Serie de potencias formales

Suma infinita que se considera independientemente de cualquier noción de convergencia.

En matemáticas , una serie formal es una suma infinita que se considera independientemente de cualquier noción de convergencia , y puede ser manipulada con las operaciones algebraicas habituales sobre series (suma, resta, multiplicación, división, sumas parciales , etc.).

Una serie de potencias formal es un tipo especial de serie formal, cuyos términos tienen la forma donde es la ésima potencia de una variable ( es un número entero no negativo ), y se llama coeficiente. Por lo tanto, las series de potencias pueden verse como una generalización de polinomios , donde se permite que el número de términos sea infinito, sin requisitos de convergencia. Por lo tanto, es posible que la serie ya no represente una función de su variable, sino simplemente una secuencia formal de coeficientes, a diferencia de una serie de potencias , que define una función tomando valores numéricos para la variable dentro de un radio de convergencia. En una serie de potencias formal, se utilizan sólo como titulares de posición para los coeficientes, de modo que el coeficiente de es el quinto término de la secuencia. En combinatoria , el método de generación de funciones utiliza series de potencias formales para representar secuencias numéricas y conjuntos múltiples , permitiendo por ejemplo expresiones concisas para secuencias definidas recursivamente independientemente de si la recursividad se puede resolver explícitamente. De manera más general, las series de potencias formales pueden incluir series con cualquier número finito (o contable) de variables y con coeficientes en un anillo arbitrario . ${\displaystyle ax^{n}}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle x^{5}}$

Los anillos de series de potencias formales son anillos locales completos , y esto permite utilizar métodos similares al cálculo en el marco puramente algebraico de la geometría algebraica y el álgebra conmutativa . Son análogos en muchos aspectos a los enteros p -ádicos , que pueden definirse como series formales de las potencias de p .

Introducción

Una serie de potencias formal se puede considerar en términos generales como un objeto similar a un polinomio , pero con infinitos términos. Alternativamente, para aquellos familiarizados con las series de potencias (o series de Taylor ), se puede pensar en una serie de potencias formal como una serie de potencias en la que ignoramos cuestiones de convergencia al no asumir que la variable X denota ningún valor numérico (ni siquiera un valor desconocido). ). Consideremos, por ejemplo, la serie

${\displaystyle A=1-3X+5X^{2}-7X^{3}+9X^{4}-11X^{5}+\cdots .}$

Si estudiáramos esto como una serie de potencias, sus propiedades incluirían, por ejemplo, que su radio de convergencia es 1. Sin embargo, como una serie de potencias formal, podemos ignorar esto por completo; lo único relevante es la secuencia de coeficientes [1, −3, 5, −7, 9, −11, ...]. En otras palabras, una serie de potencias formal es un objeto que simplemente registra una secuencia de coeficientes. Es perfectamente aceptable considerar una serie de potencias formal con los factoriales [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ...] como coeficientes, aunque la serie de potencias correspondiente diverja para cualquier valor distinto de cero de X. .

La aritmética de series de potencias formales se lleva a cabo simplemente suponiendo que las series son polinomios. Por ejemplo, si

${\displaystyle B=2X+4X^{3}+6X^{5}+\cdots ,}$

luego sumamos A y B término por término:

${\displaystyle A+B=1-X+5X^{2}-3X^{3}+9X^{4}-5X^{5}+\cdots .}$

Podemos multiplicar series de potencias formales, nuevamente tratándolas como polinomios (ver en particular el producto de Cauchy ):

${\displaystyle AB=2X-6X^{2}+14X^{3}-26X^{4}+44X^{5}+\cdots .}$

Observe que cada coeficiente del producto AB solo depende de un número finito de coeficientes de A y B. Por ejemplo, el término X ⁵ viene dado por

${\displaystyle 44X^{5}=(1\times 6X^{5})+(5X^{2}\times 4X^{3})+(9X^{4}\times 2X).}$

Por esta razón, uno puede multiplicar series de potencias formales sin preocuparse por las cuestiones habituales de convergencia absoluta , condicional y uniforme que surgen al tratar con series de potencias en el marco del análisis .

Una vez que hemos definido la multiplicación para series de potencias formales, podemos definir las inversas multiplicativas de la siguiente manera. El inverso multiplicativo de una serie de potencias formal A es una serie de potencias formal C tal que AC = 1, siempre que exista dicha serie de potencias formal. Resulta que si A tiene inverso multiplicativo, es único y lo denotamos por A ⁻¹ . Ahora podemos definir la división de series de potencias formales definiendo B / A como el producto BA ⁻¹ , siempre que exista la inversa de A. Por ejemplo, se puede utilizar la definición de multiplicación anterior para verificar la fórmula familiar

${\displaystyle {\frac {1}{1+X}}=1-X+X^{2}-X^{3}+X^{4}-X^{5}+\cdots .}$

Una operación importante en series de potencias formales es la extracción de coeficientes. En su forma más básica, el operador de extracción de coeficientes aplicado a una serie de potencias formal en una variable extrae el coeficiente de la enésima potencia de la variable, de modo que y . Otros ejemplos incluyen ${\displaystyle [X^{n}]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle [X^{2}]A=5}$ ${\displaystyle [X^{5}]A=-11}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[X^{3}\right](B)&=4,\\\left[X^{2}\right](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})&=3Y^{3},\\\left[X^{2}Y^{3}\right](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})&=3,\\\left[X^{n}\right]\left({\frac {1}{1+X}}\right)&=(-1)^{n},\\\left[X^{n}\right]\left({\frac {X}{(1-X)^{2}}}\right)&=n.\end{aligned}}}$

De manera similar, muchas otras operaciones que se llevan a cabo con polinomios se pueden extender al escenario de series de potencias formales, como se explica a continuación.

El anillo de la serie de potencias formales.

Si se considera el conjunto de todas las series de potencias formales en X con coeficientes en un anillo conmutativo R , los elementos de este conjunto constituyen colectivamente otro anillo que se escribe y se llama anillo de series de potencias formales en la  variable X sobre R. ${\displaystyle R[[X]],}$

Definición del anillo formal de series de potencias.

Se puede caracterizar de manera abstracta como la compleción del anillo polinomial dotado de una métrica determinada . Esto da automáticamente la estructura de un anillo topológico (e incluso de un espacio métrico completo). Pero la construcción general de una finalización de un espacio métrico es más complicada de lo que se necesita aquí, y haría que las series de potencias formales parecieran más complicadas de lo que son. Es posible describir más explícitamente y definir la estructura de anillo y la estructura topológica por separado, como sigue. ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle R[[X]]}$

Estructura de anillo

Como conjunto, puede construirse como el conjunto de todas las secuencias infinitas de elementos de , indexados por los números naturales (incluido el 0). Al designar una secuencia cuyo término en el índice es por , se define la suma de dos de esas secuencias por ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

y multiplicación por

${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\times (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{\!n\in \mathbb {N} }.}$

Este tipo de producto se llama producto de Cauchy de las dos secuencias de coeficientes, y es una especie de convolución discreta . Con estas operaciones, se convierte en un anillo conmutativo con elemento cero e identidad multiplicativa . ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle (0,0,0,\ldots )}$ ${\displaystyle (1,0,0,\ldots )}$

De hecho, el producto es el mismo que se utiliza para definir el producto de polinomios en un indeterminado, lo que sugiere utilizar una notación similar. Uno se incrusta enviando cualquier (constante) a la secuencia y designa la secuencia mediante ; luego, utilizando las definiciones anteriores, cada secuencia con sólo un número finito de términos distintos de cero se puede expresar en términos de estos elementos especiales como ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle a\in R}$ ${\displaystyle (a,0,0,\ldots )}$ ${\displaystyle (0,1,0,0,\ldots )}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},0,0,\ldots )=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i};}$

estos son precisamente los polinomios en . Dado esto, es bastante natural y conveniente designar una secuencia general mediante la expresión formal , aunque esta última no sea una expresión formada por las operaciones de suma y multiplicación definidas anteriormente (a partir de las cuales sólo se pueden construir sumas finitas). Esta convención de notación permite reformular las definiciones anteriores como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}}$

${\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }(a_{i}+b_{i})X^{i}}$

y

${\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)X^{n}.}$

lo cual es bastante conveniente, pero hay que ser consciente de la distinción entre suma formal (una mera convención) y suma real.

Estructura topológica

Habiendo estipulado convencionalmente que

a uno le gustaría interpretar el lado derecho como una suma infinita bien definida. Para ello, se define una noción de convergencia y se construye una topología . Hay varias formas equivalentes de definir la topología deseada. ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$

• Podemos dar la topología del producto , donde a cada copia se le da la topología discreta . ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle R}$
• Podemos dar la topología I-ádica , donde está el ideal generado por , que consta de todas las secuencias cuyo primer término es cero. ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I=(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a_{0}}$
• La topología deseada también podría derivarse de la siguiente métrica . La distancia entre secuencias distintas se define como ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n})\in R^{\mathbb {N} },}$
  $${\displaystyle d((a_{n}),(b_{n}))=2^{-k},}$$
  ¿ Dónde está el número natural más pequeño tal que ; la distancia entre dos secuencias iguales es, por supuesto, cero. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a_{k}\neq b_{k}}$

Informalmente, dos secuencias y se acercan cada vez más si y sólo si cada vez más de sus términos concuerdan exactamente. Formalmente, la secuencia de sumas parciales de alguna suma infinita converge si para cada potencia fija del coeficiente se estabiliza: hay un punto más allá del cual todas las sumas parciales adicionales tienen el mismo coeficiente. Este es claramente el caso para el lado derecho de ( 1 ), independientemente de los valores , ya que la inclusión del término for da el último (y de hecho el único) cambio al coeficiente de . También es obvio que el límite de la secuencia de sumas parciales es igual al lado izquierdo. ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (b_{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle i=n}$ ${\displaystyle X^{n}}$

Esta estructura topológica, junto con las operaciones en anillo descritas anteriormente, forman un anillo topológico. Esto se llama anillo de series de potencias formales ${\displaystyle R}$ y se denota por . La topología tiene la útil propiedad de que una suma infinita converge si y sólo si la secuencia de sus términos converge a 0, lo que simplemente significa que cualquier potencia fija de ocurre sólo en un número finito de términos. ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle X}$

La estructura topológica permite un uso mucho más flexible de sumatorias infinitas. Por ejemplo, la regla de la multiplicación se puede reformular simplemente como

${\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i,j\in \mathbb {N} }a_{i}b_{j}X^{i+j},}$

ya que sólo un número finito de términos de la derecha afectan a cualquier objeto fijo . Los productos infinitos también están definidos por la estructura topológica; Se puede ver que un producto infinito converge si y sólo si la secuencia de sus factores converge a 1 (en cuyo caso el producto es distinto de cero) o una infinidad de factores no tienen un término constante (en cuyo caso el producto es cero). ${\displaystyle X^{n}}$

Topologías alternativas

La topología anterior es la mejor topología para la cual

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}}$

siempre converge como una suma a la serie de potencias formales designada por la misma expresión, y a menudo es suficiente para dar un significado a sumas y productos infinitos, u otros tipos de límites que se desean usar para designar series de potencias formales particulares. Sin embargo, puede ocurrir ocasionalmente que se desee utilizar una topología más burda, de modo que ciertas expresiones que de otro modo divergirían se vuelven convergentes. Esto se aplica en particular cuando el anillo base ya viene con una topología distinta a la discreta, por ejemplo si también es un anillo de serie de potencias formal. ${\displaystyle R}$

En el anillo de series de potencias formales , la topología de la construcción anterior solo se relaciona con lo indeterminado , ya que la topología que se utilizó ha sido reemplazada por la topología discreta al definir la topología de todo el anillo. Entonces ${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]][[Y]]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]]}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }XY^{i}}$

converge (y su suma se puede escribir como ); sin embargo ${\displaystyle {\tfrac {X}{1-Y}}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }X^{i}Y}$

se consideraría divergente, ya que cada término afecta el coeficiente de . Esta asimetría desaparece si a la serie de potencias se le da la topología del producto donde a cada copia se le da su topología como un anillo de series de potencias formales en lugar de la topología discreta. Con esta topología, una secuencia de elementos de converge si el coeficiente de cada potencia de converge a una serie de potencias formal en , una condición más débil que estabilizarse por completo. Por ejemplo, con esta topología, en el segundo ejemplo dado anteriormente, el coeficiente de converge a , por lo que toda la suma converge a . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]][[Y]]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{1-X}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {Y}{1-X}}}$

Esta forma de definir la topología es, de hecho, la estándar para construcciones repetidas de anillos de series de potencias formales, y proporciona la misma topología que se obtendría si se tomaran series de potencias formales en todos los indeterminados a la vez. En el ejemplo anterior eso significaría construir y aquí una secuencia converge si y sólo si el coeficiente de cada monomio se estabiliza. Esta topología, que también es la topología -ádica, donde es el ideal generado por y , todavía disfruta de la propiedad de que una sumatoria converge si y sólo si sus términos tienden a 0. ${\displaystyle \mathbb {Z} [[X,Y]]}$ ${\displaystyle X^{i}Y^{j}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I=(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

El mismo principio podría utilizarse para hacer converger otros límites divergentes. Por ejemplo en el límite ${\displaystyle \mathbb {R} [[X]]}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {X}{n}}\right)^{\!n}}$

no existe, por lo que en particular no converge a

${\displaystyle \exp(X)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {X^{n}}{n!}}.}$

Esto se debe a que el coeficiente de no se estabiliza como . Sin embargo, converge en la topología habitual de y, de hecho, con el coeficiente de . Por lo tanto, si se diera la topología producto de donde la topología de es la topología habitual en lugar de la discreta, entonces el límite anterior convergería a . Sin embargo, este enfoque más permisivo no es el estándar cuando se consideran series de potencias formales, ya que conduciría a consideraciones de convergencia que son tan sutiles como lo son en el análisis , mientras que la filosofía de las series de potencias formales, por el contrario, hace que las cuestiones de convergencia sean tan triviales como lo son en el análisis. posiblemente puedan serlo. Con esta topología no se daría el caso de que una sumatoria converja si y sólo si sus términos tienden a 0. ${\displaystyle i\geq 2}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{i}}/n^{i}}$ ${\displaystyle X^{i}}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{i!}}}$ ${\displaystyle \exp(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [[X]]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \exp(X)}$

propiedad universal

El anillo puede caracterizarse por la siguiente propiedad universal . Si es un álgebra asociativa conmutativa sobre , si es un ideal de tal que la topología -ádica de es completa, y si es un elemento de , entonces hay un único con las siguientes propiedades: ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \Phi :R[[X]]\to S}$

• ${\displaystyle \Phi }$es un homomorfismo de álgebra ${\displaystyle R}$

• ${\displaystyle \Phi }$es continuo

• ${\displaystyle \Phi (X)=x}$.

Operaciones en series de potencias formales.

Se pueden realizar operaciones algebraicas en series de potencias para generar nuevas series de potencias. ^{[1] [2]} Además de las operaciones de estructura de anillo definidas anteriormente, tenemos las siguientes.

Serie de potencias elevada a potencias

Para cualquier número natural n tenemos

$${\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}X^{k}\right)^{\!n}=\,\sum _{m=0}^{\infty }c_{m}X^{m},}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&=a_{0}^{n},\\c_{m}&={\frac {1}{ma_{0}}}\sum _{k=1}^{m}(kn-m+k)a_{k}c_{m-k},\ \ \ m\geq 1.\end{aligned}}}$$

(Esta fórmula sólo se puede utilizar si m y a ₀ son invertibles en el anillo de coeficientes).

En el caso de series de potencias formales con coeficientes complejos, las potencias complejas están bien definidas al menos para la serie f con término constante igual a 1. En este caso, se puede definir ya sea por composición con la serie binomial (1+ x ) ^α , o por composición con las series exponencial y logarítmica, o como solución de la ecuación diferencial con término constante 1, siendo equivalentes las tres definiciones. Las reglas del cálculo son fáciles de seguir. ${\displaystyle f^{\alpha }}$ ${\displaystyle f^{\alpha }=\exp(\alpha \log(f)),}$ ${\displaystyle f(f^{\alpha })'=\alpha f^{\alpha }f'}$ ${\displaystyle (f^{\alpha })^{\beta }=f^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle f^{\alpha }g^{\alpha }=(fg)^{\alpha }}$

Multiplicación inversa

Las series

${\displaystyle A=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\in R[[X]]}$

es invertible en si y solo si su coeficiente constante es invertible en . Esta condición es necesaria, por la siguiente razón: si suponemos que tiene inversa entonces el término constante de es el término constante de la serie identidad, es decir, es 1. Esta condición también es suficiente; podemos calcular los coeficientes de la serie inversa mediante la fórmula recursiva explícita ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B=b_{0}+b_{1}x+\cdots }$ ${\displaystyle a_{0}b_{0}}$ ${\displaystyle A\cdot B}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{a_{0}}},\\b_{n}&=-{\frac {1}{a_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i},\ \ \ n\geq 1.\end{aligned}}}$

Un caso especial importante es que la fórmula de la serie geométrica es válida en : ${\displaystyle R[[X]]}$

${\displaystyle (1-X)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }X^{n}.}$

Si es un campo, entonces una serie es invertible si y sólo si el término constante es distinto de cero, es decir, si y sólo si la serie no es divisible por . Esto significa que es un anillo de valoración discreto con parámetro uniformizador . ${\displaystyle R=K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K[[X]]}$ ${\displaystyle X}$

División

El cálculo de un cociente. ${\displaystyle f/g=h}$

${\displaystyle {\frac {\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n},}$

suponiendo que el denominador es invertible (es decir, es invertible en el anillo de escalares), se puede realizar como producto y la inversa de , o directamente igualando los coeficientes en : ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f=gh}$

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{a_{0}}}\left(b_{n}-\sum _{k=1}^{n}a_{k}c_{n-k}\right).}$

Extrayendo coeficientes

El operador de extracción de coeficientes aplicado a una serie de potencias formales

${\displaystyle f(X)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}$

en x se escribe

${\displaystyle \left[X^{m}\right]f(X)}$

y extrae el coeficiente de X ^m , de modo que

${\displaystyle \left[X^{m}\right]f(X)=\left[X^{m}\right]\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{m}.}$

Composición

Dada una serie de potencias formales

${\displaystyle f(X)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots }$

${\displaystyle g(X)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}=b_{0}+b_{1}X+b_{2}X^{2}+\cdots ,}$

uno puede formar la composición

${\displaystyle g(f(X))=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(f(X))^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n},}$

donde los coeficientes c _n se determinan "expandiendo" las potencias de f ( X ):

${\displaystyle c_{n}:=\sum _{k\in \mathbb {N} ,|j|=n}b_{k}a_{j_{1}}a_{j_{2}}\cdots a_{j_{k}}.}$

Aquí la suma se extiende sobre todos ( k , j ) con y con ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{+}^{k}}$ ${\displaystyle |j|:=j_{1}+\cdots +j_{k}=n.}$

La fórmula de Faà di Bruno proporciona una descripción más explícita de estos coeficientes , al menos en el caso en que el anillo de coeficientes sea un campo de característica 0 .

La composición sólo es válida cuando no tiene ningún término constante , de modo que cada uno depende sólo de un número finito de coeficientes de y . En otras palabras, la serie para converge en la topología de . ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle c_{n}}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle g(X)}$ ${\displaystyle g(f(X))}$ ${\displaystyle R[[X]]}$

Ejemplo

Supongamos que el anillo tiene la característica 0 y que los números enteros distintos de cero son invertibles en . Si denotamos por la serie de potencias formales ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \exp(X)}$

${\displaystyle \exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+{\frac {X^{4}}{4!}}+\cdots ,}$

entonces la expresión

${\displaystyle \exp(\exp(X)-1)=1+X+X^{2}+{\frac {5X^{3}}{6}}+{\frac {5X^{4}}{8}}+\cdots }$

tiene perfecto sentido como una serie de potencias formal. Sin embargo, la declaración

${\displaystyle \exp(\exp(X))\ {\stackrel {?}{=}}\ e\exp(\exp(X)-1)\ =\ e+eX+eX^{2}+{\frac {5eX^{3}}{6}}+\cdots }$

no es una aplicación válida de la operación de composición para series de potencias formales. Más bien, está confundiendo las nociones de convergencia en y convergencia en ; de hecho, es posible que el anillo ni siquiera contenga ningún número con las propiedades apropiadas. ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle e}$

Composición inversa

Siempre que una serie formal

${\displaystyle f(X)=\sum _{k}f_{k}X^{k}\in R[[X]]}$

tiene f ₀ = 0 y f ₁ es un elemento invertible de R , existe una serie

${\displaystyle g(X)=\sum _{k}g_{k}X^{k}}$

esa es la composición inversa de , lo que significa que componer con da la serie que representa la función de identidad . Los coeficientes de se pueden encontrar de forma recursiva utilizando la fórmula anterior para los coeficientes de una composición, equiparándolos con los de la identidad de composición X (es decir, 1 en el grado 1 y 0 en cada grado mayor que 1). En el caso de que el anillo de coeficientes sea un campo de característica 0, la fórmula de inversión de Lagrange (que se analiza a continuación) proporciona una herramienta poderosa para calcular los coeficientes de g , así como los coeficientes de las potencias (multiplicativas) de g . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x=0+1x+0x^{2}+0x^{3}+\cdots }$ ${\displaystyle g}$

Diferenciación formal

Dada una serie de potencias formal

${\displaystyle f=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}\in R[[X]],}$

definimos su derivada formal , denotada Df o f ′, por

${\displaystyle Df=f'=\sum _{n\geq 1}a_{n}nX^{n-1}.}$

El símbolo D se llama operador de diferenciación formal . Esta definición simplemente imita la diferenciación término por término de un polinomio.

Esta operación es R - lineal :

${\displaystyle D(af+bg)=a\cdot Df+b\cdot Dg}$

para cualquier a , b en R y cualquier f , g en Además, la derivada formal tiene muchas de las propiedades de la derivada habitual del cálculo. Por ejemplo, la regla del producto es válida: ${\displaystyle R[[X]].}$

${\displaystyle D(fg)\ =\ f\cdot (Dg)+(Df)\cdot g,}$

y la regla de la cadena también funciona:

${\displaystyle D(f\circ g)=(Df\circ g)\cdot Dg,}$

siempre que se definan las composiciones apropiadas de las series (ver arriba en composición de las series).

Por tanto, en estos aspectos las series de potencias formales se comportan como las series de Taylor . De hecho, para la f definida anteriormente, encontramos que

${\displaystyle (D^{k}f)(0)=k!a_{k},}$

donde D ^k denota la k ésima derivada formal (es decir, el resultado de derivar formalmente k veces).

Antidiferenciación formal

Si es un anillo con característica cero y los números enteros distintos de cero son invertibles en , entonces dada una serie de potencias formal ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle f=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}\in R[[X]],}$

definimos su antiderivada formal o integral indefinida formal por

${\displaystyle D^{-1}f=\int f\ dX=C+\sum _{n\geq 0}a_{n}{\frac {X^{n+1}}{n+1}}.}$

para cualquier constante . ${\displaystyle C\in R}$

Esta operación es R - lineal :

${\displaystyle D^{-1}(af+bg)=a\cdot D^{-1}f+b\cdot D^{-1}g}$

para cualquier a , b en R y cualquier f , g en Además, la antiderivada formal tiene muchas de las propiedades de la antiderivada habitual del cálculo. Por ejemplo, la antiderivada formal es el inverso derecho de la derivada formal: ${\displaystyle R[[X]].}$

${\displaystyle D(D^{-1}(f))=f}$

para cualquier . ${\displaystyle f\in R[[X]]}$

Propiedades

Propiedades algebraicas del anillo de series de potencias formales.

${\displaystyle R[[X]]}$es un álgebra asociativa que contiene el anillo de polinomios ; los polinomios corresponden a las sucesiones que terminan en ceros. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle R}$

El radical de Jacobson es el ideal generado por y el radical de Jacobson ; esto está implícito en el criterio de invertibilidad de elementos discutido anteriormente. ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R}$

Los ideales máximos de todos surgen de aquellos de la siguiente manera: un ideal de es máximo si y sólo si es un ideal máximo de y es generado como un ideal por y . ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle M\cap R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\cap R}$

Varias propiedades algebraicas de son heredadas por : ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[[X]]}$

• si es un anillo local , entonces también lo es (con el conjunto de no unidades, el ideal máximo único), ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[[X]]}$
• si es noetheriano , entonces también lo es (una versión del teorema de la base de Hilbert ), ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[[X]]}$
• si es un dominio integral , entonces también lo es , y ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[[X]]}$
• Si es un campo , entonces es un anillo de valoración discreto . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K[[X]]}$

Propiedades topológicas del anillo de series de potencias formales.

El espacio métrico está completo . ${\displaystyle (R[[X]],d)}$

El anillo es compacto si y sólo si R es finito . Esto se desprende del teorema de Tychonoff y de la caracterización de la topología como topología de producto. ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle R[[X]]}$

Preparación de Weierstrass

El anillo de series de potencias formales con coeficientes en un anillo local completo satisface el teorema de preparación de Weierstrass .

Aplicaciones

Las series de potencias formales se pueden utilizar para resolver recurrencias que ocurren en teoría de números y combinatoria. Para ver un ejemplo sobre cómo encontrar una expresión en forma cerrada para los números de Fibonacci , consulte el artículo sobre Ejemplos de generación de funciones .

Se pueden utilizar series de potencias formales para demostrar varias relaciones familiares del análisis en un entorno puramente algebraico. Consideremos, por ejemplo, los siguientes elementos de : ${\displaystyle \mathbb {Q} [[X]]}$

${\displaystyle \sin(X):=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}X^{2n+1}}$

${\displaystyle \cos(X):=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}X^{2n}}$

Entonces se puede demostrar que

${\displaystyle \sin ^{2}(X)+\cos ^{2}(X)=1,}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial X}}\sin(X)=\cos(X),}$

${\displaystyle \sin(X+Y)=\sin(X)\cos(Y)+\cos(X)\sin(Y).}$

Siendo válido el último en el ring. ${\displaystyle \mathbb {Q} [[X,Y]].}$

Para K un campo, el anillo se utiliza a menudo como el anillo local completo "estándar y más general" sobre K en álgebra. ${\displaystyle K[[X_{1},\ldots ,X_{r}]]}$

Interpretación de series de potencias formales como funciones.

En análisis matemático , cada serie de potencias convergentes define una función con valores en números reales o complejos . Las series de potencias formales sobre ciertos anillos especiales también pueden interpretarse como funciones, pero hay que tener cuidado con el dominio y el codominio . Dejar

${\displaystyle f=\sum a_{n}X^{n}\in R[[X]],}$

y supongamos que es un álgebra asociativa conmutativa sobre , es un ideal tal que la topología I-ádica es completa y es un elemento de . Definir: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{n\geq 0}a_{n}x^{n}.}$

Se garantiza que esta serie convergerá dados los supuestos anteriores en . Además, tenemos ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$

y

${\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x).}$

A diferencia de lo que ocurre con las funciones de buena fe, estas fórmulas no son definiciones sino que deben demostrarse.

Dado que la topología es la topología -ádica y es completa, podemos en particular aplicar series de potencias a otras series de potencias, siempre que los argumentos no tengan coeficientes constantes (para que pertenezcan al ideal ): , y estén todos bien definido para cualquier serie de potencias formales ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle (X)}$ ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle (X)}$ ${\displaystyle f(0)}$ ${\displaystyle f(X^{2}-X)}$ ${\displaystyle f((1-X)^{-1}-1)}$ ${\displaystyle f\in R[[X]].}$

Con este formalismo, podemos dar una fórmula explícita para el inverso multiplicativo de una serie de potencias cuyo coeficiente constante es invertible en : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a=f(0)}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle f^{-1}=\sum _{n\geq 0}a^{-n-1}(a-f)^{n}.}$

Si la serie de potencias formal con está dada implícitamente por la ecuación ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(0)=0}$

${\displaystyle f(g)=X}$

donde es una serie de potencias conocida con , entonces los coeficientes de se pueden calcular explícitamente utilizando la fórmula de inversión de Lagrange. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle g}$

Generalizaciones

Serie formal de Laurent

Las series formales de Laurent sobre un anillo se definen de manera similar a una serie formal de potencias, excepto que también permitimos un número finito de términos de grado negativo. Es decir, son las series que se pueden escribir como ${\displaystyle R}$

${\displaystyle f=\sum _{n=N}^{\infty }a_{n}X^{n}}$

para algún número entero , de modo que solo haya un número finito de números negativos con . (Esto es diferente de la serie clásica de Laurent de análisis complejo ). Para una serie de Laurent formal distinta de cero, el entero mínimo tal que se llama orden de y se denota (El orden de la serie cero es ). ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} (f).}$ ${\displaystyle +\infty }$

Se puede definir la multiplicación de tales series. De hecho, de manera similar a la definición de series de potencias formales, el coeficiente de dos series con sus respectivas secuencias de coeficientes y es ${\displaystyle X^{k}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{b_{n}\}}$

$${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {Z} }a_{i}b_{k-i}.}$$

La serie formal de Laurent forma el anillo de la serie formal de Laurent , denotada por . ^[a] Es igual a la localización del anillo de series de potencias formales con respecto al conjunto de potencias positivas de . Si es un campo , entonces es de hecho un campo, que alternativamente puede obtenerse como el campo de fracciones del dominio integral . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R((X))}$ ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle R=K}$ ${\displaystyle K((X))}$ ${\displaystyle K[[X]]}$

Al igual que con , el anillo de la serie formal de Laurent puede dotarse de la estructura de un anillo topológico introduciendo la métrica. ${\displaystyle R[[X]]}$ ${\displaystyle R((X))}$

$${\displaystyle d(f,g)=2^{-\operatorname {ord} (f-g)}.}$$

Se puede definir la diferenciación formal para las series formales de Laurent de forma natural (término por término). Precisamente, la derivada formal de la serie formal de Laurent anterior es ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f'=Df=\sum _{n\in \mathbb {Z} }na_{n}X^{n-1},}$$

${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \operatorname {ord} (f')=\operatorname {ord} (f)-1.}$$

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R}$

Residuo formal

Supongamos que es un campo de característica 0. Entonces el mapa ${\displaystyle K}$

${\displaystyle D\colon K((X))\to K((X))}$

es una - derivación que satisface ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \ker D=K}$

${\displaystyle \operatorname {im} D=\left\{f\in K((X)):[X^{-1}]f=0\right\}.}$

Esto último muestra que el coeficiente de in es de particular interés; se llama residuo formal de y se denota . El mapa ${\displaystyle X^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} (f)}$

${\displaystyle \operatorname {Res} :K((X))\to K}$

es -lineal, y por la observación anterior uno tiene una secuencia exacta ${\displaystyle K}$

${\displaystyle 0\to K\to K((X)){\overset {D}{\longrightarrow }}K((X))\;{\overset {\operatorname {Res} }{\longrightarrow }}\;K\to 0.}$

Algunas reglas de cálculo . Como consecuencia bastante directa de la definición anterior y de las reglas de derivación formal, se tiene, para cualquier ${\displaystyle f,g\in K((X))}$

1. ${\displaystyle \operatorname {Res} (f')=0;}$
2. ${\displaystyle \operatorname {Res} (fg')=-\operatorname {Res} (f'g);}$
3. ${\displaystyle \operatorname {Res} (f'/f)=\operatorname {ord} (f),\qquad \forall f\neq 0;}$
4. ${\displaystyle \operatorname {Res} \left((g\circ f)f'\right)=\operatorname {ord} (f)\operatorname {Res} (g),}$si ${\displaystyle \operatorname {ord} (f)>0;}$
5. ${\displaystyle [X^{n}]f(X)=\operatorname {Res} \left(X^{-n-1}f(X)\right).}$

La propiedad (i) es parte de la secuencia exacta anterior. La propiedad (ii) se deriva de (i) tal como se aplica a . Propiedad (iii): cualquiera puede escribirse en la forma , con y : entonces implica que es invertible, de donde Propiedad (iv): Ya que podemos escribir con . En consecuencia, y (iv) se deriva de (i) y (iii). La propiedad (v) se desprende claramente de la definición. ${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=X^{m}g}$ ${\displaystyle m=\operatorname {ord} (f)}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} (g)=0}$ ${\displaystyle f'/f=mX^{-1}+g'/g.}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} (g)=0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle K[[X]]\subset \operatorname {im} (D)=\ker(\operatorname {Res} ),}$ ${\displaystyle \operatorname {Res} (f'/f)=m.}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (D)=\ker(\operatorname {Res} ),}$ ${\displaystyle g=g_{-1}X^{-1}+G',}$ ${\displaystyle G\in K((X))}$ ${\displaystyle (g\circ f)f'=g_{-1}f^{-1}f'+(G'\circ f)f'=g_{-1}f'/f+(G\circ f)'}$

La fórmula de inversión de Lagrange

Como se mencionó anteriormente, cualquier serie formal con f ₀ = 0 y f ₁ ≠ 0 tiene una composición inversa. La siguiente relación entre los coeficientes de g ⁿ y f ^{− k} se cumple (" ${\displaystyle f\in K[[X]]}$ ${\displaystyle g\in K[[X]].}$Fórmula de inversión de Lagrange "):

${\displaystyle k[X^{k}]g^{n}=n[X^{-n}]f^{-k}.}$

En particular, para n  = 1 y todo k  ≥ 1,

${\displaystyle [X^{k}]g={\frac {1}{k}}\operatorname {Res} \left(f^{-k}\right).}$

Dado que la demostración de la fórmula de inversión de Lagrange es un cálculo muy breve, vale la pena informarla aquí. Observando que podemos aplicar las reglas de cálculo anteriores, de manera crucial la Regla (iv) sustituyendo , para obtener: ${\displaystyle \operatorname {ord} (f)=1}$ ${\displaystyle X\rightsquigarrow f(X)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}k[X^{k}]g^{n}&\ {\stackrel {\mathrm {(v)} }{=}}\ k\operatorname {Res} \left(g^{n}X^{-k-1}\right)\ {\stackrel {\mathrm {(iv)} }{=}}\ k\operatorname {Res} \left(X^{n}f^{-k-1}f'\right)\ {\stackrel {\mathrm {chain} }{=}}\ -\operatorname {Res} \left(X^{n}(f^{-k})'\right)\\&\ {\stackrel {\mathrm {(ii)} }{=}}\ \operatorname {Res} \left(\left(X^{n}\right)'f^{-k}\right)\ {\stackrel {\mathrm {chain} }{=}}\ n\operatorname {Res} \left(X^{n-1}f^{-k}\right)\ {\stackrel {\mathrm {(v)} }{=}}\ n[X^{-n}]f^{-k}.\end{aligned}}}$

Generalizaciones. Se puede observar que el cálculo anterior se puede repetir claramente en entornos más generales que K (( X )): ya está disponible una generalización de la fórmula de inversión de Lagrange trabajando en los módulos donde α es un exponente complejo. Como consecuencia, si f y g son como arriba, con , podemos relacionar las potencias complejas de f / X y g / X : precisamente, si α y β son números complejos distintos de cero con suma entera negativa, entonces ${\displaystyle \mathbb {C} ((X))}$ ${\displaystyle X^{\alpha }\mathbb {C} ((X)),}$ ${\displaystyle f_{1}=g_{1}=1}$ ${\displaystyle m=-\alpha -\beta \in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}[X^{m}]\left({\frac {f}{X}}\right)^{\alpha }=-{\frac {1}{\beta }}[X^{m}]\left({\frac {g}{X}}\right)^{\beta }.}$

Por ejemplo, de esta manera se encuentran las series de potencias para potencias complejas de la función de Lambert .

Serie de potencias en varias variables.

Se pueden definir series de potencias formales en cualquier número de indeterminados (incluso infinitos). Si I es un conjunto índice y X _I es el conjunto de indeterminados X _i para i ∈ I , entonces un monomio X ^α es cualquier producto finito de elementos de X _I (se permiten repeticiones); una serie de potencias formal en X _I con coeficientes en un anillo R se determina mediante cualquier aplicación del conjunto de monomios X ^α a un coeficiente correspondiente c _α , y se denota . Se denota el conjunto de todas estas series de potencias formales y se le da una estructura de anillo definiendo ${\textstyle \sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }}$ ${\displaystyle R[[X_{I}]],}$

${\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)+\left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right)=\sum _{\alpha }(c_{\alpha }+d_{\alpha })X^{\alpha }}$

y

${\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)\times \left(\sum _{\beta }d_{\beta }X^{\beta }\right)=\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }d_{\beta }X^{\alpha +\beta }}$

Topología

La topología de es tal que una secuencia de sus elementos converge sólo si para cada monomio X ^α el coeficiente correspondiente se estabiliza. Si I es finito, entonces esta es la topología J -ádica, donde J es el ideal de generado por todos los indeterminados en X _I . Esto no es válido si I es infinito. Por ejemplo, si entonces la secuencia con no converge con respecto a ninguna topología J -ádica en R , pero claramente para cada monomio el coeficiente correspondiente se estabiliza. ${\displaystyle R[[X_{I}]]}$ ${\displaystyle R[[X_{I}]]}$ ${\displaystyle I=\mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f_{n}=X_{n}+X_{n+1}+X_{n+2}+\cdots }$

Como se señaló anteriormente, la topología en un anillo de serie de potencias formal repetido generalmente se elige de tal manera que se vuelve isomórfico como un anillo topológico a ${\displaystyle R[[X]][[Y]]}$ ${\displaystyle R[[X,Y]].}$

Operaciones

Todas las operaciones definidas para series en una variable pueden extenderse al caso de varias variables.

• Una serie es invertible si y sólo si su término constante es invertible en R.
• La composición f ( g ( X ) ) de dos series f y g se define si f es una serie en un solo indeterminado y el término constante de g es cero. Para una serie f en varios indeterminados se puede definir de manera similar una forma de "composición", con tantas series separadas en lugar de g como indeterminados haya.

En el caso de la derivada formal, ahora existen operadores de derivada parcial separados , que diferencian con respecto a cada uno de los indeterminados. Todos viajan entre sí.

propiedad universal

En el caso de varias variables, la propiedad universal que caracteriza pasa a ser la siguiente. Si S es un álgebra asociativa conmutativa sobre R , si I es un ideal de S tal que la topología I -ádica en S es completa, y si x ₁ ,…, x _r son elementos de I , entonces hay un mapa único con las siguientes propiedades: ${\displaystyle R[[X_{1},\ldots ,X_{r}]]}$ ${\displaystyle \Phi :R[[X_{1},\ldots ,X_{r}]]\to S}$

• Φ es un homomorfismo de álgebra R
• Φ es continua
• Φ( X _i ) = x _i para i = 1, …, r .

Variables no conmutantes

El caso de varias variables se puede generalizar aún más tomando variables no conmutantes X _i para i ∈ I , donde I es un conjunto de índices y luego un monomio X ^α es cualquier palabra en X _I ; una serie de potencias formal en X _I con coeficientes en un anillo R se determina mediante cualquier aplicación del conjunto de monomios X ^α a un coeficiente correspondiente c _α , y se denota . El conjunto de todas estas series de potencias formales se denota como R « X _I », y se le da una estructura de anillo definiendo la suma puntualmente ${\displaystyle \textstyle \sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }}$

${\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)+\left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right)=\sum _{\alpha }(c_{\alpha }+d_{\alpha })X^{\alpha }}$

y multiplicación por

${\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)\times \left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right)=\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }d_{\beta }X^{\alpha }\cdot X^{\beta }}$

donde · denota concatenación de palabras. Estas series de potencias formales sobre R forman el anillo de Magnus sobre R. ^{[3] [4]}

en un semirremolque

Dado un alfabeto y un semiring . La serie de potencias formal apoyada en el lenguaje se denota por . Consta de todas las asignaciones , donde está el monoide libre generado por el conjunto no vacío . ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$ ${\displaystyle r:\Sigma ^{*}\to S}$ ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

Los elementos de se pueden escribir como sumas formales. ${\displaystyle S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$

${\displaystyle r=\sum _{w\in \Sigma ^{*}}(r,w)w.}$

donde denota el valor de en la palabra . Los elementos se llaman coeficientes de . ${\displaystyle (r,w)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle w\in \Sigma ^{*}}$ ${\displaystyle (r,w)\in S}$ ${\displaystyle r}$

Para el soporte de es el conjunto. ${\displaystyle r\in S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \operatorname {supp} (r)=\{w\in \Sigma ^{*}|\ (r,w)\neq 0\}}$

Una serie donde cada coeficiente es o se llama serie característica de su soporte. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

El subconjunto que consta de todas las series con un soporte finito se denota por y se llama polinomios. ${\displaystyle S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$ ${\displaystyle S\langle \Sigma ^{*}\rangle }$

Para y , la suma está definida por ${\displaystyle r_{1},r_{2}\in S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle r_{1}+r_{2}}$

${\displaystyle (r_{1}+r_{2},w)=(r_{1},w)+(r_{2},w)}$

El producto (Cauchy) está definido por ${\displaystyle r_{1}\cdot r_{2}}$

${\displaystyle (r_{1}\cdot r_{2},w)=\sum _{w_{1}w_{2}=w}(r_{1},w_{1})(r_{2},w_{2})}$

El producto Hadamard está definido por ${\displaystyle r_{1}\odot r_{2}}$

${\displaystyle (r_{1}\odot r_{2},w)=(r_{1},w)(r_{2},w)}$

Y los productos por un escalar y por ${\displaystyle sr_{1}}$ ${\displaystyle r_{1}s}$

${\displaystyle (sr_{1},w)=s(r_{1},w)}$y , respectivamente. ${\displaystyle (r_{1}s,w)=(r_{1},w)s}$

Con estas operaciones y quedan semirings, donde está la palabra vacía en . ${\displaystyle (S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle ,+,\cdot ,0,\varepsilon )}$ ${\displaystyle (S\langle \Sigma ^{*}\rangle ,+,\cdot ,0,\varepsilon )}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$

Estas series de potencias formales se utilizan para modelar el comportamiento de autómatas ponderados , en informática teórica , cuando los coeficientes de la serie se toman como el peso de una ruta con etiqueta en los autómatas. ^[5] ${\displaystyle (r,w)}$ ${\displaystyle w}$

Reemplazo del índice establecido por un grupo abeliano ordenado

Supongamos que es un grupo abeliano ordenado, es decir, un grupo abeliano con un orden total que respeta la suma del grupo, de modo que si y solo si para todos . Sea I un subconjunto bien ordenado de , lo que significa que I no contiene una cadena descendente infinita. Consideremos el conjunto formado por ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle a+c<b+c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}X^{i}}$

para todos esos I , en un anillo conmutativo , donde asumimos que para cualquier conjunto de índices, si todos son cero, entonces la suma es cero. Entonces el anillo de la serie de potencias formales está en ; debido a la condición de que el conjunto de indexación esté bien ordenado, el producto está bien definido y, por supuesto, suponemos que dos elementos que difieren en cero son iguales. A veces la notación se utiliza para denotar . ^[6] ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle R((G))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [[R^{G}]]}$ ${\displaystyle R((G))}$

Varias propiedades de transferencia a . Si es un campo, entonces también lo es . Si es un campo ordenado, podemos ordenar estableciendo que cualquier elemento tenga el mismo signo que su coeficiente principal, definido como el elemento menor del conjunto de índices I asociado a un coeficiente distinto de cero. Finalmente si es un grupo divisible y es un campo real cerrado , entonces es un campo real cerrado, y si es algebraicamente cerrado , entonces también lo es . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R((G))}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R((G))}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R((G))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R((G))}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R((G))}$

Esta teoría se debe a Hans Hahn , quien también demostró que se obtienen subcampos cuando el número de términos (distintos de cero) está limitado por alguna cardinalidad infinita fija.

Ejemplos y temas relacionados

• Las series de Bell se utilizan para estudiar las propiedades de funciones aritméticas multiplicativas.
• Los grupos formales se utilizan para definir una ley de grupo abstracta utilizando series de potencias formales.
• Las series de Puiseux son una extensión de las series formales de Laurent, permitiendo exponentes fraccionarios
• Serie racional

Ver también

• Anillo de series de potencias restringidas

Notas

1. Para cada serie formal de Laurent distinta de cero, el orden es un número entero (es decir, los grados de los términos están acotados a continuación). Pero el anillo contiene series de todos los pedidos. ${\displaystyle R((X))}$

Referencias

1. Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. "0,313". En Zwillinger, Daniel; Moll, Víctor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Prensa académica, Inc. pág. 18.ISBN _ 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.(Varias ediciones anteriores también).
2. Niven, Ivan (octubre de 1969). "Serie de poder formal". Mensual Matemático Estadounidense . 76 (8): 871–889. doi :10.1080/00029890.1969.12000359.
3. Koch, Helmut (1997). Teoría algebraica de números . Encíclica. Matemáticas. Ciencia. vol. 62 (segunda impresión de la 1ª ed.). Springer-Verlag . pag. 167.ISBN _ 978-3-540-63003-6. Zbl  0819.11044.
4. Morán, Siegfried (1983). La teoría matemática de nudos y trenzas: una introducción . Estudios de Matemáticas de Holanda Septentrional. vol. 82. Elsevier. pag. 211.ISBN _ 978-0-444-86714-8. Zbl  0528.57001.
5. Droste, M. y Kuich, W. (2009). Serie Semirings y Power Formal. Manual de autómatas ponderados , 3–28. doi :10.1007/978-3-642-01492-5_1, pág. 12
6. Shamseddine, Khodr; Berz, Martín (2010). "Análisis sobre el campo Levi-Civita: una breve descripción" (PDF) . Matemáticas Contemporáneas . 508 : 215–237. doi :10.1090/conm/508/10002. ISBN 9780821847404.

• Berstel, Jean ; Reutenauer, Christophe (2011). Series racionales no conmutativas con aplicaciones . Enciclopedia de Matemáticas y sus aplicaciones. vol. 137. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-19022-0. Zbl  1250.68007.
• Nicolas Bourbaki : Álgebra , IV, §4. Springer-Verlag 1988.

Otras lecturas

• W. Kuich. Semirings y series de potencias formales: su relevancia para los lenguajes formales y la teoría de los autómatas. En G. Rozenberg y A. Salomaa, editores, Handbook of Formal Languages, volumen 1, capítulo 9, páginas 609–677. Springer, Berlín, 1997, ISBN 3-540-60420-0 
• Droste, M. y Kuich, W. (2009). Serie Semirings y Power Formal. Manual de autómatas ponderados , 3–28. doi :10.1007/978-3-642-01492-5_1
• Arto Saloma (1990). "Serie Lenguajes formales y poder". En Jan van Leeuwen (ed.). Modelos formales y semántica . Manual de informática teórica. vol. B. Elsevier. págs. 103-132. ISBN 0-444-88074-7.