Axiomas de Peano
Los axiomas de Peano o postulados de Peano son un sistema de axiomas de segundo orden para la aritmética ideados por el matemático Giuseppe Peano en el siglo XIX, para definir los números naturales.
Estos axiomas se han utilizado prácticamente en diversas investigaciones matemáticas, incluyendo cuestiones acerca de la consistencia y completitud de la aritmética y la teoría de números.
Da una lista de nueve axiomas, de los cuales cuatro versan sobre el uso del signo "
Los demás se conocen como "Axiomas de Peano".
Los matemáticos los consideran como la plataforma preliminar para forjar los siguientes conjuntos usuales de números.
[1] Los axiomas de Peano describen las propiedades aritméticas de los números naturales, normalmente representados como un conjunto N El primer axioma indica: La formulación original de Peano usaba al 1 como el primer número natural, en lugar del 0, que se incluía en los axiomas de Formulario Matemático.
Generalmente se decide en cada caso si se incluye o no al 0 como primer número natural, dependiendo de si se necesita o no.
Como se dijo antes existe un debate sobre si incluir al
A continuación se presentan los axiomas de Peano de manera formal, contemplando ambas posibilidades: Los símbolos que designan los conceptos primitivos son
El símbolo N designa un predicado monádico que se lee «ser un número natural».
El símbolo 1, por su parte, designa una constante que pretende representar al número uno.
A esta función muchas veces se la escribe S(x).
representa una fórmula cualquiera de la aritmética, y
representa una fórmula cualquiera que tenga a x como variable libre.
Los cinco axiomas de Peano son:
Del quinto axioma existen dos variantes.
El primero está formulado en lógica de primer orden, y es en realidad un esquema de axioma.
A continuación se incluyen todas las variantes: Definiciones de suma y multiplicación: Axiomas de la suma y de la multiplicación: Los símbolos que designan los conceptos primitivos son
Cambiar los axiomas para que incluyan al 0 es solo una cuestión de cambiar toda aparición del 1 por el 0.
Sin embargo, en las definiciones (o los axiomas) de suma y de multiplicación hay que hacer algunos leves ajustes más: Definiciones de suma y multiplicación: Axiomas de la suma y de la multiplicación: Un modelo es una interpretación de los símbolos primitivos que hace verdaderos a todos los axiomas.
Lo mismo ocurre con todos los otros axiomas: bajo las interpretaciones naturales de
Originalmente, Peano propuso los axiomas para caracterizar a los números naturales, y los símbolos primitivos se debían interpretar de esta manera natural.
Sin embargo, los símbolos que designan a los conceptos primitivos admiten otras interpretaciones, algunas de las cuales serán además modelos.
Por ejemplo, se podría interpretar al símbolo
como el predicado «ser un número par», y a
En tal caso, los axiomas se tendrían que entender así: Bajo esta interpretación, todos los axiomas resultan verdaderos, y los axiomas ya no definen a los números naturales, sino a los números pares.
También es posible encontrar modelos (es decir, interpretaciones que hagan verdaderos a todos los axiomas) por fuera de la matemática.
Por ejemplo, se podría interpretar a 0 como el primer segundo luego del Big Bang, a
Bajo esta interpretación (y asumiendo que el tiempo es infinito) los axiomas también resultan verdaderos.
A aquellos modelos que no fueron originalmente planeados se los llama modelos inintencionales (non-intended models), y existen infinitos modelos inintencionales de la aritmética de Peano.
