Función H de Fox

Generalización de la función G de Meijer y de la función de Fox-Wright

En matemáticas, la función H de Fox H ( x ) es una generalización de la función G de Meijer y de la función Fox-Wright introducida por Charles Fox  (1961). Se define mediante una integral de Mellin-Barnes.

${\displaystyle H_{p,q}^{\,m,n}\!\left[z\left|{\begin{matrix}(a_{1},A_{1})&(a_{2},A_{2})&\ldots &(a_{p},A_{p})\\(b_{1},B_{1})&(b_{2},B_{2})&\ldots &(b_{q},B_{q})\end{matrix}}\right.\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}+B_{j}s)\,\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}-A_{j}s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}-B_{j}s)\,\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}+A_{j}s)}}z^{-s}\,ds,}$

donde L es un cierto contorno que separa los polos de los dos factores en el numerador.

Gráfico de la función Fox H((((a 1,α 1),...,(an,α n)),((a n+1,α n+1),...,(ap,α p)),(((b 1,β 1),...,(bm,β m)),en ((b m+1,β m+1),...,(bq,β q))),z) con H(((),()),(((-1, ⁠1/2⁠ )),()),z)

Relación con otras funciones

Función W de Lambert

Una relación de la función H de Fox con la rama -1 de la función W de Lambert está dada por

${\displaystyle {\overline {\operatorname {W} _{-1}\left(-\alpha \cdot z\right)}}={\begin{cases}\lim _{\beta \to \alpha ^{-}}\left[{\frac {\alpha ^{2}\cdot \left(\left(\alpha -\beta \right)\cdot z\right)^{\frac {\alpha }{\beta }}}{\beta }}\cdot \operatorname {H} _{1,\,2}^{1,\,1}\left({\begin{matrix}\left({\frac {\alpha +\beta }{\beta }},\,{\frac {\alpha }{\beta }}\right)\\\left(0,\,1\right),\,\left(-{\frac {\alpha }{\beta }},\,{\frac {\alpha -\beta }{\beta }}\right)\\\end{matrix}}\mid -\left(\left(\alpha -\beta \right)\cdot z\right)^{{\frac {\alpha }{\beta }}-1}\right)\right],\,{\text{for}}\left|z\right|<{\frac {1}{e\left|\alpha \right|}}\\\lim _{\beta \to \alpha ^{-}}\left[{\frac {\alpha ^{2}\cdot \left(\left(\alpha -\beta \right)\cdot z\right)^{-{\frac {\alpha }{\beta }}}}{\beta }}\cdot \operatorname {H} _{2,\,1}^{1,\,1}\left({\begin{matrix}\left(1,\,1\right),\,\left({\frac {\beta -\alpha }{\beta }},\,{\frac {\alpha -\beta }{\beta }}\right)\\\left(-{\frac {\alpha }{\beta }},\,{\frac {\alpha }{\beta }}\right)\\\end{matrix}}\mid -\left(\left(\alpha -\beta \right)\cdot z\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}\right)\right],\,{\text{otherwise}}\\\end{cases}}}$donde es el conjugado complejo de . ^[1] ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle z}$

Función G de Meijer

Comparar con la función G de Meijer

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-s)\,\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}+s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}+s)\,\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-s)}}\,z^{s}\,ds.}$

El caso especial para el cual la H de Fox se reduce a la G de Meijer es A _j = B _k = C , C > 0 para j = 1... p y k = 1... q  : ^[2]

${\displaystyle H_{p,q}^{\,m,n}\!\left[z\left|{\begin{matrix}(a_{1},C)&(a_{2},C)&\ldots &(a_{p},C)\\(b_{1},C)&(b_{2},C)&\ldots &(b_{q},C)\end{matrix}}\right.\right]={\frac {1}{C}}G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z^{1/C}\right).}$

Ram Kishore Saxena dio una generalización de la función H de Fox . ^{[3] [4] AM Mathai y} Ram Kishore Saxena dieron una generalización adicional de esta función, útil en física y estadística . ^{[5] [6]}

Referencias

1. Rathie y Ozelim, Pushpa Narayan y Luan Carlos de Sena Monteiro. "Sobre la relación entre la función W de Lambert y las funciones hipergeométricas generalizadas". Researchgate . Consultado el 1 de marzo de 2023 .
2. (Srivastava y Manocha 1984, pág.50)
3. Mathai, AM; Saxena, RK; Saxena, Ram Kishore (1973). Funciones hipergeométricas generalizadas con aplicaciones en estadística y ciencias físicas. Springer. ISBN 978-0-387-06482-6.
4. Innayat-Hussain (1987a)
5. Mathai, AM; Saxena, Rajendra Kumar (1978). La función H con aplicaciones en estadística y otras disciplinas. Wiley. ISBN 978-0-470-26380-8.
6. Rathie (1997)

• Fox, Charles (1961), "Las funciones G y H como núcleos de Fourier simétricos", Transactions of the American Mathematical Society , 98 (3): 395–429, doi :10.2307/1993339, ISSN  0002-9947, JSTOR  1993339, MR  0131578
• Innayat-Hussain, AA (1987a), "Nuevas propiedades de series hipergeométricas derivables de las integrales de Feynman. I: Fórmulas de transformación y reducción", J. Phys. A: Math. Gen. , 20 (13): 4109–4117, Bibcode :1987JPhA...20.4109I, doi :10.1088/0305-4470/20/13/019
• Innayat-Hussain, AA (1987b), "Nuevas propiedades de series hipergeométricas derivables de las integrales de Feynman. II: Una generalización de la función H", J. Phys. A: Math. Gen. , 20 (13): 4119–4128, Bibcode :1987JPhA...20.4119I, doi :10.1088/0305-4470/20/13/020
• Kilbas, Anatoly A. (2004), Transformadas H: teoría y aplicaciones , CRC Press, ISBN 978-0415299169

• Mathai, AM; Saxena, Ram Kishore (1978), La función H con aplicaciones en estadística y otras disciplinas , Halsted Press [John Wiley & Sons], Nueva York-Londres-Sidney, ISBN 978-0-470-26380-8, Sr.  0513025
• Mathai, AM; Saxena, Ram Kishore; Haubold, Hans J. (2010), La función H , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-4419-0915-2, Sr.  2562766
• Rathie, Arjun K. (1997), "Una nueva generalización de la función hipergeométrica generalizada", Le Matematiche , LII : 297–310.
• Srivastava, HM; Gupta, KC; Goyal, SP (1982), Las funciones H de una y dos variables , Nueva Delhi: South Asian Publishers Pvt. Ltd., MR  0691138
• Srivastava, HM; Manocha, HL (1984). Un tratado sobre funciones generadoras . E. Horwood. ISBN 0-470-20010-3.

Enlaces externos

• hipergeoma en GitLab
• Uso para resolver x + x a = y {\displaystyle x+x^{a}=y} en MathOverflow