Factorización

En matemáticas la factorización es una técnica que consiste en la descomposición en factores de una expresión algebraica (que puede ser un número, una suma o resta, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto.conclusión de la factorización Al terminar la importante e útil investigación tenemos la capacidad de decir que la factorización es el procedimiento o la manera de desintegrar un número o expresión en sus factores, y la potenciación la veces que un número se va a multiplicar por el mismo.[1]​ Estos conceptos son fundamentales o útiles en las matemáticas, ya que permiten simplificar expresiones algebraicas y números lo que permite calcular y el desenvolvimiento en problemas matemáticos más difíciles.El uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización.[3]​ Otra cuestión se refiere a los coeficientes de los factores.No siempre es posible hacer esto, y un polinomio que no puede ser factorizado de esta forma se dice que es irreducible sobre este tipo de coeficiente.El teorema fundamental del álgebra se puede establecer como: Todo polinomio de grado n con coeficientes de número complejo se divide por completo en factores lineales n. Los términos en estos factores, que son las raíces del polinomio, pueden ser reales o complejos.Vera Sanford señala en su A Short History of Mathematics (1930)[6]​ que "en vista de la actual énfasis dado a la solución de ecuaciones cuadráticas por factorización, es interesante observar que este método no se utilizó hasta el trabajo de Harriot en 1631."Harriot murió en 1621, y al igual que todos sus libros, este, Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas, fue publicado después de su muerte.Él establece la ecuación de aa − ba + ca = + bc, y muestra que esta coincida con la forma de multiplicación que ha proporcionado previamente como, Así factorizando los cuatro términos de la expresión ajustada aa − ba + ca − bc.Este ejemplo puede ser visto en la página 16 de the Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas.Hay sólo unos pocos métodos generales que pueden ser aplicados a cualquier polinomio ya sea en una variable (la univariate case) o varias variables (el caso de multivariables).Encontrando, por inspección, el monomio que es el máximo común divisor de todos los términos del polinomio y factorizándolo como un factor común que es una aplicación de la ley distributiva.Este es comúnmente el más usado en la técnica de factorización.La factorización por agrupación se realiza mediante la colocación de los términos en el polinomio en dos o más grupos, donde cada grupo se puede factorizar mediante un método conocido.Por ejemplo, para factorizar el polinomio Mientras que la agrupación no puede conducir a una factorización en general, si la expresión polinómica no ha influido, consta de cuatro términos y es el resultado de multiplicar dos binomios( por la ley distributiva), entonces la técnica de agrupación puede conducir a una factorización, como en el ejemplo anterior.Para un polinomio de una variable, p(x), el teorema del factor establece que a es una raíz del polinomio (que es, p(a) = 0, también llamado un cero del polinomio) si y solo si (x - a) es un factor de p(x).Formalmente, estas relaciones se conocen como fórmulas de Viète.Estas fórmulas no ayudan a factorizar el polinomio excepto como una guía para hacer buenas conjeturas que sean en las posibles raíces.Si un (una variable) polinomio, f(x), tiene una raíz racional, p/q (p y q son enteros y q ≠ 0), entonces por el teorema del factor f(x) tiene el factor, Si, además, el polinomio f(x) tiene coeficientes enteros, entonces q debe dividir uniformemente la parte entera del máximo común divisor de los términos del polinomio., y, en la factorización de f(x), sólo el factor (qx - p) será visible., es un número cuadrado éstos existen, de lo contrario tenemos soluciones irracionales o complejos, y no habrá ningunas raíces racionales.)Ambos q y v deben ser divisores dea por lo que podemos escribir estas fracciones con un denominador común de a, que es, que se pueden escribir como -r/a y -s/a (el uso de los negativos es cosmético y conduce a un resultado final más bonito.)Esta forma básica se utiliza a menudo con expresiones más complicadas que pueden no parecer a primera vista como la diferencia de dos cuadrados.Por ejemplo, Otra fórmula para la factorización es la suma o diferencia de dos cubos.Si n es impar, b puede se reemplazado por −b en la fórmula anterior, para dar Si n es par, consideramos dos casos: En concreto, para algunos valores pequeños de n tenemos: Las factorizaciones anteriores dan factores con coeficientes en el mismo campo que las de la expresión de ser factorizada, por ejemplo, un polinomio con coeficientes racionales (± 1 en muchos casos anteriores) se divide en factores que por sí mismos tienen coeficientes racionales.Por ejemplo, el trinomio cuadrado perfecto son los polinomios de segundo grado que se puede factorizar como se muestra a continuación: y Algunos polinomios cúbicos, se pueden factorizar como cubo perfecto de la siguiente manera: y En general, los coeficientes del polinomio expandido) se puede factorizar sobre el campo de los números complejos utilizando la fórmula cuadrática, como sigue: dondeson las dos raíces del polinomio, ya sean ambas reales o complejas en el caso donde a, b, c son todos reales, encontradas con la fórmula cuadrática.La fórmula cuadrática es válida para todos los polinomios con coeficientes en cualquier campo (en particular, los números reales o complejos) excepto esos que tienen característica dos.[12]​ También hay fórmulas para cúbicas y cuárticas, polinomios que se pueden utilizar de la misma manera.