En matemática, el grupo ortogonal de grado n sobre un cuerpo
Este es un subgrupo del grupo general lineal
coinciden; en caso contrario el índice de
son grupos algebraicos, porque la condición que una matriz sea ortogonal, es decir que su propia transpuesta sea su inversa, se puede expresar como un conjunto de ecuaciones polinómicas en las entradas de la matriz.
de los números reales, el grupo ortogonal
son grupos de Lie reales, compactos y de dimensión n (n -1)/2.
Los grupos ortogonales especiales reales y ortogonales reales tienen interpretaciones geométricas simples.
O(n, R) es isomorfo al grupo de isometrías de Rn que dejan el origen fijo.
SO(n, R) es isomorfo al grupo de rotaciones de Rn que deja el origen fijo.
Este isomorfismo envía el número complejo exp(φi) = cos(φ) + isen(φ) a la matriz ortogonal:
El grupo SO(3, R), entendido como el conjunto de rotaciones del espacio de 3 dimensiones, es de gran importancia en las ciencias y la ingeniería.
Para una descripción detallada, véase grupo de rotación.
En términos de topología algebraica, para n > 2 el grupo fundamental de SO(n, R') es cíclico de orden 2, y el grupo espinorial Spin(n) es su cubrimiento universal.
Para n = 2 el grupo fundamental es cíclico infinito y el cubrimiento universal corresponde a la recta real.
El álgebra de Lie asociada a los grupos de Lie O(n, R) y SO(n, R) consiste en las matrices anti-simétricas reales n por n, con el corchete de Lie dado por el conmutador.
Esta álgebra de Lie es denotada a menudo por el o(n, R) o por el so(n, R).
Sobre el cuerpo C de los números complejos, O(n, C) y SO(n, C) son grupos de Lie complejos de dimensión n (n -1)/2 sobre C (que significa que la dimensión sobre R es dos veces esa).
O(n, C) tiene dos componentes conexas, y SO(n, C) es la componente conexa que contiene la matriz identidad.
Para n ≥ 2 estos grupos son no compactos.
Exactamente como en el caso real SO(n, C) no es simplemente conexo.
Para n > 2 el grupo fundamental de SO(n, C) es cíclico de orden 2 mientras que el grupo fundamental de SO(2, C) es cíclico infinito.
El álgebra de Lie compleja asociada a O(n, C) y SO(n, C) consiste en las matrices anti-simétricas complejas n por n, con el corchete de Lie dado por el conmutador.