En geometría , un dodecágono , o 12 gonos , es cualquier polígono de doce lados .
Un dodecágono regular es una figura con lados de la misma longitud y ángulos internos del mismo tamaño. Tiene doce líneas de simetría reflectante y simetría rotacional de orden 12. Un dodecágono regular está representado por el símbolo de Schläfli {12} y puede construirse como un hexágono truncado , t{6}, o un triángulo dos veces truncado , tt{3 }. El ángulo interno en cada vértice de un dodecágono regular es de 150°.
El área de un dodecágono regular de lado a está dada por:
Y en términos de la apotema r (ver también la figura inscrita ), el área es:
En términos del circunradio R , el área es: [1]
El lapso S del dodecágono es la distancia entre dos lados paralelos y es igual al doble de la apotema. Una fórmula simple para el área (dada la longitud del lado y la luz) es:
Esto se puede verificar con la relación trigonométrica:
El perímetro de un dodecágono regular en términos de circunradio es: [2]
El perímetro en términos de apotema es:
Este coeficiente es el doble del coeficiente encontrado en la ecuación de la apotema para el área. [3]
Como 12 = 2 2 × 3, el dodecágono regular se puede construir usando la construcción con compás y regla :
Coxeter afirma que cada zonogon (un gon de 2 m cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en m ( m -1)/2 paralelogramos. [4] En particular, esto es cierto para los polígonos regulares con el mismo número de lados, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el dodecágono regular , m =6, y se puede dividir en 15: 3 cuadrados, 6 rombos anchos de 30° y 6 rombos angostos de 15°. Esta descomposición se basa en una proyección de un polígono de Petrie de un cubo de 6 , con 15 de 240 caras. La secuencia OEIS A006245 define el número de soluciones como 908, incluidas rotaciones de hasta 12 veces y formas quirales en reflexión.
Una de las formas en que se utilizan los bloques de patrones de manipulación matemática es para crear varios dodecágonos diferentes. [5] Están relacionadas con las disecciones rómbicas, con 3 rombos de 60° fusionados en hexágonos, trapecios de medio hexágono o divididos en 2 triángulos equiláteros.
El dodecágono regular tiene simetría Dih 12 , orden 24. Hay 15 simetrías cíclicas y diédricas de subgrupos distintos. Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Sólo el subgrupo g12 no tiene grados de libertad pero puede verse como aristas dirigidas .
Un dodecágono regular puede llenar un vértice plano con otros polígonos regulares de 4 maneras:
Aquí hay 3 ejemplos de mosaicos de planos periódicos que utilizan dodecágonos regulares, definidos por su configuración de vértice :
Un dodecágono sesgado es un polígono sesgado con 12 vértices y aristas pero que no existe en el mismo plano. El interior de tal dodecágono generalmente no está definido. Un dodecágono en zig-zag sesgado tiene vértices que se alternan entre dos planos paralelos.
Un dodecágono sesgado regular es transitivo por vértice con longitudes de borde iguales. En 3 dimensiones será un dodecágono oblicuo en zigzag y se puede ver en los vértices y bordes laterales de un antiprisma hexagonal con la misma simetría D 5d , [2 + ,10], orden 20. El antiprisma dodecagrámico, s{ 2,24/5} y el antiprisma cruzado dodecagrámico, s{2,24/7} también tienen dodecágonos sesgados regulares.
El dodecágono regular es el polígono de Petrie para muchos politopos de dimensiones superiores, visto como proyecciones ortogonales en planos de Coxeter . Ejemplos en 4 dimensiones son el duoprisma de 24 celdas , el desaire de 24 celdas , el duoprisma de 6-6 y la duopirámide de 6-6 . En 6 dimensiones 6 cubos , 6 ortoplex , 2 21 , 1 22 . También es el polígono de Petrie para el gran 120 celdas y el gran estrellado de 120 celdas .
Un dodecagrama es un polígono estrella de 12 lados, representado por el símbolo {12/n}. Hay un polígono de estrella regular : {12/5}, que usa los mismos vértices, pero conecta cada cinco puntos. También hay tres compuestos: {12/2} se reduce a 2{6} como dos hexágonos , y {12/3} se reduce a 3{4} como tres cuadrados , {12/4} se reduce a 4{3 } como cuatro triángulos, y {12/6} se reduce a 6{2} como seis digones degenerados .
Los truncamientos más profundos del dodecágono y los dodecagramas regulares pueden producir formas de polígonos de estrella intermedias isogonales ( transitivas de vértice ) con vértices espaciados iguales y dos longitudes de aristas. Un hexágono truncado es un dodecágono, t{6}={12}. Un hexágono cuasitruncado, invertido como {6/5}, es un dodecagrama: t{6/5}={12/5}. [7]
En mayúsculas , las letras E , H y X (y I en una fuente slab serif ) tienen contornos dodecagonales. Una cruz es un dodecágono, al igual que el logotipo de la división de automóviles Chevrolet .
El dodecágono regular ocupa un lugar destacado en muchos edificios. La Torre del Oro es una torre de vigilancia militar dodecagonal en Sevilla , sur de España , construida por la dinastía almohade . La iglesia de la Vera Cruz de principios del siglo XIII en Segovia , España, es dodecagonal. Otro ejemplo es la Porta di Venere (Puerta de Venus), en Spello , Italia , construida en el siglo I a.C. tiene dos torres dodecagonales, llamadas "Torres de Propercio".
Las monedas dodecagonales regulares incluyen:
