Función de Lambert W

Función multivaluada en matemáticas.

El producto logaritmo de la función Lambert W trazada en el plano complejo desde −2 − 2 i hasta 2 + 2 i

La gráfica de y = W ( x ) para x < 6 e y > −4 reales . La rama superior (azul) con y ≥ −1 es la gráfica de la función W ₀ (rama principal), la rama inferior (magenta) con y ≤ −1 es la gráfica de la función W ₋₁ . El valor mínimo de x está en {−1/ e , −1}

En matemáticas , la función W de Lambert , también llamada función omega o logaritmo producto , ^[1] es una función multivaluada , es decir, las ramas de la relación inversa de la función f ( w ) = we ^w , donde w es cualquier número complejo y e ^w es la función exponencial . La función lleva el nombre de Johann Lambert , quien consideró un problema relacionado en 1758. Basándose en el trabajo de Lambert, Leonhard Euler describió la función W per se en 1783.

Para cada número entero k hay una rama, denotada por W _k ( z ) , que es una función de valor complejo de un argumento complejo. W ₀ se conoce como rama principal . Estas funciones tienen la siguiente propiedad: si z y w son números complejos, entonces

${\displaystyle we^{w}=z}$

se cumple si y solo si

${\displaystyle w=W_{k}(z)\ \ {\text{ for some integer }}k.}$

Cuando se trata únicamente de números reales, las dos ramas W ₀ y W ₋₁ son suficientes: para números reales x e y la ecuación

${\displaystyle ye^{y}=x}$

se puede resolver para y sólo si x ≥ −1/mi; obtenemos y = W ₀ ( x ) si x ≥ 0 y los dos valores y = W ₀ ( x ) y y = W ₋₁ ( x ) si −1/mi≤ x < 0 .

Las ramas de la función Lambert W no se pueden expresar en términos de funciones elementales . ^[2] Es útil en combinatoria , por ejemplo, en la enumeración de árboles . Puede usarse para resolver varias ecuaciones que involucran exponenciales (por ejemplo, los máximos de las distribuciones de Planck , Bose-Einstein y Fermi-Dirac ) y también ocurre en la solución de ecuaciones diferenciales de retardo , como y ′( t ) = a y ( t -1) . En bioquímica , y en particular en cinética enzimática , una solución de forma abierta para el análisis cinético en el tiempo de la cinética de Michaelis-Menten se describe en términos de la función Lambert W.

Rama principal de la función Lambert W en el plano complejo, trazada con coloración de dominio . Observe la rama cortada a lo largo del eje real negativo, que termina en -1/mi.

El módulo de la rama principal de la función Lambert W , coloreado según arg W ( z )

Terminología

La rama principal W ₀ se denomina Wp en la Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas , y la rama W ₋₁ se denomina Wm allí.

La convención de notación elegida aquí (con W ₀ y W ₋₁ ) sigue la referencia canónica sobre la función Lambert W de Corless, Gonnet, Hare, Jeffrey y Knuth . ^[3]

El nombre "logaritmo del producto" puede entenderse de la siguiente manera: dado que la función inversa de f ( w ) = e ^w se llama logaritmo , tiene sentido llamar a la "función" inversa del producto que ^w como "logaritmo del producto". (Nota técnica: al igual que el logaritmo complejo , tiene varios valores y, por lo tanto, W se describe como la relación inversa en lugar de la función inversa). Está relacionado con la constante omega , que es igual a W ₀ (1) .

Historia

Lambert consideró por primera vez la ecuación trascendental de Lambert relacionada en 1758, ^[4] lo que llevó a un artículo de Leonhard Euler en 1783 ^[5] que analizaba el caso especial de we ^w .

La ecuación que Lambert consideró fue

${\displaystyle x=x^{m}+q.}$

Euler transformó esta ecuación en la forma

${\displaystyle x^{a}-x^{b}=(a-b)cx^{a+b}.}$

Ambos autores derivaron una solución en serie para sus ecuaciones.

Una vez que Euler resolvió esta ecuación, consideró el caso . Tomando límites, derivó la ecuación ${\displaystyle a=b}$

${\displaystyle \ln x=cx^{a}.}$

Luego planteó y obtuvo una solución en serie convergente para la ecuación resultante, expresada en términos de . ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$

Después de tomar derivadas con respecto a y algunas manipulaciones, se obtiene la forma estándar de la función de Lambert. ${\displaystyle x}$

En 1993, se informó que la función de Lambert proporciona una solución exacta al modelo de función delta de Dirac de doble pozo mecánico- cuántico para cargas iguales ^[6] , un problema fundamental en física. Impulsados ​​por esto, Rob Corless y los desarrolladores del sistema de álgebra informática Maple se dieron cuenta de que "la función Lambert W se ha utilizado ampliamente en muchos campos, pero debido a las diferentes notaciones y la ausencia de un nombre estándar, el conocimiento de la función no era tan alto". como debería haber sido." ^{[3] [7]} ${\displaystyle W}$

Otro ejemplo donde se encuentra esta función es en la cinética de Michaelis-Menten . ^[8]

Aunque se creía ampliamente que la función de Lambert no se puede expresar en términos de funciones elementales ( liouvillianas ), la primera prueba publicada no apareció hasta 2008. ^[9] ${\displaystyle W}$

Propiedades elementales, ramas y rango.

El rango de la función W , que muestra todas las ramas. Las curvas negras (incluido el eje real) forman la imagen del eje real, las curvas naranjas son la imagen del eje imaginario. La curva violeta es la imagen de un pequeño círculo alrededor del punto z = 0 ; las curvas rojas son la imagen de un pequeño círculo alrededor del punto z = −1/e .

Gráfica de la parte imaginaria de W _n ( x + iy ) para ramas n = −2, −1, 0, 1, 2 . La gráfica es similar a la de la función logarítmica compleja multivaluada excepto que el espacio entre hojas no es constante y la conexión de la hoja principal es diferente.

Hay innumerables ramas de la función W , denotadas por W _k ( z ) , para el número entero k ; Siendo W ₀ ( z ) la rama principal (o principal). W ₀ ( z ) se define para todos los números complejos z mientras que W _k ( z ) con k ≠ 0 se define para todos los z distintos de cero . Tenemos W ₀ (0) = 0 yLimz →0 W _k ( z ) = −∞ para todo k ≠ 0 .

El punto de bifurcación de la rama principal está en z = −1/mi, con un corte de rama que se extiende hasta −∞ a lo largo del eje real negativo. Este corte de rama separa la rama principal de las dos ramas W ₋₁ y W ₁ . En todas las ramas W _k con k ≠ 0 , hay un punto de bifurcación en z = 0 y una rama cortada a lo largo de todo el eje real negativo.

Las funciones W _k ( z ), k ∈ Z son todas inyectivas y sus rangos son disjuntos. El rango de toda la función multivaluada W es el plano complejo. La imagen del eje real es la unión del eje real y la cuadratriz de Hipias , la curva paramétrica w = − t cot t + it .

Inverso

Regiones del plano complejo para las cuales , donde z = x + iy . Los límites más oscuros de una región particular se incluyen en la región más clara del mismo color. El punto en {−1, 0} está incluido tanto en la región (azul) como en la región (gris). Las líneas de la cuadrícula horizontal están en múltiplos de π . ${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$ ${\displaystyle n=-1}$ ${\displaystyle n=0}$

El gráfico de rango anterior también delinea las regiones en el plano complejo donde la relación inversa simple es verdadera. implica que existe tal que , donde depende del valor de . El valor del número entero cambia abruptamente cuando está en el corte de rama de , lo que significa que ≤ 0 , excepto donde es ≤ −1/ . ${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$ ${\displaystyle f=ze^{z}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z=W(n,f)=W(n,ze^{z})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ze^{z}}$ ${\displaystyle W(n,ze^{z})}$ ${\displaystyle ze^{z}}$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle ze^{z}}$ ${\displaystyle e}$

Definiendo , donde y son reales, y expresando en coordenadas polares, se ve que ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle e^{z}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}ze^{z}&=(x+iy)e^{x(\cos y+i\sin y)}\\&=e^{x(x\cos y-y\sin y)}+ie^{x(x\sin y+y\cos y)}\\\end{aligned}}}$

Para , la rama cortada es el eje real no positivo, de modo que ${\displaystyle n\neq 0}$ ${\displaystyle W(n,ze^{z})}$

${\displaystyle x\sin y+y\cos y=0\Rightarrow x=-y/\tan(y),}$

y

${\displaystyle (x\cos y-y\sin y)e^{x}\leq 0.}$

Para , la rama cortada para es el eje real con , de modo que la desigualdad se convierte en ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle W[n,ze^{z}]}$ ${\displaystyle -\infty <z\leq -1/e}$

${\displaystyle (x\cos y-y\sin y)e^{x}\leq -1/e.}$

Dentro de las regiones delimitadas por lo anterior, no hay cambios discontinuos en y esas regiones especifican dónde la función es simplemente invertible, es decir . ${\displaystyle W(n,ze^{z})}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$

Cálculo

Derivado

Por diferenciación implícita , se puede demostrar que todas las ramas de W satisfacen la ecuación diferencial

${\displaystyle z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.}$

( W no es diferenciable para z = −1/mi.) Como consecuencia, obtenemos la siguiente fórmula para la derivada de W :

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad {\text{for }}z\not \in \left\{0,-{\frac {1}{e}}\right\}.}$

Usando la identidad e ^{W ( z )} =z/W ( z ), obtenemos la siguiente fórmula equivalente:

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.}$

En el origen tenemos

${\displaystyle W'_{0}(0)=1.}$

Integral

La función W ( x ) , y muchas otras expresiones que involucran W ( x ) , se pueden integrar usando la sustitución w = W ( x ) , es decir, x = we ^w :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x)\,dx&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\&=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.\end{aligned}}}$

(La última ecuación es más común en la literatura pero no está definida en x = 0 ). Una consecuencia de esto (usando el hecho de que W ₀ ( e ) = 1 ) es la identidad

${\displaystyle \int _{0}^{e}W_{0}(x)\,dx=e-1.}$

Expansiones asintóticas

La serie de Taylor de W ₀ alrededor de 0 se puede encontrar utilizando el teorema de inversión de Lagrange y viene dada por

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}=x-x^{2}+{\tfrac {3}{2}}x^{3}-{\tfrac {8}{3}}x^{4}+{\tfrac {125}{24}}x^{5}-\cdots .}$

El radio de convergencia es1/mi, como puede verse mediante la prueba de razón . La función definida por esta serie se puede extender a una función holomorfa definida en todos los números complejos con una rama cortada a lo largo del intervalo (−∞, −1/mi] ; esta función holomorfa define la rama principal de la función Lambert W.

Para valores grandes de x , W ₀ es asintótico a

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(x)&=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}\left(-2+L_{2}\right)}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}\left(6-9L_{2}+2L_{2}^{2}\right)}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}\left(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3}\right)}{12L_{1}^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=L_{1}-L_{2}+\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{l}\left[{\begin{smallmatrix}l+m\\l+1\end{smallmatrix}}\right]}{m!}}L_{1}^{-l-m}L_{2}^{m},\end{aligned}}}$

donde L ₁ = ln x , L ₂ = ln ln x y [^{l + m}
_{l + 1}] es un número de Stirling no negativode primera especie. ^[3]Manteniendo solo los dos primeros términos de la expansión,

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln x-\ln \ln x+{\mathcal {o}}(1).}$

La otra rama real, W ₋₁ , definida en el intervalo [−1/mi, 0) , tiene una aproximación de la misma forma cuando x tiende a cero, con en este caso L ₁ = ln(− x ) y L ₂ = ln(−ln(− x )) . ^[3]

Potencias enteras y complejas

Las potencias enteras de W ₀ también admiten expansiones simples en series de Taylor (o Laurent ) en cero:

${\displaystyle W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2\left(-n\right)^{n-3}}{(n-2)!}}x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\tfrac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots .}$

De manera más general, para r ∈ Z , la fórmula de inversión de Lagrange da

${\displaystyle W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r\left(-n\right)^{n-r-1}}{(n-r)!}}x^{n},}$

que es, en general, una serie de Laurent de orden r . De manera equivalente, este último se puede escribir en forma de una expansión de potencias de Taylor de W ₀ ( x ) / x :

${\displaystyle \left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=e^{-rW_{0}(x)}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r\left(n+r\right)^{n-1}}{n!}}\left(-x\right)^{n},}$

que es válido para cualquier r ∈ C y | x | <1/mi.

Límites y desigualdades

Se conocen varios límites no asintóticos para la función de Lambert.

Hoorfar y Hassani ^[10] demostraron que el siguiente límite se cumple para x ≥ e :

${\displaystyle \ln x-\ln \ln x+{\frac {\ln \ln x}{2\ln x}}\leq W_{0}(x)\leq \ln x-\ln \ln x+{\frac {e}{e-1}}{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}.}$

También mostraron el límite general.

${\displaystyle W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {x+y}{1+\ln(y)}}\right),}$

para cada y , con igualdad solo para . El límite permite que se establezcan muchos otros límites, como tomar, que da el límite. ${\displaystyle y>1/e}$ ${\displaystyle x\geq -1/e}$ ${\displaystyle x=y\ln(y)}$ ${\displaystyle y=x+1}$

${\displaystyle W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {2x+1}{1+\ln(x+1)}}\right).}$

En 2013 se demostró ^[11] que la rama W ₋₁ se puede acotar de la siguiente manera:

${\displaystyle -1-{\sqrt {2u}}-u<W_{-1}\left(-e^{-u-1}\right)<-1-{\sqrt {2u}}-{\tfrac {2}{3}}u\quad {\text{for }}u>0.}$

Roberto Iacono y John P. Boyd ^[12] mejoraron los límites de la siguiente manera:

${\displaystyle \ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)-{\frac {\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}{1+\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}}\ln \left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)\leq W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)-\ln \left(\left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)\left(1-{\frac {\ln \left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)}{1+\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}}\right)\right).}$

Identidades

Una gráfica de W _j ( x e ^x ) donde el azul es para j =0 y el rojo es para j =−1. La línea diagonal representa los intervalos donde W _j ( x e ^x ) = x

El producto logaritmo Lambert W función W 2(z) trazado en el plano complejo desde −2−2i hasta 2+2i

Algunas identidades se derivan de la definición:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\geq -1,\\W_{-1}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\leq -1.\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que, dado que f ( x ) = xex no es inyectivo , no siempre se cumple que W ( f ( x )) = x ^, al igual que con las funciones trigonométricas inversas . Para x < 0 fijo y x ≠ −1 , la ecuación xe ^x = ye ^y tiene dos soluciones reales en y , una de las cuales es, por supuesto, y = x . Entonces, para i = 0 y x < −1 , así como para i = −1 y x ∈ (−1, 0) , y = W _i ( xe ^x ) es la otra solución.

Algunas otras identidades: ^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)e^{W(x)}=x,\quad {\text{therefore:}}\\[5pt]&e^{W(x)}={\frac {x}{W(x)}},\qquad e^{-W(x)}={\frac {W(x)}{x}},\qquad e^{nW(x)}=\left({\frac {x}{W(x)}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \ln W_{0}(x)=\ln x-W_{0}(x)\quad {\text{for }}x>0.}$^[14]

${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{0}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}{\frac {1}{e}}\leq x.}$

${\displaystyle W_{-1}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{-1}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}0<x\leq {\frac {1}{e}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)=\ln {\frac {x}{W(x)}}&&{\text{for }}x\geq -{\frac {1}{e}},\\[5pt]&W\left({\frac {nx^{n}}{W\left(x\right)^{n-1}}}\right)=nW(x)&&{\text{for }}n,x>0\end{aligned}}}$

(que se puede extender a otros n y x si se elige la rama correcta).

${\displaystyle W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {1}{W(x)}}+{\frac {1}{W(y)}}\right)\right)\quad {\text{for }}x,y>0.}$

Sustituyendo −ln x en la definición: ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}0&<x\leq e,\\[5pt]W_{-1}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}x&>e.\end{aligned}}}$

Con la exponencial iterada h ( x ) de Euler :

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x)&=e^{-W(-\ln x)}\\&={\frac {W(-\ln x)}{-\ln x}}\quad {\text{for }}x\neq 1.\end{aligned}}}$

Valores especiales

Los siguientes son valores especiales de la rama principal:

${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}.}$

${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1.}$

${\displaystyle W_{0}\left(2\ln 2\right)=\ln 2.}$

${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\ {\text{ provided }}\ x\geqslant 1/e\approx 0.36788.}$

${\displaystyle W_{0}\left(x^{x+1}\ln x\right)=x\ln x\ {\text{ provided }}\ x>0.}$

${\displaystyle W_{0}(0)=0.}$

${\displaystyle W_{0}(1)=\Omega =\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\left(e^{t}-t\right)^{2}+\pi ^{2}}}\right)^{-1}-1\approx 0.56714329\ldots }$(la constante omega ).

${\displaystyle W_{0}(1)=e^{-W_{0}(1)}=\ln \left({\frac {1}{W_{0}(1)}}\right)=-\ln W_{0}(1).}$

${\displaystyle W_{0}(e)=1.}$

${\displaystyle W_{0}\left(e^{1+e}\right)=e.}$

${\displaystyle W_{0}\left({\frac {\sqrt {e}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle W_{0}\left({\frac {\sqrt[{n}]{e}}{n}}\right)={\frac {1}{n}}}$

${\displaystyle W_{0}(-1)\approx -0.31813+1.33723i.}$

Representaciones

La rama principal de la función de Lambert se puede representar mediante una integral propia, debida a Poisson: ^[16]

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}W_{0}(-x)=\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)-xe^{\cos t}\sin \left({\tfrac {5}{2}}t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^{2}e^{2\cos t}}}\sin \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\,dt\quad {\text{for }}|x|<{\frac {1}{e}}.}$

En un dominio más amplio :1/mi≤ x ≤ e , Mező encontró la representación considerablemente más simple: ^[17]

${\displaystyle W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\ln \left({\frac {e^{e^{it}}-xe^{-it}}{e^{e^{it}}-xe^{it}}}\right)\,dt.}$

Otra representación de la rama principal fue encontrada por el mismo autor ^[18] y previamente por Kalugin-Jeffrey-Corless: ^[19]

${\displaystyle W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\ln \left(1+x{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.}$

La siguiente representación de fracción continua también es válida para la rama principal: ^[20]

${\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2+{\cfrac {5x}{3+{\cfrac {17x}{10+{\cfrac {133x}{17+{\cfrac {1927x}{190+{\cfrac {13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

Además, si | W ₀ ( x ) | < 1 : ^[21]

${\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

A su vez, si | W ₀ ( x ) | > e , entonces

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

Otras fórmulas

Integrales definidas

Existen varias fórmulas integrales definidas útiles que involucran la rama principal de la función W , incluidas las siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\pi }W_{0}\left(2\cot ^{2}x\right)\sec ^{2}x\,dx=4{\sqrt {\pi }}.\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx=2{\sqrt {2\pi }}.\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\,dx={\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}$

La primera identidad se puede encontrar escribiendo la integral gaussiana en coordenadas polares .

La segunda identidad se puede derivar haciendo la sustitución u = W ₀ ( x ) , lo que da

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=ue^{u},\\[5pt]{\frac {dx}{du}}&=(u+1)e^{u}.\end{aligned}}}$

De este modo

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}du\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\right)+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {\pi }}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}$

La tercera identidad se puede derivar de la segunda haciendo la sustitución u = x ⁻² y la primera también se puede derivar de la tercera mediante la sustitución z =1/√ 2bronceado x .

Excepto por z a lo largo del corte de rama (−∞, −1/mi] (donde la integral no converge), la rama principal de la función Lambert W se puede calcular mediante la siguiente integral: ^[22]

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(z)&={\frac {z}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu \\[5pt]&={\frac {z}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu ,\end{aligned}}}$

donde las dos expresiones integrales son equivalentes debido a la simetría del integrando.

Integrales indefinidas

$${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}$$

1ra prueba

Introducir variable de sustitución ${\displaystyle u=W(x)\rightarrow ue^{u}=x\;\;\;\;{\frac {d}{du}}ue^{u}=(u+1)e^{u}}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\frac {u}{ue^{u}}}(u+1)e^{u}\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\frac {\cancel {\color {OliveGreen}{u}}}{{\cancel {\color {OliveGreen}{u}}}{\cancel {\color {BrickRed}{e^{u}}}}}}\left(u+1\right){\cancel {\color {BrickRed}{e^{u}}}}\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int u+1\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {u^{2}}{2}}+u+C}$

${\displaystyle u=W(x)}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}$

2da prueba

${\displaystyle W(x)e^{W(x)}=x\rightarrow {\frac {W(x)}{x}}=e^{-W(x)}}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int e^{-W(x)}\,dx}$

${\displaystyle u=W(x)\rightarrow ue^{u}=x\;\;\;\;{\frac {d}{\,du}}ue^{u}=\left(u+1\right)e^{u}}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int e^{-u}(u+1)e^{u}\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\cancel {\color {OliveGreen}{e^{-u}}}}\left(u+1\right){\cancel {\color {OliveGreen}{e^{u}}}}\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int u+1\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {u^{2}}{2}}+u+C}$

${\displaystyle u=W(x)}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}$

$${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C}$$

Prueba

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx}$

${\displaystyle u=Bx\rightarrow {\frac {u}{B}}=x\;\;\;\;{\frac {d}{du}}{\frac {u}{B}}={\frac {1}{B}}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{u}\right){\frac {1}{B}}du}$

${\displaystyle v=e^{u}\rightarrow \ln \left(v\right)=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}\ln \left(v\right)={\frac {1}{v}}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {W\left(Av\right)}{v}}dv}$

${\displaystyle w=Av\rightarrow {\frac {w}{A}}=v\;\;\;\;{\frac {d}{dw}}{\frac {w}{A}}={\frac {1}{A}}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {{\cancel {\color {OliveGreen}{A}}}W(w)}{w}}{\cancel {\color {OliveGreen}{\frac {1}{A}}}}dw}$

${\displaystyle t=W\left(w\right)\rightarrow te^{t}=w\;\;\;\;{\frac {d}{dt}}te^{t}=\left(t+1\right)e^{t}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {t}{te^{t}}}\left(t+1\right)e^{t}dt}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{{\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}}}\left(t+1\right){\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}dt}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int t+1dt}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {t^{2}}{2B}}+{\frac {t}{B}}+C}$

${\displaystyle t=W\left(w\right)}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(w\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(w\right)}{B}}+C}$

${\displaystyle w=Av}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Av\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Av\right)}{B}}+C}$

${\displaystyle v=e^{u}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{u}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{u}\right)}{B}}+C}$

${\displaystyle u=Bx}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C}$

$${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C}$$

Prueba

Introducir la variable de sustitución , que nos da y ${\displaystyle u=W(x)}$ ${\displaystyle ue^{u}=x}$ ${\displaystyle {\frac {d}{du}}ue^{u}=\left(u+1\right)e^{u}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;\int {\frac {u}{\left(ue^{u}\right)^{2}}}\left(u+1\right)e^{u}du\\&=\;\int {\frac {u+1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int {\frac {u}{ue^{u}}}du\;+\;\int {\frac {1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int e^{-u}du\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du\end{aligned}}}$

${\displaystyle v=-u\rightarrow -v=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}-v=-1}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\int e^{v}\left(-1\right)dv\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{v}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C}$

${\displaystyle v=-u}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{-u}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C}$

${\displaystyle u=W(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;-e^{-W(x)}+\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)+C\\&=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C\end{aligned}}}$

Aplicaciones

Resolver ecuaciones

La función Lambert W se utiliza para resolver ecuaciones en las que la cantidad desconocida se encuentra tanto en la base como en el exponente, o tanto dentro como fuera de un logaritmo. La estrategia es convertir dicha ecuación a una de la forma ze ^z = w y luego resolver para z usando la función W.

Por ejemplo, la ecuación

${\displaystyle 3^{x}=2x+2}$

(donde x es un número real desconocido) se puede resolver reescribiéndolo como

${\displaystyle {\begin{aligned}&(x+1)\ 3^{-x}={\frac {1}{2}}&({\mbox{multiply by }}3^{-x}/2)\\\Leftrightarrow \ &(-x-1)\ 3^{-x-1}=-{\frac {1}{6}}&({\mbox{multiply by }}{-}1/3)\\\Leftrightarrow \ &(\ln 3)(-x-1)\ e^{(\ln 3)(-x-1)}=-{\frac {\ln 3}{6}}&({\mbox{multiply by }}\ln 3)\end{aligned}}}$

Esta última ecuación tiene la forma deseada y las soluciones para x real son:

${\displaystyle (\ln 3)(-x-1)=W_{0}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)\ \ \ {\textrm {or}}\ \ \ (\ln 3)(-x-1)=W_{-1}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)}$

y por lo tanto:

${\displaystyle x=-1-{\frac {W_{0}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=-0.79011\ldots \ \ {\textrm {or}}\ \ x=-1-{\frac {W_{-1}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=1.44456\ldots }$

Generalmente la solución a

${\displaystyle x=a+b\,e^{cx}}$

es:

${\displaystyle x=a-{\frac {1}{c}}W(-bc\,e^{ac})}$

donde a , b y c son constantes complejas, con b y c distintos de cero, y la función W es de cualquier orden de números enteros.

Flujos viscosos

Los frentes y depósitos de flujo granular y de escombros, y los frentes de fluidos viscosos en eventos naturales y en experimentos de laboratorio se pueden describir utilizando la función omega de Lambert-Euler de la siguiente manera:

${\displaystyle H(x)=1+W\left((H(0)-1)e^{(H(0)-1)-{\frac {x}{L}}}\right),}$

donde H ( x ) es la altura del flujo de escombros, x es la posición aguas abajo del canal, L es el parámetro del modelo unificado que consta de varios parámetros físicos y geométricos del flujo, la altura del flujo y el gradiente de presión hidráulica.

En el flujo en tuberías , la función W de Lambert es parte de la formulación explícita de la ecuación de Colebrook para encontrar el factor de fricción de Darcy . Este factor se utiliza para determinar la caída de presión a través de un tramo recto de tubería cuando el flujo es turbulento . ^[23]

Flujo dependiente del tiempo en sistemas hidráulicos derivados simples

La rama principal de la función Lambert W se empleó en el campo de la ingeniería mecánica , en el estudio de la transferencia dependiente del tiempo de fluidos newtonianos entre dos yacimientos con diferentes niveles de superficie libre, utilizando bombas centrífugas. ^[24] La función Lambert W proporcionó una solución exacta al caudal de fluido tanto en el régimen laminar como en el turbulento:

$${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{\text{turb}}&={\frac {Q_{i}}{\zeta _{i}}}W_{0}\left[\zeta _{i}\,e^{(\zeta _{i}+\beta t/b)}\right]\\Q_{\text{lam}}&={\frac {Q_{i}}{\xi _{i}}}W_{0}\left[\xi _{i}\,e^{\left(\xi _{i}+\beta t/(b-\Gamma _{1})\right)}\right]\end{aligned}}}$$

${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle t}$

Neuroimagen

La función Lambert W se empleó en el campo de la neuroimagen para vincular los cambios en el flujo sanguíneo cerebral y el consumo de oxígeno dentro de un vóxel cerebral con la correspondiente señal dependiente del nivel de oxigenación de la sangre (BOLD). ^[25]

Ingeniería Química

La función Lambert W se empleó en el campo de la ingeniería química para modelar el espesor de la película de electrodo poroso en un supercondensador a base de carbono vítreo para el almacenamiento de energía electroquímica. La función Lambert W resultó ser la solución exacta para un proceso de activación térmica en fase gaseosa donde el crecimiento de una película de carbono y la combustión de la misma película compiten entre sí. ^{[26] [27]}

Crecimiento de cristales

En el crecimiento del cristal, el principio negativo de la función W de Lambert se puede utilizar para calcular el coeficiente de distribución, y la concentración de soluto en la masa fundida, [ ^{28] [29]} a partir de la ecuación de Scheil : ${\textstyle k}$ ${\textstyle C_{L}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&k={\frac {W_{0}(Z)}{\ln(1-fs)}}\\&C_{L}={\frac {C_{0}}{(1-fs)}}e^{W_{0}(Z)}\\&Z={\frac {C_{S}}{C_{0}}}(1-fs)\ln(1-fs)\end{aligned}}}$

Ciencia de los Materiales

La función Lambert W se empleó en el campo del crecimiento de películas epitaxiales para determinar el espesor de la película de inicio de la dislocación crítica . Este es el espesor calculado de una película epitaxial, donde debido a principios termodinámicos la película desarrollará dislocaciones cristalográficas para minimizar la energía elástica almacenada en las películas. Antes de aplicar Lambert W para este problema, el espesor crítico debía determinarse resolviendo una ecuación implícita. Lambert W lo convierte en una ecuación explícita para un manejo analítico con facilidad. ^[30]

Medios porosos

La función Lambert W se ha empleado en el campo del flujo de fluidos en medios porosos para modelar la inclinación de una interfaz que separa dos fluidos segregados gravitacionalmente en un lecho poroso inclinado homogéneo de inmersión y espesor constantes donde el fluido más pesado, inyectado en el extremo inferior, desplaza el líquido más ligero que se produce a la misma velocidad desde el extremo superior. La rama principal de la solución corresponde a desplazamientos estables, mientras que la rama -1 se aplica si el desplazamiento es inestable con el fluido más pesado corriendo debajo del fluido más ligero. ^[31]

Números de Bernoulli y género Todd

La ecuación (vinculada con las funciones generadoras de los números de Bernoulli y el género Todd ):

${\displaystyle Y={\frac {X}{1-e^{X}}}}$

se puede resolver mediante las dos ramas reales W ₀ y W ₋₁ :

${\displaystyle X(Y)={\begin{cases}W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}Y<-1,\\W_{0}\left(Ye^{Y}\right)-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}-1<Y<0.\end{cases}}}$

Esta aplicación muestra que la diferencia de rama de la función W se puede emplear para resolver otras ecuaciones trascendentales. ^[32]

Estadísticas

El centroide de un conjunto de histogramas definido con respecto a la divergencia simetrizada de Kullback-Leibler (también llamada divergencia de Jeffreys ^[33] ) tiene una forma cerrada utilizando la función Lambert W. ^[34]

Agrupación de pruebas para enfermedades infecciosas.

Resolver el tamaño de grupo óptimo para agrupar las pruebas de modo que al menos un individuo esté infectado implica la función Lambert W. ^{[35] [36] [37]}

Soluciones exactas de la ecuación de Schrödinger

La función Lambert W aparece en un potencial mecánico-cuántico, que proporciona la quinta solución exacta, junto con las del oscilador armónico más centrífugo, el de Coulomb más el cuadrado inverso, el Morse y el potencial de raíz cuadrada inversa, del potencial estacionario. Ecuación dimensional de Schrödinger en términos de funciones hipergeométricas confluentes. El potencial está dado como

${\displaystyle V={\frac {V_{0}}{1+W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right)}}.}$

Una peculiaridad de la solución es que cada una de las dos soluciones fundamentales que componen la solución general de la ecuación de Schrödinger está dada por una combinación de dos funciones hipergeométricas confluentes de un argumento proporcional a ^[38]

${\displaystyle z=W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right).}$

La función Lambert W también aparece en la solución exacta para la energía del estado ligado de la ecuación unidimensional de Schrödinger con un potencial doble delta .

Solución exacta de la constante de acoplamiento QCD

En la cromodinámica cuántica , la teoría cuántica de campos de la interacción fuerte , la constante de acoplamiento se calcula perturbativamente, el orden n corresponde a los diagramas de Feynman que incluyen n bucles cuánticos. ^[39] La solución de primer orden, n=1, es exacta (en ese orden) y analítica. En órdenes superiores, n>1, no existe una solución exacta y analítica y normalmente se utiliza un método iterativo para proporcionar una solución aproximada. Sin embargo, para el segundo orden, n=2, la función de Lambert proporciona una solución exacta (aunque no analítica). ^[39] ${\displaystyle \alpha _{\text{s}}}$

Soluciones exactas de las ecuaciones del vacío de Einstein.

En la solución métrica de Schwarzschild de las ecuaciones de vacío de Einstein, se necesita la función W para pasar de las coordenadas de Eddington-Finkelstein a las coordenadas de Schwarzschild. Por ello, también aparece en la construcción de las coordenadas Kruskal-Szekeres .

Resonancias del potencial delta-shell.

Las resonancias de onda s del potencial de capa delta se pueden escribir exactamente en términos de la función W de Lambert . ^[40]

Equilibrio termodinámico

Si una reacción involucra reactivos y productos que tienen capacidades caloríficas que son constantes con la temperatura, entonces la constante de equilibrio K obedece

${\displaystyle \ln K={\frac {a}{T}}+b+c\ln T}$

para algunas constantes a , b y c . Cuando c (igual aΔCp _ _{_}/R) no es cero, podemos encontrar el valor o valores de T donde K es igual a un valor dado de la siguiente manera, donde usamos L para ln T .

${\displaystyle {\begin{aligned}-a&=(b-\ln K)T+cT\ln T\\&=(b-\ln K)e^{L}+cLe^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}&=\left({\frac {b-\ln K}{c}}+L\right)e^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}&=\left(L+{\frac {b-\ln K}{c}}\right)e^{L+{\frac {b-\ln K}{c}}}\\[5pt]L&=W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\\[5pt]T&=\exp \left(W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\right).\end{aligned}}}$

Si a y c tienen el mismo signo, habrá dos soluciones o ninguna (o una si el argumento de W es exactamente −1/mi). (La solución superior puede no ser relevante). Si tienen signos opuestos, habrá una solución.

Separación de fases de mezclas de polímeros.

En el cálculo del diagrama de fases de mezclas de polímeros termodinámicamente incompatibles según el modelo de Edmond-Ogston , las soluciones para líneas binodales y de unión se formulan en términos de funciones W de Lambert . ^[41]

Ley de desplazamiento de Wien en un universo D -dimensional

La ley de desplazamiento de Viena se expresa como . Con y , donde está la densidad de energía espectral, se encuentra . La solución muestra que la densidad de energía espectral depende de la dimensionalidad del universo. ^[42] ${\displaystyle \nu _{\max }/T=\alpha =\mathrm {const} }$ ${\displaystyle x=h\nu _{\max }/k_{\mathrm {B} }T}$ ${\displaystyle d\rho _{T}\left(x\right)/dx=0}$ ${\displaystyle \rho _{T}}$ ${\displaystyle e^{-x}=1-{\frac {x}{D}}}$ ${\displaystyle x=D+W\left(-De^{-D}\right)}$

Correspondencia AdS/CFT

Las correcciones clásicas de tamaño finito a las relaciones de dispersión de magnones gigantes, picos individuales y cuerdas GKP se pueden expresar en términos de la función W de Lambert . ^{[43] [44]}

Epidemiología

En el límite t → ∞ del modelo SIR , la proporción de individuos susceptibles y recuperados tiene solución en términos de la función W de Lambert . ^[45]

Determinación del tiempo de vuelo de un proyectil.

El tiempo total del recorrido de un proyectil que experimenta una resistencia del aire proporcional a su velocidad se puede determinar de forma exacta utilizando la función W de Lambert .

Propagación de ondas superficiales electromagnéticas.

La ecuación trascendental que aparece en la determinación del número de onda de propagación de una onda superficial electromagnética axialmente simétrica (un modo único TM01 de baja atenuación) que se propaga en un alambre metálico cilíndrico da lugar a una ecuación como u ln u = v ( donde u y v agrupar los factores geométricos y físicos del problema), que se resuelve mediante la función W de Lambert . La primera solución a este problema, aportada por Sommerfeld alrededor de 1898, ya contenía un método iterativo para determinar el valor de la función W de Lambert . ^[46]

Trayectorias ortogonales de elipses reales.

La familia de elipses centradas en está parametrizada por la excentricidad . Las trayectorias ortogonales de esta familia vienen dadas por la ecuación diferencial cuya solución general es la familia . ${\displaystyle x^{2}+(1-\varepsilon ^{2})y^{2}=\varepsilon ^{2}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \left({\frac {1}{y}}+y\right)dy=\left({\frac {1}{x}}-x\right)dx}$ ${\displaystyle y^{2}=}$ ${\displaystyle W_{0}(x^{2}\exp(-2C-x^{2}))}$

Generalizaciones

La función estándar de Lambert W expresa soluciones exactas a ecuaciones algebraicas trascendentales (en x ) de la forma:

donde a ₀ , c y r son constantes reales. La solucion es

$${\displaystyle x=r+{\frac {1}{c}}W\left({\frac {c\,e^{-cr}}{a_{0}}}\right).}$$

W ^{[47] [48] [49]}

• Una aplicación a la relatividad general y la mecánica cuántica ( gravedad cuántica ) en dimensiones inferiores, de hecho, un vínculo (desconocido antes de 2007 ^[50] ) entre estas dos áreas, donde el lado derecho de ( 1 ) se reemplaza por un polinomio cuadrático. en x :

  donde r ₁ y r ₂ son constantes reales distintas, las raíces del polinomio cuadrático. Aquí, la solución es una función que tiene un solo argumento x pero términos como r _i y a ₀ son parámetros de esa función. En este sentido, la generalización se parece a la función hipergeométrica y a la función G de Meijer , pero pertenece a una clase diferente de funciones. Cuando r ₁ = r ₂ , ambos lados de ( 2 ) se pueden factorizar y reducir a ( 1 ) y, por lo tanto, la solución se reduce a la de la función W estándar . La ecuación ( 2 ) expresa la ecuación que gobierna el campo de dilatón , de la cual se deriva la métrica del R = T o problema de gravedad lineal de dos cuerpos en 1 + 1 dimensiones (una dimensión espacial y una dimensión temporal) para el caso de reposo desigual. masas, así como las energías propias del modelo de función delta de Dirac de doble pozo mecánico-cuántico para cargas desiguales en una dimensión.

• Soluciones analíticas de las energías propias de un caso especial del problema de los tres cuerpos de la mecánica cuántica, a saber, el ion-molécula de hidrógeno (tridimensional) . ^[51] Aquí el lado derecho de ( 1 ) se reemplaza por una razón de polinomios de orden infinito en x :

  donde r _i y s _i son constantes reales distintas y x es función de la energía propia y la distancia internuclear R. La ecuación ( 3 ) con sus casos especializados expresados ​​en ( 1 ) y ( 2 ) está relacionada con una gran clase de ecuaciones diferenciales de retardo . La noción de GH Hardy de "falso derivado" proporciona raíces múltiples exactas para casos especiales de ( 3 ). ^[52]

Las aplicaciones de la función Lambert W en problemas físicos fundamentales no se agotan ni siquiera para el caso estándar expresado en ( 1 ), como se ha visto recientemente en el área de la física atómica, molecular y óptica . ^[53]

Parcelas

• Gráficos de la función Lambert W en el plano complejo
• 
  z = Re( W ₀ ( x + iy ))
• 
  z = Im( W ₀ ( x + iy ))
• 
  z = | W ₀ ( x + iy ) |
• 
  Superposición de las tres tramas anteriores.

Evaluación numérica

La función W se puede aproximar utilizando el método de Newton , con aproximaciones sucesivas a w = W ( z ) (entonces z = we ^w ) siendo

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}+w_{j}e^{w_{j}}}}.}$

La función W también se puede aproximar utilizando el método de Halley ,

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}\left(w_{j}+1\right)-{\dfrac {\left(w_{j}+2\right)\left(w_{j}e^{w_{j}}-z\right)}{2w_{j}+2}}}}}$

dado en Corless et al. ^[3] para calcular W .

En realidad , podría aproximarse mediante la fórmula recursiva de tasa cuadrática de R. Iacono y JP Boyd: ^[12] ${\displaystyle x\geq -1/e}$

${\displaystyle w_{n+1}(x)={\frac {w_{n}(x)}{1+w_{n}(x)}}\left(1+\log \left({\frac {x}{w_{n}(x)}}\right)\right).}$

Lajos Lóczi demuestra que al elegir lo apropiado , ${\displaystyle w_{0}(x)}$

• si : ${\displaystyle x\in (e,\infty )}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=\log(x)-\log(\log(x)),}$
• si ${\displaystyle x\in (0,e):}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=x/e,}$
• si ${\displaystyle x\in (-1/e,0):}$
  • para la sucursal principal : ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle w_{0}(x)={\frac {ex}{1+ex+{\sqrt {1+ex}}}}\log(1+{\sqrt {1+ex}}),}$
  • para la sucursal : ${\displaystyle W_{-1}}$
    • ${\displaystyle w_{0}(x)=-1-{\sqrt {2(1+ex)}},}$para ${\displaystyle x\in (-1/e,-1/4],}$
    • ${\displaystyle w_{0}(x)=\log(-x)-\log(-\log(-x)),}$para ${\displaystyle x\in (-1/4,0),}$

se puede determinar el número máximo de pasos de iteración por adelantado para cualquier precisión: ^[54]

• si (Teorema 2.4): ${\displaystyle x\in (e,\infty )}$ ${\displaystyle 0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<\left(\log(1+1/e)\right)^{2^{n}},}$
• si (Teorema 2.9): ${\displaystyle x\in (0,e)}$ ${\displaystyle 0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<{\frac {\left(1-1/e\right)^{2^{n}-1}}{5}},}$
• si ${\displaystyle x\in (-1/e,0):}$
  • para la rama principal (Teorema 2.17): ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle 0<w_{n}(x)-W_{0}(x)<\left(1/10\right)^{2^{n}},}$
  • para la rama (Teorema 2.23): ${\displaystyle W_{-1}}$ ${\displaystyle 0<W_{-1}(x)-w_{n}(x)<\left(1/2\right)^{2^{n}}.}$

Software

La función Lambert W se implementa como LambertWen Maple, ^[55] lambertw en GP (y glambertWen PARI ), lambertwen Matlab , ^[56] también lambertwen Octave con el specfunpaquete, como lambert_wen Maxima, ^[57] como ProductLog(con un alias silencioso LambertW) en Mathematica. , ^[58] como lambertwen el paquete de funciones especiales scipy de Python, ^[59] como LambertWen el módulo de Perl ntheory, ^[60] y como gsl_sf_lambert_W0, gsl_sf_lambert_Wm1funciones en la sección de funciones especiales de la Biblioteca Científica GNU (GSL). En las bibliotecas de Boost C++, las llamadas son lambert_w0, lambert_wm1, lambert_w0_primey lambert_wm1_prime. En R , la función Lambert W se implementa como las funciones lambertW0y lambertWm1en el lamWpaquete. ^[61]

El código C++ para todas las ramas de la compleja función Lambert W está disponible en la página de inicio de István Mező. ^[62]

Ver también

• Función omega de Wright
• La ecuación del trinomio de Lambert
• Teorema de inversión de Lagrange
• Matemáticas experimentales
• Método Holstein-Arenque
• R = modelo T
• Lema π de Ross

Notas

1. Lehtonen, Jussi (abril de 2016), Rees, Mark (ed.), "La función Lambert W en modelos ecológicos y evolutivos", Methods in Ecology and Evolution , 7 (9): 1110–1118, doi : 10.1111/2041- 210x.12568 , S2CID  124111881
2. Chow, Timothy Y. (1999), "¿Qué es un número en forma cerrada?", American Mathematical Monthly , 106 (5): 440–448, arXiv : math/9805045 , doi :10.2307/2589148, JSTOR  2589148, MR  1699262.
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4. Lambert JH, "Observationes variae in mathesin puram", Acta Helveticae physico-mathematico-anatomico-botanico-medica , Band III, 128-168, 1758.
5. Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus". Acta Acad. Científico. Petropol. 2 , 29–51, 1783. Reimpreso en Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, vol. 6: Comentarios Algebraicae . Leipzig, Alemania: Teubner, págs. 350–369, 1921.
6. Scott, TC; Babb, JF; Dalgarno, A; Morgan, John D (15 de agosto de 1993). "El cálculo de las fuerzas cambiarias: resultados generales y modelos específicos". J. química. Física . Instituto Americano de Física. 99 (4): 2841–2854. Código Bib :1993JChPh..99.2841S. doi :10.1063/1.465193. ISSN  0021-9606.
7. Corless, RM; Gonnet, GH; Liebre, DEG; Jeffrey, DJ (1993). "Función de Lambert en Maple". El boletín técnico de Maple . 9 : 12–22. CiteSeerX 10.1.1.33.2556 . ${\displaystyle W}$ 
8. Mező, István (2022). La función de Lambert W: sus generalizaciones y aplicaciones. doi :10.1201/9781003168102. ISBN 9781003168102. S2CID  247491347.
9. Bronstein, Manuel; Corless, Robert M.; Davenport, James H.; Jeffrey, DJ (2008). "Propiedades algebraicas de la función Lambert W {\displaystyle W} a partir de un resultado de Rosenlicht y de Liouville" (PDF) . Transformadas Integrales y Funciones Especiales . 19 (10): 709–712. doi :10.1080/10652460802332342. S2CID  120069437. Archivado (PDF) desde el original el 11 de diciembre de 2015.
10. A. Hoorfar, M. Hassani, Desigualdades en la función Lambert W y la función de hiperpotencia, JIPAM, Teorema 2.7, página 7, volumen 9, número 2, artículo 51. 2008.
11. Chatzigeorgiou, I. (2013). "Límites de la función de Lambert y su aplicación al análisis de interrupciones de la cooperación de usuarios". Cartas de comunicaciones del IEEE . 17 (8): 1505-1508. arXiv : 1601.04895 . doi :10.1109/LCOMM.2013.070113.130972. S2CID  10062685.
12. Iacono, Roberto; Boyd, John P. (1 de diciembre de 2017). "Nuevas aproximaciones a la principal rama de valor real de la función W de Lambert". Avances en Matemática Computacional . 43 (6): 1403-1436. doi :10.1007/s10444-017-9530-3. ISSN  1572-9044. S2CID  254184098.
13. "Función de Lambert: Identidades (fórmula 01.31.17.0001)".
14. "Función Lambert W".
15. https://isa-afp.org/entries/Lambert_W.html Nota: aunque uno de los supuestos del lema relevante establece que x debe ser > 1/ e , la inspección de dicho lema revela que este supuesto no se utiliza. De hecho, el límite inferior es x > 0. La razón para el cambio de rama en e es simple: para x > 1 siempre hay dos soluciones, −ln  x y otra que obtendrías de x en el otro lado de e que alimentaría el mismo valor a W ; estos deben cruzarse en x = e : [1] W _n no puede distinguir un valor de ln x/x de un x < e del mismo valor del otro x > e , por lo que no puede invertir el orden de sus valores de retorno.
16. Pinzón, SR (2003). Constantes matemáticas . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 450.
17. Mező, István. "Una representación integral de la rama principal de la función Lambert W" . Consultado el 24 de abril de 2022 .
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19. Kalugin, alemán A.; Jeffrey, David J.; Corless, Robert M. (2011). "Stieltjes, Poisson y otras representaciones integrales para funciones de Lambert W". arXiv : 1103.5640 [matemáticas.CV]..
20. Dubinov, AE; Dubinova, ID; Saǐkov, SK (2006). La función Lambert W y sus aplicaciones a problemas matemáticos de física (en ruso) . RFNC-VNIIEF. pag. 53.
21. Robert M., Corless; David J., Jeffrey; Donald E., Knuth (1997). "Una secuencia de series para la función Lambert W ". Actas del simposio internacional de 1997 sobre computación simbólica y algebraica - ISSAC '97 . págs. 197-204. doi :10.1145/258726.258783. ISBN 978-0897918756. S2CID  6274712.
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Referencias

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enlaces externos

• Biblioteca Digital del Instituto Nacional de Ciencia y Tecnología - Lambert W
• MathWorld – Función W de Lambert
• Calcular la función Lambert W
• Corless et al. Notas sobre la investigación de Lambert W.
• Implementación de GPL C++ con la iteración de Halley y Fritsch.
• Funciones Especiales de la Biblioteca Científica GNU – GSL
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