Función de Liouvillian

Funciones elementales y sus integrales iteradas finitamente

En matemáticas , las funciones de Liouvillian comprenden un conjunto de funciones que incluyen las funciones elementales y sus integrales repetidas . Las funciones de Liouvillian pueden definirse recursivamente como integrales de otras funciones de Liouvillian.

Más explícitamente, una función de Liouvillian es una función de una variable que es la composición de un número finito de operaciones aritméticas (+, −, ×, ÷) , exponenciales , constantes , soluciones de ecuaciones algebraicas (una generalización de raíces n ésimas ) y antiderivadas . La función logaritmo no necesita incluirse explícitamente ya que es la integral de . ${\displaystyle 1/x}$

De la definición se desprende directamente que el conjunto de funciones de Liouvillia está cerrado respecto de operaciones aritméticas, composición e integración. También está cerrado respecto de diferenciación . No está cerrado respecto de límites y sumas infinitas . ^{[ se necesita un ejemplo ]}

Las funciones de Liouville fueron introducidas por Joseph Liouville en una serie de artículos entre 1833 y 1841.

Ejemplos

Todas las funciones elementales son liouvillianas.

Ejemplos de funciones bien conocidas que son liouvillianas pero no elementales son las antiderivadas no elementales , por ejemplo:

• La función de error , ${\displaystyle \mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt,}$
• Las integrales exponencial ( Ei ), logarítmica ( Li o li ) y de Fresnel ( S y C ).

Todas las funciones de Liouvillian son soluciones de ecuaciones diferenciales algebraicas , pero no a la inversa. Ejemplos de funciones que son soluciones de ecuaciones diferenciales algebraicas pero no de Liouvillian incluyen: ^[1]

• las funciones de Bessel (excepto casos especiales);
• las funciones hipergeométricas (excepto casos especiales).

Ejemplos de funciones que no son soluciones de ecuaciones diferenciales algebraicas y, por lo tanto, no son liouvillianas incluyen todas las funciones trascendentales , tales como:

• la función gamma ;
• La función zeta .

Véase también

• Expresión de forma cerrada  : fórmula matemática que implica un conjunto determinado de operaciones.
• Teoría diferencial de Galois  – Estudio de los grupos de simetría de Galois de campos diferenciales
• Teorema de Liouville (álgebra diferencial)  : dice cuándo las antiderivadas de funciones elementales pueden expresarse como funciones elementales.
• Integral no elemental  – Integrales que no se pueden expresar en forma cerrada a partir de funciones elementales
• Teoría de Picard-Vessiot  : estudio de extensiones de campo diferenciales inducidas por ecuaciones diferenciales lineales

Referencias

1. L. Chan, ES Cheb-Terrab, "Soluciones no liouvillianas para ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden", Actas del simposio internacional de 2004 sobre computación simbólica y algebraica (ISSAC '04) , 2004, págs. 80-86 doi :10.1145/1005285.1005299

Lectura adicional

• Davenport, JH (2007). "Qué podría significar 'entender una función'". En Kauers, M.; Kerber, M.; Miner, R.; Windsteiger, W. (eds.). Hacia asistentes matemáticos mecanizados . Berlín/Heidelberg: Springer. págs. 55–65. ISBN 978-3-540-73083-5.