Serie Puiseux

Expansiones de Puiseux truncadas para la curva cúbica en el punto doble . Los colores más oscuros indican más términos. ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x^{2}}$ ${\displaystyle x=y=0}$

Serie de potencias con exponentes racionales.

En matemáticas , las series de Puiseux son una generalización de series de potencias que permiten exponentes negativos y fraccionarios de lo indeterminado . Por ejemplo, la serie

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{-2}&+2x^{-1/2}+x^{1/3}+2x^{11/6}+x^{8/3}+x^{5}+\cdots \\&=x^{-12/6}+2x^{-3/6}+x^{2/6}+2x^{11/6}+x^{16/6}+x^{30/6}+\cdots \end{aligned}}}$

es una serie de Puiseux en el indeterminado  x . La serie Puiseux fue introducida por primera vez por Isaac Newton en 1676 ^[1] y redescubierta por Victor Puiseux en 1850. ^[2]

La definición de serie de Puiseux incluye que los denominadores de los exponentes deben estar acotados. Entonces, al reducir los exponentes a un denominador común n , una serie de Puiseux se convierte en una serie de Laurent en una n- ésima raíz del indeterminado. Por ejemplo, el ejemplo anterior es una serie de Laurent en Debido a que un número complejo tiene n nésimas raíces, una serie de Puiseux convergente generalmente define n funciones en una vecindad de 0 . ${\displaystyle x^{1/6}.}$

El teorema de Puiseux , a veces también llamado teorema de Newton-Puiseux , afirma que, dada una ecuación polinómica con coeficientes complejos, sus soluciones en y , vistas como funciones de x , pueden expandirse como series de Puiseux en x que son convergentes en alguna vecindad de 0. . En otras palabras, cada rama de una curva algebraica puede describirse localmente mediante una serie de Puiseux en x (o en x − x ₀ cuando se consideran ramas por encima de una vecindad de x ₀ ≠ 0 ). ${\displaystyle P(x,y)=0}$

Utilizando terminología moderna, el teorema de Puiseux afirma que el conjunto de series de Puiseux sobre un campo algebraicamente cerrado de característica 0 es en sí mismo un campo algebraicamente cerrado, llamado campo de series de Puiseux . Es la clausura algebraica del campo de la serie formal de Laurent , que a su vez es el campo de fracciones del anillo de la serie formal de potencias .

Definición

Si K es un cuerpo (como los números complejos ), una serie de Puiseux con coeficientes en K es una expresión de la forma

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

donde es un número entero positivo y es un número entero. En otras palabras, las series de Puiseux se diferencian de las series de Laurent en que permiten exponentes fraccionarios de lo indeterminado, siempre que estos exponentes fraccionarios tengan un denominador acotado (aquí n ). Al igual que con las series de Laurent, las series de Puiseux permiten exponentes negativos de lo indeterminado siempre que estos exponentes negativos estén acotados por debajo (aquí por ). La suma y la multiplicación son como se esperaba: por ejemplo, ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle k_{0}}$

${\displaystyle (T^{-1}+2T^{-1/2}+T^{1/3}+\cdots )+(T^{-5/4}-T^{-1/2}+2+\cdots )=T^{-5/4}+T^{-1}+T^{-1/2}+2+\cdots }$

y

${\displaystyle (T^{-1}+2T^{-1/2}+T^{1/3}+\cdots )\cdot (T^{-5/4}-T^{-1/2}+2+\cdots )=T^{-9/4}+2T^{-7/4}-T^{-3/2}+T^{-11/12}+4T^{-1/2}+\cdots .}$

Se podrían definir primero "actualizando" el denominador de los exponentes a algún denominador común N y luego realizando la operación en el campo correspondiente de la serie formal de Laurent de . ${\displaystyle T^{1/N}}$

Las series de Puiseux con coeficientes en K forman un campo, que es la unión

${\displaystyle \bigcup _{n>0}K(\!(T^{1/n})\!)}$

de campos de la serie formal de Laurent en (considerado como indeterminado). ${\displaystyle T^{1/n}}$

Esto produce una definición alternativa del campo de la serie de Puiseux en términos de un límite directo . Para cada entero positivo n , sea un indeterminado (destinado a representar ) y sea el campo de la serie formal de Laurent en Si m divide a n , el mapeo induce un homomorfismo de campo y estos homomorfismos forman un sistema directo que tiene el campo de la serie de Puiseux. como límite directo. El hecho de que todo homomorfismo de campo sea inyectivo muestra que este límite directo puede identificarse con la unión anterior y que las dos definiciones son equivalentes ( hasta un isomorfismo). ${\displaystyle T_{n}}$ ${\textstyle T^{1/n}}$ ${\displaystyle K(\!(T_{n})\!)}$ ${\displaystyle T_{n}.}$ ${\displaystyle T_{m}\mapsto (T_{n})^{n/m}}$ ${\displaystyle K(\!(T_{m})\!)\to K(\!(T_{n})\!),}$

Valuación

Una serie de Puiseux distinta de cero se puede escribir de forma única como ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

con la valoración ${\displaystyle c_{k_{0}}\neq 0.}$

${\displaystyle v(f)={\frac {k_{0}}{n}}}$

de es el exponente más pequeño del orden natural de los números racionales, y el coeficiente correspondiente se llama coeficiente inicial o coeficiente de valoración de  . La valoración de la serie cero es ${\displaystyle f}$ ${\textstyle c_{k_{0}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle +\infty .}$

La función v es una valoración y convierte a la serie de Puiseux en un campo valorado , con el grupo aditivo de los números racionales como grupo de valoración . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Como para todos los campos valorados, la valoración define una distancia ultramétrica mediante la fórmula Para esta distancia, el campo de la serie Puiseux es un espacio métrico . la notación ${\displaystyle d(f,g)=\exp(-v(f-g)).}$

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

expresa que un Puiseux es el límite de sus sumas parciales. Sin embargo, el campo de las series de Puiseux no está completo ; ver más abajo § Campo Levi-Civita.

Serie Puiseux convergente

Las series de Puiseux proporcionadas por el teorema de Newton-Puiseux son convergentes en el sentido de que hay una vecindad de cero en la que son convergentes (0 excluido si la valoración es negativa). Más precisamente, dejemos

${\displaystyle f=\sum _{k=k_{0}}^{+\infty }c_{k}T^{k/n}}$

ser una serie de Puiseux con coeficientes complejos . Existe un número real r , llamado radio de convergencia, tal que la serie converge si T se sustituye por un número complejo t distinto de cero de valor absoluto menor que r , y r es el número más grande con esta propiedad. Una serie de Puiseux es convergente si tiene un radio de convergencia distinto de cero.

Debido a que un número complejo distinto de cero tiene n n- ésimas raíces , se debe tener cierto cuidado en la sustitución: se debe elegir una n- ésima raíz específica de t , digamos x . Entonces la sustitución consiste en reemplazar por por cada k . ${\displaystyle T^{k/n}}$ ${\displaystyle x^{k}}$

La existencia del radio de convergencia resulta de la existencia similar para una serie de potencias , aplicada a la considerada como serie de potencias en ${\textstyle T^{-k_{0}/n}f,}$ ${\displaystyle T^{1/n}.}$

Es parte del teorema de Newton-Puiseux que la serie de Puiseux proporcionada tiene un radio de convergencia positivo y, por lo tanto, define una función analítica ( multivaluada ) en alguna vecindad de cero (el propio cero posiblemente excluido).

Valoración y orden de coeficientes.

Si el campo base está ordenado , entonces el campo de la serie de Puiseux over también se ordena naturalmente (“ lexicográficamente ”) de la siguiente manera: una serie de Puiseux distinta de cero con 0 se declara positiva siempre que su coeficiente de valoración lo sea. Esencialmente, esto significa que cualquier potencia racional positiva de lo indeterminado se vuelve positiva, pero más pequeña que cualquier elemento positivo en el campo base . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$

Si el campo base está dotado de una valoración , entonces podemos construir una valoración diferente en el campo de la serie de Puiseux dejando que la valoración sea donde está la valoración previamente definida ( es el primer coeficiente distinto de cero) y es infinitamente grande (en En otras palabras, el grupo de valores de está ordenado lexicográficamente, donde está el grupo de valores de ). Básicamente, esto significa que la valoración previamente definida se corrige en una cantidad infinitesimal para tener en cuenta la valoración dada en el campo base. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\hat {w}}(f)}$ ${\displaystyle \omega \cdot v+w(c_{k}),}$ ${\displaystyle v=k/n}$ ${\displaystyle c_{k}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\hat {w}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \times \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle w}$

Teorema de Newton-Puiseux

Ya en 1671, ^[3] Isaac Newton utilizó implícitamente las series de Puiseux y demostró el siguiente teorema para aproximar con series las raíces de ecuaciones algebraicas cuyos coeficientes son funciones que a su vez se aproximan con series o polinomios . Para ello, introdujo el polígono de Newton , que sigue siendo una herramienta fundamental en este contexto. Newton trabajó con series truncadas, y no fue hasta 1850 que Victor Puiseux ^[2] introdujo el concepto de serie de Puiseux (no truncada) y demostró el teorema que ahora se conoce como teorema de Puiseux o teorema de Newton-Puiseux . ^[4] El teorema afirma que, dada una ecuación algebraica cuyos coeficientes son polinomios o, más generalmente, series de Puiseux sobre un campo de característica cero , cada solución de la ecuación puede expresarse como una serie de Puiseux. Además, la prueba proporciona un algoritmo para calcular estas series de Puiseux y, cuando se trabaja con números complejos , las series resultantes son convergentes.

En terminología moderna, el teorema se puede reformular como: el campo de la serie de Puiseux sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero, y el campo de la serie de Puiseux convergente sobre números complejos, son ambos algebraicamente cerrados .

polígono de newton

Dejar

${\displaystyle P(y)=\sum _{a_{i}\neq 0}a_{i}(x)y^{i}}$

ser un polinomio cuyos coeficientes distintos de cero son polinomios, series de potencias o incluso series de Puiseux en x . En esta sección, la valoración de es el exponente más bajo de x en (la mayor parte de lo que sigue se aplica de manera más general a los coeficientes en cualquier anillo valorado ). ${\displaystyle a_{i}(x)}$ ${\displaystyle v(a_{i})}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}.}$

Para calcular las series de Puiseux que son raíces de P (es decir, soluciones de la ecuación funcional ), lo primero que hay que hacer es calcular la valoración de las raíces. Éste es el papel del polígono de Newton. ${\displaystyle P(y)=0}$

Consideremos, en un plano cartesiano , los puntos de coordenadas. El polígono de Newton de P es la cáscara convexa inferior de estos puntos. Es decir, los bordes del polígono de Newton son los segmentos de línea que unen dos de estos puntos, de modo que todos estos puntos no están debajo de la línea que sostiene el segmento (a continuación es, como suele ocurrir, relativo al valor de la segunda coordenada). ${\displaystyle (i,v(a_{i})).}$

Dada una serie de valoración de Puiseux , la valoración de es al menos el mínimo de los números y es igual a este mínimo si este mínimo se alcanza para un solo i . Entonces, para ser raíz de P , el mínimo debe alcanzarse al menos dos veces. Es decir, debe haber dos valores y de i tales que y para cada i . ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle P(y_{0})}$ ${\displaystyle iv_{0}+v(a_{i}),}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle i_{1}}$ ${\displaystyle i_{2}}$ ${\displaystyle i_{1}v_{0}+v(a_{i_{1}})=i_{2}v_{0}+v(a_{i_{2}}),}$ ${\displaystyle iv_{0}+v(a_{i})\geq i_{1}v_{0}+v(a_{i_{1}})}$

Es decir, y debe pertenecer a una arista del polígono de Newton, y ${\displaystyle (i_{1},v(a_{i_{1}}))}$ ${\displaystyle (i_{2},v(a_{i_{2}}))}$

$${\displaystyle v_{0}=-{\frac {v(a_{i_{1}})-v(a_{i_{2}})}{i_{1}-i_{2}}}}$$

${\displaystyle v(a_{i})}$

En resumen, la valoración de una raíz de P debe ser la opuesta a la pendiente de una arista del polinomio de Newton.

El coeficiente inicial de una solución en serie de Puiseux se puede deducir fácilmente. Sea el coeficiente inicial de es decir, el coeficiente de en Sea una pendiente del polígono de Newton y sea el término inicial de una solución correspondiente en serie de Puiseux de Si no se produjera ninguna cancelación, entonces el coeficiente inicial de sería donde I está el conjunto de los índices i tal que pertenece al borde de pendiente del polígono de Newton. Entonces, para tener raíz, el coeficiente inicial debe ser una raíz distinta de cero del polinomio. ${\displaystyle P(y)=0}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}(x),}$ ${\displaystyle x^{v(a_{i})}}$ ${\displaystyle a_{i}(x).}$ ${\displaystyle -v_{0}}$ ${\displaystyle \gamma x_{0}^{v_{0}}}$ ${\displaystyle P(y)=0.}$ ${\displaystyle P(y)}$ ${\textstyle \sum _{i\in I}c_{i}\gamma ^{i},}$ ${\displaystyle (i,v(a_{i}))}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \chi (x)=\sum _{i\in I}c_{i}x^{i}}$$

En resumen, el polinomio de Newton permite calcular fácilmente todos los términos iniciales posibles de la serie de Puiseux que son soluciones de ${\displaystyle P(y)=0.}$

La demostración del teorema de Newton-Puiseux consistirá en partir de estos términos iniciales para calcular recursivamente los siguientes términos de las soluciones en serie de Puiseux.

prueba constructiva

Supongamos que el primer término de una solución en serie de Puiseux se ha calculado mediante el método de la sección anterior. Queda por calcular. Para esto, establecemos y escribimos la expansión de Taylor de P en ${\displaystyle \gamma x^{v_{0}}}$ ${\displaystyle P(y)=0}$ ${\displaystyle z=y-\gamma x^{v_{0}}.}$ ${\displaystyle y_{0}=\gamma x^{v_{0}},}$ ${\displaystyle z=y-y_{0}:}$

${\displaystyle Q(z)=P(y_{0}+z)=P(y_{0})+zP'(y_{0})+\cdots +z^{j}{\frac {P^{(j)}(y_{0})}{j!}}+\cdots }$

Este es un polinomio en z cuyos coeficientes son series de Puiseux en x . Se le puede aplicar el método del polígono de Newton e iterar para obtener los términos de la serie de Puiseux, uno tras otro. Pero se requiere cierto cuidado para asegurar eso y demostrar que se obtiene una serie de Puiseux, es decir, que los denominadores de los exponentes de x permanecen acotados. ${\displaystyle v(z)>v_{0},}$

La derivación con respecto a y no cambia la valoración en x de los coeficientes; eso es,

${\displaystyle v\left(P^{(j)}(y_{0})z^{j}\right)\geq \min _{i}(v(a_{i})+iv_{0})+j(v(z)-v_{0}),}$

y la igualdad ocurre si y sólo si donde está el polinomio del apartado anterior. Si m es la multiplicidad de como raíz de esto, resulta que la desigualdad es una igualdad para Los términos tales que pueden olvidarse en lo que respecta a las valoraciones, como e implican ${\displaystyle \chi ^{(j)}(\gamma )\neq 0,}$ ${\displaystyle \chi (x)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \chi ,}$ ${\displaystyle j=m.}$ ${\displaystyle j>m}$ ${\displaystyle v(z)>v_{0}}$ ${\displaystyle j>m}$

${\displaystyle v\left(P^{(j)}(y_{0})z^{j}\right)\geq \min _{i}(v(a_{i})+iv_{0})+j(v(z)-v_{0})>v\left(P^{(m)}(y_{0})z^{m}\right).}$

Esto significa que, para iterar el método del polígono de Newton, se puede y se debe considerar sólo la parte del polígono de Newton cuyas primeras coordenadas pertenecen al intervalo. Dos casos deben considerarse por separado y serán el tema de las siguientes subsecciones, así -llamado caso ramificado , donde m > 1 , y el caso regular donde m = 1 . ${\displaystyle [0,m].}$

Caso normal

caso ramificado

La forma de aplicar recursivamente el método del polígono de Newton ha sido descrita anteriormente. Como cada aplicación del método puede aumentar, en el caso ramificado, los denominadores de los exponentes (valoraciones), queda por demostrar que se llega al caso regular después de un número finito de iteraciones (de lo contrario, los denominadores de los exponentes de la serie resultante serían no está acotado y esta serie no sería una serie de Puiseux. Por cierto, también se demostrará que se obtienen exactamente tantas soluciones en serie de Puiseux como se esperaba, es decir, el grado de en y . ${\displaystyle P(y)}$

Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que así es. De hecho, cada factor y de proporciona una solución que es la serie cero de Puiseux, y dichos factores se pueden factorizar. ${\displaystyle P(0)\neq 0,}$ ${\displaystyle a_{0}\neq 0.}$ ${\displaystyle P(y)}$

Como se supone que la característica es cero, también se puede suponer que es un polinomio libre de cuadrados , es decir, que las soluciones de son todas diferentes. De hecho, la factorización libre de cuadrados utiliza sólo las operaciones del campo de coeficientes para factorizar en factores libres de cuadrados que se pueden resolver por separado. (La hipótesis de la característica cero es necesaria, ya que, en la característica p , la descomposición sin cuadrados puede proporcionar factores irreducibles, como los que tienen raíces múltiples en una extensión algebraica). ${\displaystyle P(y)}$ ${\displaystyle P(y)=0}$ ${\displaystyle P(y)}$ ${\displaystyle y^{p}-x,}$

En este contexto, se define la longitud de una arista de un polígono de Newton como la diferencia de las abscisas de sus puntos finales. La longitud de un polígono es la suma de las longitudes de sus aristas. Con la hipótesis la longitud del polígono de Newton de P es su grado en y , es decir el número de sus raíces. La longitud de una arista del polígono de Newton es el número de raíces de una valoración determinada. Este número es igual al grado del polinomio previamente definido. ${\displaystyle P(0)\neq 0,}$ ${\displaystyle \chi (x).}$

El caso ramificado corresponde entonces a dos (o más) soluciones que tienen el mismo término(s) inicial(es). Como estas soluciones deben ser distintas (hipótesis sin cuadrados), deben distinguirse después de un número finito de iteraciones. Es decir, eventualmente se obtiene un polinomio libre de cuadrados y el cálculo puede continuar como en el caso normal para cada raíz de ${\displaystyle \chi (x)}$ ${\displaystyle \chi (x).}$

Como la iteración del caso regular no aumenta los denominadores de los exponentes, esto muestra que el método proporciona todas las soluciones como series de Puiseux, es decir, que el campo de la serie de Puiseux sobre los números complejos es un campo algebraicamente cerrado que contiene el univariado. anillo polinomial con coeficientes complejos.

Fallo en característica positiva.

El teorema de Newton-Puiseux no es válido en campos de característica positiva. Por ejemplo, la ecuación tiene soluciones. ${\displaystyle X^{2}-X=T^{-1}}$

${\displaystyle X=T^{-1/2}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}T^{1/2}-{\frac {1}{128}}T^{3/2}+\cdots }$

y

${\displaystyle X=-T^{-1/2}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{8}}T^{1/2}+{\frac {1}{128}}T^{3/2}+\cdots }$

(Se comprueba fácilmente en los primeros términos que la suma y el producto de estas dos series son 1 y respectivamente; esto es válido siempre que el campo base K tenga una característica diferente de 2). ${\displaystyle -T^{-1}}$

Como las potencias de 2 en los denominadores de los coeficientes del ejemplo anterior podrían hacer creer, el enunciado del teorema no es cierto en la característica positiva. El ejemplo de la ecuación de Artin-Schreier muestra esto: razonar con valoraciones muestra que X debería tener valoración , y si lo reescribimos como entonces ${\displaystyle X^{p}-X=T^{-1}}$ ${\textstyle -{\frac {1}{p}}}$ ${\displaystyle X=T^{-1/p}+X_{1}}$

${\displaystyle X^{p}=T^{-1}+{X_{1}}^{p},{\text{ so }}{X_{1}}^{p}-X_{1}=T^{-1/p}}$

y se muestra de igual manera que debe tener valoración , y procediendo de esa manera se obtiene la serie ${\displaystyle X_{1}}$ ${\textstyle -{\frac {1}{p^{2}}}}$

${\displaystyle T^{-1/p}+T^{-1/p^{2}}+T^{-1/p^{3}}+\cdots ;}$

Dado que esta serie no tiene sentido como serie de Puiseux (porque los exponentes tienen denominadores ilimitados), la ecuación original no tiene solución. Sin embargo, tales ecuaciones de Eisenstein son esencialmente las únicas que no tienen una solución, porque, si es algebraicamente cerrada de la característica , entonces el campo de la serie de Puiseux es el cierre perfecto de la extensión máxima mansamente ramificada de . ^[4] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K(\!(T)\!)}$

De manera similar al caso del cierre algebraico, existe un teorema análogo para el cierre real : si es un campo cerrado real, entonces el campo de la serie de Puiseux es el cierre real del campo de la serie formal de Laurent . ^[5] (Esto implica el teorema anterior, ya que cualquier campo algebraicamente cerrado de característica cero es la única extensión cuadrática de algún campo real cerrado). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

También hay un resultado análogo para el cierre p-ádico : si es un campo -ádicamente cerrado con respecto a una valoración , entonces el campo de la serie de Puiseux también está -ádicamente cerrado. ^[6] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$

Expansión de Puiseux de curvas y funciones algebraicas.

Curvas algebraicas

Sea una curva algebraica ^[7] dada por una ecuación afín sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero, y consideremos un punto en el que podemos suponer que es . También suponemos que no es el eje de coordenadas . Entonces una expansión de Puiseux de (la coordenada de) en es una serie de Puiseux que tiene una valoración positiva tal que . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(x,y)=0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F(x,f(x))=0}$

Más precisamente, definamos las ramas de at como los puntos de normalización de cuyo mapeo to . Para cada uno de estos , hay una coordenada local de at (que es un punto suave) tal que las coordenadas y pueden expresarse como series de potencias formales de , digamos (dado que es algebraicamente cerrado, podemos suponer que el coeficiente de valoración es 1) y : entonces hay una serie de Puiseux única de la forma (una serie de potencias en ), tal que (la última expresión es significativa ya que es una serie de potencias bien definida en ). Esta es una expansión de Puiseux de at que se dice que está asociada a la rama dada por (o simplemente, la expansión de Puiseux de esa rama de ), y cada expansión de Puiseux de at se da de esta manera para una rama única de at . ^{[8] [9]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x=t^{n}+\cdots }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle y=ct^{k}+\cdots }$ ${\displaystyle f=cT^{k/n}+\cdots }$ ${\displaystyle T^{1/n}}$ ${\displaystyle y(t)=f(x(t))}$ ${\displaystyle x(t)^{1/n}=t+\cdots }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$

Esta existencia de una parametrización formal de las ramas de una curva o función algebraica también se conoce como teorema de Puiseux : podría decirse que tiene el mismo contenido matemático que el hecho de que el campo de la serie de Puiseux sea algebraicamente cerrado y es una descripción históricamente más precisa de la declaración del autor original. ^[10]

Por ejemplo, la curva (cuya normalización es una recta con coordenada y mapa ) tiene dos ramas en el punto doble (0,0), correspondientes a los puntos y sobre la normalización, cuyas expansiones de Puiseux son y respectivamente (aquí ambas son potencia serie porque la coordenada es étale en los puntos correspondientes en la normalización). En el punto suave (que está en la normalización), tiene una sola rama, dada por la expansión de Puiseux (la coordenada se ramifica en este punto, por lo que no es una serie de potencias). ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x^{2}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)}$ ${\displaystyle t=+1}$ ${\displaystyle t=-1}$ ${\textstyle y=x+{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{8}}x^{3}+\cdots }$ ${\textstyle y=-x-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{8}}x^{3}+\cdots }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (-1,0)}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle y=-(x+1)^{1/2}+(x+1)^{3/2}}$ ${\displaystyle x}$

La curva (cuya normalización es nuevamente una recta con coordenada y mapa ), en cambio, tiene una única rama en el punto cúspide , cuya expansión de Puiseux es . ${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t\mapsto (t^{2},t^{3})}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle y=x^{3/2}}$

Convergencia analítica

Cuando es el cuerpo de números complejos, la expansión de Puiseux de una curva algebraica (como se definió anteriormente) es convergente en el sentido de que para una elección dada de -ésima raíz de , convergen para valores suficientemente pequeños , por lo que se define una parametrización analítica de cada rama. de en la vecindad de (más precisamente, la parametrización es por la raíz -ésima de ). ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$

Generalizaciones

Campo Levi-Civita

El campo de la serie de Puiseux no está completo como espacio métrico . Su compleción, llamada campo de Levi-Civita , se puede describir de la siguiente manera: es el campo de expresiones formales de la forma donde el soporte de los coeficientes (es decir, el conjunto de e tales que ) es el rango de una secuencia creciente de números racionales que son finitos o tienden a serlo . En otras palabras, tales series admiten exponentes de denominadores ilimitados, siempre que haya un número finito de términos de exponente menores que para cualquier límite dado . Por ejemplo, no es una serie de Puiseux, pero es el límite de una secuencia de Cauchy de la serie de Puiseux; en particular, es el límite de as . Sin embargo, incluso esta finalización todavía no es "máximamente completa" en el sentido de que admite extensiones no triviales que son campos valorados que tienen el mismo grupo de valores y campo residual, ^{[11] [12]} de ahí la oportunidad de completarla aún más. ${\textstyle f=\sum _{e}c_{e}T^{e},}$ ${\displaystyle c_{e}\neq 0}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{+\infty }T^{k+{\frac {1}{k}}}}$ ${\textstyle \sum _{k=1}^{N}T^{k+{\frac {1}{k}}}}$ ${\displaystyle N\to +\infty }$

serie hahn

Las series de Hahn son una generalización adicional (más amplia) de las series de Puiseux, introducida por Hans Hahn durante la demostración de su teorema de incrustación en 1907 y luego estudiada por él en su enfoque del decimoséptimo problema de Hilbert . En una serie de Hahn, en lugar de requerir que los exponentes tengan un denominador acotado, se les exige que formen un subconjunto bien ordenado del grupo de valores (generalmente o ). Posteriormente , Anatoly Maltsev y Bernhard Neumann los generalizaron aún más a un entorno no conmutativo (por lo tanto, a veces se les conoce como series de Hahn-Mal'cev-Neumann ). Utilizando la serie de Hahn, es posible dar una descripción de la clausura algebraica del campo de la serie de potencias en característica positiva que es algo análoga al campo de la serie de Puiseux. ^[13] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Notas

1. Newton (1960)
2. Puiseux (1850, 1851)
3. Newton (1736)
4. cf. Kedlaya (2001), introducción
5. Basu & al (2006), capítulo 2 ("Campos reales cerrados"), teorema 2.91 (p. 75)
6. Cherlin (1976), capítulo 2 ("El principio de transferencia de Ax-Kochen-Ershof"), §7 ("Campos de la serie Puiseux")
7. Suponemos que es irreducible o, al menos, que es reducido y que no contiene el eje de coordenadas. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$
8. Shafarevich (1994), II.5, págs. 133-135
9. Cutkosky (2004), capítulo 2, págs. 3-11
10. Puiseux (1850), pág. 397
11. Poonen, Bjorn (1993). "Campos completos al máximo". Enseña. Matemáticas . 39 : 87-106.
12. Kaplansky, Irving (1942). "Campos máximos con valoraciones". Duque Matemáticas. J.​ 9 (2): 303–321. doi :10.1215/s0012-7094-42-00922-0.
13. Kedlaya (2001)

Ver también

• serie laurent
• serie madhava
• Interpolación en diferencias divididas de Newton
• Padé aproximante

Referencias

• Basu, Saugata; Pollack, Richard; Roy, Marie-Françoise (2006). Algoritmos en geometría algebraica real. Algoritmos y cálculos en matemáticas 10 (2ª ed.). Springer-Verlag . doi :10.1007/3-540-33099-2. ISBN 978-3-540-33098-1.
• Cherlin, Greg (1976). Temas seleccionados de álgebra teórica de modelos. Apuntes de conferencias sobre matemáticas 521. Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-07696-4.^{[ enlace muerto ]}
• Cutkosky, Steven Dale (2004). Resolución de Singularidades . Estudios de Posgrado en Matemáticas 63. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-3555-6.
• Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas 150. Springer-Verlag . ISBN 3-540-94269-6.
• Kedlaya, Kiran Sridhara (2001). "La clausura algebraica del campo de series de potencias en característica positiva". Proc. América. Matemáticas. Soc . 129 (12): 3461–3470. doi : 10.1090/S0002-9939-01-06001-4 .
• Newton, Isaac (1736) [1671], El método de las fluxiones y las series infinitas; con su aplicación a la geometría de líneas curvas, traducido por Colson, John , Londres: Henry Woodfall, p. 378(Traducido del latín)
• Newton, Isaac (1960). "Carta a Oldenburg fechada el 24 de octubre de 1676" . La correspondencia de Isaac Newton . vol. II. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 126-127. ISBN 0-521-08722-8.
• Puiseux, Víctor Alejandro (1850). "Recherches sur les fonctions algébriques" (PDF) . J. Matemáticas. Pures Appl . 15 : 365–480.
• Puiseux, Víctor Alejandro (1851). "Nouvelles recherches sur les fonctions algébriques" (PDF) . J. Matemáticas. Pures Appl . 16 : 228–240.
• Shafarevich, Igor Rostislavovich (1994). Geometría algebraica básica (2ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-54812-2.
• Walker, RJ (1978). Curvas algebraicas (PDF) (Reimpresión ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-90361-5.libro en línea

enlaces externos

• "Punto de bifurcación", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Serie Puiseux en MathWorld
• Teorema de Puiseux en MathWorld
• Serie Puiseux en PlanetMath