Relaciones métricas en el triángulo
Las relaciones métricas en el triángulo son aquellas que tratan los vínculos entre lados o ángulos, entre los cuales se destaca el Teorema de Pitágoras que es válido exclusivamente en el triángulo rectángulo y se aplica sobre la longitud de los catetos, hipotenusa, la altura relativa a la hipotenusa y los segmentos determinados sobre ésta como proyecciones de los catetos del ángulo Los elementos principales de un triángulo son: vértices, lados y ángulos.
Triángulo rectángulo se denomina al triángulo en el que uno de sus ángulos es recto, es decir, mide 90° (grados sexagesimales) o π/2 radianes.
Fórmulas para calcular en un triangulo rectángulo, un lado desconocido en función de los otros dos, donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa.
Se llaman catetos a los dos lados menores, los que conforman el ángulo recto.
Dado un triángulo rectángulo ABC (véase la imagen), con ángulo recto en C, donde: se cumplen las siguientes propiedades: el triángulo ABC es semejante al triángulo CHA, por tanto: despejando el triángulo CHB es semejante al triángulo CHA, por tanto: despejando: del teorema anterior: sumando ambas ecuaciones: luego pero p+q=c finalmente existen dos comprobaciones: 1) a partir de las superficies o áreas: y eso quiere decir que: que al eliminar los doses: 2) el triángulo ABC es semejante al triángulo CHA, por tanto: despejando: por el teorema de Pitágoras: dividimos entre
La medida de la altura es media proporcional entre los dos segmentos que determina sobre la hipotenusa.
La relación entre catetos e hipotenusa se establece mediante el Teorema de Pitágoras:
La altura del triángulo rectángulo ABC (véase Figura 1) lo divide en dos triángulos rectángulos semejantes, de forma que Multiplicando los dos miembros de la igualdad por
La altura h correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo (véase Figura 1) también puede obtenerse reemplazando a los valores m y n de la ecuación (1) del presente teorema por sus respectivos equivalentes dados por el teorema del cateto.
lo que al simplificar en el último término de la ecuación (h2) la raíz con los cuadrados nos conduce a : (h3)
La ecuación (h3) nos permite establecer el enunciado (forma 2) del teorema : Teorema de la altura (forma 2)En todo triángulo rectángulo la altura h (relativa a la hipotenusa) es igual al producto de sus catetos b y c divididos por la hipotenusa a.
Este teorema (véase Figura 1) puede expresarse matemáticamente —para cada uno de sus dos catetos— como:
Donde m y n son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa c. Sea el triángulo ΔABC rectángulo en C, dispuesto de modo que su base es la hipotenusa c. La altura h determina los segmentos m y n, que son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa.
Los triángulos rectángulos ΔABC, ΔACH y ΔBCH tienen iguales sus ángulos, y por lo tanto son semejantes: Puesto que en las figuras semejantes los lados homólogos son proporcionales, tendremos que:
en las que al despejar respectivamente m y n producen las ecuaciones del «corolario 1»:
ar1, (o un cuadrado si el triángulo rectángulo es además isósceles).
donde a y b de la ecuación (A1) representan las medidas de los dos catetos que coinciden con los dos lados y las correspondientes alturas del rectángulo (véase fig.
En todo triángulo rectángulo cada uno de los dos catetos es siempre la respectiva altura del otro.
La demostración anterior es solo un caso especial, restringido, de una mucho más general que vale para todo triángulo (no solo para los triángulos rectángulos); Y esta es la "proposición I.41[2] de Euclides, la cual se basa en el concepto más general de paralelogramo y no se restringe al rectángulo.
Dicha proposición I.41 extiende la validez de la ecuación (A1) a todo triángulo.
Euclides vio un inconveniente[cita requerida]: en un triángulo rectángulo
¿cuánto debería valer numéricamente el lado a en un triángulo oblicuángulo?
Euclides notó que al trazar la altura exterior se generan dos triángulos rectángulos (AHC y BCH).
Nos fijamos en el más pequeño (AHC): Despejando la altura resulta: Pasemos al triángulo BHC: Despejando la altura queda: Eso quiere decir que: Elevando el binomio al cuadrado y simplificando Despejando a²: A partir de los dos teoremas anteriores se deriva fórmulas para el cálculo de las líneas notables de un triángulo.
Stewart dice que el producto resultante entre una ceviana de un triángulo al cuadrado y de la base de este es igual a la al cuadrado por la proyección del cateto opuesto más la suma del segundo cateto al cuadrado por la proyección del cateto opuesto a este menos el producto resultante entre las multiplicación de las proyecciones de los catetos y la base.
Donde b y c son los lados "laterales" respecto a la ceviana d correspondiente al lado a, n y m los segmentos de la base designados por la misma ceviana.
Del teorema de Apolonio, también llamado "teorema de la mediana", pueden deducirse varias fórmulas prácticas (válidas para cualquier triángulo), estas permiten calcular a partir del conocimiento de tres elementos, a un cuarto elemento desconocido, (los elementos en cuestión son lados y medianas).
En un triángulo rectángulo la mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de esta, (véase Corolario 1 del teorema segundo de Tales), asumiremos para la ecuación siguiente que dicha hipotenusa se denomina c).
ejecutando la diferencia de cuadrados y transponiendo el
: lados del cuadrilátero m: segmento que une los puntos medios de las diagonales.
