producto cauchy

Concepto en matemáticas

En matemáticas , más específicamente en análisis matemático , el producto de Cauchy es la convolución discreta de dos series infinitas . Lleva el nombre del matemático francés Augustin-Louis Cauchy .

Definiciones

El producto de Cauchy puede aplicarse a series infinitas ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [ citas excesivas ]} o series de potencias. ^{[12] [13]} Cuando la gente lo aplica a secuencias finitas ^[14] o series finitas, eso puede verse simplemente como un caso particular de un producto de series con un número finito de coeficientes distintos de cero (ver convolución discreta ).

Las cuestiones de convergencia se analizan en la siguiente sección.

Producto de Cauchy de dos series infinitas

Sean y dos series infinitas con términos complejos. El producto de Cauchy de estas dos series infinitas se define mediante una convolución discreta de la siguiente manera: ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ ${\textstyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{j}}$

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}}$     dónde     . ${\displaystyle c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}}$

Producto de Cauchy de dos series de potencias.

Considere las siguientes dos series de potencias

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$     y     ${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}}$

con coeficientes complejos y . El producto de Cauchy de estas dos series de potencias se define mediante una convolución discreta de la siguiente manera: ${\displaystyle \{a_{i}\}}$ ${\displaystyle \{b_{j}\}}$

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}}$     dónde     . ${\displaystyle c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}}$

Convergencia y teorema de Mertens

Sean ( a _n ) _{n ≥0} y ( b _n ) _{n ≥0} secuencias reales o complejas. Franz Mertens demostró que, si la serie converge a A y converge a B , y al menos una de ellas converge absolutamente , entonces su producto de Cauchy converge a AB . ^[15] El teorema sigue siendo válido en un álgebra de Banach (ver la primera línea de la siguiente prueba). ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$

No basta con que ambas series sean convergentes; si ambas secuencias son condicionalmente convergentes , el producto de Cauchy no tiene por qué converger hacia el producto de las dos series, como muestra el siguiente ejemplo:

Ejemplo

Considere las dos series alternas con

$${\displaystyle a_{n}=b_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\,,}$$

que sólo son condicionalmente convergentes (la divergencia de la serie de valores absolutos se deriva de la prueba de comparación directa y la divergencia de la serie armónica ). Los términos de su producto Cauchy están dados por

$${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}}{\sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}}$$

para cada número entero norte ≥ 0 . Dado que para cada k ∈ {0, 1, ..., n } tenemos las desigualdades k + 1 ≤ n + 1 y n – k + 1 ≤ n + 1 , se deduce para la raíz cuadrada en el denominador que √ ( k + 1)( n − k + 1) ≤ n +1 , por lo tanto, debido a que hay n + 1 sumandos,

$${\displaystyle |c_{n}|\geq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{n+1}}=1}$$

para cada número entero norte ≥ 0 . Por lo tanto, c _n no converge a cero cuando n → ∞ , de ahí que la serie de ( c _n ) _{n ≥0} diverja por el término prueba .

Prueba del teorema de Mertens

Por simplicidad, lo demostraremos para números complejos. Sin embargo, la demostración que estamos a punto de dar es formalmente idéntica para un álgebra de Banach arbitraria (ni siquiera se requiere conmutatividad o asociatividad).

Supongamos sin pérdida de generalidad que la serie converge absolutamente. Definir las sumas parciales ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

$${\displaystyle A_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i},\quad B_{n}=\sum _{i=0}^{n}b_{i}\quad {\text{and}}\quad C_{n}=\sum _{i=0}^{n}c_{i}}$$

con

$${\displaystyle c_{i}=\sum _{k=0}^{i}a_{k}b_{i-k}\,.}$$

Entonces

$${\displaystyle C_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{n-i}B_{i}}$$

por reordenamiento, por lo tanto

Arreglar ε > 0 . Dado que por convergencia absoluta, y dado que B _n converge a B cuando n → ∞ , existe un número entero N tal que, para todos los números enteros n ≥ N , ${\textstyle \sum _{k\in \mathbb {N} }|a_{k}|<\infty }$

(Este es el único lugar donde se utiliza la convergencia absoluta). Dado que la serie de ( an _{) n ≥0} converge, el individuo an _debe converger a 0 mediante el término prueba . Por tanto, existe un número entero M tal que, para todos los números enteros n ≥ M ,

Además, dado que An converge a A cuando n → ∞ , existe un número entero L tal que, para todos los números _enteros n ≥ L ,

Luego, para todos los números enteros n ≥ max{ L , M + N } , use la representación ( 1 ) para C _n , divida la suma en dos partes, use la desigualdad triangular para el valor absoluto y finalmente use las tres estimaciones ( 2 ), ( 3 ) y ( 4 ) para demostrar que

$${\displaystyle {\begin{aligned}|C_{n}-AB|&={\biggl |}\sum _{i=0}^{n}a_{n-i}(B_{i}-B)+(A_{n}-A)B{\biggr |}\\&\leq \sum _{i=0}^{N-1}\underbrace {|a_{\underbrace {\scriptstyle n-i} _{\scriptscriptstyle \geq M}}|\,|B_{i}-B|} _{\leq \,\varepsilon /3{\text{ by (3)}}}+{}\underbrace {\sum _{i=N}^{n}|a_{n-i}|\,|B_{i}-B|} _{\leq \,\varepsilon /3{\text{ by (2)}}}+{}\underbrace {|A_{n}-A|\,|B|} _{\leq \,\varepsilon /3{\text{ by (4)}}}\leq \varepsilon \,.\end{aligned}}}$$

Según la definición de convergencia de una serie , C _n → AB según sea necesario.

El teorema de Cesaro

En los casos en que las dos secuencias son convergentes pero no absolutamente convergentes, el producto de Cauchy sigue siendo sumable de Cesàro . ^[16] Específicamente:

Si , son secuencias reales con y entonces ${\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}}$ ${\textstyle (b_{n})_{n\geq 0}}$ ${\textstyle \sum a_{n}\to A}$ ${\textstyle \sum b_{n}\to B}$

$${\displaystyle {\frac {1}{N}}\left(\sum _{n=1}^{N}\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=0}^{i}a_{k}b_{i-k}\right)\to AB.}$$

Esto se puede generalizar al caso en el que las dos secuencias no son convergentes sino simplemente sumables de Cesàro:

Teorema

Para y , supongamos que la secuencia es sumable con la suma A y es sumable con la suma B . Entonces su producto de Cauchy es sumable con la suma AB . ${\textstyle r>-1}$ ${\textstyle s>-1}$ ${\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}}$ ${\textstyle (C,\;r)}$ ${\textstyle (b_{n})_{n\geq 0}}$ ${\textstyle (C,\;s)}$ ${\textstyle (C,\;r+s+1)}$

Ejemplos

• Para algunos , deje y . Entonces ${\textstyle x,y\in \mathbb {R} }$ ${\textstyle a_{n}=x^{n}/n!}$ ${\textstyle b_{n}=y^{n}/n!}$
  $${\displaystyle c_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {y^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}x^{i}y^{n-i}={\frac {(x+y)^{n}}{n!}}}$$
  por definición y la fórmula binomial . Desde entonces, formalmente , y , hemos demostrado que . Dado que el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto de los límites de esas series, hemos demostrado la fórmula para todos . ${\textstyle \exp(x)=\sum a_{n}}$ ${\textstyle \exp(y)=\sum b_{n}}$ ${\textstyle \exp(x+y)=\sum c_{n}}$ ${\textstyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$ ${\textstyle x,y\in \mathbb {R} }$
• Como segundo ejemplo, vamos para todos . Entonces , para todos , el producto Cauchy. ${\textstyle a_{n}=b_{n}=1}$ ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ ${\textstyle c_{n}=n+1}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
  $${\displaystyle \sum c_{n}=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )}$$
  no converge.

Generalizaciones

Todo lo anterior se aplica a secuencias en ( números complejos ). El producto de Cauchy se puede definir para series en los espacios ( espacios euclidianos ) donde la multiplicación es el producto interno . En este caso, tenemos el resultado de que si dos series convergen absolutamente, entonces su producto de Cauchy converge absolutamente al producto interno de los límites. ${\textstyle \mathbb {C} }$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$

Productos de un número finito de series infinitas.

Sea tal que (en realidad lo siguiente también es cierto, pero la afirmación se vuelve trivial en ese caso) y sean series infinitas con coeficientes complejos, de las cuales todos, excepto el enésimo, convergen absolutamente, y el enésimo converge. Entonces el límite ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\textstyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }a_{1,k_{1}},\ldots ,\sum _{k_{n}=0}^{\infty }a_{n,k_{n}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}\leq N}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n,k_{n}}}$$

$${\displaystyle \prod _{j=1}^{n}\left(\sum _{k_{j}=0}^{\infty }a_{j,k_{j}}\right)=\lim _{N\to \infty }\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}\leq N}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n,k_{n}}}$$

Prueba

Porque

$${\displaystyle \forall N\in \mathbb {N} :\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}\leq N}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n,k_{n}}=\sum _{k_{1}=0}^{N}\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}}$$

${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2}$

El paso de inducción es el siguiente: Sea la afirmación cierta para tal que , y sean series infinitas con coeficientes complejos, de las cuales todos, excepto el ésimo, convergen absolutamente y el -ésimo converge. Primero aplicamos la hipótesis de inducción a la serie . Obtenemos que la serie ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\textstyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }a_{1,k_{1}},\ldots ,\sum _{k_{n+1}=0}^{\infty }a_{n+1,k_{n+1}}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\textstyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }|a_{1,k_{1}}|,\ldots ,\sum _{k_{n}=0}^{\infty }|a_{n,k_{n}}|}$

$${\displaystyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}|a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}|}$$

$${\displaystyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }\left|\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}\right|}$$

$${\displaystyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{j=1}^{n+1}\left(\sum _{k_{j}=0}^{\infty }a_{j,k_{j}}\right)&=\left(\sum _{k_{n+1}=0}^{\infty }\overbrace {a_{n+1,k_{n+1}}} ^{=:a_{k_{n+1}}}\right)\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\overbrace {\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}} ^{=:b_{k_{1}}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\overbrace {\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}} ^{=:a_{k_{1}}}\right)\left(\sum _{k_{n+1}=0}^{\infty }\overbrace {a_{n+1,k_{n+1}}} ^{=:b_{k_{n+1}}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\overbrace {\sum _{k_{3}=0}^{k_{1}}\sum _{k_{4}=0}^{k_{3}}\cdots \sum _{k_{n}+1=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{3}}} ^{=:a_{k_{1}}}\right)\left(\sum _{k_{2}=0}^{\infty }\overbrace {a_{n+1,k_{2}}} ^{=:b_{n+1,k_{2}}=:b_{k_{2}}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }a_{k_{1}}\right)\left(\sum _{k_{2}=0}^{\infty }b_{k_{2}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}a_{k_{2}}b_{k_{1}-k_{2}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\left(\overbrace {\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n}+1=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{2}-k_{3}}} ^{=:a_{k_{2}}}\right)\left(\overbrace {a_{n+1,k_{1}-k_{2}}} ^{=:b_{k_{1}-k_{2}}}\right)\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\overbrace {\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n}+1=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{2}-k_{3}}} ^{=:a_{k_{2}}}\overbrace {a_{n+1,k_{1}-k_{2}}} ^{=:b_{k_{1}-k_{2}}}\right)\\&=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}a_{n+1,k_{1}-k_{2}}\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n+1}=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{2}-k_{3}}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle n+1}$

Relación con la convolución de funciones.

Una secuencia finita puede verse como una secuencia infinita con sólo un número finito de términos distintos de cero o, en otras palabras, como una función con soporte finito. Para cualquier función de valores complejos f , g con soporte finito, se puede tomar su convolución : ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

$${\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{i+j=n}f(i)g(j).}$$

${\textstyle \sum (f*g)(n)}$ ${\textstyle \sum f(n)}$ ${\textstyle \sum g(n)}$

De manera más general, dado un monoide S , se puede formar el álgebra de semigrupos de S , con la multiplicación dada por convolución. Si se toma, por ejemplo, , entonces la multiplicación por es una generalización del producto de Cauchy a una dimensión superior. ${\displaystyle \mathbb {C} [S]}$ ${\displaystyle S=\mathbb {N} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [S]}$

Notas

1. Canuto y Tabaco 2015, pag. 20.
2. Bloch 2011, pag. 463.
3. Friedman y Kandel 2011, pág. 204.
4. Ghorpade y Limaye 2006, pág. 416.
5. Hiyab 2011, pag. 43.
6. Montesinos, Zizler y Zizler 2015, pag. 98.
7. Oberguggenberger y Ostermann 2011, pág. 322.
8. Pedersen 2015, pag. 210.
9. Ponnusamy 2012, pag. 200.
10. Pugh 2015, pag. 210.
11. Sohrab 2014, pág. 73.
12. Canuto y Tabaco 2015, pag. 53.
13. Mathonline, Producto Cauchy de la serie Power.
14. Weisstein, producto Cauchy.
15. Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . McGraw-Hill. pag. 74.
16. Hardy, Godfrey H. (2000). Serie divergente (2., (textualmente sin modificaciones) ed., repr ed.). Providencia, Rhode Island: AMS Chelsea Publ. ISBN 978-0-8218-2649-2.

Referencias

• Apostol, Tom M. (1974), Análisis matemático (2ª ed.), Addison Wesley, p. 204, ISBN 978-0-201-00288-1.

• Bloch, Ethan D. (2011), Los números reales y el análisis real, Springer , ISBN 9780387721767.

• Canuto, Claudio; Tabaco, Anita (2015), Análisis matemático II (2ª ed.), Springer.

• Friedman, Menahem; Kandel, Abraham (2011), Cálculo ligero, Springer , ISBN 9783642178481.

• Ghorpade, Sudhir R.; Limaye, Balmohan V. (2006), Un curso de cálculo y análisis real , Springer.

• Hardy, GH (1949), Serie Divergente , Oxford University Press , págs. 227-229.

• Hijab, Omar (2011), Introducción al cálculo y al análisis clásico (3.ª ed.), Springer.

• Montesinos, Vicente; Zizler, Peter; Zizler, Václav (2015), Introducción al análisis moderno , Springer.

• Oberguggenberger, Michael; Ostermann, Alexander (2011), Análisis para informáticos , Springer.

• Pedersen, Steen (2015), Del cálculo al análisis , Springer , doi :10.1007/978-3-319-13641-7, ISBN 978-3-319-13640-0.

• Ponnusamy, S. (2012), Fundamentos del análisis matemático, Birkhäuser , ISBN 9780817682927.

• Pugh, Charles C. (2015), Análisis matemático real (2ª ed.), Springer.

• Sohrab, Houshang H. (2014), Análisis real básico (2ª ed.), Birkhäuser.

enlaces externos

• Mathonline. "Producto Cauchy de la serie Power"..
• Weisstein, Eric W., "Producto Cauchy", de MathWorld: un recurso web de Wolfram.