Hipótesis de Poincaré
Este último enunciado es equivalente a decir que solo hay una variedad cerrada y simplemente conexa de dimensión 3: la esfera cuatridimensional.
Ese mismo año, Stephen Smale lo consiguió para n igual o mayor que 7 y, en 1962, John R. Stallings para el caso n=6.
El problema es que, resuelto con éxito para todas las demás dimensiones, el caso original n=3, planteado por Poincaré, se resistía denodadamente a cualquier demostración matemática hasta que el matemático ruso Grigori Perelmán hizo pública su hazaña publicando su demostración.
Justamente por resolver este problema, Perelmán había recibido en 2006 la medalla Fields, considerada el Nobel de la matemática, otro premio que también rechazó.
El flujo de Ricci suele deformar la variedad hacia una forma más redondeada, excepto en algunos casos en los que estira la variedad separándola de sí misma hacia lo que se conoce como singularidades.
Perelman y Hamilton cortan entonces la variedad en las singularidades (un proceso llamado "cirugía"), haciendo que las piezas separadas adquieran formas esféricas.
El flujo de Ricci sólo se definió para variedades suaves y diferenciables.
Perelman descubrió que las singularidades eran todas muy simples: esencialmente cilindros tridimensionales formados por esferas estiradas a lo largo de una línea.
Un cilindro ordinario se hace tomando círculos estirados a lo largo de una línea.
Perelman lo demostró utilizando algo llamado "volumen reducido", que está estrechamente relacionado con un valor propio de una cierta ecuación elíptica.
Corta los filamentos y sigue deformando la variedad hasta que, finalmente, se queda con una colección de esferas redondas tridimensionales.
Perelman verificó lo que ocurría con el área de la superficie mínima cuando la variedad se rebanaba.
Esto es descrito como una batalla con una Hidra por Christina Sormani en el libro de Szpiro citado más abajo.
El enunciado no pudo ser resuelto durante un siglo y su demostración fue considerada uno de los siete problemas del milenio propuestos por el Clay Mathematics Institute.
El matemático ruso Grigori Perelmán anunció haberlo hecho en 2002 a través de dos publicaciones en internet.
La Academia China de Ciencias, en defensa de Zhu Xiping y Cao Huaidong, afirmó que el ruso «estableció las líneas generales para probar la conjetura, pero no dijo específicamente cómo resolver el enigma».
Perelmán no se presentó al Congreso de Madrid y rechazó la medalla.
La idea básica es intentar "mejorar" esta métrica; por ejemplo, si la métrica puede mejorarse lo suficiente como para que tenga curvatura positiva constante, entonces, según los resultados clásicos de la geometría de Riemann, debe ser la 3-esfera.
Si, por el contrario, sólo se tiene una métrica riemanniana arbitraria, las ecuaciones del flujo de Ricci deben conducir a singularidades más complicadas.
El mayor logro de Perelman fue demostrar que, si se adopta cierta perspectiva, si aparecen en un tiempo finito, estas singularidades sólo pueden parecer esferas o cilindros que se encogen.
Esta condición sobre el grupo fundamental resulta ser necesaria y suficiente para la extinción en tiempo finito.
En el contexto en el que no se hace ninguna suposición sobre el grupo fundamental, Perelman hizo un estudio técnico adicional del límite de la variedad para tiempos infinitamente grandes y, al hacerlo, demostró la conjetura de geometrización de Thurston: a tiempos grandes, la variedad tiene una «descomposición gruesa-delgada», cuya parte gruesa tiene una estructura hiperbólica y cuya parte delgada es una variedad gráfica.
