Paradoja de Banach-Tarski
Todavía más, el proceso de reensamblaje requiere únicamente remover las piezas y rotarlas, sin cambiar su forma.
A continuación vemos una versión más contundente del teorema: Dados dos objetos "razonablemente" sólidos (como una bola pequeña y una grande), cada una puede ser reensamblada en la otra.
Esta última forma se llama la "paradoja del guisante y el Sol."
La razón por la que se considera una paradoja a este teorema es porque contradice la intuición geométrica básica.
"Doblar la bola" dividiéndola en partes y removiéndolas por rotaciones, sin ningún estiramiento, curvatura, o adición de nuevos puntos, parece ser imposible, ya que todas estas operaciones conservan el volumen.
Entonces la proposición quiere decir que se puede dividir la bola original
La forma fuerte de la paradoja de Banach-Tarski es falsa para dimensión una o dos, pero Banach y Tarski mostraron que una proposición análoga se mantiene verdadera si se permiten muchos subconjuntos.
La paradoja de Banach-Tarski establece que una bola en el espacio euclídeo ordinario puede doblar su volumen usando solo las operaciones de partirla en subconjuntos, sustituir un conjunto por un conjunto congruente y reensamblar.
Su estructura matemática se esclarece mucho enfatizando el papel que juega el grupo de movimientos euclídeos e introduciendo las nociones de conjuntos equidescomponibles y conjunto paradójico.
De hecho, hay un resultado interesante en este caso, debido a Robinson:[5] Se puede conseguir doblar el número de bolas con cinco piezas, y con menos no será suficiente.
Así, si se aumenta el grupo para permitir biyecciones arbitrarias de
Todavía más, ya que un conjunto enumerable puede descomponerse en dos copias de él mismo, se podría esperar que de alguna forma, usando muchas piezas se pudiera hacer el truco.
Y destacan que aunque el segundo resultado encaja completamente con nuestra intuición geométrica, su demostración demuestra AE de forma incluso más sustancial que la demostración de la paradoja.
Por tanto Banach y Tarski implica que AE no debería ser rechazado simplemente porque produce una descomposición paradójica, porque tal argumento también socava demostraciones de proposiciones geométricas intuitivas.
Como Stan Wagon señala al final de su monografía, la paradoja de Banach-Tarski ha sido más significativa por su papel en matemática pura que por cuestiones fundamentales: motivó una nueva y fructífera dirección para la investigación, la flexibilidad de los grupos, que no tiene nada que ver con cuestiones fundamentales.
Aquí damos una idea de la demostración que es similar pero no idéntica a la dada por Banach y Tarski.
, consiste en todas las cadenas finitas que se pueden formar a partir de los cuatro símbolos
Este paso no puede realizarse con dimensión=2 ya que incluye rotaciones en 3D.
como una pieza extra después de doblar, ¡debido a la presencia del solitario
entonces resulta en una descomposición paradójica de la bola unidad sólida menos el punto del centro de la bola (este punto central es un poco más delicado, ver abajo).
Sin embargo, solo hay un número finito de tales puntos y, como el punto central de la esfera, es posible acomodar la demostración para que los tenga a todos en cuenta (ver abajo).
se basa en trasladar ciertos subconjuntos, el hecho de que algunos puntos estén fijos podría causar algún problema.
Con más álgebra se pueden descomponer órbitas fijas en cuatro conjuntos como en el paso 1.
Estos resultados se extienden por tanto a la bola unidad privada del origen.
Von Neumann hizo entonces la siguiente pregunta: ¿Puede semejante descomposición paradójica construirse si se permite un mayor grupo de equivalencias?
Debido a esto, von Neumann usó el grupo mayor
incluyendo las traslaciones, y construyó una descomposición paradójica del cuadrado unidad respecto al grupo expandido (en 1929).
Aplicando el método de Banach-Tarski, la paradoja del cuadrado puede fortalecerse como sigue: Cualesquiera dos subconjuntos acotados del plano euclídeo con interiores no vacíos son equidescomponibles respecto a las aplicaciones afines que conservan el área.
Como von Neumann hace notar,[11] Para explicar esto un poco más, la cuestión de si una medida finita aditiva existe, que se preserva bajo ciertas transformaciones, depende de qué transformaciones se permiten.
En general, las descomposiciones paradójicas aparecen cuando el grupo usado para equivalencias en la definición de equidescomponibilidad no es flexible.
