Espiral de Teodoro
Este proceso se repite; el i-ésimo triángulo en la secuencia es un triángulo rectángulo con sus catetos de longitud √i y 1, e hipotenusa √(i + 1).
En la imagen que encabeza el artículo, se ha representado hasta la raíz cuadrada de 17, valor hasta el que Teodoro extendió sus cálculos.
A pesar de haberse perdido todas las obras de Teodoro, Platón en su diálogo Teeteto incluye referencias a él y a sus trabajos, en los que se supone que demostró la irracionalidad de las raíces desde la 3 hasta la 17 por medio de esta espiral.
[2] Platón no atribuye a Teodoro la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2, al ser ya conocida por matemáticos anteriores a Teodoro.
[2] Teodoro finalizó su espiral en el triángulo rectángulo de hipotenusa √17.
Si la espiral continua con la construcción de infinitos triángulos, surgen muchas características y propiedades interesantes.
Cada una de las hipotenusas de los triángulos hi (que se corresponden con los radios de la espiral) dan la raíz cuadrada para el número natural consecutivo, con h1 = √2, h2 = √3, h3 = √4=2 y así sucesivamente.
En 1958, Erich Teuffel demostró que no hay dos hipotenusas de los triángulos con los que se construye la hélice, que coincidan sobre el mismo radio.
[3][4] Si φn es el ángulo del n-ésimo triángulo (o segmento de espiral), entonces:
La suma de los ángulos de los primeros k triángulos, se designa ángulo total φ(k) del k triángulo, y es igual a:
El crecimiento del radio de la espiral hasta un cierto triángulo n es
Dado que el incremento del radio en cada vuelta tiende a Π, a medida que se incrementa el número de vueltas, la longitud de la espira tiende a crecer en cada vuelta:
y el área de cada espira, tiende a incrementarse respecto a la anterior en:
La pregunta de cómo interpolar los puntos discretos de la espiral de Teodoro mediante una curva suave, se propuso y fue resuelta (Davis, 2001, pp.
Davis encontró la función que fue estudiada más a fondo por su alumno Leader[6] y por Iserles (en un apéndice a (Davis, 2001)).
Una caracterización axiomática de esta función se da en (Gronau, 2004) como la única función que satisface la ecuación funcional la condición inicial
También se estudian condiciones alternativas y debilitamientos.
Una deducción alternativa se da en (Heuvers, Moak y Boursaw, 2000).
