Topología I-ádica

Concepto en álgebra conmutativa

En álgebra conmutativa , el estudio matemático de los anillos conmutativos , las topologías ádicas son una familia de topologías sobre el conjunto subyacente de un módulo , que generalizan las topologías p -ádicas sobre los números enteros .

Definición

Sea R un anillo conmutativo y M un R -módulo. Entonces cada ideal 𝔞 de R determina una topología en M llamada topología 𝔞 -ádica, caracterizada por la pseudometría La familia es una base para esta topología. ^[1] $${\displaystyle d(x,y)=2^{-\sup {\{n\mid x-y\in {\mathfrak {a}}^{n}M\}}}.}$$ $${\displaystyle \{x+{\mathfrak {a}}^{n}M:x\in M,n\in \mathbb {Z} ^{+}\}}$$

Una topología 𝔞 -ádica es una topología lineal (una topología generada por algunos submódulos).

Propiedades

Con respecto a la topología, las operaciones de módulo de adición y multiplicación escalar son continuas , de modo que M se convierte en un módulo topológico . Sin embargo, M no necesita ser Hausdorff ; es Hausdorff si y solo si, de modo que d se convierte en una métrica genuina . En relación con la terminología habitual en topología, donde un espacio de Hausdorff también se llama separado, en ese caso, la topología 𝔞 -ádica se llama separada . ^[1] $${\displaystyle \bigcap _{n>0}{{\mathfrak {a}}^{n}M}=0{\text{,}}}$$

Por el teorema de intersección de Krull , si R es un anillo noetheriano que es un dominio integral o un anillo local , se cumple que para cualquier ideal propio 𝔞 de R . Por lo tanto, bajo estas condiciones, para cualquier ideal propio 𝔞 de R y cualquier R -módulo M , la topología 𝔞 -ádica en M está separada. ${\displaystyle \bigcap _{n>0}{{\mathfrak {a}}^{n}}=0}$

Para un submódulo N de M , el homomorfismo canónico de M / N induce una topología cociente que coincide con la topología 𝔞 -ádica. El resultado análogo no es necesariamente cierto para el propio submódulo N : la topología del subespacio no necesita ser la topología 𝔞 -ádica. Sin embargo, las dos topologías coinciden cuando R es noetheriano y M finitamente generado . Esto se deduce del lema de Artin-Rees . ^[2]

Terminación

Cuando M es Hausdorff, M puede completarse como un espacio métrico; el espacio resultante se denota por y tiene la estructura de módulo obtenida al extender las operaciones de módulo por continuidad. También es lo mismo que (o canónicamente isomorfo a): donde el lado derecho es un límite inverso de módulos cocientes bajo proyección natural. ^[3] ${\displaystyle {\widehat {M}}}$ $${\displaystyle {\widehat {M}}=\varprojlim M/{\mathfrak {a}}^{n}M}$$

Por ejemplo, sea un anillo polinómico sobre un cuerpo k y 𝔞 = ( x ₁ , ..., x _n ) el ideal maximal homogéneo (único) . Entonces , el anillo de series de potencias formales sobre k en n variables. ^[4] ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle {\hat {R}}=k[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]}$

Submódulos cerrados

El cierre 𝔞 -ádico de un submódulo es ^[5] Este cierre coincide con N siempre que R sea 𝔞 -ádicamente completo y M sea finitamente generado. ^[6] ${\displaystyle N\subseteq M}$ ${\textstyle {\overline {N}}=\bigcap _{n>0}{(N+{\mathfrak {a}}^{n}M)}{\text{.}}}$

R se llama Zariski con respecto a 𝔞 si cada ideal en R es 𝔞 -ádicamente cerrado. Hay una caracterización:

R es Zariski con respecto a 𝔞 si y solo si 𝔞 está contenido en el radical de Jacobson de R .

En particular, un anillo local noetheriano es Zariski con respecto al ideal máximo. ^[7]

Referencias

1. Singh 2011, pág. 147.
2. Singh 2011, pág. 148.
3. Singh 2011, págs. 148-151.
4. Singh 2011, problema 8.16.
5. Singh 2011, problema 8.4.
6. Singh 2011, problema 8.8
7. Atiyah y MacDonald 1969, pág. 114, ejercicio 6.

Fuentes

• Singh, Balwant (2011). Álgebra conmutativa básica . Singapur/Hackensack, Nueva Jersey: World Scientific. ISBN 978-981-4313-61-2.
• Atiyah, M. F. ; MacDonald, I. G. (1969). Introducción al álgebra conmutativa . Reading, MA: Addison-Wesley.