Binomio
En álgebra, un binomio consta únicamente de una suma o resta de dos monomios.
El resultado de multiplicar un binomio a+b con un monomio c se obtiene aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la adición:
c ( a + b ) = c a + c b
o realizando la operación:
{\displaystyle {\begin{array}{rrr}&a&+b\\\times &&c\\\hline &ca&+cb\end{array}}}
Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura.
El área del rectángulo es c(a+b) (el producto de la base por la altura), pero también puede obtenerse como la suma de las dos áreas(ca y cb).
Ejemplo: O también: El binomio
puede factorizarse como el producto de dos binomios: Demostración: Esta disposición suele llamarse diferencia de cuadrados, y es un caso especial de la fórmula:
{\displaystyle a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\sum _{k=0}^{n}a^{k}\,b^{n-k}}
El producto de un par de binomios lineales
( a x + b )
( c x + d )
es: Un binomio elevado a la n-ésima potencia, se escribe:
, y puede desarrollarse utilizando la fórmula de teorema de Newton o, equivalentemente, con ayuda del triángulo de Pascal.
El ejemplo más sencillo es el cuadrado perfecto:
Al elevar un binomio al cuadrado, se lo multiplica por sí mismo:
La operación se efectúa del siguiente modo:
{\displaystyle {\begin{array}{rrr}&a&+b\\\times &a&+b\\\hline &+ab&+b^{2}\\a^{2}&+ab&\\\hline a^{2}&+2ab&+b^{2}\end{array}}}
De aquí se puede derivar una regla para el cálculo directo: se suman los cuadrados de cada término con el doble producto de los mismos.
Un trinomio de la forma
, se conoce como trinomio cuadrado perfecto; Cuando el segundo término es negativo:
La operación se efectúa del siguiente modo:
{\displaystyle {\begin{array}{rrr}&a&-b\\\times &a&-b\\\hline &-ab&+b^{2}\\a^{2}&-ab&\\\hline a^{2}&-2ab&+b^{2}\end{array}}}
Ejemplo: Si se quiere hallar la derivada de la función cuadrática
, se desarrolla el binomio
El coeficiente del término en
Obsérvese que si consideramos el trinomio del desarrollo como dependiente de
En el cuatrinomio resultante, el coeficiente de
, que es la derivada de
