Función W de Lambert

Función multivalor en matemáticas

El logaritmo del producto de la función W de Lambert se representa en el plano complejo desde −2 − 2 i hasta 2 + 2 i

La gráfica de y = W ( x ) para valores reales x < 6 e y > −4 . La rama superior (azul) con y ≥ −1 es la gráfica de la función W ₀ (rama principal), la rama inferior (magenta) con y ≤ −1 es la gráfica de la función W ₋₁ . El valor mínimo de x está en {−1/ e , −1}

En matemáticas , la función W de Lambert , también llamada función omega o producto logarítmico , ^[1] es una función multivaluada , es decir, las ramas de la relación inversa de la función f ( w ) = we ^w , donde w es cualquier número complejo y e ^w es la función exponencial . La función recibe su nombre de Johann Lambert , quien consideró un problema relacionado en 1758. Basándose en el trabajo de Lambert, Leonhard Euler describió la función W per se en 1783. ^{[ cita requerida ]}

Para cada entero k hay una rama, denotada por W _k ( z ) , que es una función de valor complejo de un argumento complejo. W ₀ se conoce como la rama principal . Estas funciones tienen la siguiente propiedad: si z y w son números complejos cualesquiera, entonces

${\displaystyle we^{w}=z}$

se cumple si y sólo si

${\displaystyle w=W_{k}(z)\ \ {\text{ for some integer }}k.}$

Cuando se trata sólo de números reales, las dos ramas W ₀ y W ₋₁ son suficientes: para los números reales x e y la ecuación

${\displaystyle ye^{y}=x}$

se puede resolver para y solo si x ≥ − ⁠1/mi⁠ ; produce y = W ₀ ( x ) si x ≥ 0 y los dos valores y = W ₀ ( x ) y y = W ₋₁ ( x ) si − ⁠1/mi⁠ ≤ x < 0 .

Las ramas de la función W de Lambert no se pueden expresar en términos de funciones elementales . ^[2] Es útil en combinatoria , por ejemplo, en la enumeración de árboles . Se puede utilizar para resolver varias ecuaciones que involucran exponenciales (por ejemplo, los máximos de las distribuciones de Planck , Bose–Einstein y Fermi–Dirac ) y también ocurre en la solución de ecuaciones diferenciales de retardo , como y ′( t ) = a y ( t − 1) . En bioquímica , y en particular en cinética enzimática , se describe una solución en forma abierta para el análisis cinético del curso temporal de la cinética de Michaelis–Menten en términos de la función W de Lambert .

Rama principal de la función W de Lambert en el plano complejo, representada con coloración de dominio . Nótese la rama cortada a lo largo del eje real negativo, que termina en − ⁠1/mi⁠ .

El módulo de la rama principal de la función W de Lambert , coloreado según arg W ( z )

Terminología

La convención de notación elegida aquí (con W ₀ y W ₋₁ ) sigue la referencia canónica sobre la función W de Lambert de Corless, Gonnet, Hare, Jeffrey y Knuth . ^[3]

El nombre "logaritmo del producto" se puede entender así: dado que la función inversa de f ( w ) = e ^w se llama logaritmo , tiene sentido llamar a la "función" inversa del producto we ^w como "logaritmo del producto". (Nota técnica: al igual que el logaritmo complejo , es multivaluado y, por lo tanto, W se describe como la relación inversa en lugar de la función inversa). Está relacionado con la constante omega , que es igual a W ₀ (1) .

Historia

Lambert consideró por primera vez la ecuación trascendental de Lambert relacionada en 1758, ^[4] lo que condujo a un artículo de Leonhard Euler en 1783 ^[5] que discutía el caso especial de we ^w .

La ecuación que Lambert consideró fue

${\displaystyle x=x^{m}+q.}$

Euler transformó esta ecuación en la forma

${\displaystyle x^{a}-x^{b}=(a-b)cx^{a+b}.}$

Ambos autores derivaron una solución en serie para sus ecuaciones.

Una vez que Euler hubo resuelto esta ecuación, consideró el caso ⁠ ⁠ ${\displaystyle a=b}$ . Tomando límites, derivó la ecuación

${\displaystyle \ln x=cx^{a}.}$

Luego puso ⁠ ⁠ ${\displaystyle a=1}$ y obtuvo una solución en serie convergente para la ecuación resultante, expresando ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ en términos de ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ .

Después de tomar derivadas con respecto a ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ y algunas manipulaciones, se obtiene la forma estándar de la función de Lambert.

En 1993, se informó que la función Lambert ⁠ ⁠ ${\displaystyle W}$ proporciona una solución exacta al modelo de la función delta de Dirac de doble pozo de la mecánica cuántica para cargas iguales ^[6] , un problema fundamental en física. Impulsados ​​por esto, Rob Corless y los desarrolladores del sistema de álgebra computacional Maple se dieron cuenta de que "la función W de Lambert se ha utilizado ampliamente en muchos campos, pero debido a la notación diferente y la ausencia de un nombre estándar, el conocimiento de la función no era tan alto como debería haber sido". ^{[3] [7]}

Otro ejemplo donde se encuentra esta función es en la cinética de Michaelis-Menten . ^[8]

Aunque se creía ampliamente que la función de Lambert no se ${\displaystyle W}$ puede expresar en términos de funciones elementales ( de Liouvillian ), la primera prueba publicada no apareció hasta 2008. ^[9]

Propiedades elementales, ramas y rango

El rango de la función W , mostrando todas las ramas. Las curvas negras (incluido el eje real) forman la imagen del eje real, las curvas naranjas son la imagen del eje imaginario. La curva y el círculo morados son la imagen de un pequeño círculo alrededor del punto z = 0 ; las curvas rojas son la imagen de un pequeño círculo alrededor del punto z = −1/e .

Gráfico de la parte imaginaria de W _n ( x + iy ) para las ramas n = −2, −1, 0, 1, 2 . El gráfico es similar al de la función logaritmo complejo multivaluado excepto que el espaciamiento entre láminas no es constante y la conexión de la lámina principal es diferente.

Hay un número contable de ramas de la función W , denotada por W _k ( z ) , para el entero k ; W ₀ ( z ) es la rama principal. W ₀ ( z ) se define para todos los números complejos z mientras que W _k ( z ) con k ≠ 0 se define para todos los z distintos de cero . Con W ₀ (0) = 0 ylímitez →0 W _k ( z ) = −∞ para todo k ≠ 0 .

El punto de ramificación de la rama principal está en z = − ⁠1/mi⁠ , con un corte de rama que se extiende hasta −∞ a lo largo del eje real negativo. Este corte de rama separa la rama principal de las dos ramas W ₋₁ y W ₁ . En todas las ramas W _k con k ≠ 0 , hay un punto de rama en z = 0 y un corte de rama a lo largo de todo el eje real negativo.

Las funciones W _k ( z ), k ∈ Z son todas inyectivas y sus rangos son disjuntos. El rango de toda la función multivaluada W es el plano complejo. La imagen del eje real es la unión del eje real y la cuadratriz de Hipias , la curva paramétrica w = − t cot t + it .

Inverso

Regiones del plano complejo para las cuales ⁠ ⁠ ${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$ , donde z = x + iy . Los límites más oscuros de una región particular se incluyen en la región más clara del mismo color. El punto en {−1, 0} se incluye tanto en la región ⁠ ⁠ ${\displaystyle n=-1}$ (azul) como en la región ⁠ ⁠ ${\displaystyle n=0}$ (gris). Las líneas de cuadrícula horizontales están en múltiplos de π .

El gráfico de rango anterior también delinea las regiones en el plano complejo donde la simple relación inversa ⁠ ⁠ ${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$ es verdadera. ⁠ ⁠ ${\displaystyle f=ze^{z}}$ implica que existe un ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ tal que ⁠ ⁠ ${\displaystyle z=W(n,f)=W(n,ze^{z})}$ , donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ depende del valor de ⁠ ⁠ ${\displaystyle z}$ . El valor del entero ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ cambia abruptamente cuando ⁠ ⁠ ${\displaystyle ze^{z}}$ está en el corte de la rama de ⁠ ⁠ ${\displaystyle W(n,ze^{z})}$ , lo que significa que ⁠ ⁠ ${\displaystyle ze^{z}}$≤ 0 , excepto para ⁠ ⁠ ${\displaystyle n=0}$ donde es ⁠ ⁠ ${\displaystyle ze^{z}}$ ≤ −1/ ⁠ ⁠ ${\displaystyle e}$ .

Definiendo ⁠ ⁠ ${\displaystyle z=x+iy}$ , donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle y}$ son reales, y expresando ⁠ ⁠ ${\displaystyle e^{z}}$ en coordenadas polares, se ve que

${\displaystyle {\begin{aligned}ze^{z}&=(x+iy)e^{x}(\cos y+i\sin y)\\&=e^{x}(x\cos y-y\sin y)+ie^{x}(x\sin y+y\cos y)\\\end{aligned}}}$

Para , el corte de rama para ⁠ ⁠ es el eje real no positivo, de modo que ${\displaystyle n\neq 0}$ ${\displaystyle W(n,ze^{z})}$

${\displaystyle x\sin y+y\cos y=0\Rightarrow x=-y/\tan(y),}$

y

${\displaystyle (x\cos y-y\sin y)e^{x}\leq 0.}$

Para , la rama cortada para ⁠ ⁠ es el eje real con , de modo que la desigualdad se convierte en ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle W[n,ze^{z}]}$ ${\displaystyle -\infty <z\leq -1/e}$

${\displaystyle (x\cos y-y\sin y)e^{x}\leq -1/e.}$

Dentro de las regiones delimitadas por lo anterior, no hay cambios discontinuos en ⁠ ⁠ ${\displaystyle W(n,ze^{z})}$ , y esas regiones especifican dónde la función ⁠ ⁠ ${\displaystyle W}$ es simplemente invertible, es decir , ⁠ ⁠ ${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$ .

Cálculo

Derivado

Por diferenciación implícita , se puede demostrar que todas las ramas de W satisfacen la ecuación diferencial

${\displaystyle z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.}$

( W no es diferenciable para z = − ⁠1/mi⁠ .) Como consecuencia, se obtiene la siguiente fórmula para la derivada de W :

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad {\text{for }}z\not \in \left\{0,-{\frac {1}{e}}\right\}.}$

Usando la identidad e ^{W ( z )} = ⁠el/W ( z )⁠ , da la siguiente fórmula equivalente:

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.}$

En el origen tenemos

${\displaystyle W'_{0}(0)=1.}$

Integral

La función W ( x ) , y muchas otras expresiones que involucran W ( x ) , se pueden integrar utilizando la sustitución w = W ( x ) , es decir x = we ^w :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x)\,dx&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\&=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.\end{aligned}}}$

(La última ecuación es más común en la literatura pero no está definida en x = 0 ). Una consecuencia de esto (usando el hecho de que W ₀ ( e ) = 1 ) es la identidad

${\displaystyle \int _{0}^{e}W_{0}(x)\,dx=e-1.}$

Expansiones asintóticas

La serie de Taylor de W ₀ alrededor de 0 se puede encontrar utilizando el teorema de inversión de Lagrange y está dada por

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}=x-x^{2}+{\tfrac {3}{2}}x^{3}-{\tfrac {8}{3}}x^{4}+{\tfrac {125}{24}}x^{5}-\cdots .}$

El radio de convergencia es1/mi⁠ , como se puede ver mediante la prueba de la razón . La función definida por esta serie se puede extender a una función holomorfa definida en todos los números complejos con un corte de rama a lo largo del intervalo (−∞, − ⁠1/mi⁠ ] ; esta función holomorfa define la rama principal de la función W de Lambert .

Para valores grandes de x , W ₀ es asintótico a

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(x)&=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}\left(-2+L_{2}\right)}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}\left(6-9L_{2}+2L_{2}^{2}\right)}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}\left(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3}\right)}{12L_{1}^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=L_{1}-L_{2}+\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{l}\left[{\begin{smallmatrix}l+m\\l+1\end{smallmatrix}}\right]}{m!}}L_{1}^{-l-m}L_{2}^{m},\end{aligned}}}$

donde L ₁ = ln x , L ₂ = ln ln x , y [^{yo + yo}
_{+ 1}] es un número de Stirling no negativodel primer tipo.^[3]Manteniendo solo los dos primeros términos de la expansión,

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln x-\ln \ln x+{\mathcal {o}}(1).}$

La otra rama real, W ₋₁ , definida en el intervalo [− ⁠1/mi⁠ , 0) , tiene una aproximación de la misma forma cuando x tiende a cero, con en este caso L ₁ = ln(− x ) y L ₂ = ln(−ln(− x )) . ^[3]

Potencias enteras y complejas

Las potencias enteras de W ₀ también admiten expansiones simples en serie de Taylor (o Laurent ) en cero:

${\displaystyle W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2\left(-n\right)^{n-3}}{(n-2)!}}x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\tfrac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots .}$

De manera más general, para r ∈ Z , la fórmula de inversión de Lagrange da

${\displaystyle W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r\left(-n\right)^{n-r-1}}{(n-r)!}}x^{n},}$

que es, en general, una serie de Laurent de orden r . De manera equivalente, esta última puede escribirse en forma de una expansión de Taylor de potencias de W ₀ ( x ) / x :

${\displaystyle \left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=e^{-rW_{0}(x)}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r\left(n+r\right)^{n-1}}{n!}}\left(-x\right)^{n},}$

lo cual es válido para cualquier r ∈ C y | x | < ⁠1/mi⁠ .

Límites y desigualdades

Se conocen varios límites no asintóticos para la función de Lambert.

Hoorfar y Hassani ^[10] demostraron que el siguiente límite se cumple para x ≥ e :

${\displaystyle \ln x-\ln \ln x+{\frac {\ln \ln x}{2\ln x}}\leq W_{0}(x)\leq \ln x-\ln \ln x+{\frac {e}{e-1}}{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}.}$

También mostraron el límite general

${\displaystyle W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {x+y}{1+\ln(y)}}\right),}$

para cada y , con igualdad solo para . El límite permite realizar muchos otros límites, como tomar que da el límite ${\displaystyle y>1/e}$ ${\displaystyle x\geq -1/e}$ ${\displaystyle x=y\ln(y)}$ ${\displaystyle y=x+1}$

${\displaystyle W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {2x+1}{1+\ln(x+1)}}\right).}$

En 2013 se demostró ^[11] que la rama W ₋₁ se puede acotar de la siguiente manera:

${\displaystyle -1-{\sqrt {2u}}-u<W_{-1}\left(-e^{-u-1}\right)<-1-{\sqrt {2u}}-{\tfrac {2}{3}}u\quad {\text{for }}u>0.}$

Roberto Iacono y John P. Boyd ^[12] ampliaron los límites de la siguiente manera:

${\displaystyle \ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)-{\frac {\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}{1+\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}}\ln \left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)\leq W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)-\ln \left(\left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)\left(1-{\frac {\ln \left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)}{1+\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}}\right)\right).}$

Identidades

Un gráfico de W _j ( x e ^x ) donde el azul es para j = 0 y el rojo es para j = −1. La línea diagonal representa los intervalos donde W _j ( x e ^x )= x

El logaritmo del producto de la función W de Lambert W 2(z) se representa en el plano complejo desde −2−2i hasta 2+2i

De la definición se desprenden algunas identidades:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\geq -1,\\W_{-1}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\leq -1.\end{aligned}}}$

Nótese que, dado que f ( x ) = xe ^x no es inyectiva , no siempre se cumple que W ( f ( x )) = x , de forma muy similar a lo que ocurre con las funciones trigonométricas inversas . Para x < 0 fijo y x ≠ −1 , la ecuación xe ^x = ye ^y tiene dos soluciones reales en y , una de las cuales es, por supuesto, y = x . Entonces, para i = 0 y x < −1 , así como para i = −1 y x ∈ (−1, 0) , y = W _i ( xe ^x ) es la otra solución.

Algunas otras identidades: ^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)e^{W(x)}=x,\quad {\text{therefore:}}\\[5pt]&e^{W(x)}={\frac {x}{W(x)}},\qquad e^{-W(x)}={\frac {W(x)}{x}},\qquad e^{nW(x)}=\left({\frac {x}{W(x)}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \ln W_{0}(x)=\ln x-W_{0}(x)\quad {\text{for }}x>0.}$^[14]

${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{0}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}{\frac {1}{e}}\leq x.}$

${\displaystyle W_{-1}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{-1}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}0<x\leq {\frac {1}{e}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)=\ln {\frac {x}{W(x)}}&&{\text{for }}x\geq -{\frac {1}{e}},\\[5pt]&W\left({\frac {nx^{n}}{W\left(x\right)^{n-1}}}\right)=nW(x)&&{\text{for }}n,x>0\end{aligned}}}$

(que puede extenderse a otros n y x si se elige la rama correcta).

${\displaystyle W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {1}{W(x)}}+{\frac {1}{W(y)}}\right)\right)\quad {\text{for }}x,y>0.}$

Sustituyendo −ln x en la definición: ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}0&<x\leq e,\\[5pt]W_{-1}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}x&>e.\end{aligned}}}$

Con la exponencial iterada h ( x ) de Euler :

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x)&=e^{-W(-\ln x)}\\&={\frac {W(-\ln x)}{-\ln x}}\quad {\text{for }}x\neq 1.\end{aligned}}}$

Valores especiales

Los siguientes son valores especiales de la rama principal: $${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(2\ln 2\right)=\ln 2}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad \left(x\geqslant {\tfrac {1}{e}}\approx 0.36788\right)}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(x^{x+1}\ln x\right)=x\ln x\quad \left(x>0\right)}$$ $${\displaystyle W_{0}(0)=0}$$

${\displaystyle W_{0}(1)=\Omega =\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\left(e^{t}-t\right)^{2}+\pi ^{2}}}\right)^{\!-1}\!\!\!\!-\,1\approx 0.56714329\quad }$(la constante omega )

$${\displaystyle W_{0}(1)=e^{-W_{0}(1)}=\ln {\frac {1}{W_{0}(1)}}=-\ln W_{0}(1)}$$ $${\displaystyle W_{0}(e)=1}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(e^{1+e}\right)=e}$$ $${\displaystyle W_{0}\left({\frac {\sqrt {e}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}}$$ $${\displaystyle W_{0}\left({\frac {\sqrt[{n}]{e}}{n}}\right)={\frac {1}{n}}}$$ $${\displaystyle W_{0}(-1)\approx -0.31813+1.33723i}$$

Valores especiales de la rama W ₋₁ : $${\displaystyle W_{-1}\left(-{\frac {\ln 2}{2}}\right)=-\ln 4}$$

Representaciones

La rama principal de la función de Lambert se puede representar mediante una integral propia, debida a Poisson: ^[16]

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}W_{0}(-x)=\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)-xe^{\cos t}\sin \left({\tfrac {5}{2}}t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^{2}e^{2\cos t}}}\sin \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\,dt\quad {\text{for }}|x|<{\frac {1}{e}}.}$

Kalugin–Jeffrey–Corless encontró otra representación de la rama principal: ^[17]

${\displaystyle W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\ln \left(1+x{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.}$

La siguiente representación de fracción continua también es válida para la rama principal: ^[18]

${\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2+{\cfrac {5x}{3+{\cfrac {17x}{10+{\cfrac {133x}{17+{\cfrac {1927x}{190+{\cfrac {13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

Además, si | W ₀ ( x ) | < 1 : ^[19]

${\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

A su vez, si | W ₀ ( x ) | > e , entonces

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

Otras fórmulas

Integrales definidas

Hay varias fórmulas integrales definidas útiles que involucran la rama principal de la función W , incluidas las siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\pi }W_{0}\left(2\cot ^{2}x\right)\sec ^{2}x\,dx=4{\sqrt {\pi }}.\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx=2{\sqrt {2\pi }}.\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\,dx={\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}$

La primera identidad se puede encontrar escribiendo la integral gaussiana en coordenadas polares .

La segunda identidad se puede derivar haciendo la sustitución u = W ₀ ( x ) , lo que da

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=ue^{u},\\[5pt]{\frac {dx}{du}}&=(u+1)e^{u}.\end{aligned}}}$

De este modo

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}du\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\right)+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {\pi }}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}$

La tercera identidad puede derivarse de la segunda haciendo la sustitución u = x ⁻² y la primera también puede derivarse de la tercera mediante la sustitución z = ⁠1/√ 2⁠ tan x .

A excepción de z a lo largo del corte de la rama (−∞, − ⁠1/mi⁠ ] (donde la integral no converge), la rama principal de la función W de Lambert se puede calcular mediante la siguiente integral: ^[20]

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(z)&={\frac {z}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu \\[5pt]&={\frac {z}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu ,\end{aligned}}}$

donde las dos expresiones integrales son equivalentes debido a la simetría del integrando.

Integrales indefinidas

$${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}$$

Primera prueba

Introducir variable de sustitución ${\displaystyle u=W(x)\rightarrow ue^{u}=x\;\;\;\;{\frac {d}{du}}ue^{u}=(u+1)e^{u}}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\frac {u}{ue^{u}}}(u+1)e^{u}\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\frac {\cancel {\color {OliveGreen}{u}}}{{\cancel {\color {OliveGreen}{u}}}{\cancel {\color {BrickRed}{e^{u}}}}}}\left(u+1\right){\cancel {\color {BrickRed}{e^{u}}}}\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int (u+1)\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {u^{2}}{2}}+u+C}$

${\displaystyle u=W(x)}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}$

2da prueba

${\displaystyle W(x)e^{W(x)}=x\rightarrow {\frac {W(x)}{x}}=e^{-W(x)}}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int e^{-W(x)}\,dx}$

${\displaystyle u=W(x)\rightarrow ue^{u}=x\;\;\;\;{\frac {d}{\,du}}ue^{u}=\left(u+1\right)e^{u}}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int e^{-u}(u+1)e^{u}\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int {\cancel {\color {OliveGreen}{e^{-u}}}}\left(u+1\right){\cancel {\color {OliveGreen}{e^{u}}}}\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;\int (u+1)\,du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {u^{2}}{2}}+u+C}$

${\displaystyle u=W(x)}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}$

$${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C}$$

Prueba

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx}$

${\displaystyle u=Bx\rightarrow {\frac {u}{B}}=x\;\;\;\;{\frac {d}{du}}{\frac {u}{B}}={\frac {1}{B}}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;\int W\left(Ae^{u}\right){\frac {1}{B}}du}$

${\displaystyle v=e^{u}\rightarrow \ln \left(v\right)=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}\ln \left(v\right)={\frac {1}{v}}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {W\left(Av\right)}{v}}dv}$

${\displaystyle w=Av\rightarrow {\frac {w}{A}}=v\;\;\;\;{\frac {d}{dw}}{\frac {w}{A}}={\frac {1}{A}}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {{\cancel {\color {OliveGreen}{A}}}W(w)}{w}}{\cancel {\color {OliveGreen}{\frac {1}{A}}}}dw}$

${\displaystyle t=W\left(w\right)\rightarrow te^{t}=w\;\;\;\;{\frac {d}{dt}}te^{t}=\left(t+1\right)e^{t}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {t}{te^{t}}}\left(t+1\right)e^{t}dt}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int {\frac {\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{{\cancel {\color {OliveGreen}{t}}}{\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}}}\left(t+1\right){\cancel {\color {BrickRed}{e^{t}}}}dt}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {1}{B}}\int (t+1)dt}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {t^{2}}{2B}}+{\frac {t}{B}}+C}$

${\displaystyle t=W\left(w\right)}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(w\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(w\right)}{B}}+C}$

${\displaystyle w=Av}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Av\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Av\right)}{B}}+C}$

${\displaystyle v=e^{u}}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{u}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{u}\right)}{B}}+C}$

${\displaystyle u=Bx}$

${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C}$

$${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C}$$

Prueba

Introduzca la variable de sustitución , que nos da y ${\displaystyle u=W(x)}$ ${\displaystyle ue^{u}=x}$ ${\displaystyle {\frac {d}{du}}ue^{u}=\left(u+1\right)e^{u}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;\int {\frac {u}{\left(ue^{u}\right)^{2}}}\left(u+1\right)e^{u}du\\&=\;\int {\frac {u+1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int {\frac {u}{ue^{u}}}du\;+\;\int {\frac {1}{ue^{u}}}du\\&=\;\int e^{-u}du\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du\end{aligned}}}$

${\displaystyle v=-u\rightarrow -v=u\;\;\;\;{\frac {d}{dv}}-v=-1}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\int e^{v}\left(-1\right)dv\;+\;\int {\frac {e^{-u}}{u}}du}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{v}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C}$

${\displaystyle v=-u}$

${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;-e^{-u}+\operatorname {Ei} \left(-u\right)+C}$

${\displaystyle u=W(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;&=\;-e^{-W(x)}+\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)+C\\&=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C\end{aligned}}}$

Aplicaciones

Resolver ecuaciones

La función W de Lambert se utiliza para resolver ecuaciones en las que la cantidad desconocida se encuentra tanto en la base como en el exponente, o tanto dentro como fuera de un logaritmo. La estrategia consiste en convertir dicha ecuación en una ecuación de la forma ze ^z = w y luego resolver z utilizando la función W.

Por ejemplo, la ecuación

${\displaystyle 3^{x}=2x+2}$

(donde x es un número real desconocido) se puede resolver reescribiéndolo como

${\displaystyle {\begin{aligned}&(x+1)\ 3^{-x}={\frac {1}{2}}&({\mbox{multiply by }}3^{-x}/2)\\\Leftrightarrow \ &(-x-1)\ 3^{-x-1}=-{\frac {1}{6}}&({\mbox{multiply by }}{-}1/3)\\\Leftrightarrow \ &(\ln 3)(-x-1)\ e^{(\ln 3)(-x-1)}=-{\frac {\ln 3}{6}}&({\mbox{multiply by }}\ln 3)\end{aligned}}}$

Esta última ecuación tiene la forma deseada y las soluciones para x real son:

${\displaystyle (\ln 3)(-x-1)=W_{0}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)\ \ \ {\textrm {or}}\ \ \ (\ln 3)(-x-1)=W_{-1}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)}$

y por lo tanto:

${\displaystyle x=-1-{\frac {W_{0}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=-0.79011\ldots \ \ {\textrm {or}}\ \ x=-1-{\frac {W_{-1}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=1.44456\ldots }$

Generalmente, la solución a

${\displaystyle x=a+b\,e^{cx}}$

es:

${\displaystyle x=a-{\frac {1}{c}}W(-bc\,e^{ac})}$

donde a , b y c son constantes complejas, donde b y c no son iguales a cero, y la función W es de cualquier orden entero.

Flujos viscosos

Los frentes y depósitos de flujo granular y de escombros, y los frentes de fluidos viscosos en eventos naturales y en experimentos de laboratorio se pueden describir utilizando la función omega de Lambert-Euler de la siguiente manera:

${\displaystyle H(x)=1+W\left((H(0)-1)e^{(H(0)-1)-{\frac {x}{L}}}\right),}$

donde H ( x ) es la altura del flujo de escombros, x es la posición del canal aguas abajo, L es el parámetro del modelo unificado que consiste en varios parámetros físicos y geométricos del flujo, la altura del flujo y el gradiente de presión hidráulica.

En el flujo por tuberías , la función W de Lambert forma parte de la formulación explícita de la ecuación de Colebrook para hallar el factor de fricción de Darcy . Este factor se utiliza para determinar la caída de presión a través de un tramo recto de tubería cuando el flujo es turbulento . ^[21]

Flujo dependiente del tiempo en sistemas hidráulicos de ramales simples

La rama principal de la función W de Lambert se emplea en el campo de la ingeniería mecánica , en el estudio de la transferencia dependiente del tiempo de fluidos newtonianos entre dos yacimientos con niveles de superficie libre variables, utilizando bombas centrífugas. ^[22] La función W de Lambert proporcionó una solución exacta al caudal de fluido tanto en régimen laminar como turbulento: donde es el caudal inicial y es el tiempo. $${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{\text{turb}}&={\frac {Q_{i}}{\zeta _{i}}}W_{0}\left[\zeta _{i}\,e^{(\zeta _{i}+\beta t/b)}\right]\\Q_{\text{lam}}&={\frac {Q_{i}}{\xi _{i}}}W_{0}\left[\xi _{i}\,e^{\left(\xi _{i}+\beta t/(b-\Gamma _{1})\right)}\right]\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle t}$

Neuroimagen

La función W de Lambert se emplea en el campo de la neuroimagen para vincular los cambios en el flujo sanguíneo cerebral y el consumo de oxígeno dentro de un vóxel cerebral con la señal dependiente del nivel de oxigenación sanguínea (BOLD) correspondiente. ^[23]

Ingeniería química

La función W de Lambert se emplea en el campo de la ingeniería química para modelar el espesor de la película de electrodos porosos en un supercondensador basado en carbono vítreo para el almacenamiento de energía electroquímica. La función W de Lambert proporciona una solución exacta para un proceso de activación térmica en fase gaseosa donde el crecimiento de la película de carbono y la combustión de la misma película compiten entre sí. ^{[24] [25]}

Crecimiento de cristales

En el crecimiento de cristales, el principio negativo de la función W de Lambert se puede utilizar para calcular el coeficiente de distribución, , y la concentración de soluto en la masa fundida, , ^{[26] [27]} a partir de la ecuación de Scheil : ${\textstyle k}$ ${\textstyle C_{L}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&k={\frac {W_{0}(Z)}{\ln(1-fs)}}\\&C_{L}={\frac {C_{0}}{(1-fs)}}e^{W_{0}(Z)}\\&Z={\frac {C_{S}}{C_{0}}}(1-fs)\ln(1-fs)\end{aligned}}}$

Ciencias de los materiales

La función W de Lambert se emplea en el campo del crecimiento de películas epitaxiales para determinar el espesor crítico de la película al inicio de la dislocación . Este es el espesor calculado de una película epitaxial, donde debido a principios termodinámicos la película desarrollará dislocaciones cristalográficas para minimizar la energía elástica almacenada en las películas. Antes de la aplicación de la función W de Lambert para este problema, el espesor crítico tenía que determinarse mediante la resolución de una ecuación implícita. La función W de Lambert la convierte en una ecuación explícita para un manejo analítico fácil. ^[28]

Medios porosos

La función W de Lambert se ha empleado en el campo del flujo de fluidos en medios porosos para modelar la inclinación de una interfaz que separa dos fluidos segregados gravitacionalmente en un lecho poroso inclinado homogéneo de inclinación y espesor constantes, donde el fluido más pesado, inyectado en el extremo inferior, desplaza al fluido más ligero que se produce a la misma velocidad desde el extremo superior. La rama principal de la solución corresponde a desplazamientos estables, mientras que la rama −1 se aplica si el desplazamiento es inestable y el fluido más pesado circula por debajo del fluido más ligero. ^[29]

Números de Bernoulli y género de Todd

La ecuación (vinculada con las funciones generadoras de los números de Bernoulli y el género de Todd ):

${\displaystyle Y={\frac {X}{1-e^{X}}}}$

se puede resolver mediante las dos ramas reales W ₀ y W ₋₁ :

${\displaystyle X(Y)={\begin{cases}W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}Y<-1,\\W_{0}\left(Ye^{Y}\right)-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}-1<Y<0.\end{cases}}}$

Esta aplicación muestra que la diferencia de ramas de la función W se puede emplear para resolver otras ecuaciones trascendentales. ^[30]

Estadística

El centroide de un conjunto de histogramas definidos con respecto a la divergencia simetrizada de Kullback-Leibler (también llamada divergencia de Jeffreys ^[31] ) tiene una forma cerrada utilizando la función W de Lambert . ^[32]

Puesta en común de pruebas para enfermedades infecciosas

Para encontrar el tamaño óptimo del grupo para agrupar las pruebas de modo que al menos un individuo esté infectado se utiliza la función W de Lambert . ^{[33] [34] [35]}

Soluciones exactas de la ecuación de Schrödinger

La función W de Lambert aparece en un potencial mecánico cuántico, que proporciona la quinta solución exacta (junto con las del oscilador armónico más centrífugo, el de Coulomb más cuadrado inverso, el de Morse y el de raíz cuadrada inversa) a la ecuación unidimensional estacionaria de Schrödinger en términos de las funciones hipergeométricas confluentes. El potencial se da como

${\displaystyle V={\frac {V_{0}}{1+W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right)}}.}$

Una peculiaridad de la solución es que cada una de las dos soluciones fundamentales que componen la solución general de la ecuación de Schrödinger está dada por una combinación de dos funciones hipergeométricas confluentes de un argumento proporcional a ^[36]

${\displaystyle z=W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right).}$

La función W de Lambert también aparece en la solución exacta para la energía del estado ligado de la ecuación de Schrödinger unidimensional con un potencial delta doble .

Solución exacta de la constante de acoplamiento de QCD

En cromodinámica cuántica , la teoría cuántica de campos de la interacción fuerte , la constante de acoplamiento se calcula de forma perturbativa, correspondiendo el orden n a los diagramas de Feynman que incluyen n bucles cuánticos. ^[37] La ​​solución de primer orden, n=1, es exacta (en ese orden) y analítica. En órdenes superiores, n>1, no hay una solución exacta y analítica y normalmente se utiliza un método iterativo para proporcionar una solución aproximada. Sin embargo, para el segundo orden, n=2, la función de Lambert proporciona una solución exacta (aunque no analítica). ^[37] ${\displaystyle \alpha _{\text{s}}}$

Soluciones exactas de las ecuaciones de vacío de Einstein

En la solución métrica de Schwarzschild de las ecuaciones de vacío de Einstein, la función W es necesaria para pasar de las coordenadas de Eddington-Finkelstein a las de Schwarzschild. Por este motivo, también aparece en la construcción de las coordenadas de Kruskal-Szekeres .

Resonancias del potencial de capa delta

Las resonancias de ondas s del potencial de capa delta se pueden escribir exactamente en términos de la función W de Lambert . ^[38]

Equilibrio termodinámico

Si una reacción involucra reactivos y productos que tienen capacidades térmicas que son constantes con la temperatura, entonces la constante de equilibrio K obedece

${\displaystyle \ln K={\frac {a}{T}}+b+c\ln T}$

para algunas constantes a , b y c . Cuando c (igual a ⁠Δ C _p/R⁠ ) ​​no es cero, el valor o los valores deT se pueden encontrar donde K es igual a un valor dado de la siguiente manera, donde L se puede usar para ln T.

${\displaystyle {\begin{aligned}-a&=(b-\ln K)T+cT\ln T\\&=(b-\ln K)e^{L}+cLe^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}&=\left({\frac {b-\ln K}{c}}+L\right)e^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}&=\left(L+{\frac {b-\ln K}{c}}\right)e^{L+{\frac {b-\ln K}{c}}}\\[5pt]L&=W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\\[5pt]T&=\exp \left(W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\right).\end{aligned}}}$

Si a y c tienen el mismo signo habrá dos soluciones o ninguna (o una si el argumento de W es exactamente − ⁠1/mi⁠ ). (La solución superior puede no ser relevante). Si tienen signos opuestos, habrá una sola solución.

Separación de fases de mezclas de polímeros

En el cálculo del diagrama de fases de mezclas de polímeros termodinámicamente incompatibles según el modelo de Edmond-Ogston , las soluciones para las líneas binodales y de unión se formulan en términos de funciones W de Lambert. ^[39]

Ley de desplazamiento de Wien en unaD-universo dimensional

La ley de desplazamiento de Wien se expresa como . Con y , donde es la densidad de energía espectral, se encuentra , donde es el número de grados de libertad para la traslación espacial. La solución muestra que la densidad de energía espectral depende de la dimensionalidad del universo. ^[40] ${\displaystyle \nu _{\max }/T=\alpha =\mathrm {const} }$ ${\displaystyle x=h\nu _{\max }/k_{\mathrm {B} }T}$ ${\displaystyle d\rho _{T}\left(x\right)/dx=0}$ ${\displaystyle \rho _{T}}$ ${\displaystyle e^{-x}=1-{\frac {x}{D}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x=D+W\left(-De^{-D}\right)}$

Correspondencia AdS/CFT

Las correcciones clásicas de tamaño finito a las relaciones de dispersión de magnones gigantes, picos individuales y cuerdas GKP se pueden expresar en términos de la función W de Lambert . ^{[41] [42]}

Epidemiología

En el límite t → ∞ del modelo SIR , la proporción de individuos susceptibles y recuperados tiene una solución en términos de la función W de Lambert . ^[43]

Determinación del tiempo de vuelo de un proyectil

El tiempo total del recorrido de un proyectil que experimenta una resistencia del aire proporcional a su velocidad se puede determinar de forma exacta utilizando la función W de Lambert .

Propagación de ondas electromagnéticas superficiales

La ecuación trascendental que aparece en la determinación del número de onda de propagación de una onda superficial electromagnética axialmente simétrica (un modo TM01 único de baja atenuación) que se propaga en un alambre metálico cilíndrico da lugar a una ecuación como u ln u = v (donde u y v agrupan los factores geométricos y físicos del problema), que se resuelve mediante la función W de Lambert . La primera solución a este problema, debida a Sommerfeld alrededor de 1898, ya contenía un método iterativo para determinar el valor de la función W de Lambert . ^[44]

Trayectorias ortogonales de elipses reales

La familia de elipses centrada en está parametrizada por la excentricidad . Las trayectorias ortogonales de esta familia están dadas por la ecuación diferencial cuya solución general es la familia . ${\displaystyle x^{2}+(1-\varepsilon ^{2})y^{2}=\varepsilon ^{2}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \left({\frac {1}{y}}+y\right)dy=\left({\frac {1}{x}}-x\right)dx}$ ${\displaystyle y^{2}=}$ ${\displaystyle W_{0}(x^{2}\exp(-2C-x^{2}))}$

Generalizaciones

La función W de Lambert estándar expresa soluciones exactas a ecuaciones algebraicas trascendentales (en x ) de la forma:

donde a ₀ , c y r son constantes reales. La solución es Las generalizaciones de la función W de Lambert ^{[45] [46] [47]} incluyen: $${\displaystyle x=r+{\frac {1}{c}}W\left({\frac {c\,e^{-cr}}{a_{0}}}\right).}$$

• Una aplicación a la relatividad general y a la mecánica cuántica ( gravedad cuántica ) en dimensiones inferiores, de hecho un vínculo (desconocido antes de 2007 ^[48] ) entre estas dos áreas, donde el lado derecho de ( 1 ) se reemplaza por un polinomio cuadrático en x :

  donde r ₁ y r ₂ son constantes reales distintas, las raíces del polinomio cuadrático. Aquí, la solución es una función que tiene un solo argumento x pero los términos como r _i y a ₀ son parámetros de esa función. En este sentido, la generalización se asemeja a la función hipergeométrica y a la función G de Meijer pero pertenece a una clase diferente de funciones. Cuando r ₁ = r ₂ , ambos lados de ( 2 ) pueden factorizarse y reducirse a ( 1 ) y por lo tanto la solución se reduce a la de la función W estándar . La ecuación ( 2 ) expresa la ecuación que gobierna el campo dilatón , de la cual se deriva la métrica del problema de gravedad lineal de dos cuerpos o R = T en 1 + 1 dimensiones (una dimensión espacial y una dimensión temporal) para el caso de masas en reposo desiguales, así como las energías propias del modelo de función delta de Dirac de pozo doble mecánico cuántico para cargas desiguales en una dimensión.

• Soluciones analíticas de las energías propias de un caso especial del problema mecánico cuántico de los tres cuerpos , a saber, la molécula-ion de hidrógeno (tridimensional) . ^[49] Aquí, el lado derecho de ( 1 ) se reemplaza por una relación de polinomios de orden infinito en x :

  donde r _i y s _i son constantes reales distintas y x es una función de la energía propia y la distancia internuclear R . La ecuación ( 3 ) con sus casos especializados expresados ​​en ( 1 ) y ( 2 ) está relacionada con una gran clase de ecuaciones diferenciales de retardo . La noción de GH Hardy de una "derivada falsa" proporciona raíces múltiples exactas a los casos especiales de ( 3 ). ^[50]

Las aplicaciones de la función W de Lambert en problemas físicos fundamentales no se han agotado ni siquiera para el caso estándar expresado en ( 1 ), como se ha visto recientemente en el área de la física atómica, molecular y óptica . ^[51]

Parcelas

• Gráficas de la función W de Lambert en el plano complejo
• 
  z = Re( W ₀ ( x + iy ))
• 
  z = Im( W ₀ ( x + iy ))
• 
  z = | W ₀ ( x + iy ) |
• 
  Superposición de las tres tramas anteriores

Evaluación numérica

La función W se puede aproximar utilizando el método de Newton , con aproximaciones sucesivas a w = W ( z ) (por lo que z = we ^w ) siendo

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}+w_{j}e^{w_{j}}}}.}$

La función W también se puede aproximar utilizando el método de Halley ,

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}\left(w_{j}+1\right)-{\dfrac {\left(w_{j}+2\right)\left(w_{j}e^{w_{j}}-z\right)}{2w_{j}+2}}}}}$

dado en Corless et al. ^[3] para calcular W .

En términos reales , se puede aproximar mediante la fórmula recursiva de tasa cuadrática de R. Iacono y JP Boyd: ^[12] ${\displaystyle x\geq -1/e}$

${\displaystyle w_{n+1}(x)={\frac {w_{n}(x)}{1+w_{n}(x)}}\left(1+\log \left({\frac {x}{w_{n}(x)}}\right)\right).}$

Lajos Lóczi demuestra ^[52] que al utilizar esta iteración con un valor inicial apropiado , ${\displaystyle w_{0}(x)}$

• Para la sucursal principal ${\displaystyle W_{0}:}$
  • si : ${\displaystyle x\in (e,\infty )}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=\log(x)-\log(\log(x)),}$
  • si ${\displaystyle x\in (0,e):}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=x/e,}$
  • si ${\displaystyle x\in (-1/e,0):}$ ${\displaystyle w_{0}(x)={\frac {ex\log(1+{\sqrt {1+ex}})}{1+ex+{\sqrt {1+ex}}}},}$
• Para la sucursal ${\displaystyle W_{-1}:}$
  • si ${\displaystyle x\in (-1/4,0):}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=\log(-x)-\log(-\log(-x)),}$
  • si ${\displaystyle x\in (-1/e,-1/4]:}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=-1-{\sqrt {2}}{\sqrt {1+ex}},}$

Se puede determinar el número máximo de pasos de iteración de antemano para cualquier precisión:

• Si (Teorema 2.4): ${\displaystyle x\in (e,\infty )}$ ${\displaystyle 0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<\left(\log(1+1/e)\right)^{2^{n}},}$
• Si (Teorema 2.9): ${\displaystyle x\in (0,e)}$ ${\displaystyle 0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<{\frac {\left(1-1/e\right)^{2^{n}-1}}{5}},}$
• si ${\displaystyle x\in (-1/e,0):}$
  • para la rama principal (Teorema 2.17): ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle 0<w_{n}(x)-W_{0}(x)<\left(1/10\right)^{2^{n}},}$
  • para la rama (Teorema 2.23): ${\displaystyle W_{-1}}$ ${\displaystyle 0<W_{-1}(x)-w_{n}(x)<\left(1/2\right)^{2^{n}}.}$

Toshio Fukushima ha presentado un método rápido para aproximar las partes con valores reales de las ramas principales y secundarias de la función W sin utilizar ninguna iteración. ^[53] En este método, la función W se evalúa como un cambio condicional de funciones racionales en variables transformadas: donde x , u , y y v son transformaciones de z : $${\displaystyle W_{0}(z)={\begin{cases}X_{k}(x),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=1,2,\ldots ,17),\\U_{k}(u),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=18,19),\end{cases}}}$$ $${\displaystyle W_{-1}(z)={\begin{cases}Y_{k}(y),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=-1,-2,\ldots ,-7),\\V_{k}(u),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=-8,-9,-10),\end{cases}}}$$

${\displaystyle x={\sqrt {z+1/e}},\quad u=\ln {z},\quad y=-z/(x+1/{\sqrt {e}}),\quad v=\ln(-z)}$.

Aquí , , , y son funciones racionales cuyos coeficientes para diferentes valores k se enumeran en el artículo de referencia junto con los valores que determinan los subdominios. Con polinomios de grado superior en estas funciones racionales, el método puede aproximar la función W con mayor precisión. ${\displaystyle X_{k}(x)}$ ${\displaystyle U_{k}(u)}$ ${\displaystyle Y_{k}(y)}$ ${\displaystyle V_{k}(v)}$ ${\displaystyle z_{k}}$

Por ejemplo, cuando , se puede aproximar a 24 bits de precisión en valores de punto flotante de 64 bits como donde x se define con la transformación anterior y los coeficientes y se dan en la tabla siguiente. ${\displaystyle -1/e\leq z\leq 2.0082178115844727}$ ${\displaystyle W_{0}(z)}$ ${\displaystyle W_{0}(z)\approx X_{1}(x)={\frac {\sum _{i}^{4}P_{i}x^{i}}{\sum _{i}^{3}Q_{i}x^{i}}}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$

Fukushima también ofrece una aproximación con 50 bits de precisión en flotantes de 64 bits que utiliza polinomios de octavo y séptimo grado.

Software

La función W de Lambert se implementa en muchos lenguajes de programación. Algunos de ellos se enumeran a continuación:

El código C++ para todas las ramas de la función compleja W de Lambert también está disponible en la página de inicio de István Mező. ^[65]

Véase también

• Función omega de Wright
• Ecuación del trinomio de Lambert
• Teorema de inversión de Lagrange
• Matemáticas experimentales
• Método Holstein-Herring
• Modelo R = T
• Lema π de Ross

Notas

1. Lehtonen, Jussi (abril de 2016), Rees, Mark (ed.), "La función W de Lambert en modelos ecológicos y evolutivos", Métodos en ecología y evolución , 7 (9): 1110–1118, Bibcode :2016MEcEv...7.1110L, doi : 10.1111/2041-210x.12568 , S2CID  124111881
2. Chow, Timothy Y. (1999), "¿Qué es un número de forma cerrada?", American Mathematical Monthly , 106 (5): 440–448, arXiv : math/9805045 , doi :10.2307/2589148, JSTOR  2589148, MR  1699262.
3. Corless, RM; Gonnet, GH; Liebre, DEG; Jeffrey, DJ; Knuth, DE (1996). "Sobre la función LambertW" (PDF) . Avances en Matemática Computacional . 5 : 329–359. doi :10.1007/BF02124750. S2CID  29028411.
4. Lambert JH, "Observationes variae in mathesin puram", Acta Helveticae physico-mathematico-anatomico-botanico-medica , Band III, 128-168, 1758.
5. Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus". Acta Acad. Científico. Petropol. 2 , 29–51, 1783. Reimpreso en Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, vol. 6: Comentarios Algebraicae . Leipzig, Alemania: Teubner, págs. 350–369, 1921.
6. Scott, TC; Babb, JF; Dalgarno, A; Morgan, John D (15 de agosto de 1993). "El cálculo de las fuerzas de intercambio: resultados generales y modelos específicos". J. Chem. Phys . 99 (4). Instituto Americano de Física: 2841–2854. Código Bibliográfico :1993JChPh..99.2841S. doi :10.1063/1.465193. ISSN  0021-9606.
7. Corless, RM; Gonnet, GH; Hare, DEG; Jeffrey, DJ (1993). "Función de Lambert en Maple ". The Maple Technical Newsletter . 9 : 12–22. CiteSeerX 10.1.1.33.2556 . ${\displaystyle W}$ 
8. Mező, István (2022). La función W de Lambert: sus generalizaciones y aplicaciones. doi :10.1201/9781003168102. ISBN 9781003168102.S2CID247491347  .​
9. Bronstein, Manuel; Corless, Robert M.; Davenport, James H.; Jeffrey, DJ (2008). "Propiedades algebraicas de la función Lambert ⁠ W {\displaystyle W} ⁠ a partir de un resultado de Rosenlicht y de Liouville" (PDF) . Transformadas integrales y funciones especiales . 19 (10): 709–712. doi :10.1080/10652460802332342. S2CID  120069437. Archivado (PDF) desde el original el 11 de diciembre de 2015.
10. A. Hoorfar, M. Hassani, Desigualdades en la función W de Lambert y la función de hiperpotencia, JIPAM, Teorema 2.7, página 7, volumen 9, número 2, artículo 51. 2008.
11. Chatzigeorgiou, I. (2013). "Límites de la función Lambert y su aplicación al análisis de interrupciones de la cooperación del usuario". IEEE Communications Letters . 17 (8): 1505–1508. arXiv : 1601.04895 . doi :10.1109/LCOMM.2013.070113.130972. S2CID  10062685.
12. Iacono, Roberto; Boyd, John P. (1 de diciembre de 2017). "Nuevas aproximaciones a la rama real principal de la función W de Lambert". Avances en Matemática Computacional . 43 (6): 1403–1436. doi :10.1007/s10444-017-9530-3. ISSN  1572-9044. S2CID  254184098.
13. "Función de Lambert: Identidades (fórmula 01.31.17.0001)".
14. "Función W de Lambert".
15. https://isa-afp.org/entries/Lambert_W.html Nota: aunque una de las suposiciones del lema relevante establece que x debe ser > 1/ e , la inspección de dicho lema revela que esta suposición no se usa. El límite inferior es de hecho x > 0. La razón para el cambio de rama en e es simple: para x > 1 siempre hay dos soluciones, −ln  x y otra que obtendrías de la x en el otro lado de e que alimentaría el mismo valor a W ; estas deben cruzarse en x = e : [1] W _n no puede distinguir un valor de ln x/x de un x < e del mismo valor del otro x > e , por lo que no puede invertir el orden de sus valores de retorno.
16. Finch, SR (2003). Constantes matemáticas . Cambridge University Press. pág. 450.
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Referencias

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Enlaces externos

• Biblioteca digital del Instituto Nacional de Ciencia y Tecnología – Lambert W
• MathWorld – Función W de Lambert
• Cálculo de la función W de Lambert
• Corless et al. Notas sobre la investigación de Lambert W.
• Implementación de C++ GPL con iteración de Halley y Fritsch.
• Funciones especiales de la biblioteca científica GNU – GSL
• [3]