En análisis matemático , la suma de Cesàro (también conocida como media de Cesàro [1] [2] o límite de Cesàro [3] ) asigna valores a algunas sumas infinitas que no son necesariamente convergentes en el sentido habitual. La suma de Cesàro se define como el límite, cuando n tiende a infinito, de la secuencia de medias aritméticas de las primeras n sumas parciales de la serie.
Este caso especial de un método de sumabilidad de matrices recibe el nombre del analista italiano Ernesto Cesàro (1859-1906).
El término sumatoria puede ser engañoso, ya que se puede decir que algunas afirmaciones y pruebas sobre la sumatoria de Cesáro implican la estafa de Eilenberg-Mazur . Por ejemplo, se aplica comúnmente a la serie de Grandi con la conclusión de que la suma de esa serie es 1/2.
Sea una secuencia , y sea
sea su k- ésima suma parcial .
La sucesión ( a n ) se llama Cesàro sumable , con Cesàro suma A ∈ , si, cuando n tiende a infinito, la media aritmética de sus primeras n sumas parciales s 1 , s 2 , ..., s n tiende a A :
El valor del límite resultante se llama suma de Cesàro de la serie. Si esta serie es convergente, entonces es sumable de Cesàro y su suma de Cesàro es la suma usual.
Sea a n = (−1) n para n ≥ 0. Es decir, es la secuencia
Sea G la serie
La serie G se conoce como la serie de Grandi .
Sea la secuencia de sumas parciales de G :
Esta sucesión de sumas parciales no converge, por lo que la serie G es divergente. Sin embargo, G es sumable en Cesáreo. Sea la sucesión de medias aritméticas de las primeras n sumas parciales:
Entonces
y por lo tanto, la suma de Cesàro de la serie G es 1/2 .
Como otro ejemplo, sea n = n para n ≥ 1. Es decir, ¿es la secuencia?
Sea G ahora la serie
Entonces la secuencia de sumas parciales es
Como la sucesión de sumas parciales crece sin límite, la serie G diverge hasta el infinito. La sucesión ( t n ) de medias de sumas parciales de G es
Esta sucesión también diverge hasta el infinito, por lo que G no es sumable según el método de Cesàro. De hecho, para la serie de cualquier sucesión que diverge hasta el infinito (positivo o negativo), el método de Cesàro también conduce a la serie de una sucesión que diverge de la misma manera, y por lo tanto, dicha serie no es sumable según el método de Cesàro.
En 1890, Ernesto Cesàro planteó una familia más amplia de métodos de suma que desde entonces se han denominado (C, α ) para números enteros no negativos α . El método (C, 0) es simplemente una suma ordinaria, y (C, 1) es la suma de Cesàro descrita anteriormente.
Los métodos de orden superior se pueden describir de la siguiente manera: dada una serie Σ a n , definir las cantidades
(donde los índices superiores no denotan exponentes) y definen Ealfa
nSer unalfa
npara la serie 1 + 0 + 0 + 0 + ... . Entonces la suma (C, α ) de Σ a n se denota por (C, α )-Σ a n y tiene el valor
si existe (Shawyer y Watson 1994, págs. 16-17). Esta descripción representa una aplicación iterada α veces del método de suma inicial y puede reformularse como
De manera aún más general, para α ∈ \ − , sea Aalfa
nestar implícitamente dado por los coeficientes de la serie
y Ealfa
ncomo se indica más arriba. En particular, Ealfa
nson los coeficientes binomiales de potencia −1 − α . Entonces la suma (C, α ) de Σ a n se define como se indica anteriormente.
Si Σ a n tiene una suma (C, α ) , entonces también tiene una suma (C, β ) para cada β > α , y las sumas concuerdan; además tenemos a n = o ( n α ) si α > −1 (ver notación o pequeña ).
Sea α ≥ 0 . La integral es (C, α ) sumable si
existe y es finito (Titchmarsh 1948, §1.15). El valor de este límite, en caso de existir, es la suma (C, α ) de la integral. Análogamente al caso de la suma de una serie, si α = 0 , el resultado es la convergencia de la integral impropia . En el caso α = 1 , la convergencia (C, 1) es equivalente a la existencia del límite
que es el límite de medias de las integrales parciales.
Como es el caso de las series, si una integral es (C, α ) sumable para algún valor de α ≥ 0 , entonces también es (C, β ) sumable para todo β > α , y el valor del límite resultante es el mismo.