Diferencia de dos cuadrados
Toda diferencia de cuadrados se puede factorizar de acuerdo con la identidad que forma parte del álgebra elemental.
A partir del lado izquierdo de la ecuación, se aplica la propiedad distributiva para obtener Por conmutatividad, los dos términos del centro del lado derecho se cancelan: quedando La identidad resultante es una de las más utilizadas en matemáticas.
Por el contrario, si esta identidad se cumple en un anillo R para todos los pares de elementos a y b, entonces R es conmutativo.
Para ver esto, basta aplicar la ley distributiva al lado derecho de la ecuación, lo que permite obtener Para que esto sea igual a
En el diagrama, la parte sombreada representa la diferencia entre las áreas de los dos cuadrados, es decir,
Otra prueba geométrica se desarrolla de la siguiente manera: se comienza con la figura que se muestra en el primer diagrama a continuación, un cuadrado grande al que se le quita un cuadrado más pequeño.
El lado de todo el cuadrado es a, y el lado del pequeño cuadrado eliminado es b.
La pieza más grande, en la parte superior, tiene un ancho a y una altura a-b.
La pieza más pequeña, en la parte inferior, tiene un ancho a-b y una altura b.
Ahora la pieza más pequeña se puede separar, rotar y colocar a la derecha de la pieza más grande.
En esta nueva disposición, que se muestra en el último diagrama a continuación, las dos piezas juntas forman un rectángulo, cuyo ancho es
Dado que este rectángulo proviene de reorganizar la figura original, debe tener la misma área que la figura original.
La fórmula para la diferencia de dos cuadrados se puede utilizar para factorizar polinomios que contengan el cuadrado de una primera cantidad menos el cuadrado de una segunda cantidad.
, por lo que se tiene que: Además, esta fórmula también se puede utilizar para simplificar expresiones como: La diferencia de dos cuadrados se usa para encontrar los factores lineales de la suma de dos cuadrados, usando los coeficientes de un número complejo.
se pueden encontrar usando la diferencia de dos cuadrados: Por lo tanto, los factores lineales son
Dado que los dos factores encontrados por este método son conjugados, se puede usar esta propiedad a la inversa como un método para multiplicar un número complejo para obtener un número real.
Esto se usa para obtener denominadores reales en fracciones complejas.
[2] La diferencia de dos cuadrados también se puede utilizar para la racionalización de fraciones que contengan números irracionales.
[3] Este es un método empleado para eliminar raíces de algunas expresiones (o al menos, independizarlas), aplicándose a la división por algunas combinaciones que involucran la presencia de una raíz cuadrada.
se puede racionalizar de la siguiente manera: Aquí, el denominador irracional
La diferencia de dos cuadrados también se puede utilizar como un atajo aritmético.
Si se multiplican dos números (cuyo promedio es un número que se eleva fácilmente al cuadrado), la diferencia de dos cuadrados se puede usar para obtener el producto de los dos números originales.
Esto se puede ver de la siguiente manera: Por lo tanto, la diferencia de dos cuadrados perfectos consecutivos es un número impar.
Varios algoritmos en teoría de números y criptografía usan diferencias de cuadrados para encontrar factores de números enteros y detectar números compuestos.
Este truco se puede generalizar de la siguiente manera.
La identidad también se mantiene en un espacio prehilbertiano sobre el cuerpo de los números reales, como para el producto escalar de vectores: La demostración es idéntica.
Para el caso especial de que a y b tengan normas iguales (lo que significa que los productos escalares por sí mismos de ambos vectores son iguales entre sí), esto demuestra analíticamente el hecho de que las dos diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí.
Esto se sigue de que el lado izquierdo de la ecuación es igual a cero, lo que requiere que el lado derecho también sea igual a cero, por lo que la suma vectorial de a + b (la diagonal larga del rombo) multiplicada escalarmente por la diferencia vectorial a - b (la diagonal corta del rombo) debe ser igual a cero, lo que indica que las diagonales son perpendiculares entre sí.
Si a y b son dos elementos de un anillo conmutativo R, entonces
Históricamente, los babilonios usaban la diferencia de dos cuadrados para calcular multiplicaciones.
