Proceso de Ornstein–Uhlenbeck

De hecho, es el único proceso no trivial que satisface estas tres condiciones, permitiendo transformaciones lineales de las variables espacio y tiempo.

está definido por la siguiente ecuación diferencial estocástica : dónde

[2]​ [3]​ [4]​ A veces se añade un término adicional de deriva: dónde

, también conocido como ruido blanco, sustituye a la derivada supuesta

no existe porque el proceso de Wiener no es diferenciable, [6]​ debido a esto la ecuación de Langevin sólo tiene sentido si se interpreta en sentido distributivo.

[5]​ Esta función satisface la ecuación de Fokker-Planck dónde

Esta es una ecuación lineal parabólica en derivadas parciales que puede resolverse mediante diversas técnicas.

esto quiere decir, que para este último si el valor actual del proceso es menor que la media (de largo plazo), la deriva será positiva; si el valor actual del proceso es mayor que la media (de largo plazo), la deriva será negativa.

En otras palabras, la media actúa como un nivel de equilibrio para el proceso.

Esto le da al proceso su nombre informativo: "reversión a la media".

conseguimos con lo cual vemos A partir de esta representación, se demuestra que el primer momento (la media) es asumiendo

, la ecuación del valor propio se simplifica a:

, los estimadores de máxima verosimilitud para los parámetros del proceso de Ornstein-Uhlenbeck convergen asintóticamente a una distribución normal centrada en sus valores verdaderos.

Esta se basa en la discretización de la ecuación diferencial estocástica que define el proceso:

sea el número de bolas negras en la urna después

[11]​ Heurísticamente esto se puede obtener de la siguiente manera.

cuya dinámica está sobreamortiguada por el coeficiente de fricción

; su dinámica estocástica se describe mediante un proceso de Ornstein-Uhlenbeck con dónde

[12]​ [13]​ Este modelo se ha utilizado para caracterizar el movimiento de una partícula browniana en una trampa óptica .

representa el equilibrio o valor medio respaldado por los fundamentos ;

el grado de volatilidad que lo rodea causado por shocks, y

la velocidad con la que estos choques se disipan y la variable vuelve a la media.

Una aplicación del proceso es una estrategia comercial conocida como comercio de pares .

[17]​ Marcello Minenna deriva una implementación adicional del proceso Ornstein-Uhlenbeck para modelar el rendimiento de las acciones bajo una dinámica de distribución lognormal .

[20]​ Un modelo de movimiento browniano implica que los rasgos fenotípicos pueden moverse sin límite, mientras que para la mayoría de los fenotipos la selección natural impone un costo por moverse demasiado en cualquier dirección.

Además, en finanzas se utilizan procesos estocásticos donde la volatilidad aumenta para valores mayores de

En particular, el proceso CKLS (Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders) [25]​ con el término de volatilidad reemplazado por

Una versión multidimensional del proceso Ornstein-Uhlenbeck, denotada por el vector N -dimensional

[26]​ La solución es y la media es Estas expresiones hacen uso de la matriz exponencial .

, que satisface la ecuación de Fokker-Planck [27]​ donde la matriz