3-esfera
Alguna literatura se refiere a la 3-esfera como glomo, del latín glomus, balón.
En geometría, 3-esfera es la superficie de una esfera, mientras que en topología se refieren a ella como una 2-esfera y la indican como
[1] Llamativamente, geómetras y topólogos adoptan convenios incompatibles para el significado de "n-esfera".
Cuando la 3-esfera se mueve a través de un hiperplano tridimensional dado, la intersección comienza como un punto, luego se convierte en una 2-esfera creciente que alcanza su tamaño máximo cuando el hiperplano corta directamente a través del "medio" de la 3-esfera, y finalmente la 2-esfera se "encoge" nuevamente hasta ser un solo punto a medida que la 3-esfera abandona el hiperplano.
Existe una conjetura, llamada conjetura de Poincaré, que sostiene que la 3-esfera es la única variedad tridimensional con estas propiedades (salvo homeomorfismo).
Inicialmente Poincaré conjeturó que todas las 3-esferas de homología eran homomórficas a S3, pero luego logró construir una no homomórfica, ahora conocida como la esfera de Poincaré.
Los grupos de homotopia más grandes (k ≥ 4) son todos abelianos finitos, pero además de ello no siguen ningún patrón discernible.
El espacio orbital de esta acción es naturalmente homomorfo con la 2-esfera S2.
Además, como la multiplicación cuaterniónica es regular (infinitamente diferenciable), S3 puede ser visto como un grupo de Lie.
La estructura octoniónica da a S7 una importante propiedad: la paralelizabilidad.
Una elección (de ningún modo la única posible) es utilizar (ψ, θ, φ) donde donde ψ y θ se desplazan en el rango de (0,π), y φ se desplaza en (0,2π), donde al igual que en el caso de la 2-esfera, no es posible parametrizar todo el espacio con una única elección de las coordenadas (en la 2-esfera, al menos un meridiano que va del polo norte al polo sur queda sin parametrizar), para ello se tendrían que coger otros rangos que cubran las partes sin parametrizar.
Nótese también que para cualquier valor fijo de ψ, θ y φ parametrizan una 2-esfera de radio sen(ψ).
El tensor métrico sobre la 3-esfera en estas coordenadas está determinado por y la forma de volumen por Estas coordenadas pueden ser descritas en términos de cuaterniones.
Ahora los cuaterniones imaginarios unidad yacen todos sobre la 2-esfera unidad en Im H, de modo que cualquier τ puede escribirse como: Con τ de esta forma, el cuaternión unidad q está dado por donde las x son como se indica más arriba.
Cuando se usa q para describir rotaciones espaciales (cf.
(Nótese que aquí la división está bien definida, aun cuando la multiplicación cuaterniiónica es generalmente no conmutativa).
La inversa de este mapa transforma p = (x0, x1, x2, x3) en S3 en Bien podríamos haber proyectado sobre el plano tangente al punto (−1, 0, 0, 0), en cuyo caso el punto p estaría dado por donde v = (v1, v2, v3) es un vector en el segundo R3.
La inversa de este mapa transforma p en Nótese que las coordenadas u están definidas en todas partes excepto (−1, 0, 0, 0) y las coordenadas v en todas partes excepto (1, 0, 0, 0).
Esto define un atlas sobre S3 que consiste de dos cartas coordinadas.
Nótese también que la función de transición entre estas dos cartas en su superposición está dada por y viceversa.
lo que permite calcular los In también por inducción, conociendo I0 e I1.
La función gamma Γ íntimamente relacionada con los factoriales permite expresar sin inducción el volumen de una esfera de radio r en dimensión n.
[2] Stephen Baxter usó la 3-esfera en su cuento Dante and the 3-Sphere, una historia en la que un científico y teólogo aparentemente loco "se da cuenta" de que Dante en la "Divina Comedia" se refiere a una transversal a través de múltiples 3-esferas.
