Función G de Meijer

Generalización de la función hipergeométrica.

Gráfica de la función G de Meiger G(((a 1,...,an),(a n+1,...,ap)),((b 1,...,bm),(b m+ 1,...,bq)),z) entrada ((½),()),((⅓),()) en el plano complejo de -2-2i a 2+2i

En matemáticas, la función G fue introducida por Cornelis Simon Meijer  (1936) como una función muy general destinada a incluir la mayoría de las funciones especiales conocidas como casos particulares. Este no fue el único intento de este tipo: la función hipergeométrica generalizada y la función E de MacRobert tenían el mismo objetivo, pero la función G de Meijer pudo incluirlas también como casos particulares. La primera definición la hizo Meijer utilizando una serie ; hoy en día la definición aceptada y más general es la de integral de línea en el plano complejo , introducida en toda su generalidad por Arthur Erdélyi en 1953.

Con la definición moderna, la mayoría de las funciones especiales establecidas se pueden representar en términos de la función G de Meijer. Una propiedad notable es el cierre del conjunto de todas las funciones G no sólo bajo diferenciación sino también bajo integración indefinida. En combinación con una ecuación funcional que permite liberar de una función G G ( z ) cualquier factor z ^ρ que sea una potencia constante de su argumento z , el cierre implica que siempre que una función sea expresable como una función G de una constante múltiplo de alguna potencia constante del argumento de la función, f ( x ) = G ( cx ^γ ), la derivada y la primitiva de esta función también se pueden expresar.

La amplia cobertura de funciones especiales también otorga poder a usos de la función G de Meijer distintos de la representación y manipulación de derivadas y antiderivadas. Por ejemplo, la integral definida sobre el eje real positivo de cualquier función g ( x ) que pueda escribirse como producto G ₁ ( cx ^γ )· G ₂ ( dx ^δ ) de dos funciones G con racional γ / δ es igual a otra función G, y generalizaciones de transformadas integrales como la transformada de Hankel y la transformada de Laplace y sus inversas resultan cuando se emplean pares de funciones G adecuados como núcleos de transformación.

Una función aún más general, que introduce parámetros adicionales en la función G de Meijer, es la función H de Fox y Ram Kishore Saxena la utiliza para la transformación Matrix ^[1].

Una aplicación de la función G de Meijer ha sido el espectro de radiación de partículas de un horizonte inercial en el modelo de espejo móvil del efecto Casimir dinámico (Good 2020).

Definición de la función G de Meijer

Una definición general de la función G de Meijer viene dada por la siguiente integral de línea en el plano complejo (Bateman y Erdélyi 1953, § 5.3-1):

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}+s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}+s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-s)}}\,z^{s}\,ds,}$

donde Γ denota la función gamma . Esta integral es del llamado tipo Mellin-Barnes y puede verse como una transformada de Mellin inversa . La definición se cumple bajo los siguientes supuestos:

• 0 ≤ m ≤ q y 0 ≤ n ≤ p , donde m , n , p y q son números enteros
• a _k − b _j ≠ 1, 2, 3, ... para cualquier combinación de {k, j} para la cual k = 1, 2, ..., n , y j = 1, 2, ..., m , lo que implica que ningún polo de cualquier Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., m , coincide con ningún polo de cualquier Γ(1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., norte
• z ≠ 0

Tenga en cuenta que, por razones históricas, el primer índice inferior y el segundo superior se refieren a la fila de parámetros superior , mientras que el segundo índice inferior y el primer índice superior se refieren a la fila de parámetros inferior . A menudo nos encontramos con la siguiente notación más sintética utilizando vectores :

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right).}$

Las implementaciones de la función G en sistemas de álgebra informática suelen emplear argumentos vectoriales separados para los cuatro grupos de parámetros (posiblemente vacíos) a ₁ ... a _n , a _{n +1} ... a _p , b ₁ ... b _m , y b _{m +1} ... b _q , y por lo tanto puede omitir los órdenes p , q , n y m como redundantes.

La L en la integral representa el camino a seguir al integrar. Son posibles tres opciones para este camino:

1. L va desde − i ∞ hasta + i ∞ de manera que todos los polos de Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., m , están a la derecha del camino, mientras que todos los polos de Γ (1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., n , están a la izquierda. La integral entonces converge para |arg z | < δ π , donde

${\displaystyle \delta =m+n-{\tfrac {1}{2}}(p+q);}$

un prerrequisito obvio para esto es δ > 0. La integral converge además para |arg z | = δ π ≥ 0 si (q − p) ( σ + ¹ ⁄ ₂ ) > Re( ν ) + 1, donde σ representa Re( s ) cuando la variable de integración s se aproxima a + i ∞ y − i ∞, y donde

${\displaystyle \nu =\sum _{j=1}^{q}b_{j}-\sum _{j=1}^{p}a_{j}.}$

Como corolario, para |arg z | = δ π y p = q la integral converge independientemente de σ siempre que Re( ν ) < −1.

2. L es un bucle que comienza y termina en +∞, rodeando todos los polos de Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., m , exactamente una vez en la dirección negativa, pero sin rodear ningún polo de Γ(1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., norte . Entonces la integral converge para todo z si q > p ≥ 0; también converge para q = p > 0 siempre que | z | < 1. En el último caso, la integral converge además para | z | = 1 si Re( ν ) < −1, donde ν se define como para el primer camino.

3. L es un bucle que comienza y termina en −∞ y rodea todos los polos de Γ(1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., n , exactamente una vez en la dirección positiva, pero no rodea ninguno. polo de Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., m . Ahora la integral converge para todo z si p > q ≥ 0; también converge para p = q > 0 siempre que | z | > 1. Como se señaló también para el segundo camino, en el caso de p = q la integral también converge para | z | = 1 cuando Re( ν ) < −1.

Las condiciones para la convergencia se establecen fácilmente aplicando la aproximación asintótica de Stirling a las funciones gamma en el integrando. Cuando la integral converge para más de una de estas trayectorias, se puede demostrar que los resultados de la integración concuerdan; si converge sólo para un camino, entonces este es el único que se debe considerar. De hecho, la integración numérica de trayectorias en el plano complejo constituye un enfoque practicable y sensato para el cálculo de funciones G de Meijer.

Como consecuencia de esta definición, la función G de Meijer es una función analítica de z con posible excepción del origen z = 0 y del círculo unitario | z | = 1.

Ecuación diferencial

La función G satisface la siguiente ecuación diferencial lineal de orden max( p , q ):

${\displaystyle \left[(-1)^{p-m-n}\;z\prod _{j=1}^{p}\left(z{\frac {d}{dz}}-a_{j}+1\right)-\prod _{j=1}^{q}\left(z{\frac {d}{dz}}-b_{j}\right)\right]G(z)=0.}$

Para un conjunto fundamental de soluciones de esta ecuación en el caso de p ≤ q se puede tomar:

${\displaystyle G_{p,q}^{\,1,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{h},b_{1},\dots ,b_{h-1},b_{h+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,q,}$

y de manera similar en el caso de p ≥ q :

${\displaystyle G_{p,q}^{\,q,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{h},a_{1},\dots ,a_{h-1},a_{h+1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{q-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,p.}$

Estas soluciones particulares son analíticas excepto por una posible singularidad en z = 0 (así como una posible singularidad en z = ∞), y en el caso de p = q también una singularidad inevitable en z = (−1) ^{p − m − n} . Como se verá a continuación, pueden identificarse con funciones hipergeométricas generalizadas _p F _{q −1} del argumento (−1) ^{p − m − n} z que se multiplican por una potencia z ^{b _h} , y con funciones hipergeométricas generalizadas _q F _{p − 1} del argumento (−1) ^{q − m − n} z ⁻¹ que se multiplican por una potencia z ^{a _h −1} , respectivamente.

Relación entre la función G y la función hipergeométrica generalizada

Si la integral converge cuando se evalúa a lo largo del segundo camino presentado anteriormente, y si no aparecen polos confluentes entre Γ( b _j − s ), j = 1, 2, ..., m , entonces se puede expresar la función G de Meijer como una suma de residuos en términos de funciones hipergeométricas generalizadas _p F _{q −1} (teorema de Slater):

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=\sum _{h=1}^{m}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-b_{h})^{*}\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1+b_{h}-a_{j})\;z^{b_{h}}}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1+b_{h}-b_{j})\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-b_{h})}}\times }$

${\displaystyle _{p}F_{q-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1+b_{h}-\mathbf {a_{p}} \\(1+b_{h}-\mathbf {b_{q}} )^{*}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n}\;z\right).}$

La estrella indica que se omite el término correspondiente a j = h . Para que la integral converja a lo largo del segundo camino se debe tener p < q o p = q y | z | < 1, y para que los polos sean distintos ningún par entre los b _j , j = 1, 2, ..., m , puede diferir en un número entero o cero. Los asteriscos en la relación nos recuerdan que debemos ignorar la contribución con índice j = h de la siguiente manera: En el producto esto equivale a reemplazar Γ(0) por 1, y en el argumento de la función hipergeométrica, si recordamos el significado del vector notación,

${\displaystyle 1+b_{h}-\mathbf {b_{q}} =(1+b_{h}-b_{1}),\,\dots ,\,(1+b_{h}-b_{j}),\,\dots ,\,(1+b_{h}-b_{q}),}$

esto equivale a acortar la longitud del vector de q a q −1.

Tenga en cuenta que cuando m = 0, el segundo camino no contiene ningún polo, por lo que la integral debe desaparecer de manera idéntica,

${\displaystyle G_{p,q}^{\,0,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=0,}$

si p < q o p = q y | z | < 1.

De manera similar, si la integral converge cuando se evalúa a lo largo del tercer camino anterior, y si no aparecen polos confluentes entre Γ(1 − a _k + s ), k = 1, 2, ..., n , entonces la función G puede expresarse como:

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\prod _{j=1}^{n}\Gamma (a_{h}-a_{j})^{*}\prod _{j=1}^{m}\Gamma (1-a_{h}+b_{j})\;z^{a_{h}-1}}{\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (1-a_{h}+a_{j})\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (a_{h}-b_{j})}}\times }$

${\displaystyle _{q}F_{p-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-a_{h}+\mathbf {b_{q}} \\(1-a_{h}+\mathbf {a_{p}} )^{*}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{q-m-n}z^{-1}\right).}$

Para esto, p > q o p = q y | z | > 1 son necesarios, y ningún par entre a k _, k = 1, 2, ..., n , puede diferir en un número entero o cero. Para n = 0 se tiene en consecuencia:

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=0,}$

si p > q o p = q y | z | > 1.

Por otro lado, cualquier función hipergeométrica generalizada se puede expresar fácilmente en términos de la función G de Meijer:

${\displaystyle \;_{p}F_{q}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {\Gamma (\mathbf {b_{q}} )}{\Gamma (\mathbf {a_{p}} )}}\;G_{p,\,q+1}^{\,1,\,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {a_{p}} \\0,1-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,-z\right)={\frac {\Gamma (\mathbf {b_{q}} )}{\Gamma (\mathbf {a_{p}} )}}\;G_{q+1,\,p}^{\,p,\,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,\mathbf {b_{q}} \\\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\,-z^{-1}\right),}$

donde hemos hecho uso de la notación vectorial:

${\displaystyle \Gamma (\mathbf {a_{p}} )=\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a_{j}).}$

Esto es válido a menos que un valor entero no positivo de al menos uno de sus parámetros a _p reduzca la función hipergeométrica a un polinomio finito, en cuyo caso el prefactor gamma de cualquiera de las funciones G desaparece y los conjuntos de parámetros de las funciones G violan el requisito a _k − b _j ≠ 1, 2, 3, ... para k = 1, 2, ..., n y j = 1, 2, ..., m de la definición anterior. Aparte de esta restricción, la relación es válida siempre que la serie hipergeométrica generalizada _p F _q ( z ) converja, es decir, para cualquier z finito cuando p ≤ q , y para | z | < 1 cuando p = q + 1. En el último caso, la relación con la función G proporciona automáticamente la continuación analítica de _p F _q ( z ) a | z | ≥ 1 con una rama cortada de 1 a ∞ según el eje real. Finalmente, la relación proporciona una extensión natural de la definición de la función hipergeométrica a los órdenes p > q + 1. Por medio de la función G podemos resolver también la ecuación diferencial hipergeométrica generalizada para p > q + 1.

Casos polinomiales

Para expresar casos polinomiales de funciones hipergeométricas generalizadas en términos de funciones G de Meijer, en general se necesita una combinación lineal de dos funciones G:

${\displaystyle \;_{p+1}F_{q}\!\left(\left.{\begin{matrix}-h,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=h!\;{\frac {\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (1-a_{j})\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (b_{j})}{\prod _{j=1}^{n}\Gamma (a_{j})\prod _{j=1}^{m}\Gamma (1-b_{j})}}\times }$

${\displaystyle \left[G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {a_{p}} ,h+1\\0,1-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n}\;z\right)+(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}h+1,1-\mathbf {a_{p}} \\1-\mathbf {b_{q}} ,0\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n}\;z\right)\right],}$

donde h = 0, 1, 2, ... es igual al grado del polinomio _{p +1} F _q ( z ). Los órdenes m y n pueden elegirse libremente en los rangos 0 ≤ m ≤ q y 0 ≤ n ≤ p , lo que permite evitar que valores enteros específicos o diferencias enteras entre los parámetros a _p y b _q del polinomio den lugar a divergencias. funciones gamma en el prefactor o a un conflicto con la definición de la función G. Tenga en cuenta que la primera función G desaparece para n = 0 si p > q , mientras que la segunda función G desaparece para m = 0 si p < q . Nuevamente, la fórmula puede verificarse expresando las dos funciones G como sumas de residuos ; No es necesario excluir aquí ningún caso de polos confluentes permitidos por la definición de la función G.

Propiedades básicas de la función G.

Como puede verse en la definición de la función G, si aparecen parámetros iguales entre a p _y b q _que determinan los factores en el numerador y el denominador del integrando, la fracción se puede simplificar y, por tanto, el orden de la función. ser reducido. Que el orden m o n disminuya depende de la posición particular de los parámetros en cuestión. Por lo tanto, si uno de a k _, k = 1, 2, ..., n , es igual a uno de b _j , j = m + 1, ..., q , la función G reduce sus órdenes p , q y N :

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1},a_{1}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p-1,\,q-1}^{\,m,\,n-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n,p,q\geq 1.}$

Por la misma razón, si uno de a k _, k = n + 1, ..., p , es igual a uno de b _j , j = 1, 2, ..., m , entonces la función G reduce su órdenes p , q y m :

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},b_{1}\\b_{1},b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p-1,\,q-1}^{\,m-1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1}\\b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m,p,q\geq 1.}$

A partir de la definición, también es posible deducir las siguientes propiedades:

${\displaystyle z^{\rho }\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} +\rho \\\mathbf {b_{q}} +\rho \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}$

${\displaystyle G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} ,\alpha '\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\alpha '-\alpha }\;G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ',\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\leq p,\;\alpha '-\alpha \in \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ,\mathbf {b_{q}} ,\beta '\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta '-\beta }\;G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ',\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta '-\beta \in \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta -\alpha }\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\beta ,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta -\alpha =0,1,2,\dots ,}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{q,p}^{\,n,m}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {b_{q}} \\1-\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right),}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {h^{1+\nu +(p-q)/2}}{(2\pi )^{(h-1)\delta }}}\;G_{hp,\,hq}^{\,hm,\,hn}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}/h,\dots ,(a_{1}+h-1)/h,\dots ,a_{p}/h,\dots ,(a_{p}+h-1)/h\\b_{1}/h,\dots ,(b_{1}+h-1)/h,\dots ,b_{q}/h,\dots ,(b_{q}+h-1)/h\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z^{h}}{h^{h(q-p)}}}\right),\quad h\in \mathbb {N} .}$

Las abreviaturas ν y δ se introdujeron en la definición de la función G anterior.

Derivadas y antiderivadas

En cuanto a las derivadas de la función G, se encuentran estas relaciones:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{1-a_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=z^{-a_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{1-a_{p}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=-z^{-a_{p}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-1\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n<p.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{-b_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=-z^{-1-b_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\geq 1,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{-b_{q}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=z^{-1-b_{q}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m<q,}$

A partir de estas cuatro, se pueden deducir relaciones equivalentes simplemente evaluando la derivada del lado izquierdo y manipulando un poco. Se obtiene por ejemplo:

${\displaystyle z{\frac {d}{dz}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)+(a_{1}-1)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1.}$

Además, para derivadas de orden arbitrario h , se tiene

${\displaystyle z^{h}{\frac {d^{h}}{dz^{h}}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,h\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,0\\h,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}$

${\displaystyle z^{h}{\frac {d^{h}}{dz^{h}}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right)=G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,1-h\\1,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right)=(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-h,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,1\end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right),}$

que también se cumple para h < 0, lo que permite obtener la antiderivada de cualquier función G tan fácilmente como la derivada. Al elegir uno u otro de los dos resultados proporcionados en cualquiera de las fórmulas, siempre se puede evitar que el conjunto de parámetros en el resultado viole la condición a _k − b _j ≠ 1, 2, 3, ... para k = 1, 2, ..., n y j = 1, 2, ..., m que viene impuesto por la definición de la función G. Tenga en cuenta que cada par de resultados se vuelve desigual en el caso de h < 0.

De estas relaciones se pueden derivar las propiedades correspondientes de la función hipergeométrica de Gauss y de otras funciones especiales.

Relaciones de recurrencia

Al equiparar diferentes expresiones para las derivadas de primer orden, se llega a las siguientes relaciones de recurrencia de 3 términos entre funciones G contiguas:

${\displaystyle (a_{p}-a_{1})\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-1\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad 1\leq n<p,}$

${\displaystyle (b_{1}-b_{q})\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad 1\leq m<q,}$

${\displaystyle (b_{1}-a_{1}+1)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,\;m\geq 1,}$

${\displaystyle (a_{p}-b_{q}-1)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-1\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n<p,\;m<q.}$

Relaciones similares para los pares de parámetros diagonales a ₁ , b _q y b ₁ , a _p siguen una combinación adecuada de lo anterior. Nuevamente, las propiedades correspondientes de funciones hipergeométricas y otras funciones especiales pueden derivarse de estas relaciones de recurrencia.

Teoremas de multiplicación

Siempre que z ≠ 0, se cumplen las siguientes relaciones:

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,wz\right)=w^{b_{1}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(1-w)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1}+h,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\geq 1,}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,wz\right)=w^{b_{q}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(w-1)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+h\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m<q,}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z}{w}}\right)=w^{1-a_{1}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(1-w)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-h,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z}{w}}\right)=w^{1-a_{p}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(w-1)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-h\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n<p.}$

A estos les sigue la expansión de Taylor alrededor de w = 1, con la ayuda de las propiedades básicas analizadas anteriormente. Los radios de convergencia dependerán del valor de z y de la función G que se expanda. Las expansiones pueden considerarse como generalizaciones de teoremas similares de Bessel , funciones hipergeométricas e hipergeométricas confluentes .

Integrales definidas que involucran la función G

Entre integrales definidas que involucran una función G arbitraria se tiene:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)dx={\frac {\eta ^{-s}\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}+s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}-s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}-s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}+s)}}.}$

Tenga en cuenta que aquí se han omitido las restricciones bajo las cuales existe esta integral. Por supuesto, no sorprende que la transformada de Mellin de una función G conduzca nuevamente al integrando que aparece en la definición anterior.

Las integrales de tipo Euler para la función G vienen dadas por:

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{-\alpha }\;(1-x)^{\alpha -\beta -1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,zx\right)dx=\Gamma (\alpha -\beta )\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }x^{-\alpha }\;(x-1)^{\alpha -\beta -1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,zx\right)dx=\Gamma (\alpha -\beta )\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\beta ,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right).}$

Las restricciones extensas bajo las cuales existen estas integrales se pueden encontrar en la p. 417 de "Tablas de Transformadas Integrales", vol. II (1954), editado por A. Erdelyi. Tenga en cuenta que, en vista de su efecto sobre la función G, estas integrales se pueden utilizar para definir la operación de integración fraccionaria para una clase bastante grande de funciones ( operadores Erdélyi-Kober ).

Un resultado de fundamental importancia es que el producto de dos funciones G arbitrarias integradas sobre el eje real positivo se puede representar mediante otra función G (teorema de convolución):

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)G_{\sigma ,\tau }^{\,\mu ,\nu }\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {c_{\sigma }} \\\mathbf {d_{\tau }} \end{matrix}}\;\right|\,\omega x\right)dx=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\eta }}\;G_{q+\sigma ,\,p+\tau }^{\,n+\mu ,\,m+\nu }\!\left(\left.{\begin{matrix}-b_{1},\dots ,-b_{m},\mathbf {c_{\sigma }} ,-b_{m+1},\dots ,-b_{q}\\-a_{1},\dots ,-a_{n},\mathbf {d_{\tau }} ,-a_{n+1},\dots ,-a_{p}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\omega }{\eta }}\right)=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\omega }}\;G_{p+\tau ,\,q+\sigma }^{\,m+\nu ,\,n+\mu }\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{n},-\mathbf {d_{\tau }} ,a_{n+1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{m},-\mathbf {c_{\sigma }} ,b_{m+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\eta }{\omega }}\right).}$

Las restricciones bajo las cuales existe la integral se pueden encontrar en Meijer, CS, 1941: Nederl. Akád. Wetensch, Proc. 44, págs. 82–92. Observe cómo la transformada de Mellin del resultado simplemente reúne los factores gamma de las transformadas de Mellin de las dos funciones en el integrando.

La fórmula de convolución se puede derivar sustituyendo la integral definitoria de Mellin-Barnes por una de las funciones G, invirtiendo el orden de integración y evaluando la integral interna de transformada de Mellin. Las integrales de tipo Euler anteriores siguen de manera análoga.

transformada de Laplace

Usando la integral de convolución y las propiedades básicas anteriores, se puede demostrar que:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\omega x}\;x^{-\alpha }\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)dx=\omega ^{\alpha -1}\;G_{p+1,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\eta }{\omega }}\right),}$

donde Re( ω ) > 0. Esta es la transformada de Laplace de una función G ( ηx ) multiplicada por una potencia x ^{− α} ; si ponemos α = 0 obtenemos la transformada de Laplace de la función G. Como es habitual, la transformada inversa viene dada por:

${\displaystyle x^{-\alpha }\;G_{p,\,q+1}^{\,m,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\alpha \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }e^{\omega x}\;\omega ^{\alpha -1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\eta }{\omega }}\right)d\omega ,}$

donde c es una constante positiva real que coloca el camino de integración a la derecha de cualquier polo en el integrando.

Otra fórmula para la transformada de Laplace de una función G es:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\omega x}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x^{2}\right)dx={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\omega }}\;G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+2}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,{\frac {1}{2}},\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {4\eta }{\omega ^{2}}}\right),}$

donde nuevamente Re( ω ) > 0. En ambos casos se han omitido los detalles de las restricciones bajo las cuales existen las integrales.

Transformadas integrales basadas en la función G

En general, dos funciones k ( z , y ) y h ( z , y ) se denominan un par de núcleos de transformación si, para cualquier función adecuada f ( z ) o cualquier función adecuada g ( z ), las dos relaciones siguientes se mantienen simultáneamente :

${\displaystyle g(z)=\int _{0}^{\infty }k(z,y)\,f(y)\;dy,\quad f(z)=\int _{0}^{\infty }h(z,y)\,g(y)\;dy.}$

Se dice que el par de núcleos es simétrico si k ( z , y ) = h ( z , y ).

Transformación de Narain

Roop Narain (1962, 1963a, 1963b) demostró que las funciones:

${\displaystyle k(z,y)=2\gamma \;(zy)^{\gamma -1/2}\;G_{p+q,\,m+n}^{\,m,\,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\mathbf {b_{q}} \\\mathbf {c_{m}} ,\mathbf {d_{n}} \end{matrix}}\;\right|\,(zy)^{2\gamma }\right),}$

${\displaystyle h(z,y)=2\gamma \;(zy)^{\gamma -1/2}\;G_{p+q,\,m+n}^{\,n,\,q}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\mathbf {b_{q}} ,-\mathbf {a_{p}} \\-\mathbf {d_{n}} ,-\mathbf {c_{m}} \end{matrix}}\;\right|\,(zy)^{2\gamma }\right)}$

son un par asimétrico de núcleos transformados, donde γ > 0, n − p = m − q > 0, y:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{p}a_{j}+\sum _{j=1}^{q}b_{j}=\sum _{j=1}^{m}c_{j}+\sum _{j=1}^{n}d_{j},}$

junto con mayores condiciones de convergencia. En particular, si p = q , m = n , a _j + b _j = 0 para j = 1, 2, ..., p y c _j + d _j = 0 para j = 1, 2, ..., m , entonces el par de núcleos se vuelve simétrico. La conocida transformada de Hankel es un caso especial simétrico de la transformada de Narain ( γ = 1, p = q = 0, m = n = 1, c ₁ = − d ₁ = ^ν ⁄ ₂ ).

Transformación débil

Jet Wimp (1964) demostró que estas funciones son un par asimétrico de núcleos de transformación:

${\displaystyle k(z,y)=G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+2}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\nu +iz,1-\nu -iz,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;y\right),}$

${\displaystyle h(z,y)={\frac {i}{\pi }}ye^{-\nu \pi i}\left[e^{\pi y}A(\nu +iy,\nu -iy\,|\,ze^{i\pi })-e^{-\pi y}A(\nu -iy,\nu +iy\,|\,ze^{i\pi })\right],}$

donde la función A (·) se define como:

${\displaystyle A(\alpha ,\beta \,|\,z)=G_{p+2,\,q}^{\,q-m,\,p-n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}-a_{n+1},-a_{n+2},\dots ,-a_{p},\alpha ,-a_{1},-a_{2},\dots ,-a_{n},\beta \\-b_{m+1},-b_{m+2},\dots ,-b_{q},-b_{1},-b_{2},\dots ,-b_{m}\end{matrix}}\;\right|\,z\right).}$

Transformada de Laplace generalizada

La transformada de Laplace se puede generalizar en estrecha analogía con la generalización de Narain de la transformada de Hankel:

${\displaystyle g(s)=2\gamma \int _{0}^{\infty }(st)^{\gamma +\rho -1/2}\;G_{p,\,q+1}^{\,q+1,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\0,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,(st)^{2\gamma }\right)f(t)\;dt,}$

${\displaystyle f(t)={\frac {\gamma }{\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }(ts)^{\gamma -\rho -1/2}\;G_{p,\,q+1}^{\,1,\,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\mathbf {a_{p}} \\0,-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,-(ts)^{2\gamma }\right)g(s)\;ds,}$

donde γ > 0 , p ≤ q , y:

${\displaystyle (q+1-p)\,{\rho \over 2\gamma }=\sum _{j=1}^{p}a_{j}-\sum _{j=1}^{q}b_{j},}$

y donde la constante c > 0 coloca la segunda ruta de integración a la derecha de cualquier polo en el integrando. Para γ = ¹ ⁄ ₂ , ρ = 0 y p = q = 0, esto corresponde a la conocida transformada de Laplace.

Transformada de Meijer

CS Meijer dio dos casos particulares de esta generalización en 1940 y 1941. El caso resultante para γ = 1, ρ = − ν , p = 0, q = 1 y b ₁ = ν puede escribirse (Meijer 1940):

${\displaystyle g(s)={\sqrt {2/\pi }}\int _{0}^{\infty }(st)^{1/2}\,K_{\nu }(st)\,f(t)\;dt,}$

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\,i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }(ts)^{1/2}\,I_{\nu }(ts)\,g(s)\;ds,}$

y el caso obtenido para γ = ¹ ⁄ ₂ , ρ = − m − k , p = q = 1, a ₁ = m − k y b ₁ = 2 m puede escribirse (Meijer 1941a):

${\displaystyle g(s)=\int _{0}^{\infty }(st)^{-k-1/2}\,e^{-st/2}\,W_{k+1/2,\,m}(st)\,f(t)\;dt,}$

${\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma (1-k+m)}{2\pi i\,\Gamma (1+2m)}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }(ts)^{k-1/2}\,e^{ts/2}\,M_{k-1/2,\,m}(ts)\,g(s)\;ds.}$

Aquí I _ν y K _ν son las funciones de Bessel modificadas de primer y segundo tipo, respectivamente, M _{k , m} y W _{k , m} son las funciones de Whittaker , y se han aplicado factores de escala constantes a las funciones f y g y sus argumentos. s y t en el primer caso.

Representación de otras funciones en términos de la función G.

La siguiente lista muestra cómo las conocidas funciones elementales resultan como casos especiales de la función G de Meijer:

${\displaystyle e^{x}=G_{0,1}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\0\end{matrix}}\;\right|\,-x\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle \cos x={\sqrt {\pi }}\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\0,{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle \sin x={\sqrt {\pi }}\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \cosh x={\sqrt {\pi }}\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\0,{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\;\right|\,-{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle \sinh x=-{\sqrt {\pi }}i\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,-{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad -\pi <\arg x\leq 0}$

${\displaystyle \arcsin x={\frac {-i}{2{\sqrt {\pi }}}}\;G_{2,2}^{\,1,2}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,1\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,-x^{2}\right),\qquad -\pi <\arg x\leq 0}$

${\displaystyle \arctan x={\frac {1}{2}}\;G_{2,2}^{\,1,2}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1}{2}},1\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,x^{2}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {1}{2}}\;G_{2,2}^{\,2,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {1}{2}},1\\{\frac {1}{2}},0\end{matrix}}\;\right|\,x^{2}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \ln(1+x)=G_{2,2}^{\,1,2}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,1\\1,0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle H(1-|x|)=G_{1,1}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle H(|x|-1)=G_{1,1}^{\,0,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1\\0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

Aquí, H denota la función de paso de Heaviside .

La siguiente lista muestra cómo algunas funciones superiores se pueden expresar en términos de la función G:

${\displaystyle \gamma (\alpha ,x)=G_{1,2}^{\,1,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1\\\alpha ,0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle \Gamma (\alpha ,x)=G_{1,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}1\\\alpha ,0\end{matrix}}\;\right|\,x\right),\qquad \forall x}$

${\displaystyle J_{\nu }(x)=G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle Y_{\nu }(x)=G_{1,3}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}{\frac {-\nu -1}{2}}\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}},{\frac {-\nu -1}{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle I_{\nu }(x)=i^{-\nu }\;G_{0,2}^{\,1,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}}\end{matrix}}\;\right|\,-{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad -\pi <\arg x\leq 0}$

${\displaystyle K_{\nu }(x)={\frac {1}{2}}\;G_{0,2}^{\,2,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\\{\frac {\nu }{2}},{\frac {-\nu }{2}}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {x^{2}}{4}}\right),\qquad {\frac {-\pi }{2}}<\arg x\leq {\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \Phi (x,n,a)=G_{n+1,\,n+1}^{\,1,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,1-a,\dots ,1-a\\0,-a,\dots ,-a\end{matrix}}\;\right|\,-x\right),\qquad \forall x,\;n=0,1,2,\dots }$

${\displaystyle \Phi (x,-n,a)=G_{n+1,\,n+1}^{\,1,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,-a,\dots ,-a\\0,1-a,\dots ,1-a\end{matrix}}\;\right|\,-x\right),\qquad \forall x,\;n=0,1,2,\dots }$

Incluso las derivadas de γ( α , x ) y Γ( α , x ) con respecto a α pueden expresarse en términos de la función G de Meijer. Aquí, γ y Γ son las funciones gamma incompletas inferior y superior , J _ν e Y _ν son las funciones de Bessel de primer y segundo tipo, respectivamente, I _ν y K _ν son las correspondientes funciones de Bessel modificadas, y Φ es la trascendente de Lerch . .

Ver también

• Gradshteyn y Ryzhik

Referencias

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enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Función G de Meijer". MundoMatemático .
• hipergeoma en GitLab