Matemáticas indias

Development of mathematics in South Asia

Las matemáticas indias surgieron en el subcontinente indio ^[1] desde el año 1200 a. C. ^[2] hasta finales del siglo XVIII. En el período clásico de las matemáticas indias (400 d. C. a 1200 d. C.), eruditos como Aryabhata , Brahmagupta , Bhaskara II , Varāhamihira y Madhava hicieron contribuciones importantes . El sistema de numeración decimal que se usa hoy en día ^[3] se registró por primera vez en las matemáticas indias. ^[4] Los matemáticos indios hicieron contribuciones tempranas al estudio del concepto de cero como número, ^[5] los números negativos , ^[6] la aritmética y el álgebra . ^[7] Además, la trigonometría ^[8] avanzó aún más en la India y, en particular, allí se desarrollaron las definiciones modernas de seno y coseno . ^[9] Estos conceptos matemáticos se transmitieron a Oriente Medio, China y Europa ^[7] y dieron lugar a desarrollos posteriores que ahora forman las bases de muchas áreas de las matemáticas.

Las obras matemáticas indias antiguas y medievales, todas compuestas en sánscrito , generalmente consistían en una sección de sutras en la que se enunciaban un conjunto de reglas o problemas con gran economía en verso para facilitar la memorización por parte del estudiante. A esto le seguía una segunda sección que consistía en un comentario en prosa (a veces múltiples comentarios de diferentes eruditos) que explicaba el problema con más detalle y justificaba la solución. En la sección en prosa, la forma (y por lo tanto su memorización) no se consideraba tan importante como las ideas involucradas. ^{[1] [10]} Todas las obras matemáticas se transmitieron oralmente hasta aproximadamente el año 500 a. C.; a partir de entonces, se transmitieron tanto oralmente como en forma manuscrita. El documento matemático existente más antiguo producido en el subcontinente indio es el Manuscrito Bakhshali de corteza de abedul , descubierto en 1881 en el pueblo de Bakhshali , cerca de Peshawar (actual Pakistán ) y probablemente sea del siglo VII d. C. ^{[11] [12]}

Un hito posterior en las matemáticas indias fue el desarrollo de las expansiones en serie para funciones trigonométricas (seno, coseno y arcotangente ) por parte de los matemáticos de la escuela de Kerala en el siglo XV d. C. Su trabajo, completado dos siglos antes de la invención del cálculo en Europa, proporcionó lo que ahora se considera el primer ejemplo de una serie de potencias (aparte de las series geométricas). ^[13] Sin embargo, no formularon una teoría sistemática de la diferenciación y la integración , ni hay evidencia directa de que sus resultados se transmitieran fuera de Kerala . ^{[14] [15] [16] [17]}

Prehistoria

Pesos cúbicos estandarizados en la civilización del valle del Indo

Las excavaciones en Harappa , Mohenjo-Daro y otros sitios de la civilización del valle del Indo han descubierto evidencia del uso de "matemáticas prácticas". La gente de la civilización del valle del Indo fabricaba ladrillos cuyas dimensiones estaban en la proporción 4:2:1, considerada favorable para la estabilidad de una estructura de ladrillo. Utilizaban un sistema estandarizado de pesos basado en las proporciones: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 y 500, con un peso unitario equivalente a aproximadamente 28 gramos (y aproximadamente igual a la onza inglesa o uncia griega). Producían en masa pesas en formas geométricas regulares, que incluían hexaedros , barriles , conos y cilindros , demostrando así el conocimiento de la geometría básica . ^[18]

Los habitantes de la civilización del Indo también intentaron estandarizar la medición de longitud con un alto grado de precisión. Diseñaron una regla, la regla Mohenjo-Daro , cuya unidad de longitud (aproximadamente 1,32 pulgadas o 3,4 centímetros) se dividía en diez partes iguales. Los ladrillos fabricados en la antigua Mohenjo-Daro solían tener dimensiones que eran múltiplos enteros de esta unidad de longitud. ^{[19] [20]}

Se ha demostrado que los objetos cilíndricos huecos hechos de concha y encontrados en Lothal (2200 a. C.) y Dholavira tienen la capacidad de medir ángulos en un plano, así como de determinar la posición de las estrellas para la navegación. ^[21]

Período védico

Samhitas y Brahmanas

Los textos religiosos del Período Védico proporcionan evidencia del uso de grandes números . En la época de Yajurvedasaṃhitā (1200–900 a. C.), se incluían en los textos números tan altos como 10 ^{12. [2]} Por ejemplo, el mantra (recitación sagrada) al final del annahoma ("rito de oblación de alimentos") realizado durante el aśvamedha , y pronunciado justo antes, durante y justo después del amanecer, invoca potencias de diez desde cien hasta un billón: ^[2]

Salve a śata ("cien", 10 ² ), salve a sahasra ("mil", 10 ³ ), salve a ayuta ("diez mil", 10 ⁴ ), salve a niyuta ("cien mil", 10 ⁵ ), salve a prayuta ("millón", 10 ⁶ ), salve a arbuda ("diez millones", 10 ⁷ ), salve a nyarbuda ("cien millones", 10 ⁸ ), salve a samudra ("mil millones", 10 ⁹ , literalmente "océano"), salve a madhya ("diez mil millones", 10 ¹⁰ , literalmente "medio"), salve a anta ("cien mil millones", 10 ¹¹ , lit., "fin"), salve a parārdha ("un billón", 10 ¹² lit., "más allá de las partes"), salve a los uṣas (amanecer), salve al vyuṣṭi (crepúsculo), salve a udeṣyat (el que va a levantarse), salve a udyat (el que está levantando), salve udita (al que acaba de levantarse), salve a svarga (el cielo), salve a martya (el mundo), salve a todos. ^[2]

La solución a la fracción parcial era conocida por el pueblo Rigvédico como se afirma en el purush Sukta (RV 10.90.4):

Con tres cuartas partes Puruṣa subió: una cuarta parte de él nuevamente estaba aquí.

El Satapatha Brahmana ( c. siglo VII a. C.) contiene reglas para construcciones geométricas rituales que son similares a los Sulba Sutras. ^[22]

Sutras Sulba

Los Śulba Sūtras (literalmente, "Aforismos de los acordes" en sánscrito védico ) (c. 700–400 a. C.) enumeran reglas para la construcción de altares de fuego para sacrificios. ^[23] La mayoría de los problemas matemáticos considerados en los Śulba Sūtras surgen de "un único requisito teológico", ^[24] el de construir altares de fuego que tengan formas diferentes pero que ocupen la misma área. Se requería que los altares se construyeran con cinco capas de ladrillo cocido, con la condición adicional de que cada capa constara de 200 ladrillos y que no hubiera dos capas adyacentes con disposiciones congruentes de ladrillos. ^[24]

Según Hayashi, los Śulba Sūtras contienen "la expresión verbal existente más antigua del Teorema de Pitágoras en el mundo, aunque ya era conocido por los antiguos babilonios ".

La cuerda diagonal ( akṣṇayā-rajju ) de un oblongo (rectángulo) produce ambas, mientras que las cuerdas laterales ( pārśvamāni ) y horizontales ( tiryaṇmānī ) producen por separado". ^[25]

Dado que la afirmación es un sūtra , es necesariamente concisa y no se explica en detalle lo que producen las cuerdas , pero el contexto implica claramente las áreas cuadradas construidas sobre sus longitudes, y el maestro se lo habría explicado así al estudiante. ^[25]

Contienen listas de ternas pitagóricas , ^[26] que son casos particulares de ecuaciones diofánticas . ^[27] También contienen afirmaciones (que en retrospectiva sabemos que son aproximadas) sobre la cuadratura del círculo y la "rodadura del cuadrado". ^[28]

Baudhayana (c. siglo VIII a. C.) compuso el Baudhayana Sulba Sutra , el Sulba Sutra más conocido , que contiene ejemplos de ternas pitagóricas simples, como: (3, 4, 5) , (5, 12, 13) , (8, 15, 17) , (7, 24, 25) y (12, 35, 37) , ^[29] así como un enunciado del teorema de Pitágoras para los lados de un cuadrado: "La cuerda que se estira a lo largo de la diagonal de un cuadrado produce un área del doble del tamaño del cuadrado original". ^{[29] [30]} También contiene el enunciado general del teorema de Pitágoras (para los lados de un rectángulo): "La cuerda estirada a lo largo de la diagonal de un rectángulo forma un área que los lados verticales y horizontales forman juntos". ^[29] Baudhayana da una expresión para la raíz cuadrada de dos : ^[31]

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}=1.4142156\ldots }$

La expresión es precisa hasta cinco decimales, siendo el valor verdadero 1,41421356... ^[32] Esta expresión es similar en estructura a la expresión encontrada en una tablilla mesopotámica ^[33] del período babilónico antiguo (1900-1600 a. C. ): ^[31]

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421297\ldots }$

que expresa √ 2 en el sistema sexagesimal, y que también es precisa hasta 5 decimales.

Según el matemático SG Dani, la tablilla cuneiforme babilónica Plimpton 322, escrita alrededor de 1850 a. C. ^[34] "contiene quince ternas pitagóricas con entradas bastante grandes, incluyendo (13500, 12709, 18541), que es una terna primitiva, ^[35] lo que indica, en particular, que había un conocimiento sofisticado sobre el tema" en Mesopotamia en 1850 a. C. "Dado que estas tablillas son anteriores al período de los Sulbasutras en varios siglos, teniendo en cuenta la apariencia contextual de algunas de las ternas, es razonable esperar que hubiera habido un conocimiento similar en la India". ^[36] Dani continúa diciendo:

Como el objetivo principal de los Sulvasutras era describir las construcciones de altares y los principios geométricos involucrados en ellas, el tema de las ternas pitagóricas, incluso si hubiera sido bien comprendido, todavía podría no haber aparecido en los Sulvasutras . La aparición de las ternas en los Sulvasutras es comparable a las matemáticas que uno puede encontrar en un libro introductorio sobre arquitectura u otra área aplicada similar, y no correspondería directamente al conocimiento general sobre el tema en ese momento. Dado que, lamentablemente, no se han encontrado otras fuentes contemporáneas, es posible que nunca sea posible resolver esta cuestión satisfactoriamente. ^[36]

En total, se escribieron tres Sulba Sutras . Los dos restantes, el Sulba Sutra de Manava, compuesto por Manava (hacia el 750-650 a. C.) y el Sulba Sutra de Apastamba , compuesto por Apastamba (hacia el 600 a. C.), contenían resultados similares a los del Sulba Sutra de Baudhayana .

Vyakarana

Un hito importante del período védico fue el trabajo del gramático sánscrito Pāṇini ( c. 520–460 a. C.). Su gramática incluye el uso temprano de la lógica booleana , del operador nulo y de gramáticas libres de contexto , e incluye un precursor de la forma Backus-Naur (utilizada en los lenguajes de programación de descripción ). ^{[37] [38]}

Pingala (300 a. C. – 200 a. C.)

Entre los eruditos del período posvédico que contribuyeron a las matemáticas, el más notable es Pingala ( piṅgalá ) ( fl. 300–200 a. C.), un teórico musical que escribió el Chhandas Shastra ( chandaḥ-śāstra , también Chhandas Sutra chhandaḥ-sūtra ), un tratado sánscrito sobre prosodia . La obra de Pingala también contiene las ideas básicas de los números de Fibonacci (llamados maatraameru ). Aunque el sutra Chandah no ha sobrevivido en su totalidad, sí lo ha hecho un comentario del siglo X de Halāyudha. Halāyudha, que se refiere al triángulo de Pascal como Meru -prastāra (literalmente "la escalera al monte Meru"), dice lo siguiente:

Dibujar un cuadrado. Empezando por la mitad del cuadrado, dibujar otros dos cuadrados iguales debajo de él; debajo de estos dos, otros tres cuadrados, y así sucesivamente. La marcación debe comenzar poniendo 1 en el primer cuadrado. Poner 1 en cada uno de los dos cuadrados de la segunda línea. En la tercera línea poner 1 en los dos cuadrados de los extremos y, en el cuadrado del medio, la suma de las cifras de los dos cuadrados que están encima de él. En la cuarta línea poner 1 en los dos cuadrados de los extremos. En los del medio poner la suma de las cifras de los dos cuadrados que están encima de cada uno. Proceder de esta manera. De estas líneas, la segunda da las combinaciones con una sílaba, la tercera las combinaciones con dos sílabas, ... ^[39]

El texto también indica que Pingala era consciente de la identidad combinatoria : ^[40]

${\displaystyle {n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=2^{n}}$

Katyayana

Kātyāyana (siglo III a. C.) es conocido por ser el último matemático védico. Escribió el Katyayana Sulba Sutra , que presentaba gran parte de la geometría , incluido el teorema general de Pitágoras y un cálculo de la raíz cuadrada de 2 con cinco decimales.

Matemáticas jainistas (400 a. C. – 200 d. C.)

Aunque el jainismo como religión y filosofía es anterior a su más famoso exponente, el gran Mahaviraswami (siglo VI a. C.), la mayoría de los textos jainistas sobre temas matemáticos fueron compuestos después de ese siglo. Los matemáticos jainistas son importantes históricamente como vínculos cruciales entre las matemáticas del período védico y las del "período clásico".

Una importante contribución histórica de los matemáticos jainistas fue liberar a las matemáticas indias de sus restricciones religiosas y ritualistas. En particular, su fascinación por la enumeración de números muy grandes e infinitos los llevó a clasificar los números en tres clases: enumerables, innumerables e infinitos . No contentos con una simple noción de infinito, sus textos definen cinco tipos diferentes de infinito: el infinito en una dirección, el infinito en dos direcciones, el infinito en área, el infinito en todas partes y el infinito perpetuo. Además, los matemáticos jainistas idearon notaciones para potencias simples (y exponentes) de números como cuadrados y cubos, lo que les permitió definir ecuaciones algebraicas simples ( bījagaṇita samīkaraṇa ). Los matemáticos jainistas aparentemente también fueron los primeros en usar la palabra shunya (literalmente vacío en sánscrito ) para referirse al cero. Esta palabra es el origen etimológico último de la palabra inglesa "zero" , ya que fue traducida al árabe como ṣifr y luego posteriormente tomada prestada al latín medieval como zephirum , llegando finalmente al inglés después de pasar por una o más lenguas romances (cf. francés zéro , italiano zero ). ^[41]

Además de Surya Prajnapti , importantes obras jainistas sobre matemáticas incluyeron el Sthānāṅga Sūtra (c. 300 a. C. - 200 d. C.); el Anuyogadwara Sutra (c. 200 a. C. - 100 d. C.), que incluye la descripción más antigua conocida de factoriales en matemáticas indias; ^[42] y el Ṣaṭkhaṅḍāgama (c. siglo II d. C.). Entre los matemáticos jainistas importantes se encuentran Bhadrabahu (fallecido en 298 a. C.), autor de dos obras astronómicas, el Bhadrabahavi-Samhita y un comentario sobre Surya Prajinapti ; Yativrisham Acharya (c. 176 a. C.), autor de un texto matemático llamado Tiloyapannati ; y Umasvati (c. 150 a. C.), quien, aunque más conocido por sus influyentes escritos sobre la filosofía y la metafísica jainistas , compuso una obra matemática llamada Tattvārtha Sūtra .

Tradición oral

Los matemáticos de la India antigua y de principios de la Edad Media eran casi todos pandits sánscritos ( paṇḍita , «hombre erudito»), ^[43] que estaban formados en lengua y literatura sánscritas y poseían «un acervo común de conocimientos en gramática ( vyākaraṇa ), exégesis ( mīmāṃsā ) y lógica ( nyāya )». ^[43] La memorización de «lo que se oye» ( śruti en sánscrito) mediante la recitación desempeñó un papel importante en la transmisión de textos sagrados en la India antigua. La memorización y la recitación también se utilizaban para transmitir obras filosóficas y literarias, así como tratados sobre rituales y gramática. Los eruditos modernos de la India antigua han señalado los «logros verdaderamente notables de los pandits indios que han conservado textos enormemente voluminosos de forma oral durante milenios». ^[44]

Estilos de memorización

La antigua cultura india dedicó una energía prodigiosa a garantizar que estos textos se transmitieran de generación en generación con una fidelidad desmesurada. ^[45] Por ejemplo, la memorización de los Vedas sagrados incluía hasta once formas de recitación del mismo texto. A continuación, los textos se "corregían" comparando las diferentes versiones recitadas. Las formas de recitación incluían la jaṭā-pāṭha (literalmente "recitación en malla"), en la que cada dos palabras adyacentes del texto se recitaban primero en su orden original, luego se repetían en orden inverso y, finalmente, se repetían en el orden original. ^[46] La recitación procedía así:

palabra1palabra2, palabra2palabra1, palabra1palabra2; palabra2palabra3, palabra3palabra2, palabra2palabra3; ...

En otra forma de recitación, dhvaja-pāṭha ^[46] (literalmente "recitación de la bandera") se recitaba (y memorizaba) una secuencia de N palabras emparejando las dos primeras y las dos últimas palabras y luego procediendo de la siguiente manera:

palabra ₁ palabra ₂ , palabra _{N − 1} palabra _N ; palabra ₂ palabra ₃ , palabra _{N − 2} palabra _{N − 1} ; ..; palabra _{N − 1} palabra _N , palabra ₁ palabra ₂ ;

La forma más compleja de recitación, ghana-pāṭha (literalmente "recitación densa"), según Filliozat, ^[46] tomó la forma:

palabra1palabra2, palabra2palabra1, palabra1palabra2palabra3, palabra3palabra2palabra1, palabra1palabra2palabra3; palabra2palabra3, palabra3palabra2, palabra2palabra3palabra4, palabra4palabra3palabra2, palabra2palabra3palabra4; ...

La eficacia de estos métodos queda atestiguada por la conservación del texto religioso indio más antiguo, el Ṛgveda (c. 1500 a. C.), como un texto único, sin variantes de lectura. ^[46] Se utilizaron métodos similares para memorizar textos matemáticos, cuya transmisión siguió siendo exclusivamente oral hasta el final del período védico (c. 500 a. C.).

ElSutragénero

La actividad matemática en la antigua India comenzó como parte de una «reflexión metodológica» sobre los Vedas sagrados , que tomó la forma de obras llamadas Vedāṇgas , o «auxiliares del Veda» (siglos VII-IV a. C.). ^[47] La ​​necesidad de conservar el sonido del texto sagrado mediante el uso de śikṣā ( fonética ) y chhandas ( métrica ); de conservar su significado mediante el uso de vyākaraṇa ( gramática ) y nirukta ( etimología ); y de realizar correctamente los ritos en el momento correcto mediante el uso de kalpa ( ritual ) y jyotiṣa ( astrología ), dio lugar a las seis disciplinas de los Vedāṇgas . ^[47] Las matemáticas surgieron como parte de las dos últimas disciplinas, el ritual y la astronomía (que también incluía la astrología). Dado que los Vedāṇgas precedieron inmediatamente al uso de la escritura en la antigua India, constituyeron la última parte de la literatura exclusivamente oral. Se expresaron en una forma mnemotécnica muy condensada, el sūtra (literalmente, "hilo"):

Los conocedores del sūtra saben que tiene pocos fonemas, está libre de ambigüedad, contiene la esencia, enfrenta todo, es ininterrumpido e inobjetable. ^[47]

La brevedad extrema se logró a través de múltiples medios, que incluyeron el uso de puntos suspensivos "más allá de la tolerancia del lenguaje natural", ^[47] usando nombres técnicos en lugar de nombres descriptivos más largos, abreviando listas mencionando solo la primera y la última entrada, y usando marcadores y variables. ^[47] Los sūtras crean la impresión de que la comunicación a través del texto era "solo una parte de toda la instrucción. El resto de la instrucción debe haber sido transmitida por el llamado Guru-shishya parampara , 'sucesión ininterrumpida del maestro ( guru ) al estudiante ( śisya )', y no estaba abierta al público en general" y tal vez incluso se mantuvo en secreto. ^[48] La brevedad lograda en un sūtra se demuestra en el siguiente ejemplo del Baudhāyana Śulba Sūtra (700 a. C.).

El diseño del altar del fuego doméstico en el Śulba Sūtra

En el período védico, el altar doméstico de fuego debía tener una base cuadrada y estar constituido por cinco capas de ladrillos con 21 ladrillos en cada capa. Un método para construir el altar era dividir un lado del cuadrado en tres partes iguales usando una cuerda o soga, para luego dividir el lado transversal (o perpendicular) en siete partes iguales y, de ese modo, subdividir el cuadrado en 21 rectángulos congruentes. Luego, los ladrillos se diseñaban para que tuvieran la forma del rectángulo constituyente y se creaba la capa. Para formar la siguiente capa, se utilizó la misma fórmula, pero los ladrillos se dispusieron transversalmente. ^[49] Luego, el proceso se repitió tres veces más (con direcciones alternas) para completar la construcción. En el Baudhāyana Śulba Sūtra , este procedimiento se describe con las siguientes palabras:

II.64. Después de dividir el cuadrilátero en siete, se divide el [cordón] transversal en tres.
II.65. En otra capa se colocan los [ladrillos] que apuntan al Norte. ^[49]

Según Filliozat, ^[50] el oficiante que construye el altar tiene sólo unas pocas herramientas y materiales a su disposición: una cuerda (sánscrito, rajju , f.), dos clavijas (sánscrito, śanku , m.), y arcilla para hacer los ladrillos (sánscrito, iṣṭakā , f.). Se logra concisión en el sūtra , al no mencionar explícitamente lo que califica el adjetivo "transversal"; sin embargo, de la forma femenina del adjetivo (sánscrito) utilizado, se infiere fácilmente que califica "cuerda". De manera similar, en la segunda estrofa, no se mencionan explícitamente los "ladrillos", sino que se infiere nuevamente por la forma plural femenina de "apuntando al norte". Finalmente, la primera estrofa, nunca dice explícitamente que la primera capa de ladrillos esté orientada en la dirección este-oeste, pero eso también está implícito por la mención explícita de "apuntando al norte" en la segunda estrofa; En efecto, si la orientación debiera ser la misma en las dos capas, no se mencionaría en absoluto o sólo se mencionaría en la primera estrofa. Todas estas inferencias las hace el oficiante al recordar la fórmula de memoria. ^[49]

La tradición escrita: comentario en prosa

Con la creciente complejidad de las matemáticas y otras ciencias exactas, se hizo necesario tanto la escritura como el cálculo. En consecuencia, muchas obras matemáticas comenzaron a plasmarse en manuscritos que luego se copiaban una y otra vez de generación en generación.

Se estima que en la actualidad la India cuenta con unos treinta millones de manuscritos, el mayor volumen de material de lectura escrito a mano del mundo. La cultura literaria de la ciencia india se remonta al menos al siglo V a. C., como lo demuestran los elementos de la literatura de presagios y la astronomía mesopotámica que ingresaron a la India en esa época y que definitivamente no se conservaron de forma oral. ^[51]

El primer comentario matemático en prosa fue el de la obra Āryabhaṭīya (escrita en el año 499 d. C.), una obra sobre astronomía y matemáticas. La parte matemática de la Āryabhaṭīya estaba compuesta por 33 sūtras (en forma de verso) que consistían en enunciados o reglas matemáticas, pero sin ninguna prueba. ^[52] Sin embargo, según Hayashi, ^[53] "esto no significa necesariamente que sus autores no los probaran. Probablemente era una cuestión de estilo de exposición". Desde la época de Bhaskara I (600 d. C. en adelante), los comentarios en prosa comenzaron a incluir cada vez más algunas derivaciones ( upapatti ). El comentario de Bhaskara I sobre la Āryabhaṭīya tenía la siguiente estructura: ^[52]

• Regla ('sūtra') en verso de Āryabhaṭa
• Comentario de Bhāskara I, que consta de:
  • Aclaración de la regla (las derivaciones eran todavía raras entonces, pero se volvieron más comunes después)
  • Ejemplo ( uddeśaka ) generalmente en verso.
  • Configuración ( nyāsa/sthāpanā ) de los datos numéricos.
  • Trabajo ( karana ) de la solución.
  • Verificación ( pratyayakaraṇa , literalmente "dar convicción") de la respuesta. Estas pruebas se volvieron poco comunes en el siglo XIII, cuando se favorecieron las derivaciones o pruebas. ^[52]

Por lo general, para cualquier tema matemático, los estudiantes de la antigua India primero memorizaban los sūtras , que, como se explicó anteriormente, eran "deliberadamente inadecuados" ^[51] en detalles explicativos (para transmitir concisamente las reglas matemáticas básicas). Luego, los estudiantes trabajaban sobre los temas del comentario en prosa escribiendo (y dibujando diagramas) en pizarrones de tiza y de polvo ( es decir , pizarrones cubiertos de polvo). Esta última actividad, un elemento básico del trabajo matemático, impulsaría más tarde al matemático y astrónomo Brahmagupta ( siglo VII d. C.) a caracterizar los cálculos astronómicos como "trabajo en polvo" (sánscrito: dhulikarman ). ^[54]

Los números y el sistema de numeración decimal

Es bien sabido que el sistema decimal de valores posicionales que se utiliza hoy en día se registró por primera vez en la India, luego se transmitió al mundo islámico y, finalmente, a Europa. ^[55] El obispo sirio Severus Sebokht escribió a mediados del siglo VII d. C. sobre los "nueve signos" de los indios para expresar números. ^[55] Sin embargo, no está tan claro cómo, cuándo y dónde se inventó el primer sistema decimal de valores posicionales. ^[56]

La escritura más antigua que se utiliza en la India es la escritura Kharoṣṭhī, utilizada en la cultura Gandhara del noroeste. Se cree que es de origen arameo y estuvo en uso desde el siglo IV a. C. hasta el siglo IV d. C. Casi al mismo tiempo, otra escritura, la escritura Brāhmī , apareció en gran parte del subcontinente y más tarde se convertiría en la base de muchas escrituras del sur y el sudeste asiático. Ambas escrituras tenían símbolos y sistemas numéricos, que inicialmente no se basaban en un sistema de valor posicional. ^[57]

La evidencia más antigua que sobrevive de números con valor decimal en la India y el sudeste asiático es de mediados del primer milenio d. C. ^[58] Una placa de cobre de Gujarat, India, menciona la fecha 595 d. C., escrita en una notación de valor decimal, aunque hay algunas dudas sobre la autenticidad de la placa. ^[58] También se han encontrado números decimales que registran los años 683 d. C. en inscripciones en piedra en Indonesia y Camboya, donde la influencia cultural india fue sustancial. ^[58]

Existen fuentes textuales más antiguas, aunque las copias manuscritas existentes de estos textos son de fechas mucho más tardías. ^[59] Probablemente la fuente más antigua de este tipo sea la obra del filósofo budista Vasumitra, que probablemente data del siglo I d. C. ^[59] Al hablar de los pozos de conteo de los comerciantes, Vasumitra señala: "Cuando [la misma] pieza de arcilla para contar está en el lugar de las unidades, se denota como uno, cuando está en centenas, cien". ^[59] Aunque tales referencias parecen implicar que sus lectores tenían conocimiento de una representación de valor decimal, la "brevedad de sus alusiones y la ambigüedad de sus fechas, sin embargo, no establecen sólidamente la cronología del desarrollo de este concepto". ^[59]

Una tercera representación decimal se empleó en una técnica de composición de versos, posteriormente denominada Bhuta-sankhya (literalmente, "números de objeto") utilizada por los primeros autores sánscritos de libros técnicos. ^[60] Dado que muchas de las primeras obras técnicas se componían en verso, los números a menudo se representaban mediante objetos del mundo natural o religioso que se correspondían con ellos; esto permitía una correspondencia de muchos a uno para cada número y facilitaba la composición de versos. ^[60] Según Plofker, ^[61] el número 4, por ejemplo, podía representarse con la palabra " Veda " (ya que había cuatro de estos textos religiosos), el número 32 con la palabra "dientes" (ya que un conjunto completo consta de 32), y el número 1 con "luna" (ya que solo hay una luna). ^[60] Por lo tanto, Veda/dientes/luna correspondería al numeral decimal 1324, ya que la convención para los números era enumerar sus dígitos de derecha a izquierda. ^[60] La referencia más antigua que emplea números de objeto es una c. Texto sánscrito del año 269 d. C., Yavanajātaka (literalmente «horoscopía griega») de Sphujidhvaja, una versificación de una adaptación en prosa india anterior (c. 150 d. C.) de una obra perdida de astrología helenística. ^[62] Tal uso parece indicar que, a mediados del siglo III d. C., el sistema de valores decimales era familiar, al menos para los lectores de textos astronómicos y astrológicos en la India. ^[60]

Se ha planteado la hipótesis de que el sistema de valores decimales indio se basaba en los símbolos utilizados en los tableros de conteo chinos desde mediados del primer milenio a. C. ^[63] Según Plofker, ^[61]

"Estas tablas de conteo, al igual que los pozos de conteo indios, ..., tenían una estructura de valor decimal... Los indios pueden haber aprendido acerca de estos "numerales de varilla" de valor decimal de los peregrinos budistas chinos u otros viajeros, o pueden haber desarrollado el concepto independientemente de su sistema anterior sin valor posicional; no sobrevive ninguna evidencia documental que confirme ninguna de las conclusiones". ^[63]

Manuscrito de Bakhshali

El manuscrito matemático más antiguo que se conserva en la India es el Manuscrito Bakhshali , un manuscrito de corteza de abedul escrito en «sánscrito híbrido budista» ^[12] en la escritura Śāradā , que se utilizó en la región noroccidental del subcontinente indio entre los siglos VIII y XII d. C. ^[64] El manuscrito fue descubierto en 1881 por un granjero mientras excavaba en un recinto de piedra en el pueblo de Bakhshali, cerca de Peshawar (entonces en la India británica y ahora en Pakistán ). De autoría desconocida y ahora preservado en la Biblioteca Bodleiana de la Universidad de Oxford , el manuscrito ha sido datado recientemente como 224 d. C.- 383 d. C. ^[65]

El manuscrito superviviente tiene setenta hojas, algunas de las cuales están en fragmentos. Su contenido matemático consiste en reglas y ejemplos, escritos en verso, junto con comentarios en prosa, que incluyen soluciones a los ejemplos. ^[64] Los temas tratados incluyen aritmética (fracciones, raíces cuadradas, ganancias y pérdidas, interés simple, la regla de tres y regula falsi ) y álgebra (ecuaciones lineales simultáneas y ecuaciones cuadráticas ), y progresiones aritméticas. Además, hay un puñado de problemas geométricos (incluidos problemas sobre volúmenes de sólidos irregulares). El manuscrito Bakhshali también "emplea un sistema de valor decimal con un punto para el cero". ^[64] Muchos de sus problemas son de una categoría conocida como "problemas de ecualización" que conducen a sistemas de ecuaciones lineales. Un ejemplo del Fragmento III-5-3v es el siguiente:

Un comerciante tiene siete caballos asava , un segundo tiene nueve caballos haya y un tercero tiene diez camellos. Ambos se encuentran igualmente en una situación económica favorable en cuanto al valor de sus animales si cada uno de ellos entrega dos animales, uno a cada uno de los otros. Halla el precio de cada animal y el valor total de los animales que posee cada comerciante. ^[66]

El comentario en prosa que acompaña al ejemplo resuelve el problema convirtiéndolo en tres ecuaciones (subdeterminadas) con cuatro incógnitas y suponiendo que los precios son todos números enteros. ^[66]

En 2017, se demostró mediante datación por radiocarbono que tres muestras del manuscrito pertenecían a tres siglos diferentes: del 224 al 383 d. C., del 680 al 779 d. C. y del 885 al 993 d. C. No se sabe cómo llegaron a agruparse fragmentos de diferentes siglos. ^{[67] [68] [69]}

Periodo clásico (400-1300)

Este período se conoce a menudo como la edad de oro de las matemáticas indias. En este período, matemáticos como Aryabhata , Varahamihira , Brahmagupta , Bhaskara I , Mahavira , Bhaskara II , Madhava de Sangamagrama y Nilakantha Somayaji dieron una forma más amplia y clara a muchas ramas de las matemáticas. Sus contribuciones se extenderían a Asia, Oriente Medio y, finalmente, a Europa. A diferencia de las matemáticas védicas, sus obras incluían contribuciones tanto astronómicas como matemáticas. De hecho, las matemáticas de ese período se incluyeron en la "ciencia astral" ( jyotiḥśāstra ) y constaban de tres subdisciplinas: ciencias matemáticas ( gaṇita o tantra ), astrología del horóscopo ( horā o jātaka ) y adivinación (saṃhitā). ^[54] Esta división tripartita se ve en la compilación del siglo VI de Varāhamihira —Pancasiddhantika ^[70] (literalmente panca , «cinco», siddhānta , «conclusión de la deliberación», fechada en 575 d. C. )— de cinco obras anteriores, Surya Siddhanta , Romaka Siddhanta , Paulisa Siddhanta , Vasishtha Siddhanta y Paitamaha Siddhanta , que eran adaptaciones de obras aún más antiguas de astronomía mesopotámica, griega, egipcia, romana e india. Como se explicó anteriormente, los textos principales fueron compuestos en verso sánscrito y fueron seguidos por comentarios en prosa. ^[54]

Siglos IV al VI

Surya Siddhanta

Aunque se desconoce su autoría, el Surya Siddhanta (c. 400) contiene las raíces de la trigonometría moderna . ^{[ cita requerida ]} Debido a que contiene muchas palabras de origen extranjero, algunos autores consideran que fue escrito bajo la influencia de Mesopotamia y Grecia. ^{[ 71 ] [ se necesita una mejor fuente ]}

Este texto antiguo utiliza por primera vez las siguientes funciones trigonométricas: ^{[ cita requerida ]}

• Seno ( Jya ).
• Coseno ( Kojya ).
• Seno inverso ( Otkram jya ).

Matemáticos indios posteriores, como Aryabhata, hicieron referencia a este texto, mientras que traducciones posteriores al árabe y al latín fueron muy influyentes en Europa y Oriente Medio.

Calendario de Chhedi

Este calendario Chhedi (594) contiene un uso temprano del moderno sistema de numeración hindú-arábigo de valor posicional que ahora se utiliza universalmente.

Aryabhata yo

Aryabhata (476–550) escribió el Aryabhatiya. Describió los principios fundamentales de las matemáticas en 332 shlokas . El tratado contenía:

• Ecuaciones cuadráticas
• Trigonometría
• El valor de π , correcto hasta 4 decimales.

Aryabhata también escribió el Arya Siddhanta , que hoy está perdido. Las contribuciones de Aryabhata incluyen:

Trigonometría:

(Ver también: tabla de senos de Aryabhata )

• Introdujo las funciones trigonométricas .
• Se define el seno ( jya ) como la relación moderna entre la mitad de un ángulo y la mitad de una cuerda.
• Se define el coseno ( kojya ).
• Definió el versine ( utkrama-jya ).
• Se define el seno inverso ( otkram jya ).
• Dio métodos para calcular sus valores numéricos aproximados.
• Contiene las primeras tablas de valores de seno, coseno y versino, en intervalos de 3,75° desde 0° a 90°, con 4 decimales de precisión.
• Contiene la fórmula trigonométrica sin( n + 1) x − sin nx = sin nx − sin( n − 1) x − (1/225)sin nx .
• Trigonometría esférica .

Aritmética:

• Fracciones continuas .

Álgebra:

• Soluciones de ecuaciones cuadráticas simultáneas.
• Soluciones de números enteros de ecuaciones lineales por un método equivalente al método moderno.
• Solución general de la ecuación lineal indeterminada.

Astronomía matemática:

• Cálculos precisos para constantes astronómicas, como:
  • Eclipse solar .
  • Eclipse lunar .
  • La fórmula para la suma de los cubos , que fue un paso importante en el desarrollo del cálculo integral. ^[72]

Varahamihira

Varahamihira (505-587) produjo el Pancha Siddhanta ( Los cinco cánones astronómicos ). Hizo importantes contribuciones a la trigonometría, incluidas las tablas de seno y coseno con una precisión de 4 decimales y las siguientes fórmulas que relacionan las funciones seno y coseno :

• ${\displaystyle \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1}$
• ${\displaystyle \sin(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}$
• ${\displaystyle {\frac {1-\cos(2x)}{2}}=\sin ^{2}(x)}$

Siglos VII y VIII

El teorema de Brahmagupta establece que AF = FD .

En el siglo VII, dos campos separados, la aritmética (que incluía la medición ) y el álgebra , comenzaron a surgir en las matemáticas indias. Los dos campos luego serían llamados pāṭī-gaṇita (literalmente "matemáticas de algoritmos") y bīja-gaṇita (lit. "matemáticas de semillas", donde las "semillas" -como las semillas de las plantas- representan incógnitas con el potencial de generar, en este caso, las soluciones de ecuaciones). ^[73] Brahmagupta , en su obra astronómica Brāhma Sphuṭa Siddhānta (628 d. C.), incluyó dos capítulos (12 y 18) dedicados a estos campos. El capítulo 12, que contiene 66 versos en sánscrito, se dividió en dos secciones: "operaciones básicas" (incluidas raíces cúbicas, fracciones, razones y proporciones, y trueque) y "matemáticas prácticas" (incluidas mezclas, series matemáticas, figuras planas, apilamiento de ladrillos, aserrado de madera y apilamiento de grano). ^[74] En la última sección, enunció su famoso teorema sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico : ^[74]

Teorema de Brahmagupta: Si un cuadrilátero cíclico tiene diagonales perpendiculares entre sí, entonces la línea perpendicular trazada desde el punto de intersección de las diagonales hasta cualquier lado del cuadrilátero siempre biseca el lado opuesto.

El capítulo 12 también incluyó una fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico (una generalización de la fórmula de Heron ), así como una descripción completa de los triángulos racionales ( es decir , triángulos con lados racionales y áreas racionales).

Fórmula de Brahmagupta: El área, A , de un cuadrilátero cíclico con lados de longitudes a , b , c , d , respectivamente, está dada por

${\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\,}$

donde s , el semiperímetro , dado por ${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

Teorema de Brahmagupta sobre triángulos racionales: Un triángulo con lados racionales y área racional tiene la forma: ${\displaystyle a,b,c}$

${\displaystyle a={\frac {u^{2}}{v}}+v,\ \ b={\frac {u^{2}}{w}}+w,\ \ c={\frac {u^{2}}{v}}+{\frac {u^{2}}{w}}-(v+w)}$

para algunos números racionales y . ^[75] ${\displaystyle u,v,}$ ${\displaystyle w}$

El capítulo 18 contenía 103 versos en sánscrito que comenzaban con reglas para operaciones aritméticas que involucraban cero y números negativos ^[74] y se considera el primer tratamiento sistemático del tema. Las reglas (que incluían y ) eran todas correctas, con una excepción: . ^[74] Más adelante en el capítulo, dio la primera solución explícita (aunque todavía no completamente general) de la ecuación cuadrática : ${\displaystyle a+0=\ a}$ ${\displaystyle a\times 0=0}$ ${\displaystyle {\frac {0}{0}}=0}$

${\displaystyle \ ax^{2}+bx=c}$

Al número absoluto multiplicado por cuatro veces el cuadrado, se añade el cuadrado del término medio; la raíz cuadrada del mismo, menos el término medio, dividida por dos veces el cuadrado, es el valor. ^[76]

Esto es equivalente a:

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}}$

También en el capítulo 18, Brahmagupta pudo avanzar en la búsqueda de soluciones (integrales) de la ecuación de Pell , ^[77]

${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=1,}$

donde es un entero no cuadrado. Lo hizo descubriendo la siguiente identidad: ^[77] ${\displaystyle N}$

La identidad de Brahmagupta: que era una generalización de una identidad anterior de Diofanto : ^[77] Brahmagupta utilizó su identidad para demostrar el siguiente lema: ^[77] ${\displaystyle \ (x^{2}-Ny^{2})(x'^{2}-Ny'^{2})=(xx'+Nyy')^{2}-N(xy'+x'y)^{2}}$

Lema (Brahmagupta): Si es una solución de y, es una solución de , entonces: ${\displaystyle x=x_{1},\ \ y=y_{1}\ \ }$ ${\displaystyle \ \ x^{2}-Ny^{2}=k_{1},}$ ${\displaystyle x=x_{2},\ \ y=y_{2}\ \ }$ ${\displaystyle \ \ x^{2}-Ny^{2}=k_{2},}$

${\displaystyle x=x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2},\ \ y=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\ \ }$es una solución de ${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=k_{1}k_{2}}$

Luego utilizó este lema para generar infinitas soluciones (integrales) de la ecuación de Pell, dada una solución, y enunciar el siguiente teorema:

Teorema (Brahmagupta): Si la ecuación tiene una solución entera para cualquiera de ellos, entonces la ecuación de Pell: ${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=k}$ ${\displaystyle \ k=\pm 4,\pm 2,-1}$

${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=1}$

También tiene una solución entera. ^[78]

Brahmagupta no demostró realmente el teorema, sino que elaboró ​​ejemplos utilizando su método. El primer ejemplo que presentó fue: ^[77]

Ejemplo (Brahmagupta): Encuentra números enteros tales que: ${\displaystyle \ x,\ y\ }$

${\displaystyle \ x^{2}-92y^{2}=1}$

En su comentario, Brahmagupta agregó: “una persona que resuelva este problema en un año es un matemático”. ^[77] La ​​solución que proporcionó fue:

${\displaystyle \ x=1151,\ y=120}$

Bhaskara yo

Bhaskara I (c. 600–680) amplió el trabajo de Aryabhata en sus libros titulados Mahabhaskariya , Aryabhatiya-bhashya y Laghu-bhaskariya . Produjo:

• Soluciones de ecuaciones indeterminadas.
• Una aproximación racional de la función seno .
• Una fórmula para calcular el seno de un ángulo agudo sin el uso de una tabla, correcta hasta dos decimales.

Siglos IX al XII

Virasena

Virasena (siglo VIII) fue un matemático jainista de la corte del rey Amoghavarsha de Manyakheta , Karnataka, y escribió el Dhavala , un comentario sobre las matemáticas jainistas que:

• Se ocupa del concepto de ardhaccheda , la cantidad de veces que un número puede reducirse a la mitad, y enumera varias reglas que involucran esta operación. Esto coincide con el logaritmo binario cuando se aplica a potencias de dos , ^{[79] [80]} pero difiere en otros números, asemejándose más al orden 2-ádico .

Virasena también dio:

• La derivación del volumen de un tronco mediante una especie de procedimiento infinito.

Se cree que gran parte del material matemático del Dhavala puede atribuirse a escritores anteriores, especialmente Kundakunda, Shamakunda, Tumbulura, Samantabhadra y Bappadeva, y datan de entre 200 y 600 d. C. ^[80]

Mahavira

Mahavira Acharya (c. 800–870) de Karnataka , el último de los notables matemáticos jainistas, vivió en el siglo IX y fue patrocinado por el rey Rashtrakuta Amoghavarsha. Escribió un libro titulado Ganit Saar Sangraha sobre matemáticas numéricas y también escribió tratados sobre una amplia gama de temas matemáticos. Estos incluyen las matemáticas de:

• Cero
• Cuadrícula
• Cubos
• raíces cuadradas , raíces cúbicas y las series que se extienden más allá de estas
• Geometría plana
• Geometría sólida
• Problemas relacionados con la proyección de sombras
• Fórmulas derivadas para calcular el área de una elipse y un cuadrilátero dentro de un círculo .

Mahavira también:

• Afirmó que la raíz cuadrada de un número negativo no existía
• Dio la suma de una serie cuyos términos son cuadrados de una progresión aritmética y dio reglas empíricas para el área y el perímetro de una elipse.
• Ecuaciones cúbicas resueltas.
• Ecuaciones cuárticas resueltas.
• Resolví algunas ecuaciones quínticas y polinomios de orden superior .
• Dio las soluciones generales de las ecuaciones polinomiales de orden superior:
  • ${\displaystyle \ ax^{n}=q}$
  • ${\displaystyle a{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=p}$
• Ecuaciones cuadráticas indeterminadas resueltas.
• Ecuaciones cúbicas indeterminadas resueltas.
• Resuelve ecuaciones indeterminadas de orden superior.

Shridhara

Shridhara (c. 870–930), que vivió en Bengala , escribió los libros titulados Nav Shatika , Tri Shatika y Pati Ganita . En él se mencionan:

• Una buena regla para encontrar el volumen de una esfera .
• La fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas .

El Pati Ganita es una obra sobre aritmética y medición . Trata sobre diversas operaciones, entre ellas:

• Operaciones elementales
• Extraer raíces cuadradas y cúbicas.
• Fracciones.
• Ocho reglas dadas para operaciones que involucran cero.
• Métodos de suma de diferentes series aritméticas y geométricas, que se convertirían en referencias estándar en trabajos posteriores.

Manjula

Las ecuaciones de Aryabhata fueron elaboradas en el siglo X por Manjula (también Munjala ), quien se dio cuenta de que la expresión ^[81]

${\displaystyle \ \sin w'-\sin w}$

Podría expresarse aproximadamente como

${\displaystyle \ (w'-w)\cos w}$

Esto fue elaborado por su predecesor posterior Bhaskara ii, encontrando así la derivada del seno. ^[81]

Aryabhata II

Aryabhata II (c. 920–1000) escribió un comentario sobre Shridhara y un tratado astronómico, Maha-Siddhanta . El Maha-Siddhanta tiene 18 capítulos y analiza:

• Matemáticas numéricas ( Ank Ganit ).
• Álgebra.
• Soluciones de ecuaciones indeterminadas ( kuttaka ).

Shrpati

Shripati Mishra (1019–1066) escribió los libros Siddhanta Shekhara , una importante obra sobre astronomía en 19 capítulos, y Ganit Tilaka , un tratado de aritmética incompleto en 125 versos basado en una obra de Shridhara. Trabajó principalmente en:

• Permutaciones y combinaciones .
• Solución general de la ecuación lineal indeterminada simultánea.

También fue el autor de Dhikotidakarana , una obra de veinte versos sobre:

• Eclipse solar .
• Eclipse lunar .

El Dhruvamanasa es una obra de 105 versos sobre:

• Cálculo de longitudes planetarias
• eclipses .
• tránsitos planetarios .

Nemichandra Siddhanta Chakravati

Nemichandra Siddhanta Chakravati (c. 1100) fue autor de un tratado matemático titulado Gome-mat Saar .

Bhaskara II

Bhāskara II (1114-1185) fue un matemático y astrónomo que escribió varios tratados importantes, a saber, Siddhanta Shiromani , Lilavati , Bijaganita , Gola Addhaya , Griha Ganitam y Karan Kautoohal . Varias de sus contribuciones se transmitieron posteriormente a Oriente Medio y Europa. Entre sus contribuciones se incluyen:

Aritmética:

• Cálculo de intereses
• Progresiones aritméticas y geométricas
• Geometría plana
• Geometría sólida
• La sombra del gnomon
• Soluciones de combinaciones
• Dio una prueba de que la división por cero es infinito .

Álgebra:

• El reconocimiento de un número positivo que tiene dos raíces cuadradas.
• Sordos .
• Operaciones con productos de varias incógnitas.
• Las soluciones de:
  • Ecuaciones cuadráticas.
  • Ecuaciones cúbicas.
  • Ecuaciones cuárticas.
  • Ecuaciones con más de una incógnita.
  • Ecuaciones cuadráticas con más de una incógnita.
  • La forma general de la ecuación de Pell utilizando el método chakravala .
  • La ecuación cuadrática indeterminada general utilizando el método chakravala .
  • Ecuaciones cúbicas indeterminadas.
  • Ecuaciones cuárticas indeterminadas.
  • Ecuaciones polinomiales indeterminadas de orden superior.

Geometría:

• Dio una prueba del teorema de Pitágoras .

Cálculo:

• Concepto preliminar de diferenciación
• Descubrió el coeficiente diferencial .
• Forma temprana del teorema de Rolle , un caso especial del teorema del valor medio (uno de los teoremas más importantes del cálculo y el análisis).
• Derivó la diferencial de la función seno aunque no engañó la noción de derivada.
• Calculado π , correcto hasta cinco decimales.
• Calculó la longitud de la revolución de la Tierra alrededor del Sol con 9 decimales. ^[82]

Trigonometría:

• Desarrollos de la trigonometría esférica
• Las fórmulas trigonométricas:
  • ${\displaystyle \ \sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)}$
  • ${\displaystyle \ \sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a)}$

Matemáticas medievales y modernas (1300-1800)

Navya-Nyaya

La Navya-Nyāya o darśana (escuela) neológica de filosofía india fue fundada en el siglo XIII por el filósofo Gangesha Upadhyaya de Mithila . ^[83] Fue un desarrollo de la Nyāya darśana clásica. Otras influencias en la Navya-Nyāya fueron el trabajo de filósofos anteriores como Vācaspati Miśra (900-980 d. C.) y Udayana (finales del siglo X).

El libro de Gangeśa Tattvacintāmaṇi ("La joya del pensamiento de la realidad") fue escrito en parte como respuesta al Khandanakhandakhādya de Śrīharśa, una defensa del Vedānta Advaita , que había ofrecido un conjunto de críticas exhaustivas a las teorías Nyāya del pensamiento y el lenguaje. ^[84] Navya-Nyāya desarrolló un lenguaje sofisticado y un esquema conceptual que le permitió plantear, analizar y resolver problemas de lógica y epistemología. Implica nombrar cada objeto a analizar, identificar una característica distintiva para el objeto nombrado y verificar la idoneidad de la característica definitoria utilizando pramanas . ^[85]

Escuela de Kerala

Cadena de profesores de la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala

Páginas del Yuktibhasa, c.1530

La escuela de astronomía y matemáticas de Kerala fue fundada por Madhava de Sangamagrama en Kerala, sur de la India , e incluyó entre sus miembros a Parameshvara , Neelakanta Somayaji , Jyeshtadeva , Achyuta Pisharati , Melpathur Narayana Bhattathiri y Achyuta Panikkar. Floreció entre los siglos XIV y XVI y los descubrimientos originales de la escuela parecen haber terminado con Narayana Bhattathiri (1559-1632). En un intento por resolver problemas astronómicos, los astrónomos de la escuela de Kerala crearon de forma independiente una serie de conceptos matemáticos importantes. Los resultados más importantes, la expansión de series para funciones trigonométricas , se dieron en verso sánscrito en un libro de Neelakanta llamado Tantrasangraha y un comentario sobre esta obra llamado Tantrasangraha-vakhya de autoría desconocida. Los teoremas se enunciaron sin pruebas, pero las pruebas para las series de seno , coseno y tangente inversa se proporcionaron un siglo después en la obra Yuktibhāṣā (c.1500–c.1610), escrita en malabar , por Jyesthadeva . ^[86]

Su descubrimiento de estas tres importantes expansiones en serie del cálculo —varios siglos antes de que Isaac Newton y Gottfried Leibniz desarrollaran el cálculo en Europa— fue un logro. Sin embargo, la Escuela de Kerala no inventó el cálculo , ^[87] porque, si bien pudieron desarrollar expansiones en serie de Taylor para las importantes funciones trigonométricas , no desarrollaron ni una teoría de diferenciación o integración , ni el teorema fundamental del cálculo . ^[72] Los resultados obtenidos por la escuela de Kerala incluyen:

• La serie geométrica (infinita) : ^[88] ${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for }}|x|<1}$
• Una prueba semirrigurosa (ver la observación sobre "inducción" más abajo) del resultado: para n grande . ^[86] ${\displaystyle 1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}\approx {\frac {n^{p+1}}{p+1}}}$
• Uso intuitivo de la inducción matemática , sin embargo, la hipótesis inductiva no fue formulada ni empleada en las pruebas. ^[86]
• Aplicaciones de ideas de (lo que luego sería) cálculo diferencial e integral para obtener series infinitas (de Taylor-Maclaurin) para seno x, coseno x y arctan x. ^[87] El Tantrasangraha-vakhya da la serie en verso, que cuando se traduce a notación matemática, se puede escribir como: ^[86]

${\displaystyle r\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots ,{\text{ where }}y/x\leq 1.}$

${\displaystyle r\sin x=x-x{\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x{\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdots }$

${\displaystyle r-\cos x=r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}{\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots ,}$

donde, para r  = 1, la serie se reduce a la serie de potencia estándar para estas funciones trigonométricas, por ejemplo:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$

y

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$

• Uso de la rectificación (cálculo de la longitud) del arco de un círculo para dar una prueba de estos resultados. (El método posterior de Leibniz, que utiliza la cuadratura, es decir, el cálculo del área bajo el arco del círculo, no se utilizó.) ^[86]
• Uso de la expansión en serie de para obtener la fórmula de Leibniz para π : ^[86] ${\displaystyle \arctan x}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

• Una aproximación racional del error para la suma finita de sus series de interés. Por ejemplo, el error, , (para n impar, e i = 1, 2, 3) para la serie: ${\displaystyle f_{i}(n+1)}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots +(-1)^{(n-1)/2}{\frac {1}{n}}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)}$

${\displaystyle {\text{where }}f_{1}(n)={\frac {1}{2n}},\ f_{2}(n)={\frac {n/2}{n^{2}+1}},\ f_{3}(n)={\frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}.}$

• Manipulación del término de error para derivar una serie convergente más rápida para : ^[86] ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots }$

• Usando la serie mejorada para derivar una expresión racional, ^[86] 104348/33215 para π corrige hasta nueve decimales, es decir,  3,141592653.
• Uso de una noción intuitiva de límite para calcular estos resultados. ^[86]
• Un método semirriguroso (ver observación sobre los límites más arriba) de diferenciación de algunas funciones trigonométricas. ^[72] Sin embargo, no formularon la noción de función ni tenían conocimiento de las funciones exponenciales o logarítmicas.

Las obras de la escuela de Kerala fueron escritas por primera vez para el mundo occidental por el inglés CM Whish en 1835. Según Whish, los matemáticos de Kerala habían " sentado las bases para un sistema completo de fluxiones " y estas obras abundaban " con formas y series fluxiones que no se encuentran en ninguna obra de países extranjeros " . ^[89]

Sin embargo, los resultados de Whish fueron casi completamente ignorados hasta más de un siglo después, cuando los descubrimientos de la escuela de Kerala fueron investigados nuevamente por C. Rajagopal y sus asociados. Su trabajo incluye comentarios sobre las pruebas de la serie arctan en Yuktibhāṣā dadas en dos artículos, ^{[90] [91]} un comentario sobre la prueba de Yuktibhāṣā de la serie seno y coseno ^[92] y dos artículos que proporcionan los versos sánscritos del Tantrasangrahavakhya para la serie de arctan, seno y coseno (con traducción al inglés y comentario). ^{[93] [94]}

Parameshvara (c. 1370–1460) escribió comentarios sobre las obras de Bhaskara I , Aryabhata y Bhaskara II. Su Lilavati Bhasya , un comentario sobre el Lilavati de Bhaskara II , contiene uno de sus descubrimientos importantes: una versión del teorema del valor medio . Nilakantha Somayaji (1444–1544) compuso el Tantra Samgraha (que "generó" un comentario anónimo posterior Tantrasangraha-vyakhya y un comentario adicional con el nombre de Yuktidipaika , escrito en 1501). Elaboró ​​y amplió las contribuciones de Madhava.

Citrabhanu (c. 1530) fue un matemático del siglo XVI de Kerala que dio soluciones enteras a 21 tipos de sistemas de dos ecuaciones algebraicas simultáneas con dos incógnitas. Estos tipos son todos los pares de ecuaciones posibles de las siguientes siete formas:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x+y=a,\ x-y=b,\ xy=c,x^{2}+y^{2}=d,\\[8pt]&x^{2}-y^{2}=e,\ x^{3}+y^{3}=f,\ x^{3}-y^{3}=g\end{aligned}}}$

En cada caso, Citrabhanu dio una explicación y justificación de su regla, así como un ejemplo. Algunas de sus explicaciones son algebraicas, mientras que otras son geométricas. Jyesthadeva (c. 1500–1575) fue otro miembro de la Escuela de Kerala. Su obra clave fue el Yukti-bhāṣā (escrito en malabar, una lengua regional de Kerala). Jyesthadeva presentó pruebas de la mayoría de los teoremas matemáticos y series infinitas descubiertos anteriormente por Madhava y otros matemáticos de la Escuela de Kerala.

Otros

Narayana Pandit fue un matemático del siglo XIV que compuso dos obras matemáticas importantes, un tratado aritmético, Ganita Kaumudi , y un tratado algebraico, Bijganita Vatamsa . Ganita Kaumudi es uno de los trabajos más revolucionarios en el campo de la combinatoria, ya que desarrolló un método para la generación sistemática de todas las permutaciones de una secuencia dada. En su Ganita Kaumudi, Narayana propuso el siguiente problema sobre un rebaño de vacas y terneros:

Una vaca produce un ternero cada año. A partir del cuarto año, cada ternero produce un ternero al principio de cada año. ¿Cuántas vacas y terneros hay en total después de 20 años?

Traducido al lenguaje matemático moderno de secuencias de recurrencia :

N _n = N _n-1 + N _n-3 para n > 2 ,

con valores iniciales

N0 = _{N1 =} N2 = ₁ .

Los primeros términos son 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88,... (secuencia A000930 en la OEIS ). La razón límite entre términos consecutivos es la proporción superáurea . También se cree que Narayana es el autor de un elaborado comentario de Lilavati de Bhaskara II , titulado Ganita Kaumudia (o Karma-Paddhati ). ^[95]

Acusaciones de eurocentrismo

Se ha sugerido que las contribuciones indias a las matemáticas no han recibido el debido reconocimiento en la historia moderna y que muchos descubrimientos e inventos de matemáticos indios se atribuyen culturalmente en la actualidad a sus homólogos occidentales , como resultado del eurocentrismo . Según la opinión de GG Joseph sobre las " etnomatemáticas ":

[Su trabajo] asume algunas de las objeciones planteadas sobre la trayectoria eurocéntrica clásica. Es muy probable que el conocimiento [de las matemáticas indias y árabes] se vea atenuado por rechazos desdeñosos de su importancia en comparación con las matemáticas griegas. Las contribuciones de otras civilizaciones –sobre todo China e India– se perciben como prestatarias de fuentes griegas o como si hubieran hecho contribuciones menores al desarrollo matemático general. Lamentablemente, falta una apertura a los hallazgos de investigaciones más recientes, especialmente en el caso de las matemáticas indias y chinas" ^[96]

El historiador de las matemáticas Florian Cajori escribió que él y otros "sospechan que Diofanto obtuvo su primera visión del conocimiento algebraico en la India". ^[97] También escribió que "es seguro que partes de las matemáticas hindúes son de origen griego". ^[98]

More recently, as discussed in the above section, the infinite series of calculus for trigonometric functions (rediscovered by Gregory, Taylor, and Maclaurin in the late 17th century) were described in India, by mathematicians of the Kerala school, some two centuries earlier. Some scholars have recently suggested that knowledge of these results might have been transmitted to Europe through the trade route from Kerala by traders and Jesuit missionaries.^[99] Kerala was in continuous contact with China and Arabia, and, from around 1500, with Europe. The fact that the communication routes existed and the chronology is suitable certainly make such transmission a possibility. However, no evidence of transmission has been found.^[99] According to David Bressoud, "there is no evidence that the Indian work of series was known beyond India, or even outside of Kerala, until the nineteenth century".^[87][100]

Both Arab and Indian scholars made discoveries before the 17th century that are now considered a part of calculus.^[72] However, they did not (as Newton and Leibniz did) "combine many differing ideas under the two unifying themes of the derivative and the integral, show the connection between the two, and turn calculus into the great problem-solving tool we have today".^[72] The intellectual careers of both Newton and Leibniz are well-documented and there is no indication of their work not being their own;^[72] however, it is not known with certainty whether the immediate predecessors of Newton and Leibniz, "including, in particular, Fermat and Roberval, [may have] learned of some of the ideas of the Islamic and Indian mathematicians through sources we are not now aware."^[72] This is an area of current research, especially in the manuscript collections of Spain and Maghreb, and is being pursued, among other places, at the CNRS.^[72]

Arrival of India to modern mathematics

• Ashutosh Mukherjee has been recognised as the first modern Indian mathematician to enter the field of mathematical research, and founded the Calcutta Mathematical Society in 1908.Among his mathematical contributions, Mukherjee determined several crucial derivations of Gaspare Mainardi's answer to determining the oblique trajectory of a system of confocal ellipses. He also made lasting contributions in differential geometry, developing analytical methods of simplifying Gaspard Monge's interpretation of his general differential equation for conics.^[101][102]
• Srinivasa Ramanujan[a] (22 December 1887 – 26 April 1920) was an Indian mathematician. Though he had almost no formal training in pure mathematics, he made substantial contributions to mathematical analysis, number theory, infinite series, and continued fractions, including solutions to mathematical problems then considered unsolvable.
• Raj Chandra Bose (or Basu) (19 June 1901 – 31 October 1987) was an Indian American mathematician and statistician best known for his work in design theory, finite geometry and the theory of error-correcting codes in which the class of BCH codes is partly named after him. He also invented the notions of partial geometry, association scheme, and strongly regular graph and started a systematic study of difference sets to construct symmetric block designs. He was notable for his work along with S. S. Shrikhande and E. T. Parker in their disproof of the famous conjecture made by Leonhard Euler dated 1782 that for no n do there exist two mutually orthogonal Latin squares of order 4n + 2.
• C. R. Rao was an Indian-American mathematician and statistician.^[103] He was professor emeritus at Pennsylvania State University and research professor at the University at Buffalo. Rao was honoured by numerous colloquia, honorary degrees, and festschrifts and was awarded the US National Medal of Science in 2002.^[104] The American Statistical Association has described him as "a living legend" whose work has influenced not just statistics, but has had far reaching implications for fields as varied as economics, genetics, anthropology, geology, national planning, demography, biometry, and medicine."^[104] The Times of India listed Rao as one of the top 10 Indian scientists of all time.^[105]
• Harish-Chandra FRS^[106][107] (11 October 1923 – 16 October 1983) was an Indian-American mathematician and physicist who did fundamental work in representation theory, especially harmonic analysis on semisimple Lie groups.^{[108][109][110]}
• S. R. Srinivasa Varadhan, FRS (born 2 January 1940) is an Indian American mathematician. He is known for his fundamental contributions to probability theory and in particular for creating a unified theory of large deviations.^[111] In the year 2007, he became the first Asian to win the Abel Prize.^[112][113]
• Manjul Bhargava is a Canadian-American mathematician born to an Indian family. Bhargava was awarded the Fields Medal in 2014. According to the International Mathematical Union citation, he was awarded the prize "for developing powerful new methods in the geometry of numbers, which he applied to count rings of small rank and to bound the average rank of elliptic curves".^{[114][115][116]} He was also a member of prestigious Padma award committee 2023.[1]
• Subhash KhotFRS (born 10 June 1978 in Ichalkaranji)^[117] is an Indian-American mathematician and theoretical computer scientist who is the Julius Silver Professor of Computer Science in the Courant Institute of Mathematical Sciences at New York University. Khot has contributed to the field of computational complexity, and is best known for his unique games conjecture.Khot received the 2014 Rolf Nevanlinna Prize by the International Mathematical Union and received the MacArthur Fellowship in 2016.^[118] He was elected a Fellow of the Royal Society in 2017.^[119]

See also

• Shulba Sutras
• Kerala school of astronomy and mathematics
• Surya Siddhanta
• Brahmagupta
• Srinivasa Ramanujan
• Bakhshali manuscript
• List of Indian mathematicians
• Indian science and technology
• Indian logic
• Indian astronomy
• History of mathematics
• List of numbers in Hindu scriptures

Notes

1. (Kim Plofker 2007, p. 1)
2. (Hayashi 2005, pp. 360–361)
3. (Ifrah 2000, p. 346): "The measure of the genius of Indian civilisation, to which we owe our modern (number) system, is all the greater in that it was the only one in all history to have achieved this triumph. Some cultures succeeded, earlier than the Indian, in discovering one or at best two of the characteristics of this intellectual feat. But none of them managed to bring together into a complete and coherent system the necessary and sufficient conditions for a number-system with the same potential as our own."
4. (Plofker 2009, pp. 44–47)
5. (Bourbaki 1998, p. 46): "...our decimal system, which (by the agency of the Arabs) is derived from Hindu mathematics, where its use is attested already from the first centuries of our era. It must be noted moreover that the conception of zero as a number and not as a simple symbol of separation) and its introduction into calculations, also count amongst the original contribution of the Hindus."
6. (Bourbaki 1998, p. 49): Modern arithmetic was known during medieval times as "Modus Indorum" or method of the Indians. Leonardo of Pisa wrote that compared to method of the Indians all other methods is a mistake. This method of the Indians is none other than our very simple arithmetic of addition, subtraction, multiplication and division. Rules for these four simple procedures was first written down by Brahmagupta during 7th century AD. "On this point, the Hindus are already conscious of the interpretation that negative numbers must have in certain cases (a debt in a commercial problem, for instance). In the following centuries, as there is a diffusion into the West (by intermediary of the Arabs) of the methods and results of Greek and Hindu mathematics, one becomes more used to the handling of these numbers, and one begins to have other "representation" for them which are geometric or dynamic."
7. "algebra" 2007. Britannica Concise Encyclopedia Archived 29 September 2007 at the Wayback Machine. Encyclopædia Britannica Online. 16 May 2007. Quote: "A full-fledged decimal, positional system certainly existed in India by the 9th century (AD), yet many of its central ideas had been transmitted well before that time to China and the Islamic world. Indian arithmetic, moreover, developed consistent and correct rules for operating with positive and negative numbers and for treating zero like any other number, even in problematic contexts such as division. Several hundred years passed before European mathematicians fully integrated such ideas into the developing discipline of algebra."
8. (Pingree 2003, p. 45) Quote: "Geometry, and its branch trigonometry, was the mathematics Indian astronomers used most frequently. Greek mathematicians used the full chord and never imagined the half chord that we use today. Half chord was first used by Aryabhata which made trigonometry much more simple. In fact, the Indian astronomers in the third or fourth century, using a pre-Ptolemaic Greek table of chords, produced tables of sines and versines, from which it was trivial to derive cosines. This new system of trigonometry, produced in India, was transmitted to the Arabs in the late eighth century and by them, in an expanded form, to the Latin West and the Byzantine East in the twelfth century."
9. (Bourbaki 1998, p. 126): "As for trigonometry, it is disdained by geometers and abandoned to surveyors and astronomers; it is these latter (Aristarchus, Hipparchus, Ptolemy) who establish the fundamental relations between the sides and angles of a right angled triangle (plane or spherical) and draw up the first tables (they consist of tables giving the chord of the arc cut out by an angle ${\displaystyle \theta <\pi }$ on a circle of radius r, in other words the number ${\displaystyle 2r\sin \left(\theta /2\right)}$; the introduction of the sine, more easily handled, is due to Hindu mathematicians of the Middle Ages)."
10. (Filliozat 2004, pp. 140–143)
11. (Hayashi 1995)
12. (Kim Plofker 2007, p. 6)
13. (Stillwell 2004, p. 173)
14. (Bressoud 2002, p. 12) Quote: "There is no evidence that the Indian work on series was known beyond India, or even outside Kerala, until the nineteenth century. Gold and Pingree assert [4] that by the time these series were rediscovered in Europe, they had, for all practical purposes, been lost to India. The expansions of the sine, cosine, and arc tangent had been passed down through several generations of disciples, but they remained sterile observations for which no one could find much use."
15. (Plofker 2001, p. 293) Quote: "It is not unusual to encounter in discussions of Indian mathematics such assertions as that "the concept of differentiation was understood [in India] from the time of Manjula (... in the 10th century)" [Joseph 1991, 300], or that "we may consider Madhava to have been the founder of mathematical analysis" (Joseph 1991, 293), or that Bhaskara II may claim to be "the precursor of Newton and Leibniz in the discovery of the principle of the differential calculus" (Bag 1979, 294). ... The points of resemblance, particularly between early European calculus and the Keralese work on power series, have even inspired suggestions of a possible transmission of mathematical ideas from the Malabar coast in or after the 15th century to the Latin scholarly world (e.g., in (Bag 1979, 285)). ... It should be borne in mind, however, that such an emphasis on the similarity of Sanskrit (or Malayalam) and Latin mathematics risks diminishing our ability fully to see and comprehend the former. To speak of the Indian "discovery of the principle of the differential calculus" somewhat obscures the fact that Indian techniques for expressing changes in the Sine by means of the Cosine or vice versa, as in the examples we have seen, remained within that specific trigonometric context. The differential "principle" was not generalised to arbitrary functions—in fact, the explicit notion of an arbitrary function, not to mention that of its derivative or an algorithm for taking the derivative, is irrelevant here"
16. (Pingree 1992, p. 562) Quote:"One example I can give you relates to the Indian Mādhava's demonstration, in about 1400 A.D., of the infinite power series of trigonometrical functions using geometrical and algebraic arguments. When this was first described in English by Charles Matthew Whish, in the 1830s, it was heralded as the Indians' discovery of the calculus. This claim and Mādhava's achievements were ignored by Western historians, presumably at first because they could not admit that an Indian discovered the calculus, but later because no one read anymore the Transactions of the Royal Asiatic Society, in which Whish's article was published. The matter resurfaced in the 1950s, and now we have the Sanskrit texts properly edited, and we understand the clever way that Mādhava derived the series without the calculus; but many historians still find it impossible to conceive of the problem and its solution in terms of anything other than the calculus and proclaim that the calculus is what Mādhava found. In this case the elegance and brilliance of Mādhava's mathematics are being distorted as they are buried under the current mathematical solution to a problem to which he discovered an alternate and powerful solution."
17. (Katz 1995, pp. 173–174) Quote:"How close did Islamic and Indian scholars come to inventing the calculus? Islamic scholars nearly developed a general formula for finding integrals of polynomials by A.D. 1000—and evidently could find such a formula for any polynomial in which they were interested. But, it appears, they were not interested in any polynomial of degree higher than four, at least in any of the material that has come down to us. Indian scholars, on the other hand, were by 1600 able to use ibn al-Haytham's sum formula for arbitrary integral powers in calculating power series for the functions in which they were interested. By the same time, they also knew how to calculate the differentials of these functions. So some of the basic ideas of calculus were known in Egypt and India many centuries before Newton. It does not appear, however, that either Islamic or Indian mathematicians saw the necessity of connecting some of the disparate ideas that we include under the name calculus. They were apparently only interested in specific cases in which these ideas were needed. ... There is no danger, therefore, that we will have to rewrite the history texts to remove the statement that Newton and Leibniz invented calculus. They were certainly the ones who were able to combine many differing ideas under the two unifying themes of the derivative and the integral, show the connection between them, and turn the calculus into the great problem-solving tool we have today."
18. Sergent, Bernard (1997), Genèse de l'Inde (in French), Paris: Payot, p. 113, ISBN 978-2-228-89116-5
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24. (Hayashi 2003, p. 118)
25. (Hayashi 2005, p. 363)
26. Pythagorean triples are triples of integers (a, b, c) with the property: a²+b² = c². Thus, 3²+4² = 5², 8²+15² = 17², 12²+35² = 37², etc.
27. (Cooke 2005, p. 198): "The arithmetic content of the Śulva Sūtras consists of rules for finding Pythagorean triples such as (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), and (12, 35, 37). It is not certain what practical use these arithmetic rules had. The best conjecture is that they were part of religious ritual. A Hindu home was required to have three fires burning at three different altars. The three altars were to be of different shapes, but all three were to have the same area. These conditions led to certain "Diophantine" problems, a particular case of which is the generation of Pythagorean triples, so as to make one square integer equal to the sum of two others."
28. (Cooke 2005, pp. 199–200): "The requirement of three altars of equal areas but different shapes would explain the interest in transformation of areas. Among other transformation of area problems the Hindus considered in particular the problem of squaring the circle. The Bodhayana Sutra states the converse problem of constructing a circle equal to a given square. The following approximate construction is given as the solution.... this result is only approximate. The authors, however, made no distinction between the two results. In terms that we can appreciate, this construction gives a value for π of 18 (3 − 2√2), which is about 3.088."
29. (Joseph 2000, p. 229)
30. "Vedic Maths Complete Detail". ALLEN IntelliBrain. Retrieved 22 October 2022.
31. (Cooke 2005, p. 200)
32. The value of this approximation, 577/408, is the seventh in a sequence of increasingly accurate approximations 3/2, 7/5, 17/12, ... to √2, the numerators and denominators of which were known as "side and diameter numbers" to the ancient Greeks, and in modern mathematics are called the Pell numbers. If x/y is one term in this sequence of approximations, the next is (x + 2y)/(x + y). These approximations may also be derived by truncating the continued fraction representation of √2.
33. Neugebauer, O. and A. Sachs. 1945. Mathematical Cuneiform Texts, New Haven, CT, Yale University Press. p. 45.
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35. Three positive integers ${\displaystyle (a,b,c)}$ form a primitive Pythagorean triple if c² = a²+b² and if the highest common factor of a, b, c is 1. In the particular Plimpton322 example, this means that 13500²+12709² = 18541² and that the three numbers do not have any common factors. However some scholars have disputed the Pythagorean interpretation of this tablet; see Plimpton 322 for details.
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Further reading

Source books in Sanskrit

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• Keller, Agathe (2006), Expounding the Mathematical Seed. Vol. 2: The Supplements: A Translation of Bhaskara I on the Mathematical Chapter of the Aryabhatiya, Basel, Boston, and Berlin: Birkhäuser Verlag, 206 pages, ISBN 978-3-7643-7292-7.
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• Shukla, K. S., ed. (1976), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa with the commentary of Bhāskara I and Someśvara, critically edited with Introduction, English Translation, Notes, Comments and Indexes, New Delhi: Indian National Science Academy.
• Shukla, K. S., ed. (1988), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa, critically edited with Introduction, English Translation, Notes, Comments and Indexes, in collaboration with K.V. Sarma, New Delhi: Indian National Science Academy.

External links

• Science and Mathematics in India
• An overview of Indian mathematics, MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University, 2000.
• Indian Mathematicians
• Index of Ancient Indian mathematics, MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University, 2004.
• Indian Mathematics: Redressing the balance, Student Projects in the History of Mathematics. Ian Pearce. MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University, 2002.
• Indian Mathematics on In Our Time at the BBC
• InSIGHT 2009, a workshop on traditional Indian sciences for school children conducted by the Computer Science department of Anna University, Chennai, India.
• Mathematics in ancient India by R. Sridharan
• Combinatorial methods in ancient India
• Mathematics before S. Ramanujan