ea] Cada isoclina es un polígono de Clifford oblicuo sin quiralidad inherente, pero actúa como una isoclina izquierda (o derecha) cuando es atravesada por una rotación izquierda (o derecha) en diferentes fibraciones. [cl]
Octagramas helicoidales y sus isoclinas
El conjunto de 24 celdas contiene 18 isoclinas octagonales helicoidales (9 negras y 9 blancas). En cada una de las tres celdas inscritas de 16 celdas se encuentran tres pares de hélices de arista octagonal, descritas en otra parte como la construcción helicoidal del conjunto de 16 celdas . En resumen, cada celda de 16 celdas se puede descomponer (de tres maneras diferentes) en un par de anillos de 8 celdas de izquierda a derecha de celdas tetraédricas de √ 2 aristas. Cada anillo de 8 celdas gira hacia la izquierda o hacia la derecha alrededor de una hélice octagonal axial de ocho cuerdas. En cada celda de 16 celdas hay exactamente 6 hélices distintas, octagramas idénticos que giran cada uno a través de los ocho vértices. Cada uno actúa como una hélice izquierda o una hélice derecha o un polígono de Petrie en cada una de las seis rotaciones isoclínicas distintas (tres izquierdas y tres derechas), y no tiene quiralidad inherente excepto con respecto a una rotación particular. Los vértices adyacentes en las isoclinas del octagrama están separados por una distancia de √ 2 = 90°, por lo que la circunferencia de la isoclina es 4𝝅. Una rotación isoclínica de 90° en planos invariantes del gran cuadrado lleva cada vértice a su vértice antípoda, a cuatro vértices de distancia en cualquier dirección a lo largo de la isoclina, y a una distancia de √ 4 = 180° a través del diámetro de la isoclina.
Cada una de las 3 fibraciones de los 18 grandes cuadrados de las 24 celdas corresponde a una rotación isoclínica izquierda (y derecha) distinta en planos invariantes de grandes cuadrados. Cada paso de 60° de la rotación lleva 6 grandes cuadrados disjuntos (2 de cada 16 celdas) a grandes cuadrados en una celda vecina de 16 celdas, en isoclinas helicoidales de 8 cuerdas características de las 16 celdas . [eb]
En el anillo de 24 celdas, estas 18 isoclinas octagonales helicoidales se pueden encontrar dentro de los seis anillos ortogonales de 4 celdas de octaedros. Cada anillo de 4 celdas tiene celdas unidas vértice con vértice alrededor de un eje cuadrado mayor, y encontramos vértices antípodas en vértices opuestos del gran cuadrado. Una cuerda √ 4 (el diámetro del gran cuadrado y de la isoclina) las conecta. Las celdas límite describen cómo los ejes √ 2 de las celdas octaédricas del anillo de 24 celdas son los bordes de las celdas tetraédricas del anillo de 16 celdas, cada tetraedro está inscrito en un cubo (teseracto), y cada octaedro está inscrito en un par de cubos (de diferentes teseractos), uniéndolos. [br] Los octaedros unidos por vértices del anillo de 4 celdas también se encuentran en diferentes teseractos. [bh] Las cuatro cuerdas de diámetro √ 4 de la isoclina forman un octagrama 8{4}=4{2} con aristas √ 4 que van desde el vértice de un cubo y octaedro y tetraedro hasta el vértice de otro cubo y octaedro y tetraedro (en un teseracto diferente), directamente a través del centro de las 24 celdas en uno de los 12 ejes √ 4 .
Los octaedros de los anillos de 4 celdas están unidos por vértices a más de otros dos octaedros, porque tres anillos de 4 celdas (y sus tres grandes cuadrados axiales, que pertenecen a diferentes 16 celdas) se cruzan a 90° en cada vértice de enlace. En ese vértice, el octagrama realiza dos giros en ángulo recto a la vez: 90° alrededor del gran cuadrado y 90° ortogonalmente hacia un anillo de 4 celdas completamente diferente. El arco de cuatro aristas de 180° que une dos extremos de cada cuerda de diámetro √ 4 del octagrama pasa por los volúmenes y vértices opuestos de dos tetraedros √ 2 unidos por caras (en el mismo anillo de 16 celdas), que también son los vértices opuestos de dos octaedros unidos por vértices en diferentes anillos de 4 celdas (y diferentes teseractos). La isoclina del octagrama de 720° atraviesa 8 vértices del anillo de cuatro celdas y los volúmenes de 16 tetraedros. En cada vértice hay tres grandes cuadrados y seis isoclinas del octagrama (tres pares de blanco y negro) que se cruzan en el vértice. [ck]
Esta es la rotación característica de las 16 celdas, no la rotación característica de las 24 celdas, y no une las 16 celdas enteras de las 24 celdas entre sí como lo hace la rotación de las 24 celdas en los grandes planos hexagonales. [ec]
Ortoesquema característico
Cada 4-politopo regular tiene su 4-ortosquema característico , un 5-cell irregular . [bl] El 5-cell característico del 24-cell regular está representado por el diagrama de Coxeter-Dynkin, que puede leerse como una lista de los ángulos diedros entre sus facetas especulares. [ee] Es una pirámide tetraédrica irregular basada en el tetraedro característico del octaedro regular . La pirámide regular de 24 celdas se subdivide por sus hiperplanos de simetría en 1152 instancias de su pirámide característica de 5 celdas que se encuentran todas en su centro. [71]
La celda característica de 5 (4-ortosquema) tiene cuatro aristas más que su tetraedro característico de base (3-ortosquema), uniendo los cuatro vértices de la base a su vértice (el quinto vértice del 4-ortosquema, en el centro de la celda regular de 24). [ef] Si la celda regular de 24 tiene radio y longitud de arista 𝒍 = 1, las diez aristas de su celda característica de 5 tienen longitudes , , alrededor de su cara exterior de triángulo rectángulo (las aristas opuestas a los ángulos característicos 𝟀, 𝝉, 𝟁), [ed] más , , (las otras tres aristas del 3-ortosquema exterior hacen faceta del tetraedro característico, que son los radios característicos del octaedro), más , , , (aristas que son los radios característicos de la celda regular de 24). La ruta de 4 aristas a lo largo de las aristas ortogonales del ortoesquema es , , , , primero desde un vértice de 24 celdas hasta un centro de arista de 24 celdas, luego gira 90° hasta un centro de cara de 24 celdas, luego gira 90° hasta un centro de celda octaédrica de 24 celdas, luego gira 90° hasta el centro de 24 celdas.
Reflexiones
El sistema de 24 celdas puede construirse mediante las reflexiones de su característica celda de 5 en sus propias facetas (sus paredes de espejo tetraédricas). [p. ej.] Las reflexiones y las rotaciones están relacionadas: una reflexión en un número par de espejos que se intersecan es una rotación. [72] En consecuencia, los politopos regulares pueden generarse mediante reflexiones o rotaciones. Por ejemplo, cualquier rotación isoclínica de 720° del sistema de 24 celdas en un plano invariante hexagonal lleva cada uno de los 24 vértices hacia y a través de otros 5 vértices y de regreso a sí mismo, en una isoclina geodésica hexagrama2 oblicua que gira dos veces alrededor de la esfera de 3 en cada segundo vértice del hexagrama. Cualquier conjunto de cuatro pares ortogonales de vértices antípodas (los 8 vértices de una de las tres 16 celdas inscritas) que realicen la mitad de dicha órbita visita 3 * 8 = 24 vértices distintos y genera las 24 celdas secuencialmente en 3 pasos de una única rotación isoclínica de 360°, de la misma manera que cualquier 5 celda característica que se refleja en sus propias paredes de espejo genera los 24 vértices simultáneamente por reflexión.
El rastreo de la órbita de uno de esos vértices de 16 celdas durante la rotación isoclínica de 360° revela más sobre la relación entre reflexiones y rotaciones como operaciones generativas. [eh] El vértice sigue una isoclina (un círculo geodésico doblemente curvado) en lugar de cualquiera de los círculos geodésicos de curva simple que son los segmentos del gran círculo sobre cada cuerda de √ 3 de la rotación. [cu] La isoclina conecta vértices separados por dos longitudes de arista, pero se curva alejándose de la trayectoria del gran círculo sobre las dos aristas que conectan esos vértices, perdiendo el vértice intermedio. [cp] Aunque la isoclina no sigue ningún gran círculo, está contenida dentro de un anillo de otro tipo: en la celda de 24, permanece dentro de un anillo de 6 celdas de celdas octaédricas esféricas [74] , interseccionando un vértice en cada celda y pasando por el volumen de dos celdas adyacentes cerca del vértice perdido.
Operaciones de simetría quiral
Una operación de simetría es una rotación o reflexión que deja al objeto en la misma orientación, indistinguible de sí mismo antes de la transformación. El modelo de 24 celdas tiene 1152 operaciones de simetría distintas (576 rotaciones y 576 reflexiones). Cada rotación equivale a dos reflexiones, en un par distinto de planos de espejo no paralelos. [eh]
Se muestran conjuntos de polígonos circulares máximos disjuntos, cada uno en un plano central distinto del sistema de 24 celdas. Por ejemplo, {24/4}=4{6} es una proyección ortogonal del sistema de 24 celdas que representa 4 de sus [16] planos hexagonales máximos. [r] Los 4 planos se encuentran paralelos en el sentido de Clifford al plano de proyección y entre sí, y sus polígonos máximos constituyen colectivamente una fibración de Hopf discreta de 4 círculos máximos que no se intersecan y que visitan los 24 vértices solo una vez.
Cada fila de la tabla describe una clase de rotaciones distintas. Cada clase de rotación lleva los planos izquierdos representados a los planos derechos correspondientes representados. [ei] Los vértices de los planos móviles se mueven en paralelo a lo largo de las trayectorias isoclinas poligonales representadas. Por ejemplo, la clase de rotación consta de [32] desplazamientos rotacionales distintos por una distancia de arco de 2𝝅/3 = 120° entre 16 grandes planos hexagonales representados por el grupo de cuaterniones y un conjunto correspondiente de 16 grandes planos hexagonales representados por el grupo de cuaterniones . [ek] Una de las [32] rotaciones distintas de esta clase mueve la coordenada del vértice representativa a la coordenada del vértice . [el]
En una clase de rotación, cada grupo de cuaterniones puede ser representativo no solo de su propia fibración de planos paralelos de Clifford [ek] sino también de las otras fibraciones congruentes. [r] Por ejemplo, la clase de rotación toma los 4 planos hexagonales de a los 4 planos hexagonales de que están a 120° de distancia, en una rotación isoclínica. Pero en una rotación rígida de este tipo, [em] todos los [16] planos hexagonales se mueven en desplazamientos rotacionales congruentes, por lo que esta clase de rotación también incluye , y . El nombre es la representación convencional para todos los [16] desplazamientos de planos congruentes.
Estas clases de rotación son todas subclases de las cuales [32] tiene desplazamientos rotacionales distintos en lugar de [16] porque hay dos formas quirales de realizar cualquier clase de rotaciones, designadas sus rotaciones a la izquierda y sus rotaciones a la derecha . Los [16] desplazamientos a la izquierda de esta clase no son congruentes con los [16] desplazamientos a la derecha, sino enantiomorfos como un par de zapatos. [fu] Cada rotación isoclínica izquierda (o derecha) lleva [16] planos izquierdos a [16] planos derechos, pero los planos izquierdo y derecho se corresponden de manera diferente en las rotaciones izquierda y derecha. Los desplazamientos rotacionales izquierdo y derecho del mismo plano izquierdo lo llevan a diferentes planos derechos.
Cada clase de rotación (fila de la tabla) describe una rotación isoclínica izquierda (y derecha) distinta. Las rotaciones izquierda (o derecha) llevan los planos izquierdos a los planos derechos simultáneamente, [cd] a través de un ángulo de rotación característico. [aw] Por ejemplo, la rotación mueve todos los [16] planos hexagonales a la vez mediante 2𝝅/3 = 120° cada uno. Repetida 6 veces, esta rotación isoclínica hacia la izquierda (o derecha) mueve cada plano 720° y de regreso a sí mismo en la misma orientación , pasando por los 4 planos del conjunto izquierdo y los 4 planos del conjunto derecho una vez cada uno. [ej] La imagen en la columna de isoclinas representa esta unión de los conjuntos de planos izquierdo y derecho. En el ejemplo, se puede ver como un conjunto de 4 hexagramas oblicuo paralelos de Clifford , cada uno con una arista en cada plano del gran hexágono y oblicuo hacia la izquierda (o derecha) en cada vértice a lo largo de la rotación isoclínica izquierda (o derecha). [cf]
El modelo de 24 celdas está delimitado por 24 celdas octaédricas . Para fines de visualización, es conveniente que el octaedro tenga caras paralelas opuestas (un rasgo que comparte con las celdas del teseracto y el modelo de 120 celdas ). Se pueden apilar octaedros cara a cara en una línea recta doblada en la cuarta dirección en un gran círculo con una circunferencia de 6 celdas. [76] [77] Las ubicaciones de las celdas se prestan a una descripción hiperesférica . Elija una celda arbitraria y etiquétela como " Polo Norte ". Ocho meridianos del gran círculo (de dos celdas de largo) irradian en 3 dimensiones, convergiendo en la tercera celda del " Polo Sur ". Este esqueleto representa 18 de las 24 celdas (2 + 8 × 2 ). Vea la tabla a continuación.
Hay otro gran círculo relacionado en el politopo de 24 celdas, el dual del anterior. Un camino que recorre 6 vértices únicamente a lo largo de las aristas reside en el dual de este politopo, que es él mismo, ya que es autodual. Estas son las geodésicas hexagonales descritas anteriormente. [ak] Se puede seguir fácilmente este camino en una representación de la sección transversal del cuboctaedro ecuatorial.
Comenzando por el Polo Norte, podemos construir las 24 celdas en 5 capas latitudinales. Con la excepción de los polos, cada capa representa una 2-esfera separada, siendo el ecuador una gran 2-esfera. [ap] Las celdas etiquetadas como ecuatoriales en la siguiente tabla son intersticiales a las celdas del círculo máximo meridiano. Las celdas "ecuatoriales" intersticiales tocan las celdas meridianas en sus caras. Se tocan entre sí, y las celdas polares en sus vértices. Este último subconjunto de ocho celdas no meridianas y polares tiene la misma posición relativa entre sí que las celdas en un teseracto (8 celdas), aunque se tocan en sus vértices en lugar de sus caras.
Una proyección en perspectiva desde el centro del borde, que muestra uno de los cuatro anillos de 6 octaedros alrededor del ecuador.
El conjunto de 24 células se puede dividir en conjuntos de cuatro de estos anillos de gran círculo de 6 células, disjuntos entre sí, formando una fibración de Hopf discreta de cuatro anillos entrelazados. [dg] Un anillo es "vertical" y abarca las células polares y cuatro células meridianas. Los otros tres anillos abarcan cada uno dos células ecuatoriales y cuatro células meridianas, dos del hemisferio norte y dos del sur. [78]
Tenga en cuenta que esta trayectoria de círculo máximo del hexágono implica que el ángulo interior/diédrico entre celdas adyacentes es de 180 - 360/6 = 120 grados. Esto sugiere que puede apilar de manera adyacente exactamente tres celdas de 24 en un plano y formar un panal de abejas de 24 celdas en 4 dimensiones, como se describió anteriormente.
También se puede seguir una ruta de círculo máximo, a través de los vértices opuestos de los octaedros, que tiene cuatro celdas de largo. Estas son las geodésicas cuadradas a lo largo de cuatro cuerdas √ 2 descritas anteriormente. Este camino corresponde a atravesar diagonalmente los cuadrados en la sección transversal del cuboctaedro. El politopo de 24 celdas es el único politopo regular en más de dos dimensiones donde se puede atravesar un círculo máximo puramente a través de vértices opuestos (y el interior) de cada celda. Este círculo máximo es autodual. Este camino se mencionó anteriormente con respecto al conjunto de 8 celdas no meridianas (ecuatoriales) y polares.
Las 24 celdas se pueden equiparticionar en tres subconjuntos de 8 celdas, cada uno con la organización de un teseracto. Cada uno de estos subconjuntos se puede equiparticionar a su vez en dos cadenas de círculos máximos entrelazadas, de cuatro celdas de longitud. En conjunto, estos tres subconjuntos producen ahora otra fibración de Hopf discreta de seis anillos.
Proyecciones paralelas
Envolventes de proyección de las 24 celdas. (Cada celda se dibuja con caras de colores diferentes, las celdas invertidas no se dibujan)
La proyección paralela de vértice primero de las 24 celdas en el espacio tridimensional tiene una envoltura dodecaédrica rómbica . Doce de las 24 celdas octaédricas se proyectan en pares sobre seis bipirámides cuadradas que se encuentran en el centro del dodecaedro rómbico. Las 12 celdas octaédricas restantes se proyectan sobre las 12 caras rómbicas del dodecaedro rómbico.
La proyección paralela de las 24 celdas en el espacio tridimensional tiene una envoltura cuboctaédrica . Dos de las celdas octaédricas, la más cercana y la más lejana al observador a lo largo del eje w , se proyectan sobre un octaedro cuyos vértices se encuentran en el centro de las caras cuadradas del cuboctaedro. Alrededor de este octaedro central se encuentran las proyecciones de otras 16 celdas, que tienen 8 pares que se proyectan cada uno a uno de los 8 volúmenes que se encuentran entre una cara triangular del octaedro central y la cara triangular más cercana del cuboctaedro. Las 6 celdas restantes se proyectan sobre las caras cuadradas del cuboctaedro. Esto corresponde a la descomposición del cuboctaedro en un octaedro regular y 8 octaedros irregulares pero iguales, cada uno de los cuales tiene la forma de la envoltura convexa de un cubo con dos vértices opuestos eliminados.
La proyección en perspectiva de vértice primero de las 24 celdas en un espacio tridimensional tiene una envoltura tetrakis hexaédrica . La disposición de las celdas en esta imagen es similar a la imagen bajo proyección paralela.
La siguiente secuencia de imágenes muestra la estructura de la proyección en perspectiva de las 24 celdas en tres dimensiones. El punto de vista 4D se coloca a una distancia de cinco veces el radio del centro del vértice de las 24 celdas.
Politopos relacionados
Tres construcciones del grupo Coxeter
Existen dos formas de simetría inferior del modelo de 24 celdas, derivadas como un modelo rectificado de 16 celdas , con simetría B 4 o [3,3,4] dibujada bicolor con 8 y 16 celdas octaédricas . Por último, se puede construir a partir de simetría D 4 o [3 1,1,1 ] y dibujarla tricolor con 8 octaedros cada una.
Polígonos complejos relacionados
El polígono complejo regular 4 {3} 4 ,ocontiene los 24 vértices de las 24 celdas y 24 aristas de 4 que corresponden a los cuadrados centrales de 24 de las 48 celdas octaédricas. Su simetría es 4 [3] 4 , orden 96. [79]
El politopo complejo regular 3 {4} 3 ,o, tiene una representación real como una celda de 24 en un espacio de 4 dimensiones. 3 {4} 3 tiene 24 vértices y 24 aristas de 3 dimensiones. Su simetría es 3 [4] 3 , orden 72.
Las 96 aristas de las 24 celdas se pueden dividir en la proporción áurea para producir los 96 vértices de las 24 celdas chatas . Esto se hace colocando primero vectores a lo largo de las aristas de las 24 celdas de modo que cada cara bidimensional esté delimitada por un ciclo, y luego dividiendo de manera similar cada arista en la proporción áurea a lo largo de la dirección de su vector. Una modificación análoga a un octaedro produce un icosaedro o " octaedro chato ".
^ El politopo de 24 celdas es uno de los tres únicos politopos euclidianos regulares autoduales que no son ni un polígono ni un símplex . Los otros dos también son politopos de 4 celdas, pero no convexos: el gran politopo estrellado de 120 celdas y el gran politopo de 120 celdas . El politopo de 24 celdas es casi único entre los politopos convexos regulares autoduales en el sentido de que este y los polígonos pares son los únicos politopos de este tipo en los que una cara no está opuesta a una arista.
^ abcdefghij El radio largo (del centro al vértice) del poliedro de 24 celdas es igual a la longitud de su arista; por lo tanto, su diámetro largo (del vértice al vértice opuesto) es igual a 2 longitudes de arista. Solo unos pocos politopos uniformes tienen esta propiedad, incluidos el poliedro de 24 celdas y el teseracto de cuatro dimensiones, el cuboctaedro tridimensional y el hexágono bidimensional . (El cuboctaedro es la sección transversal ecuatorial del poliedro de 24 celdas, y el hexágono es la sección transversal ecuatorial del cuboctaedro). Los politopos radialmente equiláteros son aquellos que se pueden construir, con sus radios largos, a partir de triángulos equiláteros que se encuentran en el centro del politopo, cada uno de los cuales aporta dos radios y una arista.
^ Los 4-politopos regulares convexos se pueden ordenar por tamaño como una medida del contenido cuatridimensional (hipervolumen) para el mismo radio. Este es su orden de enumeración adecuado, el orden en el que se anidan unos dentro de otros como compuestos. [7] Cada politopo mayor en la secuencia es más redondo que su predecesor, y encierra más contenido [8] dentro del mismo radio. El 4-símplex (5 celdas) es el caso límite más pequeño, y el de 120 celdas es el más grande. La complejidad (medida comparando matrices de configuración o simplemente el número de vértices) sigue el mismo orden. Esto proporciona un esquema de denominación numérica alternativo para los politopos regulares en los que el de 24 celdas es el 4-politopo de 24 puntos: cuarto en la secuencia ascendente que va desde el 4-politopo de 5 puntos hasta el 4-politopo de 600 puntos.
^ La longitud de la arista siempre será diferente a menos que el predecesor y el sucesor sean ambos radialmente equiláteros, es decir, su longitud de arista sea la misma que su radio (por lo que ambos se conservan). Dado que los politopos radialmente equiláteros [b] son raros, parece que la única construcción de este tipo (en cualquier dimensión) es desde el politopo de 8 celdas hasta el de 24 celdas, lo que hace que el de 24 celdas sea el único politopo regular (en cualquier dimensión) que tiene la misma longitud de arista que su predecesor del mismo radio.
^ Los bordes de seis de los cuadrados están alineados con las líneas de la cuadrícula del sistema de coordenadas de radio √ 2. Por ejemplo: ( 0, −1, 1, 0) ( 0, 1, 1, 0) ( 0, −1, −1, 0) ( 0, 1, −1, 0) es el cuadrado en el plano xy . Los bordes de los cuadrados no son bordes de 24 celdas, son cuerdas interiores que unen dos vértices a 90 o de distancia uno del otro; por lo que los cuadrados son simplemente configuraciones invisibles de cuatro de los vértices de las 24 celdas, no características visibles de las 24 celdas.
^ Hasta 6 planos pueden ser mutuamente ortogonales en 4 dimensiones. El espacio tridimensional admite solo 3 ejes perpendiculares y 3 planos perpendiculares que pasan por un único punto. En el espacio tetradimensional podemos tener 4 ejes perpendiculares y 6 planos perpendiculares que pasan por un punto (por la misma razón que el tetraedro tiene 6 aristas, no 4): hay 6 maneras de tomar 4 dimensiones de 2 en 2. Tres de estos planos perpendiculares (pares de ejes) se encuentran en cada vértice de la celda de 24 (por la misma razón que tres aristas se encuentran en cada vértice del tetraedro). Cada uno de los 6 planos es completamente ortogonal a solo uno de los otros planos: el único con el que no comparte una línea (por la misma razón que cada arista del tetraedro es ortogonal a solo una de las otras aristas: la única con la que no comparte un punto). Dos planos completamente ortogonales son perpendiculares y opuestos entre sí, como dos aristas del tetraedro son perpendiculares y opuestas.
^ ab Para visualizar cómo dos planos pueden intersecarse en un único punto en un espacio de cuatro dimensiones, considere el espacio euclidiano (w, x, y, z) e imagine que la dimensión w representa el tiempo en lugar de una dimensión espacial. El plano central xy (donde w=0, z=0) no comparte ningún eje con el plano central wz (donde x=0, y=0). El plano xy existe solo en un único instante en el tiempo (w=0); el plano wz (y en particular el eje w) existe todo el tiempo. Por lo tanto, su único momento y lugar de intersección es en el punto de origen (0,0,0,0).
^ abcde Dos planos en un espacio de cuatro dimensiones pueden tener cuatro posibles posiciones recíprocas: (1) pueden coincidir (ser exactamente el mismo plano); (2) pueden ser paralelos (la única forma en que pueden no intersecar en absoluto); (3) pueden intersecar en una sola línea, como lo hacen dos planos no paralelos en un espacio de tres dimensiones; o (4) pueden intersecar en un solo punto [h] si son completamente ortogonales .
^ abcdeLas 24 celdas como un compuesto de seis grandes cuadrados no intersecantes {24/6}=6{4}.Hay 3 conjuntos de 6 grandes cuadrados disjuntos en el conjunto de 24 celdas (de un total de [18] grandes cuadrados distintos), [fc] designados , , y . Cada conjunto nombrado [fd] de 6 cuadrados paralelos de Clifford [af] comprende una fibración discreta que cubre los 24 vértices.
^ abcd En la geometría euclidiana de cuatro dimensiones , un cuaternión es simplemente una coordenada cartesiana (w, x, y, z). Hamilton no los vio como tales cuando descubrió los cuaterniones . Schläfli sería el primero en considerar el espacio euclidiano de cuatro dimensiones , publicando su descubrimiento de los poliesquemas regulares en 1852, pero Hamilton nunca se vería influenciado por ese trabajo, que permaneció oscuro hasta el siglo XX. Hamilton encontró los cuaterniones cuando se dio cuenta de que una cuarta dimensión, en cierto sentido, sería necesaria para modelar rotaciones en el espacio tridimensional. [37] Aunque describió un cuaternión como un múltiplo ordenado de cuatro elementos de números reales , los cuaterniones eran para él una extensión de los números complejos, no un espacio euclidiano de cuatro dimensiones.
^ Los bordes de los grandes cuadrados ortogonales no están alineados con las líneas de la cuadrícula del sistema de coordenadas de radio unitario . Seis de los cuadrados se encuentran en los 6 planos ortogonales de este sistema de coordenadas, pero sus bordes son las √ 2 diagonales de los cuadrados de longitud de borde unitario de la red de coordenadas. Por ejemplo: ( 0, 0, 1, 0) ( 0, −1, 0, 0) ( 0, 1, 0, 0) ( 0, 0, −1, 0) es el cuadrado en el plano xy . Observe que las 8 coordenadas enteras comprenden los vértices de los 6 cuadrados ortogonales.
^ abcdefgh En una rotación isoclínica, cada punto en cualquier parte del 4-politopo se mueve una distancia igual en cuatro direcciones ortogonales a la vez, en una diagonal de 4 dimensiones . El punto se desplaza una distancia pitagórica total igual a la raíz cuadrada de cuatro veces el cuadrado de esa distancia. Todos los vértices se desplazan a un vértice al menos a dos longitudes de arista de distancia. [s] Por ejemplo, cuando la celda de radio unitario de 24 rota isoclínicamente 60° en un plano invariante hexagonal y 60° en su plano invariante completamente ortogonal, [az] cada vértice se desplaza a otro vértice √ 3 (120°) de distancia, moviéndose √ 3/4 ≈ 0,866 (la mitad de la longitud de la cuerda √ 3 ) en cuatro direcciones ortogonales. [ch]
^ abc Cada gran hexágono de 24 celdas contiene un eje (un par de vértices antípodas) que pertenece a cada una de las tres celdas inscritas de 16 celdas. Las 24 celdas contienen tres celdas inscritas de 16 celdas disjuntas, rotadas 60° isoclínicamente [m] entre sí (por lo que sus vértices correspondientes están separados 120° = √ 3 ). Una celda de 16 celdas es una base ortonormal para un sistema de coordenadas de 4 dimensiones, porque sus 8 vértices definen los cuatro ejes ortogonales. En cualquier elección de un sistema de coordenadas de vértice hacia arriba (como las coordenadas de radio unitario utilizadas en este artículo), una de las tres celdas inscritas de 16 celdas es la base para el sistema de coordenadas, y cada hexágono tiene solo un eje que es un eje del sistema de coordenadas.
^ abcde Los hexágonos están inclinados (inclinados) a 60 grados con respecto a los planos ortogonales del sistema de coordenadas de radio unitario. Cada plano hexagonal contiene solo uno de los 4 ejes del sistema de coordenadas. [n] El hexágono consta de 3 pares de vértices opuestos (tres diámetros de 24 celdas): un par opuesto de vértices de coordenadas enteras (uno de los cuatro ejes de coordenadas) y dos pares opuestos de vértices de coordenadas semienteras (no ejes de coordenadas). Por ejemplo: ( 0, 0, 1, 0) ( 1/2 , − 1/2 , 1/2 , − 1/2 )( 1/2 , 1/2 , 1/2 , 1/2 ) (− 1/2 , − 1/2 , − 1/2 , − 1/2 )(− 1/2 , 1/2 , − 1/2 , 1/2 ) (0,0, −1,0) es un hexágono en el eje y . A diferencia de los cuadrados de √ 2 , los hexágonos en realidad están formados por aristas de 24 celdas, por lo que son características visibles de las 24 celdas.
^ abc Ocho aristas de √ 1 convergen en un espacio tridimensional curvo desde las esquinas de la figura de vértice cúbico de 24 celdas [ai] y se encuentran en su centro (el vértice), donde forman 4 líneas rectas que se cruzan allí. Los 8 vértices del cubo son los otros ocho vértices más cercanos de las 24 celdas. Las líneas rectas son geodésicas: dos segmentos de longitud √ 1 de una línea aparentemente recta (en el espacio tridimensional de la superficie curva de las 24 celdas) que se dobla en la cuarta dimensión en un hexágono de gran círculo (en el espacio cuádruple). Imaginadas desde el interior de este espacio tridimensional curvo, las curvas en los hexágonos son invisibles. Desde el exterior (si pudiéramos ver las 24 celdas en el espacio cuádruple), se vería que las líneas rectas se doblan en la cuarta dimensión en los centros del cubo, porque el centro se desplaza hacia afuera en la cuarta dimensión, fuera del hiperplano definido por los vértices del cubo. Por lo tanto, el cubo de vértices es en realidad una pirámide cúbica . A diferencia de un cubo, parece ser radialmente equilátero (como el teseracto y el propio cubo de 24 celdas): su "radio" es igual a la longitud de su arista. [aj]
^ abcd No es difícil visualizar cuatro planos hexagonales que se intersecan a 60 grados entre sí, incluso en tres dimensiones. Cuatro planos centrales hexagonales se intersecan a 60 grados en el cuboctaedro . Cuatro de los 16 planos centrales hexagonales de las 24 celdas (que se encuentran en el mismo hiperplano tridimensional) se intersecan en cada uno de los vértices de las 24 celdas exactamente de la misma manera que lo hacen en el centro de un cuboctaedro. Pero las aristas alrededor del vértice no se encuentran como lo hacen los radios en el centro de un cuboctaedro; las 24 celdas tienen 8 aristas alrededor de cada vértice, no 12, por lo que su figura de vértice es el cubo, no el cuboctaedro. Las 8 aristas se encuentran exactamente de la misma manera que lo hacen las 8 aristas en el vértice de una pirámide cúbica canónica . [p]
^ abcdefghijklLas 24 celdas como un compuesto de cuatro grandes hexágonos que no se intersecan {24/4}=4{6}.Hay 4 conjuntos de 4 grandes hexágonos disjuntos en las 24 celdas (de un total de [16] grandes hexágonos distintos), designados , y . [ej] Cada conjunto nombrado de 4 hexágonos paralelos de Clifford [ af] comprende una fibración discreta que cubre los 24 vértices.
^ abcdefghij En una rotación isoclínica, los vértices se mueven en diagonal, como los alfiles en el ajedrez . Los vértices en una rotación isoclínica no pueden alcanzar sus vértices vecinos ortogonalmente más cercanos [ab] al rotar dos veces directamente hacia ellos (y también ortogonalmente a esa dirección), porque esa doble rotación los lleva en diagonal entre sus vértices más cercanos, sin pasarlos, a un vértice más alejado en una capa circundante de vértices de radio más grande, [ad] de la misma manera que los alfiles están confinados a las casillas blancas o negras del tablero de ajedrez y no pueden alcanzar casillas del color opuesto, incluso las inmediatamente adyacentes. [co] Las cosas que se mueven en diagonal se mueven más de 1 unidad de distancia en cada paso de movimiento ( √ 2 en el tablero de ajedrez, √ 3 en las 24 casillas), pero al costo de perder la mitad de los destinos. [cb] Sin embargo, en una rotación isoclínica de un cuerpo rígido, todos los vértices rotan a la vez, por lo que cada destino será alcanzado por algún vértice. Además, existe otra rotación isoclínica en planos invariantes de hexágonos que lleva cada vértice a un vértice adyacente (más cercano). Una celda de 24 puede desplazar cada vértice a un vértice a 60° de distancia (un vértice más cercano) al rotar isoclínicamente 30° en dos planos invariantes completamente ortogonales (uno de ellos un hexágono), no al rotar doblemente directamente hacia el vértice más cercano (y también ortogonalmente a esa dirección), sino al rotar doblemente directamente hacia un vértice más distante (y también ortogonalmente a esa dirección). Esta rotación isoclínica helicoidal de 30° lleva el vértice 60° a su vértice vecino más cercano por un camino diferente al que seguiría una rotación simple de 60°. El camino a lo largo de la isoclina helicoidal y el camino a lo largo del círculo máximo simple tienen la misma longitud de arco de 60°, pero consisten en conjuntos disjuntos de puntos (excepto sus puntos finales, los dos vértices). Ambos son arcos geodésicos (los más cortos), pero en dos tipos alternativos de círculo geodésico. Uno es doblemente curvo (a través de las cuatro dimensiones) y el otro es simplemente curvo (se encuentra en un plano bidimensional).
^ abcdefghijk El teseracto de 24 celdas contiene 3 celdas de 8 distintas (teseractos), rotadas 60° isoclínicamente entre sí. Los vértices correspondientes de dos celdas de 8 celdas están separados por √ 3 (120°). Cada celda de 8 celdas contiene 8 celdas cúbicas, y cada cubo contiene cuatro cuerdas de √ 3 (sus diámetros largos). Las celdas de 8 celdas no están completamente disjuntas (comparten vértices), [w] pero cada cuerda de √ 3 ocurre como un diámetro largo de cubo en una sola celda de 8 celdas. Las cuerdas de √ 3 que unen los vértices correspondientes de dos celdas de 8 celdas pertenecen a la tercera celda de 8 celdas como diámetros de cubo. [ad]
^ ab Los bordes de estos triángulos de longitud √ 3 son las diagonales [s] de celdas cúbicas de longitud de borde unitaria que se encuentran dentro de la red de 24 celdas, pero esas celdas cúbicas (teseracto) [t] no son celdas de la red de coordenadas de radio unitario.
^ ab Estos triángulos se encuentran en los mismos planos que contienen los hexágonos; [o] dos triángulos de longitud de arista √ 3 están inscritos en cada hexágono. Por ejemplo, en coordenadas de radio unitario: ( 0, 0, 1, 0) ( 1/2 , − 1/2 , 1/2 , − 1/2 )( 1/2 , 1/2 , 1/2 , 1/2 ) (− 1/2 , − 1/2 , − 1/2 , − 1/2 )(− 1/2 , 1/2 , − 1/2 , 1/2 ) (0,0, −1,0) son dos triángulos centrales opuestos en el eje y , cada uno de los cuales está formado por los vértices de filas alternas. A diferencia de los hexágonos, los triángulos √ 3 no están formados por aristas reales de 24 celdas, por lo que son características invisibles de las 24 celdas, como loscuadrados √ 2 .
^ abcdef Los politopos son completamente disjuntos si todos sus conjuntos de elementos son disjuntos: no comparten vértices, aristas, caras ni celdas. Aun así, pueden superponerse en el espacio y compartir contenido cuadrático, volumen, área o linaje.
^ abcde En un espacio de 4 dimensiones podemos construir 4 ejes perpendiculares y 6 planos perpendiculares a través de un punto. Sin pérdida de generalidad, podemos tomarlos como los ejes y planos centrales ortogonales de un sistema de coordenadas cartesianas (w, x, y, z). En 4 dimensiones tenemos los mismos 3 planos ortogonales (xy, xz, yz) que tenemos en 3 dimensiones, y también otros 3 (wx, wy, wz). Cada uno de los 6 planos ortogonales comparte un eje con 4 de los otros, y es completamente ortogonal a solo uno de los otros: el único con el que no comparte un eje. Por lo tanto, hay 3 pares de planos completamente ortogonales: xy y wz se intersecan solo en el origen; xz y wy se intersecan solo en el origen; yz y wx se intersecan solo en el origen.
^ abc Visualice las tres celdas de 16 inscritas en la celda de 24 (izquierda, derecha y centro) y la rotación que las lleva una hacia la otra. Los vértices de la celda de 16 del medio se encuentran en los ejes de coordenadas (w, x, y, z); [x] las otras dos están rotadas 60° isoclínicamente hacia su izquierda y su derecha. La celda de 24 vértices es un compuesto de tres celdas de 16, cuyos tres conjuntos de 8 vértices se distribuyen alrededor de la celda de 24 simétricamente; cada vértice está rodeado por otros 8 (en el espacio tridimensional de la superficie de la celda de 24 dimensiones ), de la misma manera que los vértices de un cubo rodean su centro. [p] Los 8 vértices circundantes (las esquinas del cubo) se encuentran en otras celdas de 16: 4 en la otra celda de 16 a la izquierda y 4 en la otra celda de 16 a la derecha. Son los vértices de dos tetraedros inscritos en el cubo, uno perteneciente (como celda) a cada 16 celdas. Si las aristas de las 16 celdas son √ 2 , cada vértice del compuesto de tres 16 celdas está a √ 1 de sus 8 vértices circundantes en otras 16 celdas. Ahora visualice esas √ 1 distancias como las aristas de las 24 celdas (mientras continúa visualizando las 16 celdas disjuntas). Las √ 1 aristas forman grandes hexágonos de 6 vértices que recorren las 24 celdas en un plano central. Cuatro hexágonos se cruzan en cada vértice (y su vértice antípoda), inclinados 60° entre sí. [q] Los hexágonos no son perpendiculares entre sí, ni a los planos centrales cuadrados perpendiculares de las 16 celdas. [o] Las 16 celdas izquierda y derecha forman un teseracto. [z] Dos celdas de 16 tienen pares de vértices que están separados por una arista de √ 1 (una arista hexagonal). Pero una simple rotación de 60° no llevará una celda de 16 a otra celda de 16, porque sus vértices están separados por 60° en diferentes direcciones, y una simple rotación tiene solo un plano hexagonal de rotación. Una celda de 16 puede ser llevada a otra celda de 16 mediante una rotación isoclínica de 60°, porque una rotación isoclínica es simétrica de 3 esferas : cuatro planos hexagonales paralelos de Clifford rotan juntos, pero en cuatro direcciones de rotación diferentes, [bz] llevando cada celda de 16 a otra celda de 16. Pero como una rotación isoclínica de 60° es una rotación diagonal de 60° en dos círculos máximos ortogonales a la vez, [en] los vértices correspondientes de la celda 16 y la celda 16 a la que se lleva están separados 120°: dos aristas de hexágono de √ 1 (o una cuerda de hexágono de √ 3 ) separadas, no una de √ 1.borde (60°) de distancia. [m] Por la naturaleza diagonal quiral de las rotaciones isoclínicas, la celda 16 no puede alcanzar la celda 16 adyacente (cuyos vértices están a un borde √ 1 de distancia) rotando hacia ella; [s] solo puede alcanzar la celda 16 más allá de ella (a 120° de distancia). Pero, por supuesto, la celda 16 más allá de la celda 16 a su derecha es la celda 16 a su izquierda. Entonces, una rotación isoclínica de 60° llevará cada celda 16 a otra celda 16: una rotación isoclínica de 60° a la derecha llevará la celda 16 del medio a la celda 16 que originalmente pudimos haber visualizado como la celda 16 de la izquierda , y una rotación isoclínica de 60° a la izquierda llevará la celda 16 del medio a la celda 16 que visualizamos como la celda 16 de la derecha . (Si es así, ese fue nuestro error de visualización; la celda 16 a la "izquierda" es de hecho la que se alcanza mediante la rotación isoclínica izquierda, ya que ese es el único sentido en el que las dos celdas 16 están a la izquierda o a la derecha una de la otra.) [cf]
^ abcd Cada par de las tres celdas de 16 inscritas en la celda de 24 forma un hipercubo de 4 dimensiones (un teseracto o de 8 celdas) , en analogía dimensional con la forma en que dos tetraedros forman un cubo: las dos celdas de 16 de 8 vértices están inscritas en el teseracto de 16 vértices, ocupando sus vértices alternos. La tercera celda de 16 no se encuentra dentro del teseracto; sus 8 vértices sobresalen de los lados del teseracto, formando una pirámide cúbica en cada una de las celdas cúbicas del teseracto (como en la construcción de Gosset de la celda de 24 celdas). Los tres pares de celdas de 16 forman tres teseractos. [t] Los teseractos comparten vértices, pero las celdas de 16 están completamente disjuntas. [w]
^ ab Los 18 grandes cuadrados de las 24 celdas se presentan como tres conjuntos de 6 grandes cuadrados ortogonales, [x] cada uno de los cuales forma una celda de 16. [y] Las tres celdas de 16 son completamente disjuntas (y paralelas de Clifford): cada una tiene sus propios 8 vértices (en 4 ejes ortogonales) y sus propias 24 aristas (de longitud √ 2 ). Los 18 grandes círculos cuadrados están atravesados por 16 grandes círculos hexagonales; cada hexágono tiene un eje (2 vértices) en cada celda de 16. [o] Los dos grandes triángulos inscritos en cada gran hexágono (que ocupan sus vértices alternos y con aristas que son sus cuerdas √ 3 ) tienen un vértice en cada celda de 16. Por lo tanto, cada gran triángulo es un anillo que une las tres celdas de 16 completamente disjuntas . Hay cuatro formas diferentes (cuatro fibraciones diferentes del modelo de 24 celdas) en las que los 8 vértices del modelo de 16 celdas se corresponden al ser triángulos con vértices separados √ 3 : hay 32 triángulos de enlace distintos. Cada par de 16 celdas forma un teseracto (de 8 celdas). [z] Cada gran triángulo tiene una arista √ 3 en cada teseracto, por lo que también es un anillo que une los tres teseractos.
^ ab Los 8 vértices vecinos más próximos rodean el vértice (en el espacio tridimensional curvo de la superficie límite de las 24 celdas) de la misma manera que las 8 esquinas de un cubo rodean su centro. (La figura del vértice de las 24 celdas es un cubo).
^ Los 6 segundos vértices vecinos más cercanos rodean al vértice en un espacio tridimensional curvo de la misma manera que las 6 esquinas de un octaedro rodean su centro.
^ abcd Ocho cuerdas √ 3 convergen desde las esquinas de la figura de vértice cúbica de 24 celdas [ai] y se encuentran en su centro (el vértice), donde forman 4 líneas rectas que se cruzan allí. Cada una de las ocho cuerdas √ 3 va desde el centro de este cubo hasta el centro de un cubo diagonalmente adyacente (vinculado por vértices), [s] que es otro vértice de la figura de 24 celdas: uno ubicado a 120° de distancia en una tercera capa concéntrica de ocho vértices distantes √ 3 que rodea la segunda capa de seis vértices distantes √ 2 que rodea la primera capa de ocho vértices distantes √ 1 .
^ Por lo tanto, ( √ 1 , √ 2 , √ 3 , √ 4 ) son las longitudes de las cuerdas de los vértices del teseracto, así como de las 24 celdas. También son los diámetros del teseracto (de corto a largo), aunque no de las 24 celdas.
^abcdefghijklmnopqDos círculos máximos paralelos de Clifford en la esfera tridimensional formada por un anillo torcido . Tienen un punto central común en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones y podrían estar en planos de rotación completamente ortogonales .Los paralelos de Clifford son líneas curvas que no se intersecan y que son paralelas en el sentido de que la distancia perpendicular (más corta) entre ellas es la misma en cada punto. [15] Una doble hélice es un ejemplo de paralelismo de Clifford en el espacio euclidiano tridimensional ordinario. En el espacio tetradimensional, los paralelos de Clifford se dan como círculos máximos geodésicos en la esfera tridimensional . [16] Mientras que en el espacio tridimensional, dos círculos máximos geodésicos cualesquiera en la esfera bidimensional siempre se intersecan en dos puntos antípodas, en el espacio tetradimensional no todos los círculos máximos se intersecan; se pueden encontrar varios conjuntos de círculos máximos geodésicos paralelos de Clifford que no se intersecan en la esfera tridimensional. Quizás el ejemplo más simple es que se pueden dibujar seis círculos máximos mutuamente ortogonales en la esfera tridimensional, como tres pares de círculos máximos completamente ortogonales. [x] Cada par completamente ortogonal es un paralelo de Clifford. Los dos círculos no pueden intersecarse en absoluto, porque se encuentran en planos que se intersecan en un solo punto: el centro de la 3-esfera. [ao] Debido a que son perpendiculares y comparten un centro común, [ap] los dos círculos obviamente no son paralelos y separados de la manera habitual de los círculos paralelos en 3 dimensiones; más bien, están conectados como eslabones adyacentes de una cadena, cada uno pasando por el otro sin intersecarse en ningún punto, formando un enlace de Hopf .
^ Un círculo máximo geodésico se encuentra en un plano bidimensional que pasa por el centro del politopo. Nótese que en 4 dimensiones este plano central no divide al politopo en dos partes de igual tamaño, como lo haría en 3 dimensiones, de la misma manera que un diámetro (una línea central) divide en dos a un círculo, pero no a una esfera. Otra diferencia es que en 4 dimensiones no todos los pares de círculos máximos se intersecan en dos puntos, como lo hacen en 3 dimensiones; algunos pares lo hacen, pero algunos pares de círculos máximos son paralelos de Clifford que no se intersecan. [af]
^ ab Si la distancia pitagórica entre dos vértices cualesquiera es √ 1 , su distancia geodésica es 1; pueden ser dos vértices adyacentes (en el espacio tridimensional curvo de la superficie), o un vértice y el centro (en el espacio cuádruple). Si su distancia pitagórica es √ 2 , su distancia geodésica es 2 (ya sea a través del espacio tridimensional o del espacio cuádruple, porque el camino a lo largo de los bordes es la misma línea recta con una curva de 90 o en ella que el camino a través del centro). Si su distancia pitagórica es √ 3 , su distancia geodésica sigue siendo 2 (ya sea en un círculo máximo hexagonal más allá de una curva de 60 o , o como una línea recta con una curva de 60 o en ella a través del centro). Finalmente, si su distancia pitagórica es √ 4 , su distancia geodésica sigue siendo 2 en el espacio 4 (recto a través del centro), pero llega a 3 en el espacio 3 (al dar la mitad de un círculo máximo hexagonal).
^ abcde La figura de vértice es la faceta que se forma truncando un vértice; canónicamente, en los bordes medios incidentes al vértice. Pero se pueden hacer figuras de vértice similares de diferentes radios truncando en cualquier punto a lo largo de esos bordes, hasta truncando inclusive en los vértices adyacentes para hacer una figura de vértice de tamaño completo . Stillwell define la figura de vértice como "la envoltura convexa de los vértices vecinos de un vértice dado". [14] Eso es lo que sirve al propósito ilustrativo aquí.
^ El cubo no es radialmente equilátero en el espacio tridimensional euclidiano , pero una pirámide cúbica es radialmente equilátera en el espacio tridimensional curvo de la superficie de 24 celdas, la esfera tridimensional . En el espacio tridimensional, las 8 aristas que irradian desde su vértice no son en realidad sus radios: el vértice de la pirámide cúbica no es en realidad su centro, solo uno de sus vértices. Pero en el espacio tridimensional curvo, las aristas que irradian simétricamente desde el vértice son radios, por lo que el cubo es radialmente equilátero en ese espacio tridimensional curvo . En el espacio tridimensional euclidiano, 24 aristas que irradian simétricamente desde un punto central forman las 24 celdas radialmente equiláteras, [b] y un subconjunto simétrico de 16 de esas aristas forman el teseracto radialmente equilátero .
^ abcdefg El sistema de 24 celdas tiene cuatro conjuntos de 4 círculos mayores paralelos de Clifford [af] que no se intersecan y que pasan cada uno por 6 vértices (un gran hexágono), con solo un gran hexágono en cada conjunto pasando por cada vértice, y los 4 hexágonos en cada conjunto alcanzan los 24 vértices. [r] Cada conjunto constituye una fibración de Hopf discreta de círculos mayores entrelazados. El sistema de 24 celdas también se puede dividir (de ocho formas diferentes) en 4 subconjuntos disjuntos de 6 vértices (hexagramas) que no se encuentran en un plano central hexagonal, cada hexagrama oblicuo forma una geodésica isoclina o isoclina que es el círculo rotacional atravesado por esos 6 vértices en una rotación isoclina izquierda o derecha particular. Cada uno de estos conjuntos de cuatro isoclinas paralelas de Clifford pertenece a una de las cuatro fibraciones de Hopf discretas de círculos mayores hexagonales. [df]
^ Seis cuerdas √ 2 convergen en el espacio tridimensional desde los centros de las caras de la figura de vértice cúbico de 24 celdas [ai] y se encuentran en su centro (el vértice), donde forman 3 líneas rectas que se cruzan allí perpendicularmente. Los 8 vértices del cubo son los ocho otros vértices más cercanos de las 24 celdas, y ocho aristas √ 1 convergen desde allí, pero ignorémoslas ahora, ya que es confuso visualizar 7 líneas rectas que se cruzan en el centro de una sola vez. Cada una de las seis cuerdas √ 2 va desde el centro de este cubo (el vértice) a través del centro de una cara hasta el centro de un cubo adyacente (unido por una cara), que es otro vértice de las 24 celdas: no un vértice más cercano (en las esquinas del cubo), sino uno ubicado a 90° de distancia en una segunda capa concéntrica de seis vértices distantes √ 2 que rodea la primera capa de ocho vértices distantes √ 1 . El centro de la cara por donde pasa la cuerda √ 2 es el punto medio de la cuerda √ 2 , por lo que se encuentra dentro de las 24 celdas.
^ Se puede cortar el sistema de 24 celdas por 6 vértices (en cualquier plano de círculo máximo hexagonal) o por 4 vértices (en cualquier plano de círculo máximo cuadrado). Esto se puede ver en el cuboctaedro (el hiperplano central del sistema de 24 celdas), donde hay cuatro círculos máximos hexagonales (a lo largo de los bordes) y seis círculos máximos cuadrados (a lo largo de las caras cuadradas en diagonal).
^ abcd En la celda de 16 , los 6 cuadrados mayores ortogonales forman 3 pares de círculos mayores completamente ortogonales; cada par es paralelo de Clifford. En la celda de 24, las 3 celdas de 16 inscritas se encuentran rotadas 60 grados isoclínicamente [m] una con respecto a la otra; en consecuencia, sus vértices correspondientes están separados 120 grados en un círculo mayor hexagonal. Al emparejar sus vértices que están separados 90 grados, se revelan los círculos mayores cuadrados correspondientes que son paralelos de Clifford. Cada uno de los 18 círculos mayores cuadrados es paralelo de Clifford no solo a otro círculo mayor cuadrado en la misma celda de 16 (el completamente ortogonal), sino también a dos círculos mayores cuadrados (que son completamente ortogonales entre sí) en cada una de las otras dos celdas de 16. (Los círculos máximos completamente ortogonales son paralelos de Clifford, pero no todos los paralelos de Clifford son ortogonales. [ao] ) Una rotación isoclínica de 60 grados de las 24 celdas en planos invariantes hexagonales lleva cada círculo máximo cuadrado a un círculo máximo cuadrado paralelo de Clifford (pero no ortogonal) en 16 celdas diferentes.
^ ab Cada plano cuadrado es isoclínico (paralelo a Clifford) a otros cinco planos cuadrados, pero completamente ortogonal a solo uno de ellos. [an] Cada par de planos completamente ortogonales tiene círculos máximos paralelos a Clifford, pero no todos los círculos máximos paralelos a Clifford son ortogonales (por ejemplo, ninguna de las geodésicas hexagonales en las 24 celdas son mutuamente ortogonales).
^ abc En el espacio 4, dos círculos máximos pueden ser perpendiculares y compartir un centro común que es su único punto de intersección , porque hay más de una gran 2-esfera en la 3-esfera . La estructura dimensionalmente análoga a un círculo máximo (una gran 1-esfera) es una gran 2-esfera, [17] que es una esfera ordinaria que constituye un límite ecuatorial que divide la 3-esfera en dos mitades iguales, tal como un círculo máximo divide la 2-esfera. Aunque dos círculos máximos paralelos de Clifford [af] ocupan la misma 3-esfera, se encuentran en diferentes grandes 2-esferas. Las grandes 2-esferas son objetos tridimensionales paralelos de Clifford, desplazados entre sí por una distancia fija d en la cuarta dimensión. Sus puntos correspondientes (en sus dos superficies) están separados por d . Las 2-esferas (con lo que nos referimos a sus superficies) no se intersecan en absoluto, aunque tienen un punto central común en el espacio 4. El desplazamiento d entre un par de sus puntos correspondientes es la cuerda de un círculo máximo que interseca ambas 2-esferas, por lo que d puede representarse de manera equivalente como una distancia cordal lineal o como una distancia angular.
^ abcd Las 24 celdas tienen tres conjuntos de 6 grandes círculos paralelos de Clifford que no se intersecan, cada uno de los cuales pasa por 4 vértices (un gran cuadrado), con solo un gran cuadrado en cada conjunto que pasa por cada vértice, y los 6 cuadrados en cada conjunto alcanzan los 24 vértices. [j] Cada conjunto constituye una fibración de Hopf discreta de 6 grandes cuadrados entrelazados, que es simplemente el compuesto de las tres fibraciones de Hopf discretas de 2 grandes cuadrados entrelazados de las 16 celdas inscritas. Las 24 celdas también se pueden dividir (de seis maneras diferentes) en 3 subconjuntos disjuntos de 8 vértices (octagramas) que no se encuentran en un plano central cuadrado, sino que comprenden 16 celdas y se encuentran en un octagrama oblicuo3 formando una geodésica isoclínica o isoclina que es el círculo rotacional atravesado por esos 8 vértices en una rotación isoclínica izquierda o derecha particular a medida que rotan posiciones dentro de las 16 celdas.
^ La suma de 1・96 + 2・72 + 3・96 + 4・12 es 576.
^ La suma de las longitudes al cuadrado de todas las cuerdas distintas de cualquier n-politopo convexo regular de radio unitario es el cuadrado del número de vértices. [18]
^ abcdefghijklm Un punto bajo rotación isoclínica atraviesa la línea recta diagonal [m] de una única geodésica isoclínica , llegando a su destino directamente, en lugar de la línea curva de dos geodésicas simples sucesivas . [cc] Una geodésica es el camino más corto a través de un espacio (intuitivamente, una cuerda tirada tensa entre dos puntos). Las geodésicas simples son círculos máximos que se encuentran en un plano central (el único tipo de geodésicas que ocurren en el espacio tridimensional en la esfera bidimensional). Las geodésicas isoclínicas son diferentes: no se encuentran en un solo plano; son espirales de 4 dimensiones en lugar de simples círculos bidimensionales. [ca] Pero tampoco son como roscas de tornillo tridimensionales , porque forman un bucle cerrado como cualquier círculo. [cw] Las geodésicas isoclínicas son círculos máximos de 4 dimensiones , y son tan circulares como los círculos bidimensionales: de hecho, dos veces más circulares, porque se curvan en dos círculos máximos ortogonales a la vez. [cx] Son círculos verdaderos, [cb] e incluso forman fibraciones como los círculos máximos bidimensionales ordinarios. [ak] [aq] Estas isoclinas son líneas geodésicas unidimensionales incrustadas en un espacio de 4 dimensiones. En la 3-esfera [cy] siempre ocurren en pares [da] como círculos de Villarceau en el toro de Clifford , las trayectorias geodésicas recorridas por vértices en una rotación isoclínica . Son hélices dobladas en un bucle de Möbius en la cuarta dimensión, tomando una ruta sinuosa diagonal alrededor de la 3-esfera a través de los vértices no adyacentes [s] del polígono de Clifford sesgado de un 4-politopo . [cl]
^ Cada par de aristas paralelas √ 1 une un par de cuerdas paralelas √ 3 para formar uno de los 48 rectángulos (inscritos en los 16 hexágonos centrales), y cada par de cuerdas paralelas √ 2 une otro par de cuerdas paralelas √ 2 para formar uno de los 18 cuadrados centrales.
^ abcd Una forma de visualizar los hiperplanos n -dimensionales es como los n -espacios que pueden definirse por n + 1 puntos. Un punto es el espacio 0 que se define por 1 punto. Una línea es el espacio 1 que se define por 2 puntos que no son coincidentes. Un plano es el espacio 2 que se define por 3 puntos que no son colineales (cualquier triángulo). En el espacio 4, un hiperplano tridimensional es el espacio 3 que se define por 4 puntos que no son coplanares (cualquier tetraedro). En el espacio 5, un hiperplano tetradimensional es el espacio 4 que se define por 5 puntos que no son cocelulares (cualquier 5-celda). Estas figuras símplex dividen el hiperplano en dos partes (dentro y fuera de la figura), pero además dividen el espacio circundante en dos partes (encima y debajo del hiperplano). Los n puntos delimitan una figura simplex finita (desde el exterior) y definen un hiperplano infinito (desde el interior). [35] Estas dos divisiones son ortogonales, por lo que el simplex definitorio divide el espacio en seis regiones: dentro del simplex y en el hiperplano, dentro del simplex pero por encima o por debajo del hiperplano, fuera del simplex pero en el hiperplano, y fuera del simplex por encima o por debajo del hiperplano.
^ abcdefgh Se requieren dos ángulos para fijar las posiciones relativas de dos planos en el espacio cuatridimensional. [19] Dado que todos los planos en el mismo hiperplano [av] están separados por 0 grados en uno de los dos ángulos, solo se requiere un ángulo en el espacio tridimensional. Los grandes hexágonos en diferentes hiperplanos están separados por 60 grados en ambos ángulos. Los grandes cuadrados en diferentes hiperplanos están separados por 90 grados en ambos ángulos ( completamente ortogonales ) o por 60 grados en ambos ángulos. [an] Los planos que están separados por dos ángulos iguales se denominan isoclínicos . Los planos que son isoclínicos tienen círculos máximos paralelos de Clifford . [af] Un gran cuadrado y un gran hexágono en diferentes hiperplanos pueden ser isoclínicos, pero a menudo están separados por un ángulo de 90 grados y un ángulo de 60 grados.
^ Cada par de polígonos paralelos de Clifford se encuentra en dos hiperplanos diferentes (cuboctaedros). Los 4 hexágonos paralelos de Clifford se encuentran en 4 cuboctaedros diferentes.
^ Dos grandes cuadrados o grandes hexágonos que se intersecan comparten dos vértices opuestos, pero los cuadrados o hexágonos de los grandes círculos paralelos de Clifford no comparten vértices. Dos grandes triángulos que se intersecan comparten solo un vértice, ya que carecen de vértices opuestos.
^ abcd En el sistema de 24 celdas, cada gran plano cuadrado es completamente ortogonal a otro gran plano cuadrado, y cada gran plano hexagonal es completamente ortogonal a un plano que interseca sólo dos vértices antípodas: un gran plano digónico .
^ abc Las características interiores no se consideran elementos del politopo. Por ejemplo, el centro de un politopo de 24 celdas es una característica notable (al igual que sus radios largos), pero estas características interiores no cuentan como elementos en su matriz de configuración, que cuenta solo las características elementales (que no son interiores a ninguna otra característica, incluido el propio politopo). Las características interiores no se representan en la mayoría de los diagramas e ilustraciones de este artículo (normalmente son invisibles). En las ilustraciones que muestran características interiores, siempre dibujamos los bordes interiores como líneas discontinuas, para distinguirlos de los bordes elementales.
^ La celda de 600 es más grande que la de 24 y contiene la de 24 como una característica interior. [20] La celda de 5 regular no se encuentra en el interior de ningún politopo de 4 regular convexo excepto el de 120 celdas , [21] aunque cada politopo de 4 convexo puede deconstruirse en celdas de 5 irregulares.
^Construcción de un dodecaedro rómbico a partir de un cubo.Esta animación muestra la construcción de un dodecaedro rómbico a partir de un cubo, invirtiendo las pirámides de centro a cara de un cubo. La construcción de Gosset de un teseracto de 24 celdas es el análogo en cuatro dimensiones de este proceso, invirtiendo las pirámides de centro a celda de un teseracto de 8 celdas. [23]
^ Podemos cortar un vértice de un polígono con un instrumento de corte de dimensión 0 (como la punta de un cuchillo o la cabeza de una cremallera) barriéndolo a lo largo de una línea unidimensional, exponiendo una nueva arista. Podemos cortar un vértice de un poliedro con un borde de corte unidimensional (como un cuchillo) barriéndolo a través de un plano de cara bidimensional, exponiendo una nueva cara. Podemos cortar un vértice de un policoro (un 4-politopo) con un plano de corte bidimensional (como una máquina quitanieves), barriéndolo a través de un volumen de celda tridimensional, exponiendo una nueva celda. Observe que, como dentro de la nueva longitud de la arista del polígono o la nueva área de la cara del poliedro, cada punto dentro del nuevo volumen de celda ahora está expuesto en la superficie del policoro.
^ Cada plano de la cara de una celda se interseca con los otros planos de la cara de su tipo con los que no es completamente ortogonal o paralelo en su borde característico de la cuerda del vértice. Los planos de la cara adyacentes de celdas con caras ortogonales (como los cubos) se intersecan en un borde ya que no son completamente ortogonales. [i] Aunque su ángulo diedro es de 90 grados en el espacio tridimensional límite, se encuentran en el mismo hiperplano [av] (son coincidentes en lugar de perpendiculares en la cuarta dimensión); por lo tanto, se intersecan en una línea, como lo hacen los planos no paralelos en cualquier espacio tridimensional.
^ ab Los únicos planos que pasan exactamente por 6 vértices del sistema de 24 celdas (sin contar el vértice central) son los 16 círculos mayores hexagonales . No hay planos que pasen exactamente por 5 vértices. Hay varios tipos de planos que pasan exactamente por 4 vértices: los 18 √ 2 círculos mayores cuadrados, las 72 √ 1 caras cuadradas (tesseract) y los 144 √ 1 por √ 2 rectángulos. Los planos que pasan exactamente por 3 vértices son las 96 √ 2 caras de triángulos equiláteros (de 16 celdas) y las 96 √ 1 caras de triángulos equiláteros (de 24 celdas) . Hay un número infinito de planos centrales que pasan exactamente por dos vértices ( digígonos de círculos mayores ); se distinguen 16, ya que cada uno es completamente ortogonal a uno de los 16 círculos mayores hexagonales. En las proyecciones y animaciones rotatorias que ilustran este artículo sólo son visibles los polígonos compuestos por aristas de 24 celdas √ 1 ; los demás contienen cuerdas interiores invisibles. [ba]
^ La figura de vértice cúbica de 24 celdas [ai] se ha truncado a una figura de vértice tetraédrica (ver el dibujo de Kepler). El cubo de vértices ha desaparecido y ahora solo hay 4 esquinas de la figura de vértices donde antes había 8. Cuatro aristas del teseracto convergen desde los vértices del tetraedro y se encuentran en su centro, donde no se cruzan (ya que el tetraedro no tiene vértices opuestos).
^ abc Dos teseractos comparten solo vértices, no aristas, caras, cubos (con tetraedros inscritos) u octaedros (cuyos planos cuadrados centrales son caras cuadradas de cubos). Un octaedro que toca a otro octaedro en un vértice (pero no en una arista o una cara) toca un octaedro en otro teseracto, y un par de cubos adyacentes en el otro teseracto cuya cara cuadrada común abarca el octaedro, y un tetraedro inscrito en cada uno de esos cubos.
^ abcd El núcleo común de la celda de 24 y sus celdas de 8 y 16 inscritas es la celda dual de 24 inscrita en la esfera de la celda de radio unitario de 24 con una longitud de arista y un radio de 1/2. [27] Al rectificar cualquiera de las tres celdas de 16, se revela esta celda de 24 más pequeña, que tiene un contenido de 4 de solo 1/8 (1/16 del de la celda de 24 con radio unitario). Sus vértices se encuentran en los centros de las celdas octaédricas de la celda de 24, que también son los centros de las caras cuadradas de los teseractos y también son los centros de las aristas de las 16 celdas. [28]
^ La figura de vértice cúbica de 24 celdas [ai] se ha truncado a una figura de vértice octaédrica. El cubo de vértices ha desaparecido y ahora solo hay 6 esquinas de la figura de vértices donde antes había 8. Las 6 cuerdas √ 2 que antes convergían desde los centros de las caras del cubo ahora convergen desde los vértices del octaedro; pero, al igual que antes, se encuentran en el centro donde 3 líneas rectas se cruzan perpendicularmente. Los vértices del octaedro están ubicados a 90° de distancia fuera del cubo desaparecido, en los nuevos vértices más cercanos; antes del truncamiento, esos eran vértices de 24 celdas en la segunda capa de vértices circundantes.
^ abcd Cada una de las 72 cuerdas √ 2 en el modelo de 24 celdas es una diagonal de cara en dos celdas cúbicas distintas (de 8 celdas diferentes) y una arista de cuatro celdas tetraédricas (en un solo modelo de 16 celdas).
^ ab Un ortosquema es un símplex irregular quiral con caras en forma de triángulos rectángulos que es característico de algún politopo si llena exactamente ese politopo con los reflejos de sí mismo en sus propias facetas (sus paredes especulares ). Cada politopo regular se puede diseccionar radialmente en instancias de su ortosquema característico que rodean su centro. El ortosquema característico tiene la forma descrita por el mismo diagrama de Coxeter-Dynkin que el politopo regular sin el anillo de puntos generadores .
^ Los 24 vértices de las 24 celdas, cada uno utilizado dos veces, son los vértices de tres teseractos de 16 vértices.
^ Los 24 vértices de las 24 celdas, cada uno utilizado una vez, son los vértices de tres 16 celdas de 8 vértices. [n]
^ Los bordes de las 16 celdas no se muestran en ninguna de las representaciones de este artículo; si quisiéramos mostrar los bordes interiores, se podrían dibujar como líneas discontinuas. Los bordes de los teseractos inscritos siempre son visibles, porque también son bordes de las 24 celdas.
^ El contenido de 4 dimensiones del teseracto de longitud de arista unitaria es 1 (por definición). El contenido del teseracto de 24 celdas de longitud de arista unitaria es 2, por lo que la mitad de su contenido está dentro de cada teseracto y la otra mitad entre sus envolturas. Cada celda de 16 celdas (longitud de arista √ 2 ) encierra un contenido de 2/3, dejando 1/3 de un teseracto envolvente entre sus envolturas.
^ Entre la envoltura de 24 celdas y la envoltura de 8 celdas, tenemos las 8 pirámides cúbicas de la construcción de Gosset. Entre la envoltura de 8 celdas y la envoltura de 16 celdas, tenemos 16 pirámides tetraédricas rectas , con sus vértices llenando las esquinas del teseracto.
^ abc Considérense los tres diámetros perpendiculares √ 2 de la celda octaédrica. [32] Cada uno de ellos es una arista de una celda de 16 diferente. Dos de ellos son las diagonales de la cara de la cara cuadrada entre dos cubos; cada uno es una cuerda √ 2 que conecta dos vértices de esos cubos de 8 celdas a través de una cara cuadrada, conecta dos vértices de dos tetraedros de 16 celdas (inscritos en los cubos) y conecta dos vértices opuestos de un octaedro de 24 celdas (diagonalmente a través de dos de las tres secciones centrales cuadradas ortogonales). [bk] El tercer diámetro perpendicular largo del octaedro hace exactamente lo mismo (por simetría); por lo que también conecta dos vértices de un par de cubos a través de su cara cuadrada común: pero un par de cubos diferente, de uno de los otros teseractos en la celda de 24. [bh]
^ abc Debido a que hay tres teseractos superpuestos inscritos en las 24 celdas, [t] cada celda octaédrica se encuentra sobre una celda cúbica de un teseracto (en la pirámide cúbica basada en el cubo, pero no en el volumen del cubo), y en dos celdas cúbicas de cada uno de los otros dos teseractos (celdas cúbicas que abarca, compartiendo su volumen). [br]
^ Esto podría parecer a primera vista angularmente imposible, y de hecho lo sería en un espacio plano de solo tres dimensiones. Si dos cubos descansan cara a cara en un espacio tridimensional ordinario (por ejemplo, en la superficie de una mesa en una habitación tridimensional ordinaria), un octaedro encajará dentro de ellos de tal manera que cuatro de sus seis vértices estén en las cuatro esquinas de la cara cuadrada entre los dos cubos; pero entonces los otros dos vértices octaédricos no estarán en una esquina del cubo (caerán dentro del volumen de los dos cubos, pero no en un vértice del cubo). ¡En cuatro dimensiones, esto no es menos cierto! Los otros dos vértices octaédricos no están en una esquina del cubo adyacente con caras enlazadas en el mismo teseracto. Sin embargo, en el teseracto de 24 celdas no hay solo un teseracto inscrito (de 8 cubos), hay tres teseractos superpuestos (de 8 cubos cada uno). Los otros dos vértices octaédricos sí se encuentran en la esquina de un cubo: pero un cubo en otro teseracto (superpuesto). [bs]
^ Es importante visualizar los radios solo como características interiores invisibles de las 24 celdas (líneas discontinuas), ya que no son bordes del panal. De manera similar, el centro de las 24 celdas está vacío (no es un vértice del panal).
^ A diferencia del panal de 24 celdas y del teseracto, el panal de 16 celdas no es radialmente equilátero; por lo tanto, en el panal de 24 celdas hay 16 celdas de dos tamaños diferentes (longitud de arista unitaria versus radio unitario). Las veinticuatro celdas de 16 que se encuentran en el centro de cada panal de 24 celdas tienen longitud de arista unitaria y radio √ 2/2Las tres celdas de 16 inscritas en cada celda de 24 tienen una longitud de arista de √ 2 y un radio unitario.
^ Las rotaciones tridimensionales ocurren alrededor de una línea de eje. Las rotaciones cuatridimensionales pueden ocurrir alrededor de un plano. Por lo tanto, en tres dimensiones podemos plegar planos alrededor de una línea común (como cuando plegamos una red plana de 6 cuadrados para formar un cubo), y en cuatro dimensiones podemos plegar celdas alrededor de un plano común (como cuando plegamos una red plana de 8 cubos para formar un teseracto ). Plegar alrededor de una cara cuadrada es simplemente plegar alrededor de dos de sus bordes ortogonales al mismo tiempo ; no hay suficiente espacio en tres dimensiones para hacer esto, así como no hay suficiente espacio en dos dimensiones para plegar alrededor de una línea (solo lo suficiente para plegar alrededor de un punto).
^ Hay (al menos) dos tipos de analogías dimensionales correctas : la clase usual entre dimensión n y dimensión n + 1, y la clase mucho más rara y menos obvia entre dimensión n y dimensión n + 2. Un ejemplo de esto último es que las rotaciones en el espacio 4 pueden tener lugar alrededor de un único punto, como lo hacen las rotaciones en el espacio 2. Otra es la regla de la n -esfera que dice que el área de superficie de la esfera incrustada en n +2 dimensiones es exactamente 2 π r veces el volumen encerrado por la esfera incrustada en n dimensiones, siendo los ejemplos más conocidos que la circunferencia de un círculo es 2 π r veces 1, y el área de superficie de la esfera ordinaria es 2 π r veces 2 r . Coxeter cita [44] esto como un ejemplo en el que la analogía dimensional puede fallarnos como método, pero en realidad es nuestro fracaso reconocer si una analogía unidimensional o bidimensional es el método apropiado.
^ Las rotaciones en el espacio euclidiano de cuatro dimensiones pueden ocurrir alrededor de un plano, como cuando las celdas adyacentes se pliegan alrededor de su plano de intersección (por analogía a la forma en que las caras adyacentes se pliegan alrededor de su línea de intersección). [bw] Pero en cuatro dimensiones hay otra forma en la que pueden ocurrir rotaciones, llamada rotación doble . Las rotaciones dobles son un fenómeno emergente en la cuarta dimensión y no tienen analogía en tres dimensiones: plegar caras cuadradas y plegar celdas cúbicas son ambos ejemplos de rotaciones simples , el único tipo que ocurre en menos de cuatro dimensiones. En rotaciones tridimensionales, los puntos en una línea permanecen fijos durante la rotación, mientras que todos los demás puntos se mueven. En rotaciones simples de cuatro dimensiones, los puntos en un plano permanecen fijos durante la rotación, mientras que todos los demás puntos se mueven. En rotaciones dobles de cuatro dimensiones, un punto permanece fijo durante la rotación, y todos los demás puntos se mueven (¡como en una rotación bidimensional!). [bx]
^ abcde En un desplazamiento de Clifford , también conocido como rotación isoclínica , todos los planos invariantes paralelos de Clifford [af] se desplazan en cuatro direcciones ortogonales a la vez: se rotan en el mismo ángulo y, al mismo tiempo, se inclinan lateralmente en ese mismo ángulo en la rotación completamente ortogonal. [cb] Un desplazamiento de Clifford es diagonal en cuatro dimensiones . [m] Todo plano que es paralelo a Clifford a uno de los planos completamente ortogonales (incluido en este caso un fibrado paralelo de Clifford completo de 4 hexágonos, pero no los 16 hexágonos) es invariante bajo la rotación isoclínica: todos los puntos en el plano rotan en círculos pero permanecen en el plano, incluso cuando todo el plano se inclina lateralmente. [cd] Los 16 hexágonos rotan en el mismo ángulo (aunque solo 4 de ellos lo hacen de manera invariante). Los 16 hexágonos están rotados 60 grados y desplazados lateralmente 60 grados hacia un hexágono paralelo a Clifford. Todos los demás polígonos centrales (por ejemplo, cuadrados) también están desplazados hacia un polígono paralelo a Clifford a 60 grados de distancia.
^ abc En una doble rotación, se puede decir que cada vértice se mueve a lo largo de dos círculos máximos completamente ortogonales al mismo tiempo, pero no permanece dentro del plano central de ninguno de esos círculos máximos originales; más bien, se mueve a lo largo de una geodésica helicoidal que atraviesa diagonalmente entre los círculos máximos. Se dice que los dos planos de rotación completamente ortogonales son invariantes porque los puntos de cada uno permanecen en sus lugares en el plano a medida que el plano se mueve , rotando e inclinándose lateralmente en el ángulo en que rota el otro plano.
^ abcdefg Una rotación isoclínica de 60° son dos rotaciones simples de 60° al mismo tiempo. [cv] Mueve todos los vértices 120° al mismo tiempo, en varias direcciones diferentes. Seis incrementos rotacionales diagonales sucesivos, de 60°x60° cada uno, mueven cada vértice a través de 720° en un bucle doble de Möbius llamado isoclina , dos veces alrededor de la celda de 24 y de regreso a su punto de origen, en el mismo tiempo (seis unidades rotacionales) que tomaría una rotación simple para llevar al vértice una vez alrededor de la celda de 24 en un círculo máximo ordinario. [cw] La isoclina de 4𝝅 de bucle doble helicoidal es simplemente otro tipo de círculo completo simple , del mismo intervalo de tiempo y período (6 cuerdas) que el círculo máximo simple. La isoclina es un círculo verdadero, [cx] tan perfectamente redondo y geodésico como el círculo máximo simple, aunque sus cuerdas son √ 3 más largas, su circunferencia es 4𝝅 en lugar de 2𝝅, [cz] gira a través de cuatro dimensiones en lugar de dos, [da] y actúa en dos formas quirales (izquierda y derecha) aunque todos esos círculos de la misma circunferencia son directamente congruentes. [cl] Sin embargo, para evitar confusiones siempre nos referimos a ella como una isoclina y reservamos el término círculo máximo para un círculo máximo ordinario en el plano. [db]
^ abcd Cualquier rotación doble (incluida una rotación isoclínica) puede verse como la composición de dos rotaciones simples a y b : la rotación doble hacia la izquierda como a luego b , y la rotación doble hacia la derecha como b luego a . Las rotaciones simples no son conmutativas; las rotaciones hacia la izquierda y hacia la derecha (en general) llegan a destinos diferentes. La diferencia entre una rotación doble y las dos rotaciones simples que la componen es que la rotación doble es diagonal en cuatro dimensiones: cada vértice en movimiento llega a su destino directamente sin pasar por el punto intermedio tocado por a luego b , o el otro punto intermedio tocado por b luego a , al rotar en una única geodésica helicoidal (por lo que es el camino más corto). [ca] A la inversa, cualquier rotación simple puede verse como la composición de dos rotaciones dobles de ángulos iguales (una rotación isoclínica hacia la izquierda y una rotación isoclínica hacia la derecha), [cb] como descubrió Cayley ; quizás sorprendentemente, esta composición es conmutativa y también es posible para cualquier rotación doble. [47]
^ abcdef En una rotación isoclínica , cada plano invariante es paralelo al plano al que se mueve, y no se intersecan en ningún momento (excepto en el punto central). En una rotación simple, el plano invariante interseca el plano al que se mueve en una línea y se mueve hacia él rotando alrededor de esa línea.
^ Una rotación en el espacio 4 se caracteriza completamente al elegir un plano invariante y un ángulo y dirección (izquierda o derecha) a través de los cuales rota, y otro ángulo y dirección a través de los cuales rota su único plano invariante completamente ortogonal. Dos desplazamientos rotacionales son idénticos si tienen el mismo par de planos invariantes de rotación, a través de los mismos ángulos en las mismas direcciones (y por lo tanto también el mismo emparejamiento quiral de direcciones). Por lo tanto, la rotación general en el espacio 4 es una rotación doble , caracterizada por dos ángulos. Una rotación simple es un caso especial en el que un ángulo rotacional es 0. [cc] Una rotación isoclínica es un caso especial diferente, [bz] similar pero no idéntica a dos rotaciones simples a través del mismo ángulo. [cd]
^ abcd Los adjetivos izquierda y derecha se usan comúnmente en dos sentidos diferentes, para distinguir dos tipos distintos de emparejamiento. Pueden referirse a direcciones alternas: la mano en el lado izquierdo del cuerpo, versus la mano en el lado derecho. O pueden referirse a un par quiral de objetos enantiomorfos: una mano izquierda es la imagen especular de una mano derecha (como un guante al revés). En el caso de las manos, el sentido pretendido rara vez es ambiguo, porque, por supuesto, la mano en su lado izquierdo es la imagen especular de la mano en su lado derecho: una mano es izquierda o derecha en ambos sentidos. Pero en el caso de objetos de 4 dimensiones de doble rotación, solo se aplica correctamente un sentido de izquierda versus derecha: el sentido enantiomorfo, en el que la rotación izquierda y derecha son imágenes especulares de adentro hacia afuera una de la otra. Hay dos direcciones, que podemos llamar positivas y negativas, en las que los vértices móviles pueden estar girando sobre sus isoclinas, pero sería ambiguo etiquetar esas direcciones circulares como " derecha " e "izquierda", ya que la dirección de una rotación y su quiralidad son propiedades independientes: una rotación a la derecha (o izquierda) puede girar en la dirección positiva o negativa. La rotación a la izquierda no gira "a la izquierda", la rotación a la derecha no gira "a la derecha" y, a diferencia de las manos izquierda y derecha, las rotaciones dobles no se encuentran en el lado izquierdo o derecho del 4-politopo. Si las rotaciones dobles deben ser analogizadas con las manos izquierda y derecha, es mejor pensarlas como un par de manos entrelazadas, centradas en el cuerpo, porque, por supuesto, tienen un centro común.
^ abc El polígono de Petrie de 24 celdas es un dodecágono oblicuo {12} y también (ortogonalmente) un dodecagrama oblicuo {12/5} que zigzaguea 90° a la izquierda y a la derecha como los bordes que dividen las casillas blancas y negras del tablero de ajedrez . [64] Por el contrario, la isoclina del hexagrama oblicuo 2 no zigzaguea, y se mantiene en un lado u otro de la línea divisoria entre el negro y el blanco, como los caminos de los alfiles a lo largo de las diagonales de las casillas blancas o negras del tablero de ajedrez. [s] El dodecágono de Petrie es una hélice circular de √ 1 aristas que zigzaguea 90° a la izquierda y a la derecha a lo largo de 12 aristas de 6 octaedros diferentes (con 3 aristas consecutivas en cada octaedro) en una rotación de 360°. Por el contrario, el hexagrama isoclínico 2 tiene √ 3 aristas que se doblan hacia la izquierda o hacia la derecha en cada segundo vértice a lo largo de una espiral geodésica de ambas quiralidades (izquierda y derecha) [cl] pero solo un color (negro o blanco), [co] visitando un vértice de cada uno de esos mismos 6 octaedros en una rotación de 720°.
^ ab √ 3/4 ≈ 0,866 es el radio largo del tetraedro regular de √ 2 aristas (la celda de radio unitario de 16 celdas). Esos cuatro radios del tetraedro no son ortogonales, y radian simétricamente comprimidos en 3 dimensiones (no 4). Los cuatro desplazamientos ortogonales √ 3/4 ≈ 0,866 que suman un desplazamiento de 120° en la rotación isoclínica característica de las 24 celdas [m] no son tan fáciles de visualizar como los radios, pero se pueden imaginar como pasos ortogonales sucesivos en una trayectoria que se extiende en las 4 dimensiones, a lo largo de las aristas ortogonales de un 4-ortosquema . En una rotación isoclínica real hacia la izquierda (o hacia la derecha), los cuatro pasos ortogonales √ 3/4 ≈ 0,866 de cada desplazamiento de 120° son concurrentes, no sucesivos, por lo que en realidad son radios simétricos en 4 dimensiones. De hecho, son cuatro radios ortogonales de arista media de una celda de 24 radios unitarios centrada en el vértice rotatorio. Finalmente, en unidades bidimensionales, √ 3/4 ≈ 0,866 es el área de la cara del triángulo equilátero de la celda de 24 radios unitarios y arista unitaria. El área de los triángulos equiláteros radiales en un politopo radialmente equilátero de radio unitario [b] es √ 3/4 ≈ 0,866.
^ Que una doble rotación pueda dar vuelta a un politopo 4 al revés es aún más notorio en la doble rotación del teseracto .
^ Como resulta difícil colorear puntos y líneas de blanco, a veces usamos negro y rojo en lugar de blanco y negro. En particular, las cuerdas isoclinas a veces se muestran como líneas discontinuas negras o rojas. [ba]
^ abc Cada plano cuadrado máximo es isoclínico (paralelo a Clifford) a otros cinco planos cuadrados, pero completamente ortogonal a solo uno de ellos. [an] Cada par de planos completamente ortogonales tiene círculos máximos paralelos a Clifford, pero no todos los círculos máximos paralelos a Clifford son ortogonales (por ejemplo, ninguna de las geodésicas hexagonales en las 24 celdas son mutuamente ortogonales). También hay otra forma en la que los planos completamente ortogonales están en una categoría distinguida de planos paralelos a Clifford: no son quirales , o estrictamente hablando poseen ambas quiralidades. Un par de planos isoclínicos (paralelos a Clifford) es un par izquierdo o un par derecho , a menos que estén separados por dos ángulos de 90° (planos completamente ortogonales) o 0° (planos coincidentes). [57] La mayoría de los planos isoclínicos se unen solo mediante una rotación isoclínica a la izquierda o una rotación isoclínica a la derecha, respectivamente. Los planos completamente ortogonales son especiales: el par de planos es a la vez un par izquierdo y un par derecho, por lo que una rotación isoclínica izquierda o derecha los unirá. Esto ocurre porque los planos cuadrados isoclínicos están separados 180° en todos los pares de vértices: no solo son paralelos a Clifford sino completamente ortogonales. Las isoclinas (caminos de vértices quirales) [en] rotaciones isoclínicas de 90° son especiales por la misma razón. Las isoclinas izquierda y derecha pasan por el mismo conjunto de vértices antípodas (tocando ambos extremos de cada eje de 16 celdas ), en lugar de pasar por subconjuntos izquierdo y derecho disjuntos de vértices antípodas negros o blancos (tocando solo un extremo de cada eje), como lo hacen las isoclinas izquierda y derecha de todas las demás fibraciones.
^ abcdefghijklm La trayectoria de cuerda de una isoclina (la geodésica a lo largo de la cual se mueve un vértice bajo rotación isoclínica) puede llamarse el polígono de Clifford del 4-politopo , ya que es la forma poligonal sesgada de los círculos rotacionales atravesados por los vértices del 4-politopo en su característico desplazamiento de Clifford . [63] La isoclina es un doble bucle helicoidal de Möbius que invierte su quiralidad dos veces en el curso de un doble circuito completo. Los dos bucles están completamente contenidos dentro del mismo anillo de celdas, donde ambos siguen cuerdas que conectan vértices pares (impares): típicamente vértices opuestos de celdas adyacentes, separados por dos longitudes de arista. [co] Ambas "mitades" del doble bucle pasan a través de cada celda en el anillo de celdas, pero intersecan solo dos vértices pares (impares) en cada celda par (impares). Cada par de vértices intersectados en una celda par (impar) se encuentran uno frente al otro en la banda de Möbius , separados exactamente por una longitud de arista. Por lo tanto, cada celda tiene ambas hélices que la atraviesan, que son paralelas de Clifford [af] de quiralidad opuesta en cada par de puntos paralelos. Globalmente, estas dos hélices son un único círculo conectado de ambas quiralidades, sin torsión neta . Una isoclina actúa como una isoclina izquierda (o derecha) cuando es atravesada por una rotación izquierda (o derecha) (de diferentes fibraciones). [cb]
^ La quiralidad y la paridad par/impar son sabores distintos. Las cosas que tienen paridad de coordenadas par/impar son blancas o negras: los cuadrados del tablero de ajedrez , [cj] las celdas , los vértices y las isoclinas que las conectan mediante rotación isoclínica. [at] Todo lo demás es blanco y negro: por ejemplo, pares de celdas adyacentes unidas por caras , o aristas y cuerdas que son negras en un extremo y blancas en el otro. Las cosas que tienen quiralidad vienen en formas enantiomorfas derechas o izquierdas : rotaciones isoclínicas y objetos quirales que incluyen ortosquemas característicos , conjuntos de planos poligonales grandes paralelos de Clifford , [ck] haces de fibras de círculos paralelos de Clifford (ya sea que los círculos mismos sean quirales o no) y los anillos celulares quirales que se encuentran en los de 16 y 600 celdas . Las cosas que no tienen paridad par/impar ni quiralidad incluyen todas las aristas y caras (compartidas por las células blancas y negras), los polígonos de círculo máximo y sus fibraciones , y los anillos celulares no quirales como los anillos celulares de 24 células de los octaedros. Algunas cosas tienen tanto paridad par/impar como quiralidad: las isoclinas son negras o blancas porque conectan vértices que son todos del mismo color, y actúan como objetos quirales izquierdos o derechos cuando son caminos de vértices en una rotación izquierda o derecha, aunque no tienen quiralidad inherente en sí mismas. Cada rotación izquierda (o derecha) atraviesa un número igual de isoclinas blancas y negras. [cl]
^ Las rotaciones isoclínicas a izquierda y derecha dividen las 24 celdas (y 24 vértices) en blanco y negro de la misma manera. [42] Las rotaciones de todas las fibraciones del mismo tipo de gran polígono utilizan el mismo tablero de ajedrez, que es una convención del sistema de coordenadas basado en coordenadas pares e impares. La izquierda y la derecha no son colores: en una rotación a izquierda (o derecha), la mitad de los vértices móviles son negros, recorriendo isoclinas negras a través de vértices negros, y la otra mitad son vértices blancos, que también rotan entre sí. [cm]
^ abcdefgh Las rotaciones isoclínicas [at] dividen las 24 celdas (y los 24 vértices) de las 24 celdas en dos subconjuntos disjuntos de 12 celdas (y 12 vértices), pares e impares (o blancos y negros), que cambian de lugar entre sí, de una manera dimensionalmente análoga a la forma en que los movimientos diagonales de los alfiles [s] los restringen a las casillas blancas o negras del tablero de ajedrez . [cn]
^ ab Aunque los vértices adyacentes en la geodésica isoclínica están separados por una cuerda de √ 3 , un punto en un cuerpo rígido en rotación no se desplaza a lo largo de una cuerda: se mueve a lo largo de un arco entre los dos puntos finales de la cuerda (una distancia mayor). En una rotación simple entre dos vértices separados por una cuerda de √ 3 , el vértice se desplaza a lo largo del arco de un círculo máximo hexagonal hasta un vértice que se encuentra a dos aristas del hexágono máximo de distancia, y pasa por el vértice del hexágono intermedio a mitad de camino. Pero en una rotación isoclínica entre dos vértices separados por una cuerda de √ 3 , el vértice se desplaza a lo largo de un arco helicoidal llamado isoclina (no un círculo máximo plano), [en] el cual no pasa por un vértice intermedio: pasa por alto el vértice más cercano a su punto medio. [s]
^ P 0 y P 1 se encuentran en el mismo hiperplano (el mismo cuboctaedro central), por lo que su otro ángulo de separación es 0. [aw]
^ V 0 y V 2 son dos cuerdas √ 3 de distancia en la trayectoria geodésica de esta isoclina rotacional, pero esa no es la trayectoria geodésica más corta entre ellas. En la celda de 24, es imposible que dos vértices estén más distantes que una cuerda √ 3 , a menos que sean vértices antípodas separados √ 4. [ah] V 0 y V 2 están separados por una cuerda √ 3 en alguna otra isoclina, y solo √ 1 en algún gran hexágono. Entre V 0 y V 2 , la rotación isoclínica ha recorrido el camino largo alrededor de la celda de 24 sobre dos cuerdas √ 3 para alcanzar un vértice que estaba a solo √ 1 de distancia. En términos más generales, las isoclinas son geodésicas porque la distancia entre sus vértices adyacentes es la distancia más corta entre esos dos vértices en alguna rotación que los conecta, pero en la esfera tridimensional puede haber otra rotación que sea más corta. Un camino entre dos vértices a lo largo de una geodésica no siempre es la distancia más corta entre ellos (incluso en geodésicas de círculo máximo ordinarias).
^ P 0 y P 2 están separados por 60° en ambos ángulos de separación. [aw] Los planos paralelos de Clifford son isoclínicos (lo que significa que están separados por dos ángulos iguales), y sus vértices correspondientes están todos a la misma distancia. Aunque V 0 y V 2 están separados por dos cuerdas √ 3 , [cr] P 0 y P 2 están separados por solo una arista √ 1 (en cada par de vértices más cercanos ).
^ abcd Cada mitad de un hexagrama oblicuo es un triángulo abierto de tres cuerdas de √ 3 , cuyos dos extremos abiertos están separados por una longitud de arista de √ 1. Las dos mitades, como toda la isoclina, no tienen quiralidad inherente, pero sí el mismo color de paridad (negro o blanco). Las mitades son las dos "aristas" opuestas de una banda de Möbius de √ 1 de ancho; en realidad, solo tiene una arista, que es un único círculo continuo con 6 cuerdas.
^ abc Partiendo de cualquier vértice V 0 en el plano hexagonal mayor original de rotación isoclínica P 0 , el primer vértice alcanzado V 1 está a 120 grados de distancia a lo largo de una cuerda √ 3 que se encuentra en un plano hexagonal diferente P 1 . P 1 está inclinado con respecto a P 0 en un ángulo de 60°. [cq] El segundo vértice alcanzado V 2 está 120 grados más allá de V 1 a lo largo de una segunda cuerda √ 3 que se encuentra en otro plano hexagonal P 2 que es paralelo a Clifford P 0 . [cs] (Obsérvese que V 1 se encuentra en ambos planos de intersección P 1 y P 2 , ya que V 0 se encuentra tanto en P 0 como en P 1 . Pero P 0 y P 2 no tienen vértices en común; no se intersecan.) El tercer vértice alcanzado V 3 está 120 grados más allá de V 2 a lo largo de una tercera cuerda √ 3 que se encuentra en otro plano hexagonal P 3 que es paralelo a Clifford P 1 . V 0 y V 3 son vértices adyacentes, separados por √ 1. [ct] Las tres cuerdas √ 3 se encuentran en diferentes celdas de 8. [t] V 0 a V 3 es una rotación isoclínica de 360° y la mitad del polígono de Clifford del hexagrama 2 de doble bucle de 24 celdas . [cl]
^ La composición de dos rotaciones simples de 60° en un par de planos invariantes completamente ortogonales es una rotación isoclínica de 60° en cuatro pares de planos invariantes completamente ortogonales. [cc] Por lo tanto, la rotación isoclínica es el compuesto de cuatro rotaciones simples, y los 24 vértices giran en planos hexagonales invariantes, frente a solo 6 vértices en una rotación simple.
^ abcd Debido a que la geodésica helicoidal del hexagrama 2 de 24 celdas está doblada en un anillo retorcido en la cuarta dimensión como una cinta de Möbius , su rosca se dobla sobre sí misma en cada revolución, invirtiendo su quiralidad [cl] pero sin cambiar nunca su paridad de rotación par/impar (negra o blanca). [co] La trayectoria isoclínica de 6 vértices forma un doble bucle de Möbius, como una doble hélice tridimensional con los extremos de sus dos hélices paralelas de 3 vértices interconectadas entre sí. Esta isoclina de 60° [de] es una instancia sesgada del polígono compuesto regular denotado {6/2}=2{3} o hexagrama 2 . [ct] Los 3 bordes sucesivos pertenecen a diferentes celdas de 8, ya que la rotación isoclínica de 720° lleva a cada hexágono a través de los seis hexágonos en el anillo de 6 celdas, y a cada celda de 8 a través de las tres celdas de 8 dos veces. [t]
^ ab Las geodésicas isoclínicas o isoclinas son círculos máximos de 4 dimensiones en el sentido de que son líneas geodésicas unidimensionales que se curvan en el espacio cuatridimensional en dos círculos máximos ortogonales a la vez. [cy] No deben confundirse con las grandes 2-esferas , [17] que son los análogos de 4 dimensiones de los círculos máximos (grandes 1-esferas). [ap] Las isoclinas discretas son polígonos; [cl] las grandes 2-esferas discretas son poliedros.
^ abcd Todas las isoclinas son geodésicas , y las isoclinas en la 3-esfera son círculos (que se curvan igualmente en cada dimensión), pero no todas las isoclinas en las 3-variedades en el 4-espacio son círculos.
^ Todas las isoclinas de 3 esferas de la misma circunferencia son círculos directamente congruentes. [cy] Un círculo máximo ordinario es una isoclina de circunferencia ; las rotaciones simples de politopos de radio unitario tienen lugar en isoclinas de 2𝝅. Las rotaciones dobles pueden tener isoclinas de otras que no sean de circunferencia. La rotación característica de un 4-politopo regular es la rotación isoclínica en la que los planos centrales que contienen sus aristas son planos de rotación invariantes. El de 16 y 24 celdas rota en las aristas sobre isoclinas de 4𝝅 de circunferencia. El de 600 celdas rota en las aristas sobre isoclinas de 5𝝅 de circunferencia.
^ abc Las isoclinas en la 3-esfera ocurren en pares no intersecantes de paridad de coordenadas par/impar. [co] Una sola isoclina negra o blanca forma un bucle de Möbius llamado nudo toroidal {1,1} o círculo de Villarceau [55] en el que cada uno de los dos "círculos" unidos en un bucle de "ocho" de Möbius atraviesa las cuatro dimensiones. [cl] El bucle doble es un círculo verdadero en cuatro dimensiones. [cb] Las isoclinas pares e impares también están unidas, no en un bucle de Möbius sino como un enlace de Hopf de dos círculos no intersecantes, [af] como lo están todas las isoclinas paralelas de Clifford de un haz de fibras de Hopf .
^ abc Una isoclina es la trayectoria geodésica circular que sigue un vértice que se encuentra en un plano de rotación invariante durante una revolución completa. En una rotación isoclina, cada vértice se encuentra en un plano de rotación invariante y la isoclina sobre la que gira es un círculo geodésico helicoidal que serpentea a través de las cuatro dimensiones, no un simple círculo máximo geodésico en el plano. En una rotación simple solo hay un plano de rotación invariante y cada vértice que se encuentra en él gira sobre un círculo máximo geodésico simple en el plano. Tanto la isoclina geodésica helicoidal de una rotación isoclínica como la isoclina geodésica simple de una rotación simple son círculos máximos, pero para evitar confusiones entre ellas generalmente reservamos el término isoclina para la primera y reservamos el término círculo máximo para el segundo, un círculo máximo ordinario en el plano. Estrictamente, sin embargo, el último es una isoclina de circunferencia y la primera es una isoclina de circunferencia mayor que . [at]
^ En una rotación isoclínica de 720° de una celda rígida de 24, los 24 vértices giran a lo largo de cuatro bucles geodésicos separados del hexagrama 2 del paralelo de Clifford (seis vértices girando en cada bucle) y regresan a sus posiciones originales. [da]
^ La longitud de una tira se puede medir en su línea central o cortando la tira de Möbius resultante perpendicularmente a su límite de modo que forme un rectángulo.
^ Una tira de papel puede formar una banda de Möbius aplanada en el plano doblándola en ángulos de modo que su línea central se encuentre a lo largo de un triángulo equilátero y uniendo los extremos. La tira más corta para la que esto es posible consiste en tres triángulos de papel equiláteros, doblados en los bordes donde se unen dos triángulos. Como el bucle atraviesa ambos lados de cada triángulo de papel, es un bucle hexagonal sobre seis triángulos equiláteros. Su relación de aspecto (la relación entre la longitud de la tira [dd] y su ancho) es .
^ Cada conjunto de polígonos de círculo máximo paralelos de Clifford es un haz de fibras diferente del conjunto correspondiente de poligramas isoclínicos [at] paralelos de Clifford , pero los dos haces de fibras juntos constituyen la misma fibración de Hopf discreta , porque enumeran los 24 vértices juntos por su intersección en la misma rotación isoclínica distinta (izquierda o derecha). Son la urdimbre y la trama del mismo tejido que es la fibración.
^ abc La elección de una partición de un 4-politopo regular en anillos de celdas (una fibración) es arbitraria, porque todas sus celdas son idénticas. No se distingue ninguna fibración en particular, a menos que el 4-politopo esté rotando. Cada fibración corresponde a un par de rotaciones isoclínicas izquierda-derecha en un conjunto particular de planos centrales de rotación invariantes paralelos de Clifford. En el 24-celda, distinguir una fibración hexagonal [ak] significa elegir un conjunto disjunto de celdas de cuatro anillos de 6 celdas que es el único contenedor de un par de rotaciones isoclínicas izquierda-derecha en cuatro planos invariantes hexagonales paralelos de Clifford. Las rotaciones izquierda y derecha tienen lugar en subespacios quirales de ese contenedor, [62] pero la fibración y los anillos de celda octaédricos en sí mismos no son objetos quirales. [do]
^ Todos los planos isoclínicos son paralelos de Clifford (completamente disjuntos). [w] Los objetos cocéntricos tridimensionales y cuatridimensionales pueden intersecarse (compartiendo elementos) pero aun así estar relacionados por una rotación isoclínica. Los poliedros y los 4-politopos pueden ser isoclínicos y no disjuntos si todos sus planos correspondientes son paralelos de Clifford, cocelulares (en el mismo hiperplano) o coincidentes (el mismo plano).
^ Por generar queremos decir simplemente que algún vértice del primer politopo visitará cada vértice del politopo generado en el curso de la rotación.
^ Como una llave que acciona una cerradura de cuatro dimensiones, un objeto debe girar en dos cilindros completamente perpendiculares para poder moverse la corta distancia entre los subespacios paralelos de Clifford.
^ Así como cada cara de un poliedro ocupa un plano de cara diferente (bidimensional), cada celda de un policoron ocupa un hiperplano de celda diferente (tridimensional) . [av]
^ ab Hay una elección de planos en los que plegar la columna en un anillo, pero son equivalentes en el sentido de que producen anillos congruentes. Cualquiera que sea el plano de plegado elegido, cada una de las seis hélices une sus dos extremos y forma un hexágono de círculo máximo simple. Estos hexágonos no son hélices: se encuentran en círculos máximos planos ordinarios. Tres de ellos son paralelos de Clifford [af] y pertenecen a una fibración hexagonal. Intersecan a los otros tres, que pertenecen a otra fibración hexagonal. Los tres círculos máximos paralelos de cada fibración se enroscan en espiral uno alrededor del otro en el sentido de que forman un enlace de tres círculos ordinarios, pero no están torcidos: el anillo de 6 celdas no tiene torsión , ni en el sentido de las agujas del reloj ni en el sentido contrario. [do]
^ Cuando los octaedros de aristas unitarias se colocan cara a cara, la distancia entre sus centros de volumen es √ 2/3 ≈ 0,816. [60] Cuando 24 octaedros unidos por las caras se doblan para formar una celda de 24 que se encuentra sobre la 3-esfera, los centros de los octaedros están más cerca entre sí en el espacio cuatridimensional. Dentro del espacio de superficie tridimensional curvado lleno por las 24 celdas, los centros de las celdas todavía están separados por √ 2/3 a lo largo de las geodésicas curvas que las unen. Pero en las cuerdas rectas que las unen, que se sumergen dentro de la 3-esfera, están separados solo por 1/2 de la longitud de la arista.
^ El hexágono axial del anillo de 6 octaedros no interseca ningún vértice ni borde del anillo de 24 celdas, pero sí toca caras. En un anillo de 24 celdas con una longitud de borde unitaria, tiene bordes de longitud 1/2. [dm] Debido a que une seis centros de celdas, el hexágono axial es un gran hexágono del anillo dual de 24 celdas más pequeño que se forma al unir los centros de las 24 celdas. [bi]
^ abcde Solo existe un tipo de anillo de 6 celdas, no dos tipos quirales diferentes (diestro e zurdo), porque los octaedros tienen caras opuestas y forman anillos de celdas sin torsión. Además de dos conjuntos de tres grandes hexágonos paralelos de Clifford [af] , tres geodésicas de hexagramas isoclínicas blancas y negras recorren el anillo de 6 celdas. [ak] Cada uno de estos hexagramas oblicuos quirales se encuentra en un tipo diferente de círculo llamado isoclina , [cy] un círculo helicoidal que serpentea a través de las cuatro dimensiones en lugar de estar en un solo plano. [at] Estos grandes círculos helicoidales ocurren en haces de fibras paralelas de Clifford al igual que los grandes círculos planos ordinarios. En el anillo de 6 celdas, los hexagramas negros y blancos pasan por vértices pares e impares respectivamente, y no pasan por los vértices intermedios, por lo que las isoclinas son disjuntas. [co]
^ Los tres grandes hexágonos son paralelos de Clifford, lo que es diferente del paralelismo ordinario. [af] Los grandes hexágonos paralelos de Clifford pasan uno a través del otro como eslabones adyacentes de una cadena, formando un eslabón de Hopf . A diferencia de los eslabones de una cadena tridimensional, comparten el mismo punto central. En el anillo de 24 celdas, los grandes hexágonos paralelos de Clifford se dan en grupos de cuatro, no de tres. El cuarto hexágono paralelo se encuentra completamente fuera del anillo de 6 celdas; sus 6 vértices están completamente disjuntos de los 18 vértices del anillo.
^ En la columna de 6 celdas octaédricas, numeramos las celdas del 0 al 5 a medida que avanzamos por la columna. También etiquetamos cada vértice con un número entero del 0 al 5 según la longitud de sus aristas en la columna.
^ Una rotación isoclínica por un múltiplo de 60° lleva a los octaedros pares en el anillo a octaedros pares, y a los octaedros impares a octaedros impares. [dq] Es imposible que un octaedro par alcance a un octaedro impar, o viceversa, solo mediante una rotación isoclínica hacia la izquierda o hacia la derecha. [co]
^ Dos planos centrales en los que la trayectoria se curva 60° en el vértice son (a) el plano del gran hexágono al que pertenece la cuerda antes del vértice, y (b) el plano del gran hexágono al que pertenece la cuerda después del vértice. El plano (b) contiene la cuerda isoclina de 120° que une el vértice original con un vértice en el plano del gran hexágono (c), paralelo de Clifford a (a); el vértice se mueve sobre esta cuerda hasta este próximo vértice. El ángulo de inclinación entre los planos del gran hexágono paralelo de Clifford (isoclínico) (a) y (c) también es de 60°. En este intervalo de 60° de la rotación isoclínica, el plano del gran hexágono (a) gira 60° sobre sí mismo y se inclina 60° en un plano ortogonal (no en el plano (b)) para convertirse en el plano del gran hexágono (c). Los tres grandes planos hexagonales (a), (b) y (c) no son ortogonales (están inclinados 60° entre sí), sino que (a) y (b) son dos hexágonos centrales en el mismo cuboctaedro, y (b) y (c) también en un cuboctaedro ortogonal. [q]
^ Cada vértice del anillo de 6 celdas está intersectado por dos hexagramas oblicuos de la misma paridad (negro o blanco) pertenecientes a diferentes fibraciones. [hacer]
^ ab Cada vértice de un anillo de 6 celdas es ignorado por las dos mitades del mismo hexagrama de doble bucle de Möbius, [dv] que se curvan más allá de él en cada lado.
^ abc En cada vértice hay solo un plano de gran hexágono adyacente en el que la isoclina puede doblarse 60 grados: la trayectoria isoclínica es determinista en el sentido de que es lineal, no ramificada, porque cada vértice en el anillo de celdas es un lugar donde solo se cruzan dos de los seis grandes hexágonos contenidos en el anillo de celdas. Si a cada gran hexágono se le dan aristas y cuerdas de un color particular (como en la ilustración del anillo de 6 celdas), podemos nombrar a cada gran hexágono por su color, y a cada tipo de vértice por un nombre de dos colores con guión. El anillo de celdas contiene 18 vértices nombrados por las 9 combinaciones únicas de dos colores; cada vértice y su vértice antípoda tienen los mismos dos colores en su nombre, ya que cuando dos grandes hexágonos se intersecan lo hacen en los vértices antípodas. Cada hexagrama oblicuo isoclínico [ct] contiene un acorde √ 3 de cada color y visita 6 de los 9 pares de colores diferentes de vértices. [dt] Cada anillo de 6 celdas contiene seis de estos hexagramas oblicuos isoclínicos, tres negros y tres blancos. [du]
^ La cuerda √ 3 pasa por el borde medio de uno de los radios √ 1 de la celda 24. Dado que la celda 24 se puede construir, con sus radios largos, a partir de triángulos √ 1 que se encuentran en su centro, [b] este es un borde medio de uno de los seis triángulos √ 1 en un gran hexágono, como se ve en el diagrama de cuerdas.
^ Cada par de aristas adyacentes de un gran hexágono tiene sólo una isoclina que se curva a lo largo de él, [du] faltando el vértice entre las dos aristas (pero no de la manera en que la arista √ 3 del gran triángulo inscrito en el gran hexágono pierde el vértice, [dw] porque la isoclina es un arco en la superficie, no una cuerda). Si numeramos los vértices alrededor del hexágono del 0 al 5, el hexágono tiene tres pares de aristas adyacentes que conectan vértices pares (un gran triángulo inscrito) y tres pares que conectan vértices impares (el otro gran triángulo inscrito). Los pares de aristas pares e impares tienen el arco de una isoclina negra y una blanca respectivamente que se curvan a lo largo. [co] Las tres isoclinas negras y tres blancas pertenecen al mismo anillo de 6 celdas de la misma fibración. [dv]
^ ab Cada isoclina de un hexagrama toca solo un extremo de un eje, a diferencia de un círculo máximo que toca ambos extremos. Los pares paralelos de Clifford de isoclinas blancas y negras del mismo par de rotaciones isoclínicas izquierda-derecha (la misma fibración) no se intersecan, pero tocan vértices opuestos (antípodas) de uno de los 12 ejes de las 24 celdas.
^ Las isoclinas en sí no son izquierdas o derechas, sólo lo son los haces. Cada isoclina es izquierda y derecha. [cl]
^ Los 12 pares de isoclinas de hexagramas en blanco y negro en cada fibración [dy] y las 16 isoclinas de hexagramas distintas en la configuración de 24 celdas forman una configuración de Reye 12 4 16 3 , tal como lo hacen los 12 ejes y 16 hexágonos de la configuración de 24 celdas. Cada uno de los 12 pares de isoclinas de hexagramas en blanco y negro se presenta en un anillo de celdas de cada fibración de 4 isoclinas de hexagramas, y cada anillo de celdas contiene 3 pares de isoclinas de hexagramas en blanco y negro de las 16 isoclinas de hexagramas.
^ ab Al igual que en la de 16 celdas, la isoclina es un octagrama que interseca solo 8 vértices, aunque la de 24 celdas tiene más vértices más juntos que la de 16 celdas. La curva de la isoclina omite los vértices adicionales que se encuentran entre ellos. Al igual que en la de 16 celdas, el primer vértice que interseca está a √ 2 de distancia. La de 24 celdas emplea más isoclinas de octagrama (3 en paralelo en cada rotación) que la de 16 celdas (1 en cada rotación). Las 3 isoclinas helicoidales son paralelas de Clifford; [af] se enroscan una alrededor de la otra en una triple hélice, con los pares de vértices correspondientes de las hélices disjuntas unidos por cuerdas de √ 1 = 60°. La triple hélice de 3 isoclinas contiene 24 aristas disjuntas √2 (6 grandes cuadrados disjuntos) y 24 vértices, y constituye una fibración discreta de las 24 celdas, tal como lo hace el anillo de 4 celdas.
^ ab (Coxeter 1973) utiliza la letra griega 𝝓 (phi) para representar uno de los tres ángulos característicos 𝟀, 𝝓, 𝟁 de un politopo regular. Debido a que 𝝓 se utiliza comúnmente para representar la constante de proporción áurea ≈ 1,618, para la que Coxeter utiliza 𝝉 (tau), invertimos las convenciones de Coxeter y utilizamos 𝝉 para representar el ángulo característico.
^ Para un k -politopo regular, el diagrama de Coxeter-Dynkin del k- ortosquema característico es el diagrama del k -politopo sin el anillo de puntos generadores . El k- politopo regular se subdivide por sus elementos de simetría ( k -1) en g instancias de su k -ortosquema característico que rodean su centro, donde g es el orden del grupo de simetría del k -politopo . [70]
^ Las cuatro aristas de cada 4-ortosquema que se encuentran en el centro del 4-politopo regular tienen una longitud desigual, porque son los cuatro radios característicos del 4-politopo regular: un radio de vértice, un radio de centro de arista, un radio de centro de cara y un radio de centro de celda. Los cinco vértices del 4-ortosquema siempre incluyen un vértice de 4-politopo regular, un centro de arista de 4-politopo regular, un centro de cara de 4-politopo regular, un centro de celda de 4-politopo regular y el centro de 4-politopo regular. Esos cinco vértices (en ese orden) comprenden un camino a lo largo de cuatro aristas mutuamente perpendiculares (que hace tres giros en ángulo recto), la característica característica de un 4-ortosquema. El 4-ortosquema tiene cinco facetas de 3-ortosquema diferentes.
^ La superficie reflectante de un poliedro (tridimensional) consta de caras bidimensionales; la superficie reflectante de un policoro (tetradimensional) consta de celdas tridimensionales.
^ ab Sea Q una rotación, R una reflexión, T una traslación y sea Q q R r T un producto de varias transformaciones de este tipo, todas conmutativas entre sí. Entonces RT es una reflexión de deslizamiento (en dos o tres dimensiones), QR es una reflexión rotatoria, QT es un desplazamiento de tornillo y Q 2 es una rotación doble (en cuatro dimensiones). Toda transformación ortogonal se puede expresar como Q q R r
donde 2 q + r ≤ n , el número de dimensiones. Las transformaciones que implican una traslación se pueden expresar como Q q R r T donde 2 q + r + 1 ≤ n . Para n = 4 en particular, todo desplazamiento es una rotación doble Q 2 o un desplazamiento de tornillo QT (donde el componente de rotación Q es una rotación simple). Toda transformación enantiomorfa en el espacio 4 (quiralidad inversa) es una QRT. [73]
^ Los planos izquierdos son paralelos a Clifford y los planos derechos son paralelos a Clifford; cada conjunto de planos es una fibración. Cada plano izquierdo es paralelo a Clifford con respecto a su plano derecho correspondiente en una rotación isoclínica, [cd] pero los dos conjuntos de planos no son todos mutuamente paralelos a Clifford; son fibraciones diferentes, excepto en las filas de la tabla donde los planos izquierdo y derecho son el mismo conjunto.
^ ab Los conjuntos de planos y no son disjuntos; la unión de dos cualesquiera de estos cuatro conjuntos es un conjunto de 6 planos. La rotación isoclínica hacia la izquierda (en comparación con la derecha) de cada una de estas clases de rotación (filas de la tabla) visita una secuencia circular izquierda (en comparación con la derecha) distinta del mismo conjunto de 6 planos paralelos de Clifford.
^ abcdefgh Un grupo de cuaterniones corresponde a un conjunto distinto de polígonos circulares máximos paralelos de Clifford, p. ej. corresponde a un conjunto de cuatro hexágonos máximos disjuntos. [r] Nótese que y generalmente son conjuntos distintos. Los vértices correspondientes de los planos y los planos están separados 180°. [aw]
^ ab Una coordenada cartesiana de cuaternión designa un vértice unido a un vértice superior por una instancia de una cuerda distinta. El vértice superior convencional de un politopo de radio unitario de 4 en orientación estándar (vértice hacia arriba) es , el "polo norte" cartesiano. Por lo tanto, eg designa una cuerda √ 1 de 60° de longitud de arco. Cada una de estas cuerdas distintas es un borde de un polígono de círculo máximo distinto, en este ejemplo un hexágono máximo, que interseca los polos norte y sur. Los polígonos de círculo máximo se dan en conjuntos de planos centrales paralelos de Clifford, cada conjunto de círculos máximos disjuntos comprende una fibración de Hopf discreta que interseca cada vértice solo una vez. Un polígono de círculo máximo en cada conjunto interseca los polos norte y sur. Esta coordenada de cuaternión es, por tanto, representativa de los 4 grandes hexágonos disjuntos representados, un grupo de cuaterniones [ek] que comprende una fibración distinta de los [16] grandes hexágonos (cuatro fibraciones de grandes hexágonos) que aparecen en las 24 celdas. [r]
^ abc En una rotación isoclínica, todos los planos izquierdos se mueven juntos, permanecen paralelos a Clifford mientras se mueven y llevan todos sus puntos con ellos a los planos derechos mientras se mueven: son planos invariantes. [cd] Debido a que el conjunto izquierdo (y derecho) de polígonos centrales son una fibración que cubre todos los vértices, cada vértice es un punto transportado en un plano invariante.
^ Cada clase de desplazamientos rotacionales (cada fila de la tabla) corresponde a una rotación isoclínica izquierda (y derecha) rígida distinta en múltiples planos invariantes simultáneamente. [em] La isoclina es el camino seguido por un vértice, [db] que es un círculo geodésico helicoidal que no se encuentra en ningún plano central. Cada desplazamiento rotacional lleva un plano izquierdo invariante al plano derecho invariante correspondiente , y todos los desplazamientos izquierdos (o derechos) tienen lugar simultáneamente. [cd] Cada plano izquierdo está separado del plano derecho correspondiente por dos ángulos iguales, [aw] cada uno igual a la mitad del arco-ángulo por el que se desplaza cada vértice (el ángulo y la distancia que aparecen en la columna de clase Rotación ).
^Each hexagon rides on only three skew hexagram isoclines, not six, because opposite vertices of each hexagon ride on opposing rails of the same Clifford hexagram, in the same (not opposite) rotational direction.[cl]
^ a bIn this orthogonal projection of the 24-point 24-cell to a {12/4}=4{3} dodecagram, each point represents two vertices, and each line represents multiple √3 chords. Each disjoint triangle can be seen as a skew {6/2} hexagram with √3 edges: two open skew triangles with their opposite ends connected in a Möbius loop with a circumference of 4𝝅. The hexagram projects to a single triangle in two dimensions because it skews through all four dimensions. Those 4 disjoint skew hexagram isoclines are the Clifford parallel circular vertex paths of the fibration's characteristic left (and right) isoclinic rotation.[at] The 4 Clifford parallel great hexagons of the fibration[r] are invariant planes of this rotation. The great hexagons rotate in incremental displacements of 60° like wheels and 60° orthogonally like coins flipping, displacing each vertex by 120°, as their vertices move along parallel helical isocline paths through successive Clifford parallel hexagon planes.[eo] Alternatively, the 4 triangles can be seen as 8 disjoint triangles: 4 pairs of Clifford parallel great triangles, where two opposing great triangles lie in the same great hexagon central plane, so a fibration of 4 Clifford parallel great hexagon planes is represented.[r] This illustrates that the 4 hexagram isoclines also correspond to a distinct fibration, in fact the same fibration as 4 great hexagons.
^The isoclinic rotation in great hexagon invariant planes takes each vertex to a vertex two vertices away (120° = √3 away), without passing through any intervening vertices. Each left hexagon rotates 60° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 60° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right hexagon plane. Repeated 6 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^ a bIn this orthogonal projection of the 24-point 24-cell to a {12/4}=4{3} dodecagram, each point represents two vertices, and each line represents multiple √3 chords. The 4 triangles can be seen as 8 disjoint triangles: 4 pairs of Clifford parallel great triangles, where two opposing great triangles lie in the same great hexagon central plane, so a fibration of 4 Clifford parallel great hexagon planes is represented, as in the 4 left planes of this rotation class (table row).[r]
^Each hexagon rides on only two parallel dodecagon isoclines, not six, because only alternate vertices of each hexagon ride on different dodecagon rails; the three vertices of each great triangle inscribed in the great hexagon occupy the same dodecagon Petrie polygon, four vertices apart, and they circulate on that isocline.[cl]
^ a b cIn this orthogonal projection of the 24-point 24-cell to a {12/2}=2{6} dodecagram, each point represents two vertices, and each line represents multiple 24-cell edges. Each disjoint hexagon can be seen as a skew {12} dodecagon, a Petrie polygon of the 24-cell, by viewing it as two open skew hexagons with their opposite ends connected in a Möbius loop with a circumference of 4𝝅. The dodecagon projects to a single hexagon in two dimensions because it skews through all four dimensions. Those 2 disjoint skew dodecagons are the Clifford parallel circular vertex paths of the fibration's characteristic left (and right) isoclinic rotation.[at] The 4 Clifford parallel great hexagons of the fibration[r] are invariant planes of this rotation. The great hexagons rotate in incremental displacements of 30° like wheels and 30° orthogonally like coins flipping, displacing each vertex by 60°, as their vertices move along parallel helical isocline paths through successive Clifford parallel hexagon planes.[es] Alternatively, the 2 hexagons can be seen as 4 disjoint hexagons: 2 pairs of Clifford parallel great hexagons, so a fibration of 4 Clifford parallel great hexagon planes is represented.[r] This illustrates that the 2 dodecagon isoclines also correspond to a distinct fibration, in fact the same fibration as 4 great hexagons.
^At the mid-point of the isocline arc (30° away) it passes directly over the mid-point of a 24-cell edge.
^The isoclinic rotation in great hexagon invariant planes takes each vertex to a vertex one vertex away (60° = √1 away), without passing through any intervening vertices.[eu] Each left hexagon rotates 30° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 30° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right hexagon plane. Repeated 12 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^The isoclinic rotation in great hexagon invariant planes takes each vertex through a 360° rotation and back to itself (360° = √0 away), without passing through any intervening vertices. Each left hexagon rotates 180° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 180° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right hexagon plane. Repeated 2 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^The isoclinic rotation in hexagon invariant planes takes each vertex to a vertex three vertices away (180° = √4 away),[ek] without passing through any intervening vertices. Each left hexagon rotates 90° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 90° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right hexagon plane. Repeated 4 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^The edges and 4𝝅 characteristic rotations of the 16-cell lie in the great square central planes. Rotations of this type are an expression of the symmetry group. The edges and 4𝝅 characteristic rotations of the 24-cell lie in the great hexagon (great triangle) central planes. Rotations of this type are an expression of the symmetry group.
^Two great circle polygons either intersect in a common axis, or they are Clifford parallel (isoclinic) and share no vertices.[aw] Three great squares and four great hexagons intersect at each 24-cell vertex. Each great hexagon intersects 9 distinct great squares, 3 in each of its 3 axes, and lies Clifford parallel to the other 9 great squares. Each great square intersects 8 distinct great hexagons, 4 in each of its 2 axes, and lies Clifford parallel to the other 8 great hexagons.
^ a b cThis hybrid isoclinic rotation carries the two kinds of central planes to each other: great square planes characteristic of the 16-cell and great hexagon (great triangle) planes characteristic of the 24-cell.[ey] This is possible because some great hexagon planes lie Clifford parallel to some great square planes.[ez]
^The isoclinic rotation in great hexagon invariant planes takes each vertex to a vertex one vertex away (60° = √1 away), without passing through any intervening vertices. Each left hexagon rotates 30° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 30° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right square plane.[fa] Repeated 12 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^The 24-cell has 18 great squares, in 3 disjoint sets of 6 mutually orthogonal great squares comprising a 16-cell.[x] Within each 16-cell are 3 sets of 2 completely orthogonal great squares, so each great square is disjoint not only from all the great squares in the other two 16-cells, but also from one other great square in the same 16-cell. Each great square is disjoint from 13 others, and shares two vertices (an axis) with 4 others (in the same 16-cell).
^Because in the 24-cell each great square is completely orthogonal to another great square, the quaternion groups and (for example) correspond to the same set of great square planes. That distinct set of 6 disjoint great squares has two names, used in the left (or right) rotational context, because it constitutes both a left and a right fibration of great squares.
^The isoclinic rotation in hexagon invariant planes takes each vertex to a vertex two vertices away (120° = √3 away), without passing through any intervening vertices. Each left hexagon rotates 60° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 60° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right square plane.[fa] Repeated 6 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^The isoclinic rotation in great square invariant planes takes each vertex through a 360° rotation and back to itself (360° = √0 away), without passing through any intervening vertices. Each left square rotates 180° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 180° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right square plane. Repeated 2 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^A quaternion Cartesian coordinate designates a vertex joined to a top vertex by one instance of a distinct chord. The conventional top vertex of a unit radius 4-polytope in cell-first orientation is . Thus e.g. designates a √2 chord of 90° arc-length. Each such distinct chord is an edge of a distinct great circle polygon, in this example a great square, intersecting the top vertex. Great circle polygons occur in sets of Clifford parallel central planes, each set of disjoint great circles comprising a discrete Hopf fibration that intersects every vertex just once. One great circle polygon in each set intersects the top vertex. This quaternion coordinate is thus representative of the 6 disjoint great squares pictured, a quaternion group[ek] which comprise one distinct fibration of the [18] great squares (three fibrations of great squares) that occur in the 24-cell.[j]
^The representative coordinate is not a vertex of the unit-radius 24-cell in standard (vertex-up) orientation, it is the center of an octahedral cell. Some of the 24-cell's lines of symmetry (Coxeter's "reflecting circles") run through cell centers rather than through vertices, and quaternion group corresponds to a set of those. However, also corresponds to the set of great squares pictured, which lie orthogonal to those cells (completely disjoint from the cell).[fg]
^The isoclinic rotation in great square invariant planes takes each vertex to a vertex 180° = √4 away,[ek] without passing through any intervening vertices. Each left square rotates 90° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 90° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right square, which in this rotation is the completely orthogonal plane. Repeated 4 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^Icositetragon {24/9}=3{8/3} is a compound of three octagrams {8/3}, as the 24-cell is a compound of three 16-cells.This orthogonal projection of a 24-cell to a 24-gram {24/9}=3{8/3} exhibits 3 disjoint octagram {8/3} isoclines of a 16-cell, each of which is a circular isocline path through the 8 vertices of one of the 3 disjoint 16-cells inscribed in the 24-cell.
^In this orthogonal projection of the 24-point 24-cell to a {12/3}=3{4} dodecagram, each point represents two vertices, and each line represents multiple √2 chords. Each disjoint square can be seen as a skew {8/3} octagram with √2 edges: two open skew squares with their opposite ends connected in a Möbius loop with a circumference of 4𝝅, visible in the {24/9}=3{8/3} orthogonal projection.[fj] The octagram projects to a single square in two dimensions because it skews through all four dimensions. Those 3 disjoint skew octagram isoclines are the circular vertex paths characteristic of an isoclinic rotation in great square planes, in which the 6 Clifford parallel great squares are invariant rotation planes. The great squares rotate 90° like wheels and 90° orthogonally like coins flipping, displacing each vertex by 180°, so each vertex exchanges places with its antipodal vertex. Each octagram isocline circles through the 8 vertices of a disjoint 16-cell. Alternatively, the 3 squares can be seen as a fibration of 6 Clifford parallel squares.[j] This illustrates that the 3 octagram isoclines also correspond to a distinct fibration, in fact the same fibration as 6 squares.
^At the mid-point of the isocline arc (45° away) it passes directly over the mid-point of a 24-cell edge.
^The isoclinic rotation in great square invariant planes takes each vertex to a vertex 90° = √2 away, without passing through any intervening vertices.[fl] Each left square rotates 45° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 45° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right square plane. Repeated 8 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^The isoclinic rotation in great square invariant planes takes each vertex through a 360° rotation and back to itself (360° = √0 away), without passing through any intervening vertices. Each left square rotates 180° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 180° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right square plane. Repeated 2 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^The isoclinic rotation in great hexagon invariant planes takes each vertex to a vertex one vertex away (60° = √1 away), without passing through any intervening vertices. Each left square rotates 30° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 30° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right hexagon plane.[fa] Repeated 12 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^The isoclinic rotation in great square invariant planes takes each vertex to a vertex 180° = √4 away,[ek] without passing through any intervening vertices. Each left square rotates 90° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 90° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right square plane, which in this rotation is the completely orthogonal plane. Repeated 4 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^At the mid-point of the isocline arc (45° away) it passes directly over the mid-point of a 24-cell edge.
^The isoclinic rotation in great digon invariant planes takes each vertex to a vertex 90° = √2 away, without passing through any intervening vertices.[fq] Each left digon rotates 45° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 45° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right digon plane. Repeated 8 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^The rotation is the identity operation of the 24-cell, in which no points move.
^The rotation is the central inversion of the 24-cell. This isoclinic rotation in great digon invariant planes takes each vertex to a vertex 180° = √4 away,[ek] without passing through any intervening vertices. Each left digon rotates 90° (like a wheel) at the same time that it tilts sideways by 90° (in an orthogonal central plane) into its corresponding right digon plane, which in this rotation is the completely orthogonal plane. Repeated 4 times, this rotational displacement turns the 24-cell through 720° and returns it to its original orientation.
^A right rotation is performed by rotating the left and right planes in the "same" direction, and a left rotation is performed by rotating left and right planes in "opposite" directions, according to the right hand rule by which we conventionally say which way is "up" on each of the 4 coordinate axes. Left and right rotations are chiral enantiomorphous shapes (like a pair of shoes), not opposite rotational directions. Both left and right rotations can be performed in either the positive or negative rotational direction (from left planes to right planes, or right planes to left planes), but that is an additional distinction.[cf]
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^Kim & Rote 2016, p. 7, §6 Angles between two Planes in 4-Space; "In four (and higher) dimensions, we need two angles to fix the relative position between two planes. (More generally, k angles are defined between k-dimensional subspaces.)".
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^Coxeter 1973, p. 304, Table VI(iv) II={5,3,3}: Faceting {5,3,3}[120𝛼4]{3,3,5} of the 120-cell reveals 120 regular 5-cells.
^Egan 2021, animation of a rotating 24-cell: red half-integer vertices (tesseract), yellow and black integer vertices (16-cell).
^ a b cCoxeter 1973, p. 150, Gosset.
^Coxeter 1973, p. 148, §8.2. Cesaro's construction for {3, 4, 3}..
^Coxeter 1973, p. 302, Table VI(ii) II={3,4,3}, Result column.
^Coxeter 1973, pp. 149–150, §8.22. see illustrations Fig. 8.2A and Fig 8.2B
^Coxeter 1995, p. 29, (Paper 3) Two aspects of the regular 24-cell in four dimensions; "The common content of the 4-cube and the 16-cell is a smaller {3,4,3} whose vertices are the permutations of [(±1/2, ±1/2, 0, 0)]".
^Coxeter 1973, p. 147, §8.1 The simple truncations of the general regular polytope; "At a point of contact, [elements of a regular polytope and elements of its dual in which it is inscribed in some manner] lie in completely orthogonal subspaces of the tangent hyperplane to the sphere [of reciprocation], so their only common point is the point of contact itself....[i] In fact, the [various] radii 0𝑹, 1𝑹, 2𝑹, ... determine the polytopes ... whose vertices are the centers of elements 𝐈𝐈0, 𝐈𝐈1, 𝐈𝐈2, ... of the original polytope."
^ a bKepler 1619, p. 181.
^van Ittersum 2020, pp. 73–79, §4.2.
^Coxeter 1973, p. 269, §14.32. "For instance, in the case of ...."
^van Ittersum 2020, p. 79.
^Coxeter 1973, p. 150: "Thus the 24 cells of the {3, 4, 3} are dipyramids based on the 24 squares of the . (Their centres are the mid-points of the 24 edges of the .)"
^Coxeter 1973, p. 12, §1.8. Configurations.
^Coxeter 1973, p. 120, §7.2.: "... any n+1 points which do not lie in an (n-1)-space are the vertices of an n-dimensional simplex.... Thus the general simplex may alternatively be defined as a finite region of n-space enclosed by n+1 hyperplanes or (n-1)-spaces."
^van Ittersum 2020, p. 78, §4.2.5.
^Stillwell 2001, p. 18-21.
^Egan 2021; quaternions, the binary tetrahedral group and the binary octahedral group, with rotating illustrations.
^Stillwell 2001, p. 22.
^Koca, Al-Ajmi & Koc 2007.
^Coxeter 1973, p. 163: Coxeter notes that Thorold Gosset was apparently the first to see that the cells of the 24-cell honeycomb {3,4,3,3} are concentric with alternate cells of the tesseractic honeycomb {4,3,3,4}, and that this observation enabled Gosset's method of construction of the complete set of regular polytopes and honeycombs.
^ a bCoxeter 1973, p. 156: "...the chess-board has an n-dimensional analogue."
^Mamone, Pileio & Levitt 2010, pp. 1438–1439, §4.5 Regular Convex 4-Polytopes; the 24-cell has 1152 symmetry operations (rotations and reflections) as enumerated in Table 2, symmetry group 𝐹4.
^Coxeter 1973, p. 119, §7.1. Dimensional Analogy: "For instance, seeing that the circumference of a circle is 2π r, while the surface of a sphere is 4π r 2, ... it is unlikely that the use of analogy, unaided by computation, would ever lead us to the correct expression [for the hyper-surface of a hyper-sphere], 2π2r3."
^Kim & Rote 2016, p. 6, §5. Four-Dimensional Rotations.
^Perez-Gracia & Thomas 2017, §7. Conclusions; "Rotations in three dimensions are determined by a rotation axis and the rotation angle about it, where the rotation axis is perpendicular to the plane in which points are being rotated. The situation in four dimensions is more complicated. In this case, rotations are determined by two orthogonal planes and two angles, one for each plane. Cayley proved that a general 4D rotation can always be decomposed into two 4D rotations, each of them being determined by two equal rotation angles up to a sign change."
^Perez-Gracia & Thomas 2017.
^Perez-Gracia & Thomas 2017, pp. 12−13, §5. A useful mapping.
^Coxeter 1995, pp. 30–32, (Paper 3) Two aspects of the regular 24-cell in four dimensions; §3. The Dodecagonal Aspect;[cg] Coxeter considers the 150°/30° double rotation of period 12 which locates 12 of the 225 distinct 24-cells inscribed in the 120-cell, a regular 4-polytope with 120 dodecahedral cells that is the convex hull of the compound of 25 disjoint 24-cells.
^Perez-Gracia & Thomas 2017, pp. 2−3, §2. Isoclinic rotations.
^Kim & Rote 2016, pp. 7–10, §6. Angles between two Planes in 4-Space.
^Coxeter 1973, p. 141, §7.x. Historical remarks; "Möbius realized, as early as 1827, that a four-dimensional rotation would be required to bring two enantiomorphous solids into coincidence. This idea was neatly deployed by H. G. Wells in The Plattner Story."
^Feynman & Weinberg 1987, The reason for antiparticles.
^Mebius 2015, pp. 2–3, Motivation; "This research originated from ... the desire to construct a computer implementation of a specific motion of the human arm, known among folk dance experts as the Philippine wine dance or Binasuan and performed by physicist Richard P. Feynman during his Dirac memorial lecture 1986[53] to show that a single rotation (2𝝅) is not equivalent in all respects to no rotation at all, whereas a double rotation (4𝝅) is."
^Dorst 2019, p. 44, §1. Villarceau Circles; "In mathematics, the path that the (1, 1) knot on the torus traces is also known as a Villarceau circle. Villarceau circles are usually introduced as two intersecting circles that are the cross-section of a torus by a well-chosen plane cutting it. Picking one such circle and rotating it around the torus axis, the resulting family of circles can be used to rule the torus. By nesting tori smartly, the collection of all such circles then form a Hopf fibration.... we prefer to consider the Villarceau circle as the (1, 1) torus knot rather than as a planar cut."
^Kim & Rote 2016, pp. 8–9, Relations to Clifford parallelism.
^Kim & Rote 2016, p. 8, Left and Right Pairs of Isoclinic Planes.
^Tyrrell & Semple 1971, pp. 1–9, §1. Introduction.
^Tyrrell & Semple 1971, pp. 20–33, Clifford Parallel Spaces and Clifford Reguli.
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^Kim & Rote 2016, pp. 14–16, §8.3 Properties of the Hopf Fibration; Corollary 9. Every great circle belongs to a unique right [(and left)] Hopf bundle.
^Kim & Rote 2016, p. 12, §8 The Construction of Hopf Fibrations; 3.
^Tyrrell & Semple 1971, pp. 34–57, Linear Systems of Clifford Parallels.
^Coxeter 1973, pp. 292–293, Table I(ii); 24-cell h1 is {12}, h2 is {12/5}.
^Coxeter 1973, pp. 292–293, Table I(ii); 24-cell Petrie polygon h1 is {12}.
^Coxeter 1973, pp. 292–293, Table I(ii); 24-cell Petrie polygon orthogonal h2 is {12/5}, half of {24/5} as each Petrie polygon is half the 24-cell.
^Coxeter 1973, pp. 292–293, Table I(ii); "24-cell".
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^Coxeter 1973, pp. 33–38, §3.1 Congruent transformations.
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^Coxeter 1973, p. 138; "We allow the Schläfli symbol {p,..., v} to have three different meanings: a Euclidean polytope, a spherical polytope, and a spherical honeycomb. This need not cause any confusion, so long as the situation is frankly recognized. The differences are clearly seen in the concept of dihedral angle."
^Coxeter 1970, p. 18, §8. The simplex, cube, cross-polytope and 24-cell; Coxeter studied cell rings in the general case of their geometry and group theory, identifying each cell ring as a polytope in its own right which fills a three-dimensional manifold (such as the 3-sphere) with its corresponding honeycomb. He found that cell rings follow Petrie polygons[cg] and some (but not all) cell rings and their honeycombs are twisted, occurring in left- and right-handed chiral forms. Specifically, he found that since the 24-cell's octahedral cells have opposing faces, the cell rings in the 24-cell are of the non-chiral (directly congruent) kind.[do] Each of the 24-cell's cell rings has its corresponding honeycomb in Euclidean (rather than hyperbolic) space, so the 24-cell tiles 4-dimensional Euclidean space by translation to form the 24-cell honeycomb.
^Banchoff 2013, studied the decomposition of regular 4-polytopes into honeycombs of tori tiling the Clifford torus, showed how the honeycombs correspond to Hopf fibrations, and made a particular study of the 24-cell's 4 rings of 6 octahedral cells with illustrations.
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External links
24-cell animations
24-cell in stereographic projections
24-cell description and diagrams Archived 2007-07-15 at the Wayback Machine
Petrie dodecagons in the 24-cell: mathematics and animation software
o
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![{\displaystyle [16]R_{q7,q1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d24c32c1cbc71058e7641ea96c69e98007561df)
![{\displaystyle [16]R_{q7,-q1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f88d38fb45fb9aef8062cde605b83186924cd8)
![{\displaystyle [36]R_{q6,q6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a314e52d3680d2dc1dc28729f1ff0dbbf052b885)
![{\displaystyle [36]R_{q6,-q6}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ebb3a857917b540fe0c670009be886efe59caa)
![{\displaystyle [144]R_{q6,-q4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5b13de83f9b8da9b3751c83873524f5eb6d267)
![{\displaystyle [72]R_{q4,q4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/306d2b2366566140b924e18d4538c03a27a3db95)
![{\displaystyle [96]R_{q2,q7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a9526fab41f1ec7f186656fc326a4437467f564)
![{\displaystyle [18]R_{q2,-q2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0ba6f25fdb101b789fc5799477ca895d33cfe98)
![{\displaystyle [12]R_{q2,q1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a697458f87b1290700d8ce01919f215dc0b038ea)
![{\displaystyle [1]R_{q1,q1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b5c23335f59d47afb2203de0dd0057e5195b2b0)
![{\displaystyle [1]R_{q1,-q1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b4bd1b012a0bed1d34937533f1cc8a6bf4afb73)
![{\displaystyle \gamma _{4}[2\beta _{4}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fed6d31ffad37e44fd0966bb3f883b38a4fb178c)
