Teorema del triángulo rectángulo de Fermat
En 1225, el emperador Frederico II desafió al matemático Leonardo de Pisa a participar en un concurso matemático contra varios otros matemáticos, con tres problemas planteados por el filósofo de la corte Juan de Palermo.
El primero de estos problemas pedía tres números racionales cuyos cuadrados estuvieran separados por cinco unidades, resuelto por Fibonacci con los tres números
En El Libro de los Cuadrados, publicado ese mismo año por Fibonacci, resolvió el problema más general de encontrar ternas de cuadrados perfectos que estuvieran igualmente separadas entre sí, formando una progresión aritmética.
Fibonacci llamó a la brecha entre estos números congruum.
[3] Fibonacci observó que es imposible que un congruo sea un número cuadrado en sí mismo, pero no presentó una prueba satisfactoria de este hecho.
pudieran formar una progresión aritmética cuyo congruo fuera también un cuadrado
, entonces estos números satisfarían las ecuaciones diofánticas Es decir, por el teorema de Pitágoras, formarían dos triángulos rectángulos de lados enteros en los que el par
da un cateto y la hipotenusa del triángulo menor y el mismo par también forma los dos catetos del triángulo mayor.
Pero si (como afirmó Fibonacci) no puede existir un congruo de cuadrados, entonces no puede haber dos triángulos rectángulos enteros que compartan dos lados de esta manera.
[5] Debido a que los congruos son exactamente los números que son cuatro veces el área de un triángulo pitagórico, y la multiplicación por cuatro no cambia la condición de un número cuadrado (que sigue siéndolo), la existencia de un congruo cuadrado es equivalente a la existencia de un triángulo pitagórico con un área que sea un cuadrado.
Es esta variante del problema a la que se refiere la prueba de Fermat: muestra que no existe tal triángulo.
[6] Este libro describía varios triángulos rectángulos especiales cuyas áreas tenían formas relacionadas con los cuadrados, pero no consideraba el caso de áreas que en sí mismas eran cuadradas.
[7] Al reorganizar las ecuaciones de los dos triángulos pitagóricos anteriores y luego multiplicarlas, se obtiene la única ecuación diofántica que se puede simplificar introduciendo una nueva variable
para Por el contrario, tres enteros positivos cualesquiera que obedezcan a la ecuación
[8] Por lo tanto, la existencia de un congruo cuadrado es equivalente a la afirmación de que el número 1 no es un número congruente.
[9] Otra forma más geométrica de enunciar esta formulación es que es imposible que un cuadrado (la forma geométrica) y un triángulo rectángulo tengan áreas iguales y todos los lados conmensurables entre sí.
[10] Otra forma equivalente del teorema de Fermat involucra una curva elíptica que consiste en los puntos cuyos coordenadas cartesianas
El teorema de Fermat es equivalente a afirmar que estos son los únicos puntos de la curva para los que tanto
Más generalmente, los triángulos rectángulos con lados racionales y área
[11] Durante su vida, Fermat desafió a varios otros matemáticos a probar la inexistencia de un triángulo pitagórico con área cuadrada, pero él mismo no publicó la prueba.
[12] La demostración de Fermat está basada en un descenso infinito.
Muestra que, de cualquier ejemplo de un triángulo pitagórico con área cuadrada, se puede deducir un ejemplo más pequeño.
Dado que los triángulos pitagóricos tienen áreas enteras positivas y no existe una secuencia descendente infinita de números enteros positivos, tampoco puede existir un triángulo pitagórico con área cuadrada.
son los lados enteros de un triángulo rectángulo con área cuadrada.
Al dividir por cualquier factor común, se puede suponer que este triángulo es primitivo[10] y, a partir de la forma conocida de todos los triples pitagóricos primitivos, se puede establecer que
, por lo que el problema se transforma en encontrar números enteros primos relativos entre sí
(uno de los cuales es par), tales que el área
Para que este número sea un cuadrado, sus cuatro factores lineales
son los catetos de otro triángulo pitagórico primitivo cuya área es
Por lo tanto, cualquier triángulo pitagórico con área cuadrada conduce a un triángulo pitagórico más pequeño con área cuadrada, completando la prueba.
