Fórmulas del factor de fricción de Darcy

Ecuaciones para cálculos del factor de fricción de Darcy

En dinámica de fluidos , las fórmulas del factor de fricción de Darcy son ecuaciones que permiten calcular el factor de fricción de Darcy , una cantidad adimensional utilizada en la ecuación de Darcy-Weisbach , para la descripción de las pérdidas por fricción en el flujo en tuberías así como en el flujo en canales abiertos .

El factor de fricción de Darcy también se conoce como factor de fricción de Darcy-Weisbach , coeficiente de resistencia o simplemente factor de fricción ; por definición es cuatro veces mayor que el factor de fricción de Fanning . ^[1]

Notación

En este artículo deben entenderse las siguientes convenciones y definiciones:

• El número de Reynolds Re se considera Re = V D / ν, donde V es la velocidad media del flujo de fluido, D es el diámetro de la tubería y donde ν es la viscosidad cinemática μ / ρ, siendo μ la viscosidad dinámica del fluido, y ρ la densidad del fluido.
• La rugosidad relativa de la tubería ε / D , donde ε es la altura de rugosidad efectiva de la tubería y D el diámetro (interior) de la tubería.
• f representa el factor de fricción de Darcy . Su valor depende del número de Reynolds Re del flujo y de la rugosidad relativa de la tubería ε / D .
• Se entiende que la función log es de base 10 (como es habitual en los campos de la ingeniería): si x = log( y ), entonces y = 10 ^x .
• Se entiende que la función ln es de base e: si x = ln( y ), entonces y = e ^x .

Régimen de flujo

La fórmula del factor de fricción que puede ser aplicable depende del tipo de flujo que existe:

• Flujo laminar
• Transición entre flujo laminar y turbulento
• Flujo totalmente turbulento en conductos lisos
• Flujo totalmente turbulento en conductos rugosos
• Flujo superficial libre.

Flujo de transición

El flujo de transición (ni completamente laminar ni completamente turbulento) ocurre en el rango de números de Reynolds entre 2300 y 4000. El valor del factor de fricción de Darcy está sujeto a grandes incertidumbres en este régimen de flujo.

Flujo turbulento en conductos lisos.

La correlación de Blasius es la ecuación más sencilla para calcular el factor de fricción de Darcy. Debido a que la correlación de Blasius no tiene un término para la rugosidad de las tuberías, sólo es válida para suavizar las tuberías. Sin embargo, la correlación de Blasius se utiliza a veces en tuberías en bruto debido a su simplicidad. La correlación de Blasius es válida hasta el número de Reynolds 100000.

Flujo turbulento en conductos rugosos.

El factor de fricción de Darcy para flujo totalmente turbulento (número de Reynolds mayor que 4000) en conductos rugosos puede modelarse mediante la ecuación de Colebrook-White.

Flujo superficial libre

La última fórmula en la sección de ecuación de Colebrook de este artículo es para flujo superficial libre. Las aproximaciones que aparecen en otras partes de este artículo no son aplicables para este tipo de flujo.

Elegir una fórmula

Antes de elegir una fórmula, vale la pena saber que en el documento sobre el gráfico de Moody , Moody afirmó que la precisión es de aproximadamente ±5% para tuberías lisas y ±10% para tuberías rugosas. Si es aplicable más de una fórmula en el régimen de flujo considerado, la elección de la fórmula puede verse influenciada por uno o más de los siguientes:

• Precisión requerida
• Velocidad de cálculo requerida
• Tecnología computacional disponible:
  • calculadora (minimizar pulsaciones de teclas)
  • hoja de cálculo (fórmula de una sola celda)
  • lenguaje de programación/scripting (subrutina).

Ecuación de Colebrook-White

La ecuación fenomenológica de Colebrook-White (o ecuación de Colebrook) expresa el factor de fricción de Darcy f en función del número de Reynolds Re y la rugosidad relativa de la tubería ε/ D _h , ajustándose a los datos de estudios experimentales de flujo turbulento en tuberías lisas y rugosas . ^{[2] [3]} La ecuación se puede utilizar para resolver (iterativamente) el factor de fricción f de Darcy-Weisbach .

Para un conducto que fluye completamente lleno de fluido con números de Reynolds superiores a 4000, se expresa como:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon }{3.7D_{\mathrm {h} }}}+{\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right)}$

o

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon }{14.8R_{\mathrm {h} }}}+{\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right)}$

dónde:

• Diámetro hidráulico , (m, pies): para conductos circulares llenos de fluido, = D = diámetro interior ${\displaystyle D_{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle D_{\mathrm {h} }}$
• Radio hidráulico , (m, pies) – Para conductos circulares llenos de fluido, = D/4 = (diámetro interior)/4 ${\displaystyle R_{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle R_{\mathrm {h} }}$

Nota: Algunas fuentes utilizan una constante de 3,71 en el denominador del término de rugosidad en la primera ecuación anterior. ^[4]

resolviendo

La ecuación de Colebrook suele resolverse numéricamente debido a su naturaleza implícita. Recientemente, se ha empleado la función Lambert W para obtener una reformulación explícita de la ecuación de Colebrook. ^{[5] [6] [7]}

${\displaystyle x={\frac {1}{\sqrt {f}}},b={\frac {\varepsilon }{14.8R_{h}}},a={\frac {2.51}{Re}}}$

${\displaystyle x=-2\log(ax+b)}$

o

${\displaystyle 10^{-{\frac {x}{2}}}=ax+b}$

${\displaystyle p=10^{-{\frac {1}{2}}}}$

obtendrá:

${\displaystyle p^{x}=ax+b}$

${\displaystyle x=-{\frac {W\left(-{\frac {\ln p}{a}}\,p^{-{\frac {b}{a}}}\right)}{\ln p}}-{\frac {b}{a}}}$

entonces:

${\displaystyle f={\frac {1}{\left({\dfrac {2W\left({\frac {\ln 10}{2a}}\,10^{\frac {b}{2a}}\right)}{\ln 10}}-{\dfrac {b}{a}}\right)^{2}}}}$

Formas ampliadas

Otras formas matemáticamente equivalentes de la ecuación de Colebrook son:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=1.7384\ldots -2\log \left({\frac {2\varepsilon }{D_{\mathrm {h} }}}+{\frac {18.574}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right)}$

dónde:

1,7384... = 2 registro (2 × 3,7) = 2 registro (7,4)

18,574 = 2,51 × 3,7 × 2

y

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=1.1364\ldots +2\log \left(D_{\mathrm {h} }/\varepsilon \right)-2\log \left(1+{\frac {9.287}{\mathrm {Re} (\varepsilon /D_{\mathrm {h} }){\sqrt {f}}}}\right)}$

o

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=1.1364\ldots -2\log \left({\frac {\varepsilon }{D_{\mathrm {h} }}}+{\frac {9.287}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right)}$

dónde:

1,1364... = 1,7384... − 2 log (2) = 2 log (7,4) − 2 log (2) = 2 log (3,7)

9,287 = 18,574 / 2 = 2,51 × 3,7.

Las formas equivalentes adicionales anteriores suponen que las constantes 3,7 y 2,51 en la fórmula al principio de esta sección son exactas. Las constantes son probablemente valores que Colebrook redondeó durante el ajuste de su curva ; pero efectivamente se tratan como exactos cuando se comparan (con varios decimales) los resultados de fórmulas explícitas (como las que se encuentran en otras partes de este artículo) con el factor de fricción calculado mediante la ecuación implícita de Colebrook.

En varias referencias se pueden encontrar ecuaciones similares a las formas adicionales anteriores (con las constantes redondeadas a menos decimales, o quizás ligeramente desplazadas para minimizar los errores generales de redondeo). Puede resultar útil tener en cuenta que son esencialmente la misma ecuación.

Flujo superficial libre

Existe otra forma de la ecuación de Colebrook-White para superficies libres. Esta condición puede existir en una tubería que fluye parcialmente llena de fluido. Para flujo superficial libre:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon }{12R_{\mathrm {h} }}}+{\frac {2.51}{\mathrm {Re} {\sqrt {f}}}}\right).}$

La ecuación anterior es válida sólo para flujo turbulento. Otro enfoque para estimar f en flujos en superficie libre, que es válido bajo todos los regímenes de flujo (laminar, de transición y turbulento) es el siguiente: ^[8]

${\displaystyle f=\left({\frac {24}{Re_{h}}}\right)\left[{\frac {0.86e^{W(1.35Re_{h})}}{Re_{h}}}\right]^{2(1-a)b}\left\{{\frac {1.34}{\left[\ln {12.21\left({\frac {R_{h}}{\epsilon }}\right)}\right]^{2}}}\right\}^{(1-a)(1-b)}}$

donde a es:

${\displaystyle a={\frac {1}{1+\left({\frac {Re_{h}}{678}}\right)^{8.4}}}}$

y b es:

${\displaystyle b={\frac {1}{1+\left({\frac {Re_{h}}{150\left({\frac {R_{h}}{\epsilon }}\right)}}\right)^{1.8}}}}$

donde Re _h es el número de Reynolds donde h es la longitud hidráulica característica (radio hidráulico para flujos 1D o profundidad del agua para flujos 2D) y R _h es el radio hidráulico (para flujos 1D) o la profundidad del agua (para flujos 2D). La función Lambert W se puede calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle W(1.35Re_{h})=\ln {1.35Re_{h}}-\ln {\ln {1.35Re_{h}}}+\left({\frac {\ln {\ln {1.35Re_{h}}}}{\ln {1.35Re_{h}}}}\right)+\left({\frac {\ln {[\ln {1.35Re_{h}}]^{2}-2\ln {\ln {1.35Re_{h}}}}}{2[\ln {1.35Re_{h}}]^{2}}}\right)}$

Aproximaciones de la ecuación de Colebrook

Ecuación de Haaland

La ecuación de Haaland fue propuesta en 1983 por el profesor SE Haaland del Instituto Noruego de Tecnología . ^[9] Se utiliza para resolver directamente el factor de fricción f de Darcy-Weisbach para una tubería circular de flujo total. Es una aproximación de la ecuación implícita de Colebrook-White, pero la discrepancia con los datos experimentales está dentro de la precisión de los datos.

La ecuación de Haaland ^[10] se expresa:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-1.8\log \left[\left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}\right)^{1.11}+{\frac {6.9}{\mathrm {Re} }}\right]}$

Ecuación de Swamee-Jain

La ecuación de Swamee-Jain se utiliza para resolver directamente el factor de fricción f de Darcy-Weisbach para una tubería circular de flujo total. Es una aproximación de la ecuación implícita de Colebrook-White. ^[11]

${\displaystyle f={\frac {0.25}{\left[\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{\frac {5.74}{\mathrm {Re} ^{0.9}}}\right)\right]^{2}}}}$

La solución de Serghides

La solución de Serghides se utiliza para resolver directamente el factor de fricción f de Darcy-Weisbach para una tubería circular de flujo total. Es una aproximación de la ecuación implícita de Colebrook-White. Se obtuvo utilizando el método de Steffensen . ^[12]

La solución implica calcular tres valores intermedios y luego sustituir esos valores en una ecuación final.

${\displaystyle A=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{12 \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle B=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{2.51A \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle C=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{2.51B \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=A-{\frac {(B-A)^{2}}{C-2B+A}}}$

Se encontró que la ecuación coincidía con la ecuación de Colebrook-White dentro del 0,0023% para un conjunto de prueba con una matriz de 70 puntos que consta de diez valores de rugosidad relativa (en el rango de 0,00004 a 0,05) por siete números de Reynolds (2500 a 10 ⁸ ).

Ecuación de Goudar-Sonnad

La ecuación de Goudar es la aproximación más precisa para resolver directamente el factor de fricción f de Darcy-Weisbach para una tubería circular de flujo total. Es una aproximación de la ecuación implícita de Colebrook-White. La ecuación tiene la siguiente forma ^[13]

${\displaystyle a={2 \over \ln(10)}}$

${\displaystyle b={\frac {\varepsilon /D}{3.7}}}$

${\displaystyle d={\ln(10)\mathrm {Re} \over 5.02}}$

${\displaystyle s={bd+\ln(d)}}$

${\displaystyle q={{s}^{s/(s+1)}}}$

${\displaystyle g={bd+\ln {d \over q}}}$

${\displaystyle z={\ln {q \over g}}}$

${\displaystyle D_{LA}=z{g \over {g+1}}}$

${\displaystyle D_{CFA}=D_{LA}\left(1+{\frac {z/2}{(g+1)^{2}+(z/3)(2g-1)}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}={a\left[\ln \left(d/q\right)+D_{CFA}\right]}}$

solución de Brkić

Brkić muestra una aproximación de la ecuación de Colebrook basada en la función W de Lambert ^[14]

${\displaystyle S=\ln {\frac {\mathrm {Re} }{\mathrm {1.816\ln {\frac {1.1\mathrm {Re} }{\ln \left(1+1.1\mathrm {Re} \right)}}} }}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.71}}+{2.18S \over \mathrm {Re} }\right)}$

Se encontró que la ecuación coincidía con la ecuación de Colebrook-White dentro del 3,15%.

La solución de Brkić-Praks

Brkić y Praks muestran una aproximación de la ecuación de Colebrook basada en la función de Wright, un cognado de la función W de Lambert ^[15] ${\displaystyle \omega }$

${\textstyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}\approx 0.8686\cdot \left[B-C+\displaystyle {\frac {1.038\cdot C}{\mathrm {0.332+} \,x}}\right]\,}$

${\textstyle A\approx \displaystyle {\frac {Re\cdot \epsilon /D}{8.0884}}}$, , , y ${\textstyle B\approx \mathrm {ln} \,\left(Re\right)-0.7794}$ ${\textstyle C=}$ ${\displaystyle \mathrm {ln} \,\left(x\right)}$ ${\textstyle x=A+B}$

Se encontró que la ecuación coincidía con la ecuación de Colebrook-White dentro del 0,0497%.

Solución Praks-Brkić

Praks y Brkić muestran una aproximación de la ecuación de Colebrook basada en la función de Wright, un cognado de la función W de Lambert ^[16] ${\displaystyle \omega }$

${\textstyle \displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}\approx 0.8685972\cdot \left[B-C+\displaystyle {\frac {C}{x-0.5588\cdot C+1.2079}}\,\right]}$

${\textstyle A\approx \displaystyle {\frac {Re\cdot \epsilon /D}{8.0897}}}$, , , y ${\textstyle B\approx \mathrm {ln} \,\left(Re\right)-0.779626}$ ${\textstyle C=}$ ${\displaystyle \mathrm {ln} \,\left(x\right)}$ ${\textstyle x=A+B}$

Se encontró que la ecuación coincidía con la ecuación de Colebrook-White dentro del 0,0012%.

La solución de Niazkar

Dado que se descubrió que la solución de Serghides era una de las aproximaciones más precisas de la ecuación implícita de Colebrook-White, Niazkar modificó la solución de Serghides para resolver directamente el factor de fricción f de Darcy-Weisbach para una tubería circular de flujo total. ^[17]

La solución de Niazkar se muestra a continuación:

${\displaystyle A=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{4.5547 \over \mathrm {Re^{0.8784}} }\right)}$

${\displaystyle B=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{2.51A \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle C=-2\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{2.51B \over \mathrm {Re} }\right)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=A-{\frac {(B-A)^{2}}{C-2B+A}}}$

Se encontró que la solución de Niazkar era la correlación más precisa según un análisis comparativo realizado en la literatura entre 42 ecuaciones explícitas diferentes para estimar el factor de fricción de Colebrook. ^[17]

Correlaciones de Blasius

Las primeras aproximaciones para tuberías lisas ^[18] realizadas por Paul Richard Heinrich Blasius en términos del factor de fricción Darcy-Weisbach se dan en un artículo de 1913: ^[19]

${\displaystyle f=0.3164\mathrm {Re} ^{-{1 \over 4}}}$.

Johann Nikuradse propuso en 1932 que esto corresponde a una correlación de ley de potencia para el perfil de velocidad del fluido. ^[20]

Mishra y Gupta en 1979 propusieron una corrección para tubos curvos o helicoidales, teniendo en cuenta el radio de curva equivalente, R _c : ^[21]

${\displaystyle f=0.316\mathrm {Re} ^{-{1 \over 4}}+0.0075{\sqrt {\frac {D}{2R_{c}}}}}$,

con,

${\displaystyle R_{c}=R\left[1+\left({\frac {H}{2\pi R}}\right)^{2}\right]}$

donde f es una función de:

• Diámetro de tubería, D (m, pies)
• Radio de curva, R (m, pies)
• Paso helicoidal, H (m, pies)
• Número de Reynolds , Re (adimensional)

valido para:

• Re _tr < Re < 10 ⁵
• 6,7 < 2Rc _/ D < 346,0
• 0 < H/D < 25,4

ecuación de swamee

La ecuación de Swamee se utiliza para resolver directamente el factor de fricción de Darcy-Weisbach ( f ) para una tubería circular de flujo total para todos los regímenes de flujo (laminar, de transición, turbulento). Es una solución exacta para la ecuación de Hagen-Poiseuille en el régimen de flujo laminar y una aproximación de la ecuación implícita de Colebrook-White en el régimen turbulento con una desviación máxima de menos del 2,38% en el rango especificado. Además, proporciona una transición suave entre los regímenes laminar y turbulento para que sea válida como una ecuación de rango completo, 0 < Re < 10 ⁸ . ^[22]

${\displaystyle f=\left\lbrace \left({\frac {64}{\mathrm {Re} }}\right)^{8}+9.5\left[\ln \left({\frac {\varepsilon }{{3.7}{D}}}+{\frac {5.74}{\mathrm {Re} ^{0.9}}}\right)-\left({\frac {2500}{\mathrm {Re} }}\right)^{6}\right]^{-16}\right\rbrace ^{\frac {1}{8}}}$

Tabla de aproximaciones

La siguiente tabla enumera aproximaciones históricas a la relación Colebrook-White ^[23] para flujo impulsado por presión. La ecuación de Churchill ^[24] (1977) es la única ecuación que puede evaluarse para flujo muy lento (número de Reynolds < 1), pero la ecuación de Cheng (2008), ^[25] y Bellos et al. (2018) ^[8] las ecuaciones también devuelven un valor aproximadamente correcto para el factor de fricción en la región de flujo laminar (número de Reynolds <2300). Todos los demás son únicamente para flujo transicional y turbulento.

Referencias

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3. Colebrook, CF (1939). "Flujo turbulento en tuberías, con especial referencia a la región de transición entre las leyes de tuberías lisas y rugosas". Revista de la Institución de Ingenieros Civiles . 11 (4): 133-156. doi :10.1680/ijoti.1939.13150. ISSN  0368-2455.
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Otras lecturas

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• Brkić, Dejan (2011). "Revisión de aproximaciones explícitas a la relación de Colebrook para la fricción del flujo" (PDF) . Revista de ciencia e ingeniería del petróleo . 77 (1): 34–48. Código Bib : 2011JPSE...77...34B. doi :10.1016/j.petrol.2011.02.006.
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• Brkić, Dejan; Ćojbašić, Žarko (2017). "Optimización evolutiva de las aproximaciones de fricción de flujo turbulento de Colebrook". Fluidos . 2 (2): 15. Bibcode : 2017 Fluido... 2... 15B. doi : 10.3390/fluidos2020015 . ISSN  2311-5521.
• Brkić, Dejan; Praks, Pavel (2019). "Aproximaciones explícitas precisas y eficientes de la ecuación de fricción de flujo de Colebrook basadas en la función ω de Wright". Matemáticas 7 (1): artículo 34. https://doi.org/10.3390/math7010034. ISSN 2227-7390
• Praks, Pavel; Brkić, Dejan (2020). "Revisión de nuevas ecuaciones de fricción de flujo: construcción precisa de las correlaciones explícitas de Colebrook". Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería 36 (3): artículo 41. https://doi.org/10.23967/j.rimni.2020.09.001. ISSN 1886-158X (versión en línea) - ISSN 0213-1315 (versión impresa)
• Niazkar, Majid (2019). "Revisando la estimación del factor de fricción de Colebrook: una comparación entre modelos de inteligencia artificial y ecuaciones explícitas basadas en CW". Revista KSCE de Ingeniería Civil . 23 (10): 4311–4326. doi :10.1007/s12205-019-2217-1. S2CID  203040860.

enlaces externos

• Calculadora basada en web de los factores de fricción de Darcy mediante la solución de Serghides.
• Calculadora de fricción de tubería de código abierto.