Número congruente
[1][2] Una definición más general incluye todos los números racionales positivos con esta propiedad.
En cambio, 3 y 4 no son números congruentes.
Cada clase de residuo en este grupo contiene exactamente un entero libre de cuadrados y, por lo tanto, es común considerar solo números enteros positivos libres de cuadrados cuando se habla de números congruentes.
Este problema no se ha resuelto con éxito (a fecha de 2019).
El teorema de Tunnell proporciona un criterio fácilmente comprobable para determinar si un número es congruente; pero su resultado se basa en la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, que aún no se ha probado.
El teorema del triángulo rectángulo de Fermat, llamado así por Pierre de Fermat, establece que ningún cuadrado perfecto puede ser un número congruente.
Sin embargo, en la forma de que todo congruum (la diferencia entre elementos consecutivos en una progresión aritmética de tres cuadrados) no es un cuadrado, ya era conocido (sin demostración) por Leonardo de Pisa.
[5] Sin embargo, determinar si un número es un congruum es mucho más fácil que determinar si es congruente, porque hay una fórmula parametrizada para los congrua para la que solo se necesita probar un número finito de valores de parámetros.
formarán una progresión aritmética con diferencia común
Además, si hay una solución (donde los lados derechos son cuadrados), entonces hay infinitas: dada cualquier solución
se puede calcular a partir de[8] Por ejemplo, con
Otra solución es Con estos nuevos valores de
, los valores de la derecha siguen siendo cuadrados: Dados
La cuestión de si un número dado es congruente resulta ser equivalente a la condición de que cierta curva elíptica tenga rango positivo.
[3] A continuación se presenta un enfoque alternativo a esta idea (como también se puede encontrar esencialmente en la introducción al artículo de Tunnell).
Supóngase que a, b, c son números (no necesariamente positivos o racionales) que satisfacen las siguientes dos ecuaciones: Luego, se establece que x = n(a+c)/b y y = 2n2(a+c)/b2.
Mediante un cálculo se demuestra que e y no es 0 (si y = 0 entonces a = -c, entonces b = 0, pero (1⁄2)ab = n es distinto de cero, una contradicción).
Mediante cálculo se demuestra que estos tres números satisfacen las dos ecuaciones para los a, b y c anteriores.
En particular, de las fórmulas en las dos correspondencias, para n racional se comprueba que a, b y c son racionales si y solo si los correspondientes x e y son racionales, y viceversa.
También se tiene que a, b y c son todos positivos si y solo si x e y son todos positivos; de la ecuación y2 = x3 - xn2 = x(x2 - n2) se deduce que si x e y son positivos, entonces x2 - n2 debe ser positivo, por lo que la fórmula para a anterior da un valor positivo.
Por lo tanto, un número racional positivo n es congruente si y solo si la ecuación tiene un punto racional con y distinto de 0.
Se puede demostrar (como una aplicación del teorema de Dirichlet sobre números primos en progresión aritmética) que los únicos puntos de torsión en esta curva elíptica son aquellos con y igual a 0, por lo tanto, la existencia de un punto racional con y distinto de cero equivale a decir que la curva elíptica tiene rango positivo.
Otro enfoque para resolver es comenzar con el valor entero de n denotado como N y resolver donde David Goldberg ha calculado números libres de cuadrados congruentes menores que 104, junto con los valores correspondientes de a y b.
[9] Se ha trabajado mucho clasificando números congruentes.
Por ejemplo, se sabe[10] que para un número primo p, se cumple lo siguiente: También se sabe[11] que en cada una de las clases de congruencia 5, 6, 7 (mod 8), para cualquier k dado hay infinitos números congruentes libres de cuadrados con k factores primos.
