Ecuación de Darcy-Weisbach

Equation in fluid dynamics

En dinámica de fluidos , la ecuación de Darcy-Weisbach es una ecuación empírica que relaciona la pérdida de carga , o pérdida de presión , debida a la fricción a lo largo de una longitud determinada de tubería con la velocidad media del flujo de fluido para un fluido incompresible. La ecuación recibe su nombre de Henry Darcy y Julius Weisbach . Actualmente, no existe una fórmula más precisa o de aplicación universal que la de Darcy-Weisbach complementada con el diagrama de Moody o la ecuación de Colebrook . ^[1]

La ecuación de Darcy-Weisbach contiene un factor de fricción adimensional , conocido como factor de fricción de Darcy . También se lo denomina factor de fricción de Darcy-Weisbach, factor de fricción, coeficiente de resistencia o coeficiente de flujo. ^[a]

Antecedentes históricos

La ecuación de Darcy-Weisbach, combinada con el diagrama de Moody para calcular las pérdidas de carga en tuberías, se atribuye tradicionalmente a Henry Darcy , Julius Weisbach y Lewis Ferry Moody . Sin embargo, el desarrollo de estas fórmulas y diagramas también involucró a otros científicos e ingenieros a lo largo de su desarrollo histórico. En general, la ecuación de Bernoulli proporcionaría las pérdidas de carga, pero en términos de cantidades no conocidas a priori, como la presión. Por lo tanto, se buscaron relaciones empíricas para correlacionar la pérdida de carga con cantidades como el diámetro de la tubería y la velocidad del fluido. ^[3]

Julius Weisbach no fue ciertamente el primero en introducir una fórmula que correlacionara la longitud y el diámetro de una tubería con el cuadrado de la velocidad del fluido. Antoine Chézy (1718-1798), de hecho, había publicado una fórmula en 1770 que, aunque se refería a canales abiertos (es decir, no bajo presión), era formalmente idéntica a la que Weisbach introduciría más tarde, siempre que se reformulara en términos del radio hidráulico . Sin embargo, la fórmula de Chézy se perdió hasta 1800, cuando Gaspard de Prony (un antiguo alumno suyo) publicó un relato describiendo sus resultados. Es probable que Weisbach conociera la fórmula de Chézy a través de las publicaciones de Prony. ^[4]

La fórmula de Weisbach fue propuesta en 1845 en la forma que todavía utilizamos hoy:

${\displaystyle \Delta H=f\cdot {LV^{2} \over {2gD}}}$

dónde:

• ${\displaystyle \Delta H}$:pérdida de carga.
• ${\displaystyle L}$:longitud de la tubería.
• ${\displaystyle D}$: diámetro de la tubería.
• ${\displaystyle V}$: velocidad del fluido.
• ${\displaystyle g}$: aceleración debida a la gravedad .

Sin embargo, el factor de fricción f fue expresado por Weisbach mediante la siguiente fórmula empírica:

${\displaystyle f=\alpha +{\beta \over {\sqrt {V}}}}$

con y dependiendo del diámetro y el tipo de pared de la tubería. ^[5] El trabajo de Weisbach fue publicado en los Estados Unidos de América en 1848 y pronto se hizo muy conocido allí. En contraste, inicialmente no ganó mucha tracción en Francia , donde la ecuación de Prony , que tenía una forma polinómica en términos de velocidad (a menudo aproximada por el cuadrado de la velocidad), continuó siendo utilizada. Más allá de los desarrollos históricos, la fórmula de Weisbach tenía el mérito objetivo de adherirse al análisis dimensional , lo que resulta en un factor de fricción adimensional f. La complejidad de f, dependiente de la mecánica de la capa límite y el régimen de flujo (laminar, transicional o turbulento), tendió a oscurecer su dependencia de las cantidades en la fórmula de Weisbach, lo que llevó a muchos investigadores a derivar fórmulas empíricas irracionales y dimensionalmente inconsistentes. ^[6] Poco después del trabajo de Weisbach se comprendió que el factor de fricción f dependía del régimen de flujo y era independiente del número de Reynolds (y, por lo tanto, de la velocidad) solo en el caso de tuberías rugosas en un régimen de flujo turbulento (ecuación de Prandtl-von Kármán). ^[7] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Ecuación de pérdida de presión

En una tubería cilíndrica de diámetro uniforme D , que fluye a toda velocidad, la pérdida de presión debida a los efectos viscosos Δ p es proporcional a la longitud L y se puede caracterizar mediante la ecuación de Darcy-Weisbach: ^[8]

${\displaystyle {\frac {\Delta p}{L}}=f_{\mathrm {D} }\cdot {\frac {\rho }{2}}\cdot {\frac {{\langle v\rangle }^{2}}{D_{H}}},}$

donde la pérdida de presión por unidad de longitudΔp​/yo⁠ (Unidades SI: Pa / m ) es una función de:

${\displaystyle \rho }$, la densidad del fluido (kg/m ³ );

${\displaystyle D_{H}}$, el diámetro hidráulico de la tubería (para una tubería de sección circular, es igual a D ; de lo contrario D _H = 4A/P para una tubería de área de sección transversal A y perímetro P ) (m);

${\displaystyle \langle v\rangle }$, la velocidad media de flujo , medida experimentalmente como el caudal volumétrico Q por unidad de área transversal humedecida (m/s);

${\displaystyle f_{\mathrm {D} }}$, el factor de fricción de Darcy (también llamado coeficiente de flujo λ ^{[9] [10]} ).

Para el flujo laminar en una tubería circular de diámetro , el factor de fricción es inversamente proporcional al número de Reynolds solo ( f _D  =  ⁠ ${\displaystyle D_{c}}$64/Re) que a su vez puede expresarse en términos de cantidades físicas fácilmente medibles o publicadas (ver la sección a continuación). Al hacer esta sustitución, la ecuación de Darcy-Weisbach se reescribe como

${\displaystyle {\frac {\Delta p}{L}}={\frac {128}{\pi }}\cdot {\frac {\mu Q}{D_{c}^{4}}},}$

dónde

μ es la viscosidad dinámica del fluido (Pa·s = N·s/m ² = kg/(m·s));

Q es el caudal volumétrico , utilizado aquí para medir el caudal en lugar de la velocidad media según Q = ⁠π/4⁠ D _c ² < v > (m ³ /s).

Téngase en cuenta que esta forma laminar de Darcy-Weisbach es equivalente a la ecuación de Hagen-Poiseuille , que se deriva analíticamente de las ecuaciones de Navier-Stokes .

Fórmula de pérdida de carga

La pérdida de carga Δ h (o h _f ) expresa la pérdida de presión debido a la fricción en términos de la altura equivalente de una columna del fluido de trabajo, por lo que la caída de presión es

${\displaystyle \Delta p=\rho g\,\Delta h,}$

dónde:

Δ h = Pérdida de carga debido a la fricción de la tubería sobre la longitud dada de la tubería (unidades del SI: m); ^[b]

g = La aceleración local debida a la gravedad (m/s ² ).

Es útil presentar la pérdida de carga por longitud de tubería (adimensional):

${\displaystyle S={\frac {\Delta h}{L}}={\frac {1}{\rho g}}\cdot {\frac {\Delta p}{L}},}$

donde L es la longitud de la tubería ( m ).

Por lo tanto, la ecuación de Darcy-Weisbach también puede escribirse en términos de pérdida de carga: ^[11]

${\displaystyle S=f_{\text{D}}\cdot {\frac {1}{2g}}\cdot {\frac {{\langle v\rangle }^{2}}{D}}.}$

En términos de flujo volumétrico

La relación entre la velocidad media de flujo < v > y el caudal volumétrico Q es

${\displaystyle Q=A\cdot \langle v\rangle ,}$

dónde:

Q = El caudal volumétrico (m ³ /s),

A = El área transversal mojada (m ² ).

En una tubería circular de flujo completo de diámetro , ${\displaystyle D_{c}}$

${\displaystyle Q={\frac {\pi }{4}}D_{c}^{2}\langle v\rangle .}$

Entonces la ecuación de Darcy-Weisbach en términos de Q es

${\displaystyle S=f_{\text{D}}\cdot {\frac {8}{\pi ^{2}g}}\cdot {\frac {Q^{2}}{D_{c}^{5}}}.}$

Forma de esfuerzo cortante

La tensión cortante media de la pared τ en una tubería o canal abierto se expresa en términos del factor de fricción Darcy-Weisbach como ^[12]

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{8}}f_{\text{D}}\rho {\langle v\rangle }^{2}.}$

La tensión cortante de la pared tiene la unidad SI de pascales (Pa).

Factor de fricción de Darcy

Figura 1. Factor de fricción de Darcy versus número de Reynolds para 10 < Re < 10 ⁸ para tubería lisa y un rango de valores de rugosidad relativa .mi/D⁠ . Los datos proceden de Nikuradse (1932, 1933), Colebrook (1939) y McKeon (2004).

El factor de fricción f _D no es una constante: depende de cosas tales como las características de la tubería (diámetro D y altura de rugosidad ε ), las características del fluido (su viscosidad cinemática ν [nu]), y la velocidad del flujo del fluido ⟨ v ⟩ . Se ha medido con alta precisión dentro de ciertos regímenes de flujo y se puede evaluar mediante el uso de varias relaciones empíricas, o se puede leer a partir de gráficos publicados. Estos gráficos a menudo se denominan diagramas de Moody , en honor a LF Moody , y por lo tanto, el factor en sí mismo a veces se denomina erróneamente factor de fricción de Moody . También se lo llama a veces factor de fricción de Blasius , en honor a la fórmula aproximada que propuso.

La figura 1 muestra el valor de f _D medido por los experimentadores para muchos fluidos diferentes, en un amplio rango de números de Reynolds y para tuberías con distintas alturas de rugosidad. En estos datos se encuentran tres regímenes generales de flujo de fluidos: laminar, crítico y turbulento.

Régimen laminar

Para flujos laminares (suaves) , es una consecuencia de la ley de Poiseuille (que se deriva de una solución clásica exacta para el flujo de fluido) que

${\displaystyle f_{\mathrm {D} }={\frac {64}{\mathrm {Re} }},}$

donde Re es el número de Reynolds

${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho }{\mu }}\langle v\rangle D={\frac {\langle v\rangle D}{\nu }},}$

y donde μ es la viscosidad del fluido y

${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$

se conoce como viscosidad cinemática . En esta expresión para el número de Reynolds, la longitud característica D se toma como el diámetro hidráulico de la tubería, que, para una tubería cilíndrica que fluye llena, es igual al diámetro interior. En las figuras 1 y 2 del factor de fricción en función del número de Reynolds, el régimen Re < 2000 demuestra un flujo laminar; el factor de fricción está bien representado por la ecuación anterior. ^[c]

En efecto, la pérdida de fricción en el régimen laminar se caracteriza con mayor precisión como proporcional a la velocidad del flujo, en lugar de proporcional al cuadrado de esa velocidad: se podría considerar que la ecuación de Darcy-Weisbach no es verdaderamente aplicable en el régimen de flujo laminar.

En el flujo laminar, la pérdida por fricción surge de la transferencia de momento desde el fluido en el centro del flujo hasta la pared de la tubería a través de la viscosidad del fluido; no hay vórtices presentes en el flujo. Tenga en cuenta que la pérdida por fricción es insensible a la altura de rugosidad de la tubería ε : la velocidad del flujo en las proximidades de la pared de la tubería es cero.

Régimen crítico

Para números de Reynolds en el rango 2000 < Re < 4000 , el flujo es inestable (varía mucho con el tiempo) y varía de una sección de la tubería a otra (no está "plenamente desarrollado"). El flujo implica la formación incipiente de vórtices; no se comprende bien.

Régimen turbulento

Figura 2. Factor de fricción de Darcy versus número de Reynolds para 1000 < Re < 10 ⁸ para tubería lisa y un rango de valores de rugosidad relativa .mi/D⁠ . Los datos proceden de Nikuradse (1932, 1933), Colebrook (1939) y McKeon (2004).

Para un número de Reynolds mayor que 4000, el flujo es turbulento; la resistencia al flujo sigue la ecuación de Darcy-Weisbach: es proporcional al cuadrado de la velocidad media del flujo. En un dominio de muchos órdenes de magnitud de Re ( 4000 < Re < 10 ⁸ ), el factor de fricción varía menos de un orden de magnitud ( 0,006 < f _D < 0,06 ). Dentro del régimen de flujo turbulento, la naturaleza del flujo se puede dividir en un régimen donde la pared de la tubería es efectivamente lisa y uno donde su altura de rugosidad es saliente.

Régimen de tuberías lisas

Cuando la superficie de la tubería es lisa (la curva de "tubería lisa" en la Figura 2), la variación del factor de fricción con Re se puede modelar mediante la ecuación de resistencia de Kármán-Prandtl para flujo turbulento en tuberías lisas ^[9] con los parámetros ajustados adecuadamente.

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=1.930\log \left(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\right)-0.537.}$

Los números 1,930 y 0,537 son fenomenológicos; estos valores específicos proporcionan un ajuste bastante bueno a los datos. ^[13] El producto Re √ f _D (llamado "número de Reynolds de fricción") puede considerarse, al igual que el número de Reynolds, un parámetro (adimensional) del flujo: en valores fijos de Re √ f _D , el factor de fricción también es fijo.

En la ecuación de resistencia de Kármán-Prandtl, f _D se puede expresar en forma cerrada como una función analítica de Re mediante el uso de la función W de Lambert :

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}={\frac {1.930}{\ln(10)}}W\left(10^{\frac {-0.537}{1.930}}{\frac {\ln(10)}{1.930}}\mathrm {Re} \right)=0.838\ W(0.629\ \mathrm {Re} )}$

En este régimen de flujo, muchos pequeños vórtices son responsables de la transferencia de momento entre la masa del fluido y la pared de la tubería. A medida que aumenta el número de Reynolds de fricción Re √ f _D , el perfil de la velocidad del fluido se acerca a la pared de manera asintótica, transfiriendo así más momento a la pared de la tubería, como se modela en la teoría de la capa límite de Blasius .

Régimen de tuberías rugosas

Cuando la altura de rugosidad de la superficie de la tubería ε es significativa (normalmente con un número de Reynolds alto), el factor de fricción se aleja de la curva suave de la tubería y se acerca a un valor asintótico (régimen de "tubería rugosa"). En este régimen, la resistencia al flujo varía según el cuadrado de la velocidad media del flujo y es insensible al número de Reynolds. En este caso, resulta útil emplear otro parámetro adimensional del flujo, el número de Reynolds de la rugosidad ^[14].

${\displaystyle R_{*}={\frac {1}{\sqrt {8}}}\left(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\,\right){\frac {\varepsilon }{D}}}$

donde la altura de rugosidad ε se escala al diámetro de la tubería D .

Figura 3. Función de rugosidad B vs. número de Reynolds de fricción R _∗ . Los datos caen en una sola trayectoria cuando se grafican de esta manera. El régimen R _∗ < 1 es efectivamente el de flujo suave en tuberías. Para valores grandes de R _∗ , la función de rugosidad B se acerca a un valor constante. Se muestran funciones fenomenológicas que intentan ajustar estos datos, incluidas las de Afzal ^[15] y Colebrook–White ^[16] .

Es ilustrativo graficar la función de rugosidad B : ^[17]

${\displaystyle B(R_{*})={\frac {1}{1.930{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}+\log \left({\frac {1.90}{\sqrt {8}}}\cdot {\frac {\varepsilon }{D}}\right)}$

La figura 3 muestra B versus R _∗ para los datos de tuberías rugosas de Nikuradse, ^[14] Shockling, ^[18] y Langelandsvik. ^[19]

En esta vista, los datos con diferentes relaciones de rugosidadmi/D⁠ caen juntos cuando se grafican contra R _∗ , lo que demuestra la escala en la variable R _∗ . Están presentes las siguientes características:

• Cuando ε = 0 , entonces R _∗ es idénticamente cero: el flujo siempre se encuentra en el régimen de tubería lisa. Los datos para estos puntos se encuentran en el extremo izquierdo de la abscisa y no están dentro del marco del gráfico.
• Cuando R _∗ < 5 , los datos se encuentran en la línea B ( R _∗ ) = R _∗ ; el flujo está en el régimen de tubería suave.
• Cuando R _∗ > 100 , los datos se aproximan asintóticamente a una línea horizontal; son independientes de Re , f _D y ⁠mi/D⁠ .
• El rango intermedio de 5 < R _∗ < 100 constituye una transición de un comportamiento al otro. Los datos se alejan de la línea B ( R _∗ ) = R _∗ muy lentamente, alcanzan un máximo cerca de R _∗ = 10 y luego caen a un valor constante.

El ajuste de Afzal a estos datos en la transición del flujo en tuberías suaves al flujo en tuberías rugosas emplea una expresión exponencial en R _∗ que garantiza un comportamiento adecuado para 1 < R _∗ < 50 (la transición del régimen de tuberías suaves al régimen de tuberías rugosas): ^{[15] [20] [21]}

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-2\log \left({\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left(1+0.305R_{*}\exp {\frac {-11}{R_{*}}}\right)\right),}$

y

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-1.930\log \left({\frac {1.90}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left(1+0.34R_{*}\exp {\frac {-11}{R_{*}}}\right)\right),}$

Esta función comparte los mismos valores para su término en común con la ecuación de resistencia de Kármán-Prandtl, más un parámetro 0,305 o 0,34 para ajustar el comportamiento asintótico para R _∗ → ∞ junto con un parámetro adicional, 11, para gobernar la transición de flujo suave a flujo áspero. Se muestra en la Figura 3.

El factor de fricción para otra rugosidad análoga se convierte en

 : ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-2.0\,\log _{10}\left({\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left\{1+0.305R_{*}\;\left(1-\exp {\frac {-R_{*}}{26}}\right)\right\}\right),}$

y

: ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-1.93\,\log _{10}\left({\frac {1.91}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left\{1+0.34R_{*}\;\left(1-\exp {\frac {-R_{*}}{26}}\right)\right\}\right),}$

Esta función comparte los mismos valores para su término en común con la ecuación de resistencia de Kármán-Prandtl, más un parámetro 0,305 o 0,34 para ajustar el comportamiento asintótico para R _∗ → ∞ junto con un parámetro adicional, 26, para gobernar la transición de flujo suave a flujo rugoso.

La relación de Colebrook-White ^[16] ajusta el factor de fricción con una función de la forma

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-2.00\log \left({\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}\left(1+{\frac {R_{*}}{3.3}}\right)\right).}$^[d]

Esta relación tiene el comportamiento correcto en valores extremos de R _∗ , como lo muestra la curva etiquetada en la Figura 3: cuando R _∗ es pequeño, es consistente con un flujo de tubería suave, cuando es grande, es consistente con un flujo de tubería rugosa. Sin embargo, su desempeño en el dominio de transición sobreestima el factor de fricción por un margen sustancial. ^[18] Colebrook reconoce la discrepancia con los datos de Nikuradze, pero argumenta que su relación es consistente con las mediciones en tuberías comerciales. De hecho, dichas tuberías son muy diferentes de las cuidadosamente preparadas por Nikuradse: sus superficies se caracterizan por muchas alturas de rugosidad diferentes y una distribución espacial aleatoria de los puntos de rugosidad, mientras que las de Nikuradse tienen superficies con una altura de rugosidad uniforme, con los puntos extremadamente empaquetados.

Cálculo del factor de fricción a partir de su parametrización

En el caso de flujo turbulento , los métodos para hallar el factor de fricción f _D incluyen el uso de un diagrama, como el diagrama de Moody , o la resolución de ecuaciones como la ecuación de Colebrook-White (en la que se basa el diagrama de Moody) o la ecuación de Swamee-Jain . Si bien la relación de Colebrook-White es, en el caso general, un método iterativo, la ecuación de Swamee-Jain permite hallar f _D ^{directamente para el flujo completo en una tubería circular. [11]}

Cálculo directo cuando hay pérdida por fricciónSes conocido

En aplicaciones típicas de ingeniería, habrá un conjunto de cantidades dadas o conocidas. Se conocen la aceleración de la gravedad g y la viscosidad cinemática del fluido ν , al igual que el diámetro de la tubería D y su altura de rugosidad ε . Si también se conoce la pérdida de carga por unidad de longitud S , entonces el factor de fricción f _D se puede calcular directamente a partir de la función de ajuste elegida. Resolviendo la ecuación de Darcy-Weisbach para √ f _D ,

${\displaystyle {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}={\frac {\sqrt {2gSD}}{\langle v\rangle }}}$

Ahora podemos expresar Re √ f _D :

${\displaystyle \mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}={\frac {1}{\nu }}{\sqrt {2g}}{\sqrt {S}}{\sqrt {D^{3}}}}$

Expresando el número de Reynolds de rugosidad R _∗ ,

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{*}&={\frac {\varepsilon }{D}}\cdot \mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {8}}}\\&={\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {g}}{\nu }}\varepsilon {\sqrt {S}}{\sqrt {D}}\end{aligned}}}$

Tenemos los dos parámetros necesarios para sustituir en la relación de Colebrook-White, o cualquier otra función, el factor de fricción f _D , la velocidad de flujo ⟨ v ⟩ y el caudal volumétrico Q .

Confusión con el factor de fricción de Fanning

El factor de fricción Darcy-Weisbach f _D es 4 veces mayor que el factor de fricción Fanning f , por lo que se debe prestar atención a cuál de estos se refiere en cualquier diagrama o ecuación de "factor de fricción" que se utilice. De los dos, el factor Darcy-Weisbach f _D es el más utilizado por los ingenieros civiles y mecánicos, y el factor Fanning f por los ingenieros químicos, pero se debe tener cuidado de identificar el factor correcto independientemente de la fuente del diagrama o la fórmula.

Tenga en cuenta que

${\displaystyle \Delta p=f_{\mathrm {D} }\cdot {\frac {L}{D}}\cdot {\frac {\rho {\langle v\rangle }^{2}}{2}}=f\cdot {\frac {L}{D}}\cdot {2\rho {\langle v\rangle }^{2}}}$

La mayoría de los gráficos o tablas indican el tipo de factor de fricción, o al menos proporcionan la fórmula para el factor de fricción con flujo laminar. Si la fórmula para el flujo laminar es f = ⁠16/Re⁠ , es el factor de Fanning f , y si la fórmula para el flujo laminar es f _D = ⁠64/Re⁠ , es el factor de Darcy-Weisbach f _D .

El factor de fricción que se representa en un diagrama de Moody se puede determinar mediante inspección si el editor no incluyó la fórmula descrita anteriormente:

1. Observe el valor del factor de fricción para el flujo laminar en un número de Reynolds de 1000.
2. Si el valor del factor de fricción es 0,064, entonces el factor de fricción de Darcy se representa en el diagrama de Moody. Nótese que los dígitos distintos de cero en 0,064 son el numerador en la fórmula para el factor de fricción laminar de Darcy: f _D = ⁠64/Re⁠ .
3. Si el valor del factor de fricción es 0,016, entonces el factor de fricción de Fanning se representa en el diagrama de Moody. Nótese que los dígitos distintos de cero en 0,016 son el numerador en la fórmula para el factor de fricción laminar de Fanning: f = ⁠16/Re⁠ .

El procedimiento anterior es similar para cualquier número de Reynolds disponible que sea una potencia entera de diez. No es necesario recordar el valor 1000 para este procedimiento, solo que una potencia entera de diez es de interés para este propósito.

Historia

Históricamente, esta ecuación surgió como una variante de la ecuación de Prony ; esta variante fue desarrollada por Henry Darcy de Francia, y refinada aún más en la forma utilizada hoy por Julius Weisbach de Sajonia en 1845. Inicialmente, faltaban datos sobre la variación de f _D con la velocidad, por lo que la ecuación de Darcy-Weisbach fue superada al principio por la ecuación empírica de Prony en muchos casos. En años posteriores se evitó en muchas situaciones de casos especiales a favor de una variedad de ecuaciones empíricas válidas solo para ciertos regímenes de flujo, en particular la ecuación de Hazen-Williams o la ecuación de Manning , la mayoría de las cuales eran significativamente más fáciles de usar en los cálculos. Sin embargo, desde el advenimiento de la calculadora , la facilidad de cálculo ya no es un problema importante, por lo que la generalidad de la ecuación de Darcy-Weisbach la ha convertido en la preferida. ^[22]

Derivación por análisis dimensional

Alejándose de los extremos de la tubería, las características del flujo son independientes de la posición a lo largo de la tubería. Las magnitudes clave son entonces la caída de presión a lo largo de la tubería por unidad de longitud ,Δp​/yo⁠ , y el caudal volumétrico. El caudal se puede convertir en una velocidad de flujo media V dividiéndolo por el área mojada del flujo (que es igual al área de la sección transversal de la tubería si la tubería está llena de fluido).

La presión tiene dimensiones de energía por unidad de volumen, por lo tanto, la caída de presión entre dos puntos debe ser proporcional a la presión dinámica q. También sabemos que la presión debe ser proporcional a la longitud de la tubería entre los dos puntos L, ya que la caída de presión por unidad de longitud es una constante. Para convertir la relación en un coeficiente de proporcionalidad de cantidad adimensional, podemos dividir por el diámetro hidráulico de la tubería, D , que también es constante a lo largo de la tubería. Por lo tanto,

${\displaystyle \Delta p\propto {\frac {L}{D}}q={\frac {L}{D}}\cdot {\frac {\rho }{2}}\cdot {\langle v\rangle }^{2}}$

El coeficiente de proporcionalidad es el " factor de fricción de Darcy " o "coeficiente de flujo" adimensional. Este coeficiente adimensional será una combinación de factores geométricos como π , el número de Reynolds y (fuera del régimen laminar) la rugosidad relativa de la tubería (la relación entre la altura de rugosidad y el diámetro hidráulico ).

Nótese que la presión dinámica no es la energía cinética del fluido por unidad de volumen, ^{[ cita requerida ]} por las siguientes razones. Incluso en el caso del flujo laminar , donde todas las líneas de flujo son paralelas a la longitud de la tubería, la velocidad del fluido en la superficie interna de la tubería es cero debido a la viscosidad, y la velocidad en el centro de la tubería debe ser, por lo tanto, mayor que la velocidad promedio obtenida al dividir el caudal volumétrico por el área húmeda. La energía cinética promedio involucra entonces la velocidad cuadrática media , que siempre excede la velocidad media. En el caso del flujo turbulento , el fluido adquiere componentes de velocidad aleatorios en todas las direcciones, incluida la perpendicular a la longitud de la tubería, y por lo tanto la turbulencia contribuye a la energía cinética por unidad de volumen pero no a la velocidad longitudinal promedio del fluido.

Aplicación práctica

En una aplicación de ingeniería hidráulica , es típico que el flujo volumétrico Q dentro de una tubería (es decir, su productividad) y la pérdida de carga por unidad de longitud S (el consumo de energía concomitante) sean los factores críticos importantes. La consecuencia práctica es que, para un caudal volumétrico fijo Q , la pérdida de carga S disminuye con la quinta potencia inversa del diámetro de la tubería, D. Duplicar el diámetro de una tubería de un programa determinado (por ejemplo, programa ANSI 40) duplica aproximadamente la cantidad de material requerido por unidad de longitud y, por lo tanto, su costo de instalación. Mientras tanto, la pérdida de carga se reduce en un factor de 32 (aproximadamente una reducción del 97%). Por lo tanto, la energía consumida en mover un flujo volumétrico dado del fluido se reduce drásticamente para un aumento modesto en el costo de capital.

Ventajas

La precisión y la aplicabilidad universal de la ecuación Darcy-Weisbach la convierten en la fórmula ideal para el caudal en tuberías. Las ventajas de la ecuación son las siguientes: ^[1]

• Se basa en fundamentos.
• Es dimensionalmente consistente.
• Es útil para cualquier fluido, incluido petróleo, gas, salmuera y lodos.
• Se puede derivar analíticamente en la región de flujo laminar.
• Es útil en la región de transición entre el flujo laminar y el flujo turbulento completamente desarrollado.
• La variación del factor de fricción está bien documentada.

Véase también

• Principio de Bernoulli
• Fórmulas del factor de fricción de Darcy
• Número de Euler
• Pérdida por fricción
• Ecuación de Hazen-Williams
• Ecuación de Hagen-Poiseuille
• Tubería de agua

Notas

1. El valor del factor de fricción de Darcy es cuatro veces el del factor de fricción de Fanning , con el que no debe confundirse. ^[2]
2. Esto está relacionado con la altura piezométrica a lo largo de la tubería.
3. Los datos muestran, sin embargo, una desviación sistemática de hasta el 50% de la ecuación teórica de Hagen-Poiseuille en la región de Re > 500 hasta el inicio del flujo crítico.
4. En su forma publicada originalmente,

   ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=-2.00\log \left(2.51{\frac {1}{\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}}+{\frac {1}{3.7}}{\frac {\varepsilon }{D}}\right)}$

Referencias

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2. Manning, Francis S.; Thompson, Richard E. (1991). Procesamiento de petróleo en yacimientos petrolíferos. Vol. 1: Gas natural . PennWell Books. pág. 293. ISBN 0-87814-343-2.
3. Brown 2002, pág. 35-36
4. Brown 2002, págs. 36-37
5. Brown 2002, pág. 35-36
6. Brown 2002, pág. 37
7. Brown 2002, pág. 39
8. Howell, Glen (1 de febrero de 1970). "3.9.2". Manual para diseñadores de componentes de fluidos aeroespaciales. Vol. I. Redondo Beach, CA: TRW Systems Group. pág. 87, ecuación 3.9.2.1e. Archivado desde el original el 20 de octubre de 2020, a través del Centro de Información Técnica de Defensa.
9. Rouse, H. (1946). Mecánica elemental de fluidos. John Wiley & Sons.
10. Incopera, Frank P.; Dewitt, David P. (2002). Fundamentos de transferencia de calor y masa (5.ª ed.). John Wiley & Sons. pág. 470, párrafo 3.
11. Crowe, Clayton T.; Elger, Donald F.; Robertson, John A. (2005). Ingeniería mecánica de fluidos (8.ª ed.). John Wiley & Sons. pág. 379; Ec. 10:23, 10:24, párrafo 4.

    ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}}=2\log \left(\mathrm {Re} {\sqrt {f_{\mathrm {D} }}}\right)-0.8\quad {\text{for }}\mathrm {Re} >3000.}$

12. Chaudhry, MH (2013). Transitorios hidráulicos aplicados (3.ª ed.). Springer. pág. 45. ISBN 978-1-4614-8538-4.
13. McKeon, BJ ; Zagarola, M. V; Smits, AJ (2005). "Una nueva relación del factor de fricción para el flujo en tuberías completamente desarrollado" (PDF) . Journal of Fluid Mechanics . 538 . Cambridge University Press: 429–443. Bibcode :2005JFM...538..429M. doi :10.1017/S0022112005005501. S2CID  15642454 . Consultado el 25 de junio de 2016 .
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18. Afzal, Noor (2013) "Efectos de la rugosidad de las tuberías de acero comerciales en flujo turbulento: escala universal". Revista Canadiense de Ingeniería Civil 40, 188-193.

Lectura adicional

• De Nevers (1970). Mecánica de fluidos . Addison-Wesley. ISBN 0-201-01497-1.
• Shah, RK; Londres, AL (1978). "Convección forzada de flujo laminar en conductos". Suplemento 1 de Advances in Heat Transfer . Nueva York: Academic.
• Rohsenhow, WM; Hartnett, JP; Ganić, EN (1985). Manual de fundamentos de transferencia de calor (2.ª ed.). McGraw–Hill Book Company. ISBN 0-07-053554-X.
• Glenn O. Brown (2002). "La historia de la ecuación de Darcy-Weisbach para la resistencia al flujo en tuberías". researchgate.net .

Enlaces externos

• La historia de la ecuación de Darcy-Weisbach Archivado el 20 de julio de 2011 en Wayback Machine
• Calculadora de la ecuación de Darcy-Weisbach
• Calculadora de caída de presión en tuberías Archivado el 13 de julio de 2019 en Wayback Machine para flujos monofásicos.
• Calculadora de caída de presión en tuberías para flujos bifásicos. Archivado el 13 de julio de 2019 en Wayback Machine.
• Calculadora de caída de presión en tuberías de código abierto.
• Aplicación web con cálculos de caída de presión para tuberías y conductos
• ThermoTurb: una aplicación web para el análisis de flujo térmico y turbulento