Congruum
En teoría de números, un congruum (plural congrua) es la diferencia entre cuadrados perfectos sucesivos en una progresión aritmética de tres cuadrados.
El problema de la congruencia consiste en encontrar cuadrados en progresión aritmética y su congruum asociado.
[1] Se puede formalizar como una ecuación diofántica: encontrar los enteros
tales que Cuando se satisface esta ecuación con números enteros, ambos lados de la ecuación son iguales al congruum.
Leonardo de Pisa resolvió el problema de la congruencia encontrando una fórmula parametrizada para generar todos los congrua, junto con sus progresiones aritméticas asociadas.
Según esta fórmula, cada congruum es cuatro veces el área de una terna pitagórica.
Como ejemplo, el número 96 es un congruum porque es la diferencia entre cuadrados adyacentes en la secuencia 4, 100 y 196 (los cuadrados de 2, 10 y 14 respectivamente).
Los primeros congrua son: El problema del congruum se planteó originalmente en 1225, como parte de un torneo matemático preconizado por el emperador Federico II Hohenstaufen.
La cuestión fue respondida correctamente en ese momento por Leonardo de Pisa, quien registró su trabajo sobre este problema en su obra Liber Quadratorum.
[2] Fibonacci ya sabía que es imposible que un congruum sea un cuadrado, pero no dio una demostración satisfactoria de este hecho.
[3] Geométricamente, esto significa que no es posible que el par de catetos de un triángulo pitagórico sea el cateto y la hipotenusa de otro triángulo pitagórico.
Finalmente, Pierre de Fermat dio una prueba y el resultado ahora se conoce como el teorema del triángulo rectángulo de Fermat.
El propio Fermat también conjeturó, y Leonhard Euler probó, que no existe una secuencia de cuatro cuadrados formando una progresión aritmética.
[4][5] El problema de la congruencia se puede resolver eligiendo dos enteros positivos distintos
, y los otros dos cuadrados se pueden encontrar sumando o restando el congruum.
Además, multiplicar un congruum por un número cuadrado produce otro congruum, cuya progresión de cuadrados se multiplica por el mismo factor.
[1] Por ejemplo, el congruum 96 se puede construir mediante estas fórmulas con
, mientras que el congruo 216 se obtiene multiplicando el congruum más pequeño 24 por el número cuadrado 9.
Una formulación equivalente de esta solución, dada por Bernard Frénicle de Bessy, es que para los tres cuadrados en progresión aritmética
es la hipotenusa de una terna pitagórica y los otros dos números
son la diferencia y la suma respectivamente de los dos catetos del triángulo.
[6] El congruum mismo es cuatro veces el área del propio triángulo pitagórico.
Un número congruente se define como el área de un triángulo rectángulo con lados de longitudes racionales.
Como todo congruum se puede obtener (utilizando la solución parametrizada) como el área de un triángulo pitagórico, se deduce que todo congruum es un número congruente.
[7] Sin embargo, probar si un número es un congruum es mucho más fácil que probar que si un número es congruente.
