Sistema formal

Un sistema formal o sistema lógico es un sistema abstracto compuesto por un lenguaje formal, axiomas, reglas de inferencia y a veces una semántica formal, que se utiliza para deducir o demostrar teoremas y dar una definición rigurosa del concepto de demostración.

Al crear un sistema formal se pretende capturar y abstraer la esencia de determinadas características del mundo real, en un modelo conceptual expresado en un determinado lenguaje formal.

Un sistema así es la reducción de un lenguaje formalizado a meros símbolos, lenguaje formalizado y simbolizado sin contenido material alguno; un lenguaje reducido a mera forma que se expresa mediante fórmulas que reflejan las relaciones sintácticas entre los símbolos y las reglas de formación y transformación que permiten construir las fórmulas del sistema y pasar de una fórmula a otra.

En el siglo XX, Hilbert y otros sostuvieron que la matemática es un sistema formal.

Pero en 1931, Kurt Gödel demostró que ningún sistema formal con suficiente poder expresivo para capturar la aritmética de Peano puede ser a la vez consistente y completo.

En este caso, los teoremas de M serán: aa, aaa, aaaa, aaaaa, ... Es decir todas las fórmulas bien formadas, excepto a.

Existe un debate sobre si es correcto hablar de una lógica, o de varias lógicas, pero en el siglo XX se han desarrollado no uno, sino varios sistemas formales diferentes, que capturan y formalizan distintas partes del lenguaje natural.